2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用7.4　直线、平面垂直的判定与性质(6大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用7.4　直线、平面垂直的判定与性质(6大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共6页。
\l "_Tc213356056" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc213356056 \h 3
\l "_Tc213356057" 一、直线与平面垂直的定义 PAGEREF _Tc213356057 \h 3
\l "_Tc213356058" 二、直线与平面垂直的判定定理 PAGEREF _Tc213356058 \h 3
\l "_Tc213356059" 三、直线与平面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc213356059 \h 3
\l "_Tc213356060" 四、平面与平面垂直的定义 PAGEREF _Tc213356060 \h 4
\l "_Tc213356061" 五、平面与平面垂直的判定定理 PAGEREF _Tc213356061 \h 4
\l "_Tc213356062" 六、平面与平面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc213356062 \h 5
\l "_Tc213356063" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc213356063 \h 6
\l "_Tc213356064" 题型一：垂直关系的判定 PAGEREF _Tc213356064 \h 6
\l "_Tc213356065" 题型二：证明两直线垂直 PAGEREF _Tc213356065 \h 6
\l "_Tc213356066" 题型三：证明直线与平面的垂直 PAGEREF _Tc213356066 \h 9
\l "_Tc213356067" 题型四：证明平面与平面的垂直 PAGEREF _Tc213356067 \h 11
\l "_Tc213356068" 题型五：面面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc213356068 \h 14
\l "_Tc213356069" 题型六：综合应用 PAGEREF _Tc213356069 \h 16
\l "_Tc213356070" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc213356070 \h 19
\l "_Tc213356071" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc213356071 \h 21
\l "_Tc213356072" ①数形结合 PAGEREF _Tc213356072 \h 21
\l "_Tc213356073" ②转化与化归 PAGEREF _Tc213356073 \h 21
\l "_Tc213356074" ③分类讨论 PAGEREF _Tc213356074 \h 22
\l "_Tc213356075" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc213356075 \h 24
\l "_Tc213356076" 基础过关篇 PAGEREF _Tc213356076 \h 24
\l "_Tc213356077" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc213356077 \h 29
1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
2、掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、直线与平面垂直的判定定理
三、直线与平面垂直的性质定理
四、平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、平面与平面垂直的判定定理
六、平面与平面垂直的性质定理
题型一：垂直关系的判定
【例题1】已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【例题2】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，，B．，，
C．，D．，
【解题总结】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式1】已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【变式2】下列四个命题
①直线不平行于平面，则平面内不存在与平行的直线；
②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件；
③平面平面，过内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面；
④空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
【变式3】已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
题型二：证明两直线垂直
【例题3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.

(1)证明：；
(2)若，求的值.
【例题4】已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)设棱与平面交于点，求的值．
【解题总结】
【变式4】如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形.

(1)证明：；
(2)在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.
【变式5】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nà）.如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC.

(1)判断几何体是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若H是PB上的点，且，请直接写出图中所有和AH垂直的棱；
(3)求证：不可能为和的等比中项.
【变式6】如图，四棱锥中，，平面平面，，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的取值范围．
题型三：证明直线与平面的垂直
【例题5】已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【例题6】如图，是以为直径的圆O上异于的点，平面平面，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l.
(1)求证：直线平面；
(2)直线l上是否存在点Q，使直线分别与平面､直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题总结】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
【变式7】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【变式8】如图，在五面体中，四边形是正方形，平面， ，.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)证明:平面.
【变式9】如图，在三棱锥中，，，．
(1)求证：；
(2)若点为的重心，求证：直线不垂直于平面；
(3)请直接写出三棱锥的体积（不用写求解过程）．
题型四：证明平面与平面的垂直
【例题7】《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体，如图所示，在“羡除”中，底面是边长为2的正方形，,.
(1)证明：平面平面；
(2)求“羡除”F的体积
【例题8】如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面.
【解题总结】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【变式10】如图1，在高为的直三棱柱中，为棱的中点，沿平面切割后得到四棱锥，如图分别为棱的中点，．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【变式11】如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：

(1)平面；
(2)平面平面.
【变式12】如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
题型五：面面垂直的性质定理
【例题9】如图1，在平面四边形PDCB中，，，，，将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示，点Q是线段SC的中点．

(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：；
(2)求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值；
(3)设点M是线段SA的中点，点N在线段SD上，且，判断直线BQ是否在平面BMN内，并说明理由．
【例题10】如图，已知是正方形，平面底面，，其中、分别是、的中点．

(1)求证：平面．
(2)判断与平面的关系，并证明你的结论．
(3)判断与是否垂直，并说明你的理由．
【解题总结】
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式13】如图，四棱锥中，，．
(1)证明：平面；
(2)若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
(3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.
【变式14】如图，六面体中，四边形为菱形， ， ， ，且平面 平面.

