2026年高考数学一轮复重难点培优03线面、面面平行与垂直的重难题型突破(复习讲义)(全国通用)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优03线面、面面平行与垂直的重难题型突破(复习讲义)(全国通用)(原卷版+解析)，文件包含第一单元天气单元测试-小学科学三级上册教科版2024答案解析docx、第一单元天气单元测试-小学科学三级上册教科版2024docx、第一单元天气知识点梳理-小学科学三级上册教科版2024docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 5
\l "_Tc16555" 题型一 四点共面（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 5
\l "_Tc7141" 题型二 面面平行证明线面平行（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 10
\l "_Tc26803" 题型三 线面平行的性质定理（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 12
\l "_Tc13512" 题型四 线段成比例证明平行（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 14
\l "_Tc3897" 题型五 垂直问题中全等三角形条件突破（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 17
\l "_Tc326" 题型六 线面垂直证线线垂直（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 19
\l "_Tc11957" 题型七 面面垂直的性质定理（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 24
\l "_Tc17557" 题型八 证面面垂直（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 29
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 33
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 33
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 51
一、证明垂直的常见方法
（1）等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”
如图：AB=AC,D为BC中点，则
（2）勾股定理的逆定理
如图：如果，则

（3）正方形、菱形的对角线互相垂直。
如图：四边形ABCD是菱形，所以
（4）直径所对的圆周角是
如图：AB是圆的直径，
（5）通过证线面垂直证线线垂直
注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。
（6）平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移
二、直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
三、两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
四、直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
2、直线与平面垂直的判定定理
五、平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的判定定理
2、平面与平面垂直的性质定理


题型一 四点共面
1．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面
【答案】证明见解析
【分析】如图，取的中点，连接，，由题可得四边形是平行四边形，进而可得，据此可完成证明.
【详解】如图，取的中点，连接，，
则，
在正方体中，，，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以，，，四点共面．
2．在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.

【答案】证明见解析
【分析】取中点，连接，，.先证明，再证明，即可证明.
【详解】取中点，连接，，，如图所示.
因为点是中点，所以.
因为点为的中点，所以，
因为，
所以，
因为，点是中点，所以G为HD的中点.
又点为的中点，所以为的中位线，
所以，
所以，，，四点共面.

3．如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面.在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

【答案】存在，证明见解析
【分析】由线面垂直的判定定理证明得平面，再由面面垂直的性质定理证明得平面，从而证明得，可得四点共面；
【详解】线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下：
连接，

∵四边形是菱形，，
又平面，平面，，
又，平面，平面，
连接，∵为的中点，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面.
，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行），
∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.
4．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体.
(1)证明：四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，由平行向量的坐标关系证得，即可证得四点共面；
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
且，平面，
所以平面，又，
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
易得，
则，
则，则，
即，所以四点共面.
5．如图，在多面体中，平面，，四边形为梯形，，，.

(1)若是的重心，证明：四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接并延长交于点，在棱上取点，使，连接，根据几何体的性质可得四边形、是平行四边形，进而可得，即证；
【详解】（1）如图，连接并延长交于点，在棱上取点，使，连接，
则，
又是的重心，所以，
所以且，又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
所以四点共面.


题型二 面面平行证明线面平行
【技巧通法·提分快招】
1．如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．

【答案】证明见解析
【分析】先通过选取辅助点,在上取一点,由线段平行证明线面平行，然后得到面面平行，利用面面平行的性质，即可得到∥平面.
【详解】证明：如图，

在上取一点，使得，连接，
因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，
所以，所以∥，∥，
因为∥，故∥．
因为平面平面，
所以∥平面∥平面，
因为平面，所以平面∥平面．
因为平面，所以∥平面．
2．如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面.
【答案】证明见解析.
【分析】由已知结合三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得可证得∥平面，∥平面，则可证得平面平面，从而可证得平面.
【详解】证明：在四棱锥中，分别为的中点，
所以∥，
因为为的中点，所以
因为 ，所以，
因为∥，所以四边形为平行四边形，
所以∥，所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为分别为的中点，所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面.
因为，平面，
所以平面∥平面.
因为平面，
所以∥平面.
3．如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？
【答案】存在
【分析】取中点，连接，连接，连接，借助面面平行的判定定理得平面平面，再利用面面平行的性质定理得平面，即得答案.
【详解】存在，为中点，证明如下：
取中点，连接，连接，连接，
因为为中点，
则是的中位线，，
因为平面，平面，所以平面，
因为
所以是直角梯形的高，，
因为平面，平面，所以平平面，
因为，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．

