2026年高考数学一轮复第04讲直线、平面垂直的判定与性质(专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 有关垂直命题的判断
题型02 线面垂直的判定与性质
题型03 面面垂直的判定
题型04 面面垂直的性质
题型05 几何法求线面角
题型06 几何法求面面角
题型07 线面垂直的探索性问题
题型08 面面垂直的探索性问题
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练

01 有关垂直命题的判断
1．设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
2．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（多选）直线与平面相交于点，点在直线上，，是平面内的任意两点，，，，不重合，且，，三点不共线，下列说法正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．平面内一定存在直线平行于平面
C．平面内一定存在直线垂直于平面
D．若平面垂直于平面和平面，则
02 线面垂直的判定与性质
5．在长方体中，，．给出下列四个结论：
①；②；③平面；④平面．
其中正确的结论是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
6．如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，E，F分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
8．《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
9．在直三棱柱中，已知为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若，，，证明：平面．
03 面面垂直的判定
10．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，分别为的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中所有正确命题的序号是 .
①直线与直线异面；
②直线与直线异面；
③直线平面；
④平面平面.
11．如图，在四棱锥中，平面平面，且．四边形满足．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点．
(1)求证：平面平面；
12．如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，，，.将沿AD翻折至，如图2.点M在PD上.

(1)若M为PD中点，证明：平面MAC；
(2)若，且四棱锥与三棱锥的体积相等.证明：平面平面.；
13．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为BC，的中点，平面ADE与棱相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求证：平面平面；
14．如图，在正方体中.

(1)求证：平面；
(2)若平面，求证：平面平面.
04 面面垂直的性质
15．如图1，在五边形中，，，，，．将沿折起，使平面平面，如图2．
(1)证明：平面．
16．如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且平面.求三棱锥的体积.
17．在三棱柱中，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．求证：．
18．在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明：．
19．如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.

(1)设为棱的中点，证明：，，，四点共面；
(2)若，求六面体的体积.
05 几何法求线面角
20．如下图，在矩形中，，，为的中点，沿将折起到的位置，使平面平面．为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
21．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证：
(1)平面；
(2)
(3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角.
22．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值.
23．如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的直径，，为底面圆周上一点，且，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
06 几何法求面面角
24．我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
25．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
26．如图，一个水平放置的边长为的等边三角形绕着中心点O逆时针旋转，再沿竖直方向平移一定距离后，连接，，，，，，此时侧面三角形，，，正好都是等边三角形.
(1)证明：平面平面.
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
27．如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为．
(1)证明：平面；
(2)当时，求二面角的正切值；
07 线面垂直的探索性问题
28．如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．
29．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求二面角的大小；
(3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面．
30．如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点．
(1)证明：∥平面CEG．
(2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值．
31．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（biena）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
08 面面垂直的探索性问题
32．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．

(1)求证：平面；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论．
33．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，且平面平面．
(1)求证：．
(2)若为中点，试在上找一点，使平面平面．
34．如图，四棱锥中，平面，，底面是矩形，且，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

1．如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（ 2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）在正三棱台中，，，，分别是，，，的中点，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．平面
C．平面D．若，则平面
4．（ 2025·吉林·模拟预测）（多选）如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为O，顶点到的距离分别为，则（ ）
A．平面B．O到平面的距离为1
C．平面平面D．正方体的棱长为
5．如图，点P是正方体的面对角线上一点，对任意的点P，有以下四个结论：
①点P到直线的距离不变；②平面；③；④平面平面．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有你认为正确结论的序号）
6．如图所示，平面为圆柱的轴截面，C为底面圆周上异于A，B的任意一点.D为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若C为的中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且，，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，．
(1)求证：面．
(2)若直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角P-AB-D的余弦值．
8．（ 2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为.
(1)在四棱锥中，求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的大小.
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
5．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．
(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
7．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.