(1)在 上确定一点 ，使得 平面 ；
(2)若 ，求六面体的体积
【变式15】在菱形中，为线段的中点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点（如图2），连接.
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
题型六：综合应用
【例题11】如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.
(1)当时，证明：直线平面；
(2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【例题12】如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点．
(1)当是线段的中点时，求证：平面．
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解题总结】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
【变式16】在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．

(1)求证：平面；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论．
【变式17】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．

(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)在侧面内找一点，使平面．
【变式18】如图，长方体中，，，点P为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值；
(3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.
1．已知四棱锥的底面ABCD是梯形，，，为等边三角形，平面底面
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，求四棱锥的体积．
2．如图，直三棱柱中，，，，P为的中点．
证明：平面；
设E为BC的中点，线段上是否存在一点Q，使得平面？若存在，求四棱锥的体积；若不存在，请说明理由．
3．如图，在三棱柱中，，，，
求证：平面平面；
若平面平面，，求三棱柱的体积．
①数形结合
1．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为
A．B．C．D．
2．如图，已知在中，，D是BC边上一点，且，将沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为
A．B．C．D．
3．如图，在正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是
A．B．C．D．
②转化与化归
4．三棱锥中，平面BCD，若，，则该三棱锥体积的最大值为
A．2B．C．1D．
5．如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得面面BCDE，则点到直线DB的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方体的棱长为1，点M在正方体内包含表面运动，若，则动点M的轨迹所形成区域的面积是
A．B．C．D．
③分类讨论
7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为
A．1B．2C．D．
8．如图，已知正四棱锥中，AB在平面内，正四棱锥可绕着AB任意旋转，平面若，则正四棱锥顶点V在平面内的投影H到CD的距离的取值范围是 ．
9．， 是两个不同的平面，m，n是平面及 之外的两条不同直线，给出四个论断：① ② ③ ④以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
基础过关篇
1．已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
2．已知是平面，是直线，给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若是异面直线，那么与相交；
④若，则且
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．给定下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．垂直于同一直线的两条直线互相平行
C．若直线和直线平行，且平面，则
D．若两个平面相交，那么其中一个平面内与两平面的交线不垂直的直线与另一个平面一定不垂直
4．已知直线，平面给出下列命题：
①若，且，则；
②若，且，则；
③若，且，则；
④若，且，则.
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知m ， n为异面直线，，直线l满足（α，β均为平面）则（ ）
A．，且 B．，且
C．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l
6．如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
7．已知为线段上的点，且，若到平面距离分别为1和3，则到的距离为 ．
8．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
9．如图，在长方体中，已知.

(1)证明:平面平面；
(2)已知点是线段上的动点，求四面体的体积.
10．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
11．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
12．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
13．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)证明：平面平面．
14．如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，，，M为中点．底面为等腰三角形，，O为BC的中点．
(1)证明：平面平面AOM；
(2)若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
能力拓展篇
1．已知为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（多选题）已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（ ）
A．，，三点共线B．
C．平面D．平面
3．在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为 .
4．如图，直三棱柱中，侧棱长为4，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为 .
5．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，，，，为侧棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
6．如图1，在直角梯形中，，，，E是的中点，将矩形沿折起，如图2，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若点F在线段上，求点F到平面的距离；
7．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．