题型三 线面平行的性质定理
【技巧通法·提分快招】
1．如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：.
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行得到线面平行，再用线面平行证明线线平行.
【详解】因为为正方形，∴ ，
又∵ 平面，平面.
∴平面，
又 ∵平面，平面平面，
∴.
2．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】根据证明平面，利用线面平行的性质可得，从而可证平面.
【详解】因底面为平行四边形，故，
因平面，平面，故平面，
又因平面平面，平面，故，
因平面，平面，
故平面．
3．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点. 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明平面平面，得平面，再证即可；
【详解】（1）因为，平面，平面，故平面，
由矩形可得，平面，平面,故平面,
又 ，且平面，平面，故平面平面，
又因平面，故平面，
因平面，平面平面
所以，即；

题型四 线段成比例证明平行
【技巧通法·提分快招】
1．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且
(1)求证：平面
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接交于点，连接，利用相似比证明，由线面平行的判定定理证明即可;
【详解】（1）连接交于点N，连接，
设及，可知，
又，所以，所以在中有，
又平面，而平面，所以平面
2．如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【分析】（1）连接交于点,根据底面为菱形，因为为的重心，所以在上，可得，结合，根据线段成比例可得，所以平面.
（2）因为，所以平面,可得平面,，结合底面为菱形得所以平面,推得.
【详解】（1）如图所示，连接交于点,
底面为菱形，所以为的中点，
因为为的重心，所以在上，且，可得
，在中根据线段成比例可得，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，，因为点E在底面的投影恰好为的重心F．所以平面,可得平面,
因为平面，所以
因为底面为菱形，所以
因为是平面内两条相交直线，所以平面,
因为平面,所以.
3．（2025·福建三明·模拟预测）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，点，分别在线段，上，且．

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）若分别是上的点，且，连接，利用线面、面面平行的判定定理依次证明平面、平面、平面平面，再由线面平行的性质即可证结论；
【详解】（1）若分别是上的点，且，连接，
又，所以，即四点共面，
由平面，平面，则平面，
同理可证平面，又，且都在平面内，
所以平面平面，平面，故平面；


题型五 垂直问题中全等三角形条件突破
1．如图，直角三角形ABC所在平面外有一点，且，为斜边的中点.求证:平面.
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理证明即可.
【详解】证明如下：因为，为斜边的中点，
所以，
在直角中，有，已知，
所以，所以，即.
又平面，
所以平面.
2．（25-26高三上·河北·开学考试）如图，四棱锥中，平面，底面四边形为正方形，，点分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据三角形全等证得，再根据线面垂直得到，最后根据线面垂直的判定定理得证；
【详解】（1）证明：在正方形中，分别为的中点，
.
.
又平面平面
，又
平面
3．（24-25高三上·上海·期中）如图所示四棱锥，其中交于点.

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面.
【详解】（1）因为，
所以均在的垂直平分线上，所以，
因为，
所以，
因为，所以，
又因为平面平面，
所以平面，
4．（24-25高三上·湖北荆州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）通过证明，，证得线面垂直；
【详解】（1）证明：正方体中，
因为，分别为棱，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
正方形中，∵为的中点，为的中点，
∴，∴，
设、交点为，则，
∴，即；
又、平面，，
∴平面.

题型六 线面垂直证线线垂直
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·云南昆明·月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别是上的点，且．
(1)证明：
(2)已知四点共面，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接与，根据题意，分别证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，求得平面的一个法向量，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）证明：连接与，因为底面是正方形，所以，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：以为坐标原点，以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，所以，
又因为，则知分别是和上的三分点，
可得，
设，则，
设平面的法向量，则，
令，可得，所以，
因为平面，所以，即，解得，
所以的长为.
2．如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面．
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得．
【详解】（1）证明：由已知得，平面，平面，所以，
因为为底面圆的直径，所以，
因为，平面
所以平面，
又平面，所以.
3．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）如图，在四棱锥中，，，且.

(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用直角梯形特征证得，再利用线面垂直的判定性质推理得证.
【详解】（1）在直角梯形中，，，连接，
，，
则，，而，平面，
因此平面，又平面，所以.

4．（2025·山西太原·一模）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形．

(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）设是的中点，根据菱形的几何性质有，由面面垂直的性质定理可知平面，进而可证明平面，所以.
【详解】（1）证明：设是的中点，连结，，
∵平面，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵平面平面，∴平面，

∴，∴，，，共面，
∵四边形边长为2的菱形，，，
在中，，
∴，∴，
∵四边形为菱形，∴，∴，
∵，∴平面，∴．
5．（24-25高三下·内蒙古赤峰·开学考试）如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点.
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接，利用等边三角形的性质结合面面垂直可得平面，转化条件可得平面，由此可证明结论.
【详解】（1）如图所示，连接，
∵为等边三角形，，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∵，，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴.

