重难点培优06 导数中的同构问题及其应用（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 双变量地位等同同构（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 指对同构：和差型（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 指对同构：乘积型（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 指对同构：商型（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题）（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 6
\l "_Tc326" 题型六 同构应用Ⅱ:比较大小（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 7
\l "_Tc11957" 题型七 同构应用Ⅲ:不等式证明（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 8
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 9
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 9
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 11
1、六大超越函数图像
2、同构问题
（1）双变量地位等同同构
①
构造为增函数
②
构造为减函数
③，等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可.
④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（2）指对同构（常见于指数、对数混合函数）
①积型：
注：在对“积型”同构时，同左同右取对数
②商型：
③和差型：
3、常见模型识记
（1）学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
且时，有；当且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
①
②
③
④
（2）其他常见结构
①；
②；
③
④；
（3）凑常数、参数、变量结构
若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
④
⑤


题型一 双变量地位等同同构
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围.
2．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：对且，都有．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，e为自然对数的底数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，对任意，都有，同时在上存在两个极值点m，n，求的取值范围.
4．（23-24高三下·辽宁朝阳·月考）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，对任意，且，使恒成立，求正实数的取值范围.

题型二 指对同构：和差型
【技巧通法·提分快招】
1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；

题型三 指对同构：乘积型
【技巧通法·提分快招】
1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)．

题型四 指对同构：商型
1．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．若，对任意恒成立，求a的取值范围.
3．若证明：

题型五 同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题）
1．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2025·云南·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·四川绵阳·月考）已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）.
A．B． C．D．
6．（24-25高三上·湖南常德·月考）若正实数是方程的根，则（ ）
A．B．1C．2D．
7．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高三下·河北邢台·月考）若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．

题型六 同构应用Ⅱ:比较大小
1．（24-25高三上·江西·期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知正数，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知实数满足，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选题）已知（且），若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）（多选题）已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．

题型七 同构应用Ⅲ:不等式证明
1．（2025·湖南·二模）已知函数
(1)证明：.
2．已知函数.
(1)若
①求函数的单调区间；
②求证：
(2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围.
3．（2024·贵州·模拟预测）已知函数.
(1)若在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)设.在（1）的条件下，若满足，求证：.
4．设函数．其中，e是自然对数的底数.
(1)若，求证：x >2；
(2)当时，恒成立，求a的最大值．
5．当时，证明

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三下·河北邢台·月考）若函数，且，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河北沧州·月考）已知函数，定义域为，在其定义域中任取（其中）都满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
4．（24-25高三下·河南南阳·月考）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5已知，向量与的夹角为，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，若对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
7．（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25高三下·湖北黄冈·月考）已知实数 满足，则 的值为（ ）
A．B．C．D．3
10．（2024·福建泉州·模拟预测）方程满足的正整数解的组数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数组
11．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
12．若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·四川成都·三模）若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
14．（23-24高三上·山西太原·月考）（多选题）已知且满足，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为2e
C．的最大值为D．的最小值为
15．（2025·安徽合肥·三模）（多选题）已知实数,满足,,，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
16．（多选题）已知实数且则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为 ．
18．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是 .
19．（2025·山西晋中·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围.
20．（24-25高三下·河南郑州·期中）已知函数.
(1)解不等式的解集；
(2)若满足关于的方程，求证；
(3)若是函数的零点，求使得不等式成立的整数的最小值.
21．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
22．设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
23．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（23-24高三上·湖南长沙·月考）若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
3．（23-24高三上·河南·期中）（多选题）已知实数m，n满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
5．（24-25高三上·河北衡水·月考）若正实数满足，则的最小值为 .
6．（23-24高三上·山西运城·期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.
表达式
图像
极值点
对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解.
加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
如
乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
如