(1)求证：；
(2)若为线段上一动点，，求的最小值．
8．在三棱柱中，侧面为矩形，平面，是棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
9．如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.
(1)证明：；
(2)求点到平面BDE的距离；
10．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？
11．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
12．如图，设直线是平面的一条斜线，与平面交于点是在平面上的投影．平面内过点的另一条直线与的夹角为，若与所成的角为，求与所成角．
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
7.4 直线、平面垂直的判定与性质
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc213356055" 01 课标要求 PAGEREF _Tc213356055 \h 2
\l "_Tc213356056" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc213356056 \h 3
\l "_Tc213356057" 一、直线与平面垂直的定义 PAGEREF _Tc213356057 \h 3
\l "_Tc213356058" 二、直线与平面垂直的判定定理 PAGEREF _Tc213356058 \h 3
\l "_Tc213356059" 三、直线与平面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc213356059 \h 3
\l "_Tc213356060" 四、平面与平面垂直的定义 PAGEREF _Tc213356060 \h 4
\l "_Tc213356061" 五、平面与平面垂直的判定定理 PAGEREF _Tc213356061 \h 4
\l "_Tc213356062" 六、平面与平面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc213356062 \h 5
\l "_Tc213356063" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc213356063 \h 6
\l "_Tc213356064" 题型一：垂直关系的判定 PAGEREF _Tc213356064 \h 6
\l "_Tc213356065" 题型二：证明两直线垂直 PAGEREF _Tc213356065 \h 8
\l "_Tc213356066" 题型三：证明直线与平面的垂直 PAGEREF _Tc213356066 \h 14
\l "_Tc213356067" 题型四：证明平面与平面的垂直 PAGEREF _Tc213356067 \h 20
\l "_Tc213356068" 题型五：面面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc213356068 \h 25
\l "_Tc213356069" 题型六：综合应用 PAGEREF _Tc213356069 \h 32
\l "_Tc213356070" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc213356070 \h 40
\l "_Tc213356071" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc213356071 \h 46
\l "_Tc213356072" ①数形结合 PAGEREF _Tc213356072 \h 46
\l "_Tc213356073" ②转化与化归 PAGEREF _Tc213356073 \h 48
\l "_Tc213356074" ③分类讨论 PAGEREF _Tc213356074 \h 51
\l "_Tc213356075" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc213356075 \h 55
\l "_Tc213356076" 基础过关篇 PAGEREF _Tc213356076 \h 55
\l "_Tc213356077" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc213356077 \h 65
1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
2、掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、直线与平面垂直的判定定理
三、直线与平面垂直的性质定理
四、平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、平面与平面垂直的判定定理
六、平面与平面垂直的性质定理
题型一：垂直关系的判定
【例题1】已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由得：
存在，满足，
若，则直线垂直平面中任意一条直线，
，，，，
，，，是否相交不确定，不一定成立，
“，”是“”的必要不充分条件．
故选：B
【例题2】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，，B．，，
C．，D．，
【答案】D
【解析】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误；
对于B：当时，则，，，故B错误；
对于C：满足，，则或，故C错误；
对于D：由，,故D正确.
故选：D.
【解题总结】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式1】已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【解析】对于A，若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误；
对于B，若，设，，，则．
又，则．
因为，，则，
所以，故B正确；
对于C，若，，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误；
对于D，若，，则，或，故D错误．
故选：B．
【变式2】下列四个命题
①直线不平行于平面，则平面内不存在与平行的直线；
②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件；
③平面平面，过内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面；
④空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】A
【解析】对于①，已知直线不平行于平面，那么直线与平面相交.
理由：假设平面内存在与平行的直线，根据直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，
就会得出，这与已知条件矛盾，所以平面内不存在与平行的直线，命题①正确；
对于②，若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等，
所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等；
但是两直线与同一平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面，
因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，命题②正确；
对于③ ，根据面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.这里强调的是过内的任意一点作交线的垂线，
此垂线必须在平面内才垂直于平面，而题中的垂线不一定在平面内，故命题③错误；
对于④，如图，过平面内一点作于点，点()，连接，
过平面内一点作于点，点()，连接，
则，而，，故，
但是和大小关系不确定，故命题④错误.
综上所得，①②正确.
故选：A.
【变式3】已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】若，则或或或，故A错误；
若，则或，故B错误；
若，在内作，所以，又，所以，
又，所以，所以，故C正确；
若，则或或为异面直线，故D错误.
故选：C.
题型二：证明两直线垂直
【例题3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.

(1)证明：；
(2)若，求的值.
【解析】（1）∵平面，平面，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴.
（2）由（1）可知，又，，
平面，平面，∴平面，∵平面，
∴，由（1）可知，在中，，∴，
则与相似，则，在中，，，
∴，∴，
∴.
【例题4】已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)设棱与平面交于点，求的值．
【解析】（1）证明：取中点，连，
，是的中点，
，,
由于平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
，平面,
平面平面，
平面，直线平面；
（2）因为，所以，又，所以，
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又平面，
所以，
（3）作点满足，则,,,四点共面，
又，所以，
所以四边形是平行四边形，则，又，
所以，即，，，四点共面，平面平面，
则与平面的交点必定在上，
所以与的交点即为与平面的交点，
所以，所以，
【解题总结】
【变式4】如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形.

(1)证明：；
(2)在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.
【解析】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
是正三角形，，则，
，
平面，平面，
平面.
（2）由（1）知平面，
平面平面平面，
以为原点，方向为轴，方向为轴，
过作垂直于平面的线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以
不妨设，
，解得，
，
设，
则，
易知，平面的一个法向量为，
与平面成角，
解得，故当时，与平面成角.
【变式5】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nà）.如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC.