题型七 面面垂直的性质定理
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，，与交于点O，平面平面，，，.

(1)证明：平面.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，，易证平面，再证四边形为平行四边形，得，得证；
【详解】（1）如图，取的中点，连接，.
因为，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为，分别为，的中点，所以，.
又因为，，
所以，，则四边形为平行四边形，
所以，从而平面.
2．（25-26高三上·浙江·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，且四棱锥的体积为．
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；
【详解】（1）作于，连接，
因为面面，面面，面，
所以面．
由题意，四边形为直角梯形，
所以．
因为，解得，
由，可知，
又因为，所以四边形为平行四边形，
，所以，
由于，面，
所以面．
因为面，所以．
3．（25-26高三上·广东湛江·月考）如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若点在图2中线段上，且，证明：平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）过点作，垂足为点，.取的中点，连接.由面面垂直的性质证得平面，并根据题设中的条件结合平面图形的性质求得于，即可求得四棱锥的体积；
（2）过点作∥交于点，连接.利用比例相等证得线线平行，进而证得平面平面，即可证得平面；
【详解】（1）如图，过点作，垂足为点，取的中点，连接.
由，可知.
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
由，，得，
.
在直角梯形中，因为，，
所以，，
.
所以四棱锥的体积为.
（2）过点作∥交于点，连接.
因为平面，平面，所以平面.
因为，所以四边形是平行四边形，则，所以，
所以，同理可证平面.
因为，所以平面平面.
又因为平面，所以平面.
4．如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据题干条件，结合勾股定理可证，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质及线面垂直的判定定理即可证明；
【详解】（1）∵，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
又平面，.
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
又平面，.
∵，，，平面，平面，∴平面.
又平面，.
5．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且.
(1)求证：平面；
(2)求的长度；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用面面垂直的性质得到线面垂直进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）通过证明平面，得到，进而得到，通过比例结合即可求得；
【详解】（1）因为底面为直角梯形，且，所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
过点可以作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知平面，平面，所以，
在梯形中，由∥,得，
所以，
所以∥，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以，
可得，
又因为，所以，即.

题型八 证面面垂直
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，．
(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理得到，进而证明出线面垂直，最后直接得到面面垂直；
【详解】（1）因为为的中点，，且，所以，
因为，，所以，即，
由，可得四边形是矩形，，
因为沿折起至的位置，所以，
由，，得，所以，
由，可得平面，
因为平面，所以平面平面.
2．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．

(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）设线段的中点为，线段的中点为，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证.
【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，
依题意，，则，由，得，
而，是梯形的中位线，于是，
而平面，则平面，
而平面，于是，又平面，且和相交，
因此平面，而平面，所以平面平面；

3．（24-25高三下·河南开封·月考）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.
(1)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用余弦定理先证，由面面垂直的性质得出，结合勾股定理及线面垂直的判定证明平面即可；
【详解】（1）连接，在中，，

所以由余弦定理可得，
则，，，
因为平面平面，，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以在中，，
又因为，
所以，
在中，，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
4．如图，在三棱锥中，且的中点分别为，且．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析，
【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证.
（2）法1，根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证；法二，根据给定条件，借助空间向量数量积，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
【详解】（1）在中，是的中点，则，同理，
因此，而平面，平面，所以平面.
（2）法一：由，，得，，
由勾股定理得，在中，由，
得，则，同理，
则，由，得，
则，即，又，得，
在中，，则，
于是，由平面，得平面，
又平面，所以平面平面.
法二：由，，得，
由勾股定理得，在中，由，
得，由，
得
得，又平面，得平面，
又由面，所以平面平面.
5．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解，
【详解】（1）由于，
故，则，
由于E为AC的中点，所以，
因为平面，
故平面，又平面，
故平面平面.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面；
【答案】证明见解析.
【分析】取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论；
【详解】在四棱锥中，取的中点，连接，
由分别是的中点，得，
又，则且，
而，，于是，且，
即四边形为平行四边形，则，
所以四点共面．
2．如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足.

(1)求证：B、E、G、F四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明两向量平行即可；
【详解】（1）是正方体，以点为原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示：

正方体的棱长为4，点E满足，
点F是的中点，点G满足，
所以，
，
因为，
所以，
所以B、E、G、F四点共面；
3．如图，已知四棱锥，平面，平面平面，，，．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）作于，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证.
【详解】（1）在平面内过作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则，
由平面，平面,得，
又平面，
所以平面.
4．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．证明：平面.
【答案】证明见解析
【分析】由证明平面,再证,即可证得平面.
【详解】证明：由题可知，平面，平面，平面．
又平面，平面平面， ．
又平面，平面，
平面.
5．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．

(1)求证：；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到；
（2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到；
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以.
（2）取的中点，连接，，

因为点分别为的中点，
所以，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面
所以.

