2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点08导数中的同构问题(学生版+解析)

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\l "_Tc11374" 【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】 PAGEREF _Tc11374 \h 2
\l "_Tc27836" 【题型2 同构：利用f(x)与ex构造函数】 PAGEREF _Tc27836 \h 3
\l "_Tc6082" 【题型3 同构：利用f(x)与sinx，csx构造函数】 PAGEREF _Tc6082 \h 3
\l "_Tc26895" 【题型4 指对同构问题】 PAGEREF _Tc26895 \h 4
\l "_Tc31606" 【题型5 同构应用——比较大小】 PAGEREF _Tc31606 \h 5
\l "_Tc30983" 【题型6 同构应用——解决不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc30983 \h 5
\l "_Tc19190" 【题型7 同构应用——证明不等式】 PAGEREF _Tc19190 \h 6
\l "_Tc31354" 【题型8 与零点有关的同构问题】 PAGEREF _Tc31354 \h 7
1、导数中的同构问题
导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，导数中的同构问题经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，难度较大，复习是要加强这方面的训练.
知识点1 导数中的同构问题的解题策略
1．导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，主要有以下几种类型：
(1)利用f(x)与x构造函数
①出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
②出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数.
(2)利用f(x)与ex构造函数.
(3)利用f(x)与sinx，csx构造函数.
2．同构式的应用
(1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.
(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
知识点2 指对同构问题
1．指对同构解决不等式问题
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
.
(2)三种基本模式：
三种同构方式
①积型：
②商型：
③和差型：
【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】
【例1】（2025·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xf′(x)−2的解集是（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
【变式1-1】（2025·吉林·二模）已知函数fx的定义域为−∞,0，其导函数f′x满足xf′x−2fx>0，则不等式fx+2024−x+20242f−10，则使得不等式x−2025⋅fx−2025>1成立的x的取值范围是（ ）
A．2026,+∞B．−∞,−2026∪2026,+∞
C．2025,+∞D．−∞,−2025∪2025,+∞
【变式1-3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知fx为定义在−∞,0∪0,+∞上的偶函数，已知f1=0，当x>0时，有2fx−xf′x>0，则使fx>0成立的x的取值范围为（ ）
A．−∞,−1∪0,1B．−1,0∪1,+∞
C．−∞,−1∪1,+∞D．−1,0∪0,1
【题型2 同构：利用f(x)与ex构造函数】
【例2】（2025·四川德阳·三模）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，且x−2f′x−fx>0，f4−x=fxe4−2x，则不等式e3flnx0，则不等式xflnx0，则f2−x=fxe2x−2，不等式flnxe20成立．若f−1=−1，则不等式fx0)存在零点，则t的取值范围为（ ）
A．0,1eB．1，+∞C．1e,eD．0,e
【变式4-2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数fx=alnx+x−x,gx=ex−xaexa∈R.
(1)若a=−12，求fx的极值；
(2)证明：对于满足不等式gx00.
【变式4-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数fx=x+alnx−xa，a∈R.
(1)当a=2时，求fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若不等式fx+1ex≥0对x∈1,+∞恒成立，则实数a的最小值.
【题型5 同构应用——比较大小】
【例5】（24-25高二下·浙江·期中）设f′x是函数fx定义在0,+∞上的导函数，满足x2f′x+2xfx=1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．fee2>fe2eB．f29>f34
C．f2e2