(1)判断几何体是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若H是PB上的点，且，请直接写出图中所有和AH垂直的棱；
(3)求证：不可能为和的等比中项.
【解析】（1）几何体是鳖臑，理由如下：
因为平面ABC，平面ABC，则，
所以均为直角三角形，
又因为，故是直角三角形，
且，，，平面，
则平面，由平面可得，可知为直角三角形，
即四个面都为直角三角形，所以几何体是鳖臑.
（2）由（1）知：平面，由平面可得，
因为，，平面，可得平面，
且平面，则，
由棱不在平面内，可知棱不与AH垂直，
所以与AH垂直的棱有.
（3）由（1）可知：，，，
则，，，
因为，
且，则，
可得，
所以不可能为和的等比中项.
【变式6】如图，四棱锥中，，平面平面，，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）由，且平面，平面，
故平面，设平面平面，
由平面，则，又，则，
又平面平面，平面，
故平面，又平面，故；
（2）连接，由，，，
则，
则有，故，又，故，
则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、，
设，则，，
有，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则有，取，则，
有，取，则，
由平面平面，则，
由，则，
化简得，由，
故，故或，
当时，，则，
由，且，则，故，
故；
当时，，；
综上所述：的取值范围为.
题型三：证明直线与平面的垂直
【例题5】已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【解析】（1）取中点，连接，因为分别为的中点，
所以，且，
因为四边形是正方形，是的中点，所以，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）连接，交于点，连接，
因为，是的中点，所以，
又因为四边形是正方形，所以，
又，平面，所以平面；
（3）因为是中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以，
因为四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，
所以四棱锥为正四棱锥，所以到平面的距离为，
因为，所以，
又，所以，
所以.
【例题6】如图，是以为直径的圆O上异于的点，平面平面，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l.
(1)求证：直线平面；
(2)直线l上是否存在点Q，使直线分别与平面､直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：因为E，F分别是的中点，所以，
又因为平面，不包含于平面，所以平面，
又因为平面ABC，平面∩平面，所以，
又由，平面∩平面AC，且平面平面，所以平面，
因为，故⊥平面. .
（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，，
设，平面的法向量为，则，
取，得，
又由，
所以，，
根据题意，可得，即，
解得，
所以直线上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，且.
【解题总结】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
【变式7】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【解析】（1）如图所示，取的中点，连接，
因为是的中点，所以且，
又因为四边形为正方形，所以且，
因为为的中点，可得，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）因为底面，平面，所以，
因为四边形为正方形，可得，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，可得，
又因为且为的中点，所以，
因为，且平面，所以平面，
由（1）知，所以平面.
【变式8】如图，在五面体中，四边形是正方形，平面， ，.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)证明:平面.
【解析】（1）因为四边形是正方形，所以．
故为异面直线与所成的角．
因为平面，平面，所以．故．
在中， ， ，故．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2）证明：过点作，交于点，
则．由，可得，
从而，又，所以平面.
【变式9】如图，在三棱锥中，，，．
(1)求证：；
(2)若点为的重心，求证：直线不垂直于平面；
(3)请直接写出三棱锥的体积（不用写求解过程）．
【解析】（1）在三棱锥中，取中点，连接，由，得，
由，及余弦定理，得,
则，而平面，因此平面，
而平面，所以.
（2）由，得是正三角形，，，
由点为的重心，得直线，且，则是等腰的底边，
因此是锐角，即与不垂直，而平面，
所以直线不垂直于平面.
（3）由（2）知，在中，由余弦定理得，
则，的面积，
由（1）知，平面，所以三棱锥的体积.
题型四：证明平面与平面的垂直
【例题7】《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体，如图所示，在“羡除”中，底面是边长为2的正方形，,.
(1)证明：平面平面；
(2)求“羡除”F的体积
【解析】（1）分别取的中点，连接，
因为，且，则，，
同理可得，
又因为，所以，
因为底面ABCD是边长为2的正方形，则，且，
且，则，
分别作，，垂足分别为，连接，
则，可得，且，
可知四边形为平行四边形，则，
且，，则，
可得，即，
又因为，平面，可得平面，
且平面，所以平面平面.
（2）根据题意结合对称性可得：，，
且，平面，可得平面，
同理可得：平面，
则“羡除” 可分为两个全等的三棱锥、和直三棱柱，
因为，，则，
所以“羡除”ABCDEF的体积.
【例题8】如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面.
【解析】由题可知，和都是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以，
在中，为中点，，所以，
又，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
【解题总结】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【变式10】如图1，在高为的直三棱柱中，为棱的中点，沿平面切割后得到四棱锥，如图分别为棱的中点，．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）分别为棱的中点，
，
又平面，平面，
所以平面.
（2）在直三棱柱中，平面，
平面，所以，
因为，为中点，
所以，
又因为平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面
（3）如图所示：
以为原点，为轴，为轴，过且平行于的直线为轴，
建立空间直角坐标系
在中，因为直三棱柱的高为，
所以，且,
因此，所以，由
那么，
所以
，
设平面的法向量为，则
，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为,
,
所以直线与平面所成角的正弦值.
【变式11】如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：

(1)平面；
(2)平面平面.
【解析】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以是中点，
又因为是中点，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以，所以，
因为，且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【变式12】如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【解析】（1）设与交于点，连接，
在正方体中，为的中点，
又为的中点，则，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）在正方体中，，
由平面，而平面，所以，
因为，且平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
题型五：面面垂直的性质定理
【例题9】如图1，在平面四边形PDCB中，，，，，将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示，点Q是线段SC的中点．

(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：；
(2)求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值；
(3)设点M是线段SA的中点，点N在线段SD上，且，判断直线BQ是否在平面BMN内，并说明理由．
【解析】（1）依题意，，因为，所以，
由于平面平面，且平面平面，平面ABCD，
所以平面SAB，
因为l是平面SDC与平面SAB的交线，所以平面SAB，故．
（2）由（1）知，平面SAB，则平面SAB，而，
以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意可得，，，，，，
所以，，
设平面SCD的一个法向量为，
则，即，令，可得，
易得平面SAB的一个法向量为，
设平面SCD与平面SAB所成角为，
则，
即平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为.
（3）由M是SA中点，故，
又N在SD上，且，，则，
所以可得N点坐标为，如图所示，
又，，
设平面BMN的一个法向量为，
则，即，令，可得，
又，所以，
则不与平面BMN的法向量垂直，即BQ不在平面BMN内．
【例题10】如图，已知是正方形，平面底面，，其中、分别是、的中点．