6．如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】将放入一个平面，法一、法二：将放入一个与平面相交的平面，通过证明“线线平行”来证得“线面平行”；法三：将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”．
【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然．
因为是正方体，所以，，
又因为，，且，所以，
所以四边形是平行四边形，从而.
因为平面，平面，所以平面．
法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结．
因为是正方体，所以，．
又因为，所以，从而．
因为平面，平面，所以平面．
法三：如图，过点作交于点，连结，显然，
因为平面，平面，所以平面．
因为是正方体，所以，，
又因为，所以，故，
所以，从而，
因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面，且，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
7．如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．

【答案】证明过程见解析
【分析】作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行，面面平行，从而证明出线面平行.
【详解】在上取，使得，则，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，所以，则，
又中，，故，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.

8．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，，.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据勾股定理证得,由平面推得，根据线面垂直的判定定理可得平面，进而得到．
【详解】（1）因为，所以四边形为平行四边形，
.
在中，，.
由余弦定理可得，，
所以，所以为直角三角形，所以.
因为平面平面，所以，
因为平面平面，且，
所以平面，
因为平面，所以．
9．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面为正三角形，E，F分别是棱，的中点，点G在侧棱上，且．
(1)求证：∥平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例易得，再由线面平行的判定定理即可证明；
【详解】（1）如图，连接，交于点，设交于点，连接，
因为四边形为菱形，所以为线段的中点.
因为点E，F分别是棱，的中点，
所以点为线段的中点，所以.
又，所以.
又平面，平面，所以平面.
10．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.
(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先把问题转化为证明平面，然后只需证明和即可；
【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以，
在中，，所以，在中，，
在中， ，，，所以，
所以，又因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
11．在三棱台中，.证明：平面平面ABC．

【答案】证明见解析
【分析】根据三角形的边角关系可证明，，即可由线面垂直的判定以及面面垂直的判定求解.
【详解】过作，交AB于点O，连接CO，

在中，，
，
在中，，
所以为正三角形，所以，
在中，，
所以，所以，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，又平面，
所以平面平面ABC.
12．如图，点为半圆O圆弧上的两个三等分点，，，E为PD的中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，先证，利用线面平行的判定定理证得平面；
（2）先证，，结合得到平面PAC，得到，结合，根据线面垂直的判定定理得平面ACD，进而由线面垂直的性质得，再证平面BOE，即可证得平面平面.
【详解】（1）如图①，取PA的中点F，连接EF，BF，

又E为PD中点，则，，
因为B，C为半圆O圆弧上的两个三等分点，所以，，
所以，，所以四边形BCEF为平行四边形，
所以，
又平面PAB，平面，
所以平面PAB．
（2）如图②，连接OC，则，

由（1）可得，，所以四边形为菱形，则，
由题意得，
又，，AC，平面，
所以平面PAC，
又平面，
所以，
由E为PD的中点,O为AD的中点,得，
又，
∴，.
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
13．（23-24高三下·浙江·月考）如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面．
(1)求三棱锥的体积；
【答案】(1)2
【分析】（1）通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥的体积；
【详解】（1）由题意，平面平面，
且平面平面平面，
平面，
平面，，
又平面，
平面．
连接，平面平面，平面平面，，
，，．
三棱锥底面三角形的面积为
，高，
其体积为：．
14．如图，在四棱柱中，平面平面，，，，.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在线段上取一点，使得，连接，问题转化为，；
【详解】（1）如图：在线段上取一点，使得，连接，
因为，，，所以四边为正方形，
所以，，，，
又因为，，所以，所以，
又因为，，所以，
因为，，，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
由于且，，平面且必相交与一点，
所以平面.
15．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．

(1)求证：平面；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)当为中点时，平面平面，证明见解析.
【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面.
【详解】（1）因为，又为的中点，
所以为等边三角形，四边形为菱形，所以，
因为为的中点，所以，所以，即
连接，所以，
若使构成的四棱锥体积最大，则平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面；

（2）当为中点时，平面平面.
取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以平面平面，
由（1）得平面，又平面，所以平面平面，
所以平面平面.