(1)求证：平面．
(2)判断与平面的关系，并证明你的结论．
(3)判断与是否垂直，并说明你的理由．
【解析】（1）由是正方形，则，又平面底面，
平面底面，平面，则平面；
（2）平面，证明如下：
由、分别是、的中点，则，
平面，平面，则平面；
（3）与不垂直，理由如下：
若，而，且平面，
所以平面，平面，则，
而在中，显然有矛盾，故与不垂直.
【解题总结】
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式13】如图，四棱锥中，，．
(1)证明：平面；
(2)若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
(3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.
【解析】（1）在平面ABCD中，因为，，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，所以外心为AC中点，
故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设，
又因为，所以，故，所以，
所以，又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，所以，，设平面PAD的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，
所以，所以，所以
又因为，，且，
所以，所以或
当时，，
当时，，
故.
【变式14】如图，六面体中，四边形为菱形， ， ， ，且平面 平面.

(1)在 上确定一点 ，使得 平面 ；
(2)若 ，求六面体的体积
【解析】（1）当为的中点时，平面．
再取的中点为，连接
由分别为的中点，则，且，
再由，且，则，
故四边形为平行四边形，
即，且平面，平面，
故平面；
（2）取的中点为，连接，
由四边形为菱形得，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，由平面得，
故由得，
由平面得平面，
且平面，则平面平面，
由且为的中点得，
因为平面平面，平面，所以平面，
由得，
为正三角形，则，
所以.
【变式15】在菱形中，为线段的中点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点（如图2），连接.
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【解析】（1）证明：如图，取线段的中点，连接，
因为在中，分别是线段的中点，
所以.
因为为线段的中点，菱形中，，
所以，
所以，
则四边形为平行四边形，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
（2）在菱形中，因为为线段的中点，
所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，所以是三棱锥的高.
而，则，，
则，
所以三棱锥的体积，
所以.
题型六：综合应用
【例题11】如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.
(1)当时，证明：直线平面；
(2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系，
则、、、，，
所以，，则，故，即，
又平面，平面，因此平面；
（2）由（1）知、、、、，
设平面的一个法向量为，，，
由，可得，取，则，
设平面的一个法向量为，，，
由，可得，取，则，
当平面平面时，则.
所以，整理可得，，解得.
所以当时平面平面.
【例题12】如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点．
(1)当是线段的中点时，求证：平面．
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图，取的中点，连结．
因为是线段的中点，所以，
结合得，所以四点共面．
又因为，所以，
由平面得．
又因为平面，平面，，
所以平面．
（2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点．
由平面得，
结合平面，可得平面，
从而平面平面，即平面平面．
在中，，设，则，，，
所以．
设，
因为三点共线，所以，解得．
所以，故．
【解题总结】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
【变式16】在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．

(1)求证：平面；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论．
【解析】（1）因为，又为的中点，
所以为等边三角形，四边形为菱形，所以，
因为为的中点，所以，所以，即
连接，所以，
若使构成的四棱锥体积最大，则平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面；
（2）当为中点时，平面平面.
取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以平面平面，
由（1）得平面，又平面，所以平面平面，
所以平面平面.
【变式17】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．

(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)在侧面内找一点，使平面．
【解析】（1）如图，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则.
易得，，且．
设与的夹角为，所以，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
（2）由（1）得，，，且易得，
又为的中点，所以．
由于点在侧面内，可设其坐标为，其中，
则．
又平面，则，即，
解得，所以点．
所以当点的坐标为时，满足平面．
【变式18】如图，长方体中，，，点P为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值；
(3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故，
又，则底面为正方形，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故平面平面；
（2）令，连接、，由长方体性质可得，
则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，
由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角，
，，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为；
（3）存在，且，即点与重合，连接、、，
则，
，
，
有，故，
由平面，平面，故，
又，、平面，故平面，
故在直线上存在点Q使得平面，且.
1．已知四棱锥的底面ABCD是梯形，，，为等边三角形，平面底面
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，求四棱锥的体积．
【答案】解：Ⅰ证法一：在平面APD内，过点P作于点M，
平面底面ABCD，平面平面，且底面ABCD，
底面ABCD，
又平面，，
，，，
又，平面，平面，
平面APD，
又平面，；
证法二：，，
，又平面底面ABCD，
平面平面，平面，平面APD，
又平面，；
Ⅱ是边长为2的等边三角形，
由Ⅰ知PM为四棱锥的高，
又，
2．如图，直三棱柱中，，，，P为的中点．
证明：平面；
设E为BC的中点，线段上是否存在一点Q，使得平面？若存在，求四棱锥的体积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：解法一：证明：在中，，，，
，又直三梭柱中，，则为正方形，
设交于点O，则O为的中点，且连接PA，，PO，
侧棱底面ABC，P为的中点，则，，故，
，且PO，平面，平面
当Q为中点，即点Q与点O重合时，平面理出如下：
连接，为BC的中点，则，
平面，半面，平面
此时，Q到平面的距离等于B到平面的距离的一半，
又，
解法二：证明：在中，，，，，
又直三棱柱中，，则为正方形，
设交于点O，则O为的中点，且
连接交BP于F点，在直三棱柱中，平面ABC，
平面ABC，又，，BC，平面，
平面，
平面，，在矩形中，P为的中点，则，，
由得∽，，
，，，故，
又，，AC，平面，平面，
平面，
又，，，平面，平面
当Q为中点，即点Q与点O重合时，平面理由如下：
取AB中点M，连接QM，ME，又，，
平面，平面，平面
同理可得平面
又，ME，平面QME，平面平面，
又平面QME，平面
此时，Q到平面的距离等于E到平面的距离，
在直三棱柱中，平面ABC，
平面ABC，，又，，AC，平面，平面，为四棱锥的高，
解法三：证明：在中，
，，，，
设交于点O，在直三棱柱中，，为正方形，
为中点，且连接PA，，PO，
侧棱底面ABC，P为的中点，则，，故，
同理可得又，，平面，平面
平面，平面平面
平面平面，平面，
平面
同方法一．
3．如图，在三棱柱中，，，，
求证：平面平面；
若平面平面，，求三棱柱的体积．
【答案】证明：因为，，所以D为AB的中点，
连接由于，，故为等边三角形，
所以
又因为，，平面，，
所以平面
又因为平面ABC，所以平面平面
解：法一：因为平面平面，平面平面，
平面ABC，
所以平面
由，得是等边三角形，则；
由是等边三角形，得，
所以
连接，由于和都是平行四边形，
所以，，
所以，
于是
法二：由，得，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面
由是边长为2的等边三角形，得
由，得是等边三角形，则，
于是