16．如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且．
(1)证明：四点共面．
(2)证明：平面．
(3)若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，．
【分析】（1）利用中位线定理及确定平面的条件即可证明；
（2）利用线面平行的判定定理即可证明；
（3）根据面面平行的判定定理及性质定理即可求解.
【详解】（1）证明：如图1，连接．
因为分别是线段的中点，所以．
又，所以，所以，所以四点共面．
（2）证明：由（1）得．
因为平面，平面，所以平面．
（3）如图2，在线段上取一点，使得，
作，交于点，连接．
因为，，所以．
因为平面，平面，所以平面．
同理可证平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
因为，，所以，
因为，所以．
故在棱上存在一点，使得平面，且．
17．如图，三棱柱的各条棱长均为4，且平面，为的中点，，分别在线段和线段上，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设线段的中点，连接，，，易证为平行四边形，再证平面，结论得证;
（2）先求得三棱柱的体积，再求四棱锥和三棱锥的体积，利用三棱柱的体积减去四棱锥和三棱锥的体积可得结果.
【详解】（1）证明：取线段的中点，线段的中点，连接，，，
由题意可得.
因为为的中点，所以，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，则.
因为为的中点，所以，
因为平面，所以，则，
因为，所以平面，则平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：解法一：因为三棱柱的各条棱长均为4，且平面，
所以，，
因为，，所以，
所以的面积.
由（1）可得，
故三棱锥的体积，
所以几何体的体积为.
解法二：如图，连接，，
，
，
所以几何体的体积为.
18．如图，四棱锥，底面为菱形，，且均为锐角，，
(1)求证:
(2)当四棱锥体积为时，
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）过点作平面于，证明点在线段上，即可知平面，结合线面垂直的性质即可得出结果.
【详解】（1）过点作平面于，过分别作于两点，连结，
因为平面，则，又，平面，
所以平面，平面，则，
同理，
，且为公共边，
，，
在以及中，为公共边，，
即点在角平分线上，即，所以平面，
因为平面，平面，所以，
又底面为菱形，所以，平面，
平面，平面，
.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．如图在四棱锥中，，分别是的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若点F在棱上且满足，平面，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行；
（2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值.
【详解】（1）取的中点，连接.
因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，.
又因为平面，平面，所以平面

又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到，
又因为平面，平面，所以平面.
并且，平面，则平面平面，且平面，
所以平面.
（2）连接交于点，连接.
因为，所以.由，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得.
因为平面，平面，平面平面，
根据直线与平面平行的性质所以.
所以在中，.
因为，则.
又因为，即，所以.
2．已知三棱台如图所示，其中．若直线平面，且，求证：直线平面．

【答案】证明见解析
【分析】根据题意，由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得线面垂直；
【详解】依题意，，，，如图所示，延长三条侧棱交于点D；

由可得，，且分别为线段DA，DB，DC的中点，
取AB的中点M，则；
由可得，则，
又，；
，则，故，
即，而，且平面，故平面，
又平面，故平面平面；
而直线平面，，平面平面，
故直线平面；
3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，，，平面.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）先在底面梯形中证明对角线互相垂直，再由直线与平面垂直的判定定理可得；
【详解】（1）因为，所以在中，，，所以.
又底面为直角梯形，，所以且，
所以在中，，，所以.
故在中，，，
所以，且，，
因为在上单调递增，所以，即，
所以，得.
又因为平面，平面，所以.
因为，，平面，平面，，
故平面
4．如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，，，.将沿AD翻折至，如图2.点M在PD上.

(1)若M为PD中点，证明：平面MAC；
(2)若，且四棱锥与三棱锥的体积相等.证明：平面平面.；
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）连接相交于点，由题易证，再利用线面平行的判定即可证明；
（2）根据体积可得是靠近的三等分点，由勾股定理可得，结合，利用面面垂直的判定即可证明；
【详解】（1）连接相交于点，连接，
四边形为菱形，所以为中点，又M为PD中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为，，
所以，即是靠近的三等分点，
则，又，，，
所以，，
则，即，，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
5．如图，在多面体中，平面，，四边形为梯形，，，.

(1)若是的重心，证明：四点共面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接并延长交于点，在棱上取点，使，连接，根据几何体的性质可得四边形、是平行四边形，进而可得，即证；
（2）先确定为直线与平面所成角，进而可得，由，得，进而可得平面，进而可证.
【详解】（1）如图，连接并延长交于点，在棱上取点，使，连接，
则，
又是的重心，所以，
所以且，又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
所以四点共面.

（2）因为，
所以确定一个平面，
如图，连接，因为平面，
所以为直线与平面所成角，
则，
所以
所以，所以，
又，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以.
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
∥
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
线面平行性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
面面垂直性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_