①数形结合
1．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：在三棱锥中，如图，，则，同理，
而，AB，平面ABC，因此平面ABC，
在等腰中，，，则，
，
令的外接圆心为，则平面ABC，，
有，取PA中点D，连接OD，则有，又平面ABC，即，
从而四边形为平行四边形，，又，
因此O的半径，
所以球O的表面积
2．如图，已知在中，，D是BC边上一点，且，将沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：如图所示，过点B作，分别交于点，
则动点P在平面ADC上的射影轨迹为线段EF，
设当P与重合时，有；当P与重合时，有，
则由为定长，可知动点P的轨迹是以 E为圆心，以BE为半径且圆心角为的圆弧，如图所示，
在所在平面建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，直线，直线，
联立方程组，解得，即，则，
又由，可得，所以，
所以动点P的轨迹长度为
故选：
3．如图，在正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：因为P，M，N分别为AB，，的中点，
所以，，
由于平面，平面，
所以平面，
同理可得，平面，
又，平面MNP，
所以平面平面，
根据正方体的结构特征得到平面，
又平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可得，，
又，平面，
所以，
故
故选
②转化与化归
4．三棱锥中，平面BCD，若，，则该三棱锥体积的最大值为
A．2B．C．1D．
【答案】D
【解析】解：因为平面BCD，平面BCD，
所以，
因为，，AC，平面ACD，
所以平面ACD，
因为平面ACD，
所以，
在中，，，则，
因为平面BCD，平面BCD，所以，
在中，不妨设，，则由，得，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，
所以该三棱锥体积的最大值为
故选
5．如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得面面BCDE，则点到直线DB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：是AB的中点，，
在菱形ABCD中，，，得、是等边三角形，
，，
正三角形ABD中，E是AB的中点，则，可得，
又面面BCDE，且面面，
平面，
平面BCDE，
平面BCDE，
则，
在中，由，可得，
在等腰三角形中，取的中点H，连接DH，可得，
设点到直线DB的距离为h，
则由等面积法可得，，
故选：
6．已知正方体的棱长为1，点M在正方体内包含表面运动，若，则动点M的轨迹所形成区域的面积是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：在棱长为1的正方体中，
，
则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为，
因此点M在与垂直的平面内，且点A到该平面的距离为，
在正方体中易知平面，点A到平面的距离为，
取的中点，则平面平面，
则平面EFG，且点A到平面EFG的距离为，
所以点M的轨迹所形成区域为等边，面积为
故选：
③分类讨论
7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】解：因为底面ABCD为正方形，
所以，
如图，分别取的中点，连接，
则，
因为，平面PEF，
所以平面PEF，
因为平面ABCD，
所以平面平面ABCD，
过P作EF的垂线，垂足为O，即，
因为平面平面，平面PEF，
所以平面ABCD，
由题意可得：，
则，即，
则，
可得，
所以四棱锥的高为
故选：
8．如图，已知正四棱锥中，AB在平面内，正四棱锥可绕着AB任意旋转，平面若，则正四棱锥顶点V在平面内的投影H到CD的距离的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：如图，因H为顶点V在平面内的投影，则
因几何体为正四棱锥，则三角形VAB为等腰三角形，
取AB中点为E，连接VE，则，又平面VEH，，
则平面连接EH，因平面VEH，则
取CD中点为F，连接EF，FH，由题有，又，则
因平面EFH，，则平面
又平面EFH，则，从而FH为所求距离．
因E为AB中点，则，又，，
可得，同理可得，结合，可得为等边三角形，
则
因为平面VEH，且平面EFH，所以四点共面．
当H在E点右侧时，
设有，
则
注意到
因则则；
当H与E重合时，；
当H在E点左侧时，设，则
则
注意到
因，则，，则
综上可得
故答案为：
9．， 是两个不同的平面，m，n是平面及 之外的两条不同直线，给出四个论断：① ② ③ ④以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
【答案】②③④ ①或③④①②
【解析】解：若①，②，③成立，
则n与可能平行也可能相交，即④不一定成立，
若①，②，④成立，
则m与可能平行也可能相交，即③不一定成立，
若①，③，④成立，则②成立，
若②，③，④成立，则①成立，
故答案为：若②③④则①或若①③④则②．
基础过关篇
1．已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】B
【解析】选项A：若，，则可能，故A错误；
选项B：因，如图过作平面，交平面于b，
根据线面平行的性质定理，可得，因为，所以，
又因，所以，故B正确；
选项C：若，，则可能或或与相交，故C错误；
选项D：若，，，则与可能相交，故D错误.
故选：B
2．已知是平面，是直线，给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若是异面直线，那么与相交；
④若，则且
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】对于①：若，由面面垂直的判定定理可知，故①正确；
对于②:若，则或与相交；故②错误；
对于③：若是异面直线，那么与相交或；故③错误；
对于④：若，则可能在平面内（或内），故④错误；
故选：A.
3．给定下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．垂直于同一直线的两条直线互相平行
C．若直线和直线平行，且平面，则
D．若两个平面相交，那么其中一个平面内与两平面的交线不垂直的直线与另一个平面一定不垂直
【答案】D
【解析】对于A，若两个平面有无数个公共点，则这两个平面相交或重合，A错；
对于B，空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，B错；
对于C，若直线和直线平行，且平面，则或，C错；
对于D，假设，直线为平面内的一条直线，
假设，由于，则，这与题设条件矛盾，假设不成立，故D正确，
故选：D．
4．已知直线，平面给出下列命题：
①若，且，则；
②若，且，则；
③若，且，则；
④若，且，则.
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】命题①：若，，则，或，
又，所以，①正确；
命题②：若，，则，或，
又，此时与可能平行，也可能相交，②错误；
命题③：若，，则，或，
又，此时与可能平行，也可能相交，③错误；
命题④：若，，则，
又，所以，④错误；
所以正确的命题个数是1.
故选：A
5．已知m ， n为异面直线，，直线l满足（α，β均为平面）则（ ）
A．，且 B．，且
C．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】由平面，直线满足，且，所以，
又平面，，所以，
由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，
否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于.
故选：D．
6．如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】C
【解析】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误；
对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误；
对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确；
对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。
故选：C．
7．已知为线段上的点，且，若到平面距离分别为1和3，则到的距离为 ．
【答案】或
【解析】过AB作平面垂直于，并与交于直线l，作于，于，于，
若A、B在平面的同侧，如图所示，则在平面中，，
根据平行线分线段成比例有，又因为，，解得．
若A、B在平面的异侧，如图所示，同理有，
又因为，，解得．
故答案为：或．
8．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【解析】（1）依题意，，平面，平面，
故平面.
（2）在四边形中，，为中点，则，
得到四边形为平行四边形，，而，则，
在图②中，，而平面，
所以平面.
9．如图，在长方体中，已知.

(1)证明:平面平面；
(2)已知点是线段上的动点，求四面体的体积.
【解析】（1）在长方体中，，
所以底面是正方形，则
又因为平面，平面
所以
由于，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面
（2）因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离
所以
因为，
又因为，即点到平面的距离为.
所以.
10．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【解析】（1）由于分别为棱的中点，故，
又平面，且不在平面上，
所以平面；
（2）由于平面，且平面，故，
又，且为棱的中点，故，
因为，平面，故平面，
又平面，故平面平面.
11．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【解析】（1）在四棱锥中，四边形为正方形，
连接，，交于点，则是中点，连接，
为中点，则为的中位线，
，
在平面外，平面，
平面．
（2）在四棱锥中，四边形为正方形，
，
平面，平面，
，
平面，
平面，
平面，
平面平面．
12．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【解析】（1）连接交于，连接，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
又E是侧棱的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面，
又因为底面，，平面底面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
13．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)证明：平面平面．
【解析】（1）如图，连，
∵四边形是菱形，
∴和互相平分，
∵F是中点，
∴F也是中点，
又∵，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵平面，平面，∴，
∵四边形是菱形，∴，
又∵，平面，
∴平面；
（3）由（2）知平面，
∵平面，故平面平面．
14．如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，，，M为中点．底面为等腰三角形，，O为BC的中点．
(1)证明：平面平面AOM；
(2)若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【解析】（1）底面为等腰三角形，O为BC中点，故．
侧面为等腰梯形，M为中点，O为BC中点，连接OM，则，
因为，面AOM，面AOM，
所以平面AOM，又平面ABC，故平面平面AOM．
（2）由（1）知，，平面平面，
则为二面角的平面角，可得,
在中，由勾股定理得，
棱台侧面如图所示，
，，，由勾股定理得，
由，所以，
如图所示，过作，
因为平面AOM，平面AOM，所以，
可知，面，所以平面，
所以为三棱锥的高，在中可得，
所以三棱锥的体积.
能力拓展篇
1．已知为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】A选项，，与可能平行或异面，故A错误；
B选项，，则，故B错误；
C选项，由，过直线作平面，与平面相交于直线，则有，
由，有，又，所以，故C正确；
D选项，，则不一定垂直于，如可以在内，故D错误．
故选：C.
2．（多选题）已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（ ）
A．，，三点共线B．
C．平面D．平面
【答案】BC
【解析】如图所示：
易知平面底面，
设在底面上的投影为，
若，，三点共线，则在平面上，
此时在直线上，
但根据题设不能确定是否在直线上，故A错误；
因为直四棱柱的各顶点都在球的球面上，
故，，，四点共圆，
若，，三点共线，
同上可知在直线上，
故为圆的直径，
所以，,
又底面，底面，
故，
平面，，
所以平面，
又平面，故，
同理可证平面，故B，C正确；
由于不确定平面是否平行于平面，
故不确定是否平行于平面，故D错误.
故选：BC.
3．在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为 .
【答案】/
【解析】对于正三角形，其面积公式（为边长）
已知正三棱台中，，
则上底面，下底面
设正三棱台上下底面中心分别为,连接，则为正三棱台的高
因为正三角形中心到顶点的距离是边长的倍
所以，
则，且
已知侧棱与底面所成角为，在直角梯形中，
过点作底面的垂线，垂足为，则在上，且，，
侧棱与底面所成的角为，在中，，
所以，即，解得，
根据棱台体积公式将代入可得
.
故答案为：
4．如图，直三棱柱中，侧棱长为4，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为 .
【答案】1
【解析】因为为等腰直角三角形，且，是的中点，
所以.
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
平面平面，平面，所以平面.
平面，所以.
要使平面，只需即可.
在平面中，以为原点建立平面直角坐标系，如图：
则，，，设.
因为，所以.即.
故答案为：1
5．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，，，，为侧棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
【解析】（1）因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，，所以平面，
又因为平面，所以，，
在中，且，
在中，，
由余弦定理可得，
所以，所以，
又因为平面，，
所以平面.
（2）在中，，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理可得，
所以，
，
.
设点到平面的距离为，
由体积转化法可知，即，
所以.
6．如图1，在直角梯形中，，，，E是的中点，将矩形沿折起，如图2，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若点F在线段上，求点F到平面的距离；
【解析】（1）在矩形中，，
因为，E是的中点，
所以 ，，
图2中，在中，，
因为，
所以，
因为，且平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）由（1）可知，，，，
所以以为坐标原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设点F到平面的距离为，
则，
所以点F到平面的距离为.
7．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．

(1)求证：；
(2)若为线段上一动点，，求的最小值．
【解析】（1）∵分别是的中点，，∴.
∵，∴.
∵，平面，平面∴平面.
∵平面，∴.
（2）因为，，与相交于点，且平面，平面.
所以平面.
因为平面，所以.
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
设，
.
所以的最小值为6.
8．在三棱柱中，侧面为矩形，平面，是棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）因为平面，平面，则，
又因为侧面为矩形，，则，
所以平面，故平面；
（2）
以C为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，
设直线与平面所成角为
所以，所以
故直线与平面所成角的余弦值为．
9．如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.
(1)证明：；
(2)求点到平面BDE的距离；
【解析】（1）证明：因为底面底面ABCD，所以，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
因为，所以平面PCD，
因为平面PCD，所以.
在中，是PC的中点，则，
因为，所以平面PBC，
因为平面PBC，所以，
因为，
所以平面DEF，因为平面DEF，
所以.
（2）连接AC交BD于点，如图所示：
则，又底面平面ABCD，得，
而，则平面PDB，
所以点到平面PDB的距离为，
因为是PC的中点，所以，
，
所以，所以，
因为，四边形ABCD为正方形，
所以，
因为，所以，则，
设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得.
10．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？
【解析】（1）取的中点，连结，，因为，所以，
在中，，所以，
在中，，
在中， ，，，所以，
所以，又因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）连结，，，
，所以，
且，由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，，所以两两垂直，
如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，则，
所以点到平面的距离.
（3）设，由在平面内可知，
即，
所以，即，所以，
因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，
即，解得，故，
而，可知点不在内.
11．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【解析】（1）取的中点，连结，，因为，所以.
在中，，所以，在中，，
在中， ，，，所以，
所以，又因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）连接，，，，又为中点，
所以，且，由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，，所以两两垂直，
如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，则，
所以点到平面的距离.
12．如图，设直线是平面的一条斜线，与平面交于点是在平面上的投影．平面内过点的另一条直线与的夹角为，若与所成的角为，求与所成角．
【解析】在直线上取点，点在平面的投影为，则，
过作于点，连接，
由，得，又平面，
则平面，
而平面，于是，又，，
则,
因此，所以与所成角.
故答案为：
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a