2026年高考数学一轮复重难点培优03平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理秒杀应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优03平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理秒杀应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共3页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 5
\l "_Tc16555" 题型一 重心（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 5
\l "_Tc7141" 题型二 外心（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 6
\l "_Tc26803" 题型三 内心（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 7
\l "_Tc13512" 题型四 垂心（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 8
\l "_Tc3897" 题型五 奔驰定理（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 9
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 11
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 11
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 14
一、三角形的重心
1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、
、，，则有.
二、三角形的外心
1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或
；
三、三角形的内心
1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3、内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点是△的内心，则有
四、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若是△的垂心，则或
五、奔驰定理
1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且xOA+yOB+zOA=0,，则
2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+xOA=0,，则：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① S∆BOC：S∆AOC:S∆AOB=x:y:z
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② S∆BOCS∆ABC=|xx+y+z|;S∆AOCS∆ABC=|yx+y+z|;S∆AOBS∆ABC=|zx+y+z|
由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.
3、奔驰定理的证明
奔驰定理：是内一点，且，则

已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
法一证明：延长与边相交于点则

法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心.
4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明
①是的重心：．
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
②是的内心：
证明：，，（为内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得
③是的外心：．
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
④是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得


题型一 重心
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·湖南长沙·月考）空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件
3．设为的重心，且，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（ ）
A．的内心B．的垂心
C．的重心D．的外心
5．已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ．

题型二 外心
【技巧通法·提分快招】
1．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2．已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）．
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．上述三种情况都有可能
3．在中，，，，点O为的外心，若，，，则
4．在锐角中，内角的对边分别为，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为 .
5．已知是的外心，若，则 ．
6．如图，已知为的外心，内角的对边分别为．若，则 ．

7．（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 .
8．记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则 .

题型三 内心
【技巧通法·提分快招】
1．设为的内心，，，，，则 .
2．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·河南驻马店·月考）（多选题）已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（ ）
A．在方向上的投影向量的模为
B．
C．
D．若为外接圆上任意一点，则
6．（多选题）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ）
A．的内切圆半径为B．
C．D．

题型四 垂心
【技巧通法·提分快招】
1．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2．已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
3．（23-24高三上·河北·月考）若是的垂心，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）已知是平面上的四点，任何三点不共线，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是的垂心
B．是的垂心
C．
D．
5．已知H是的垂心，满足，且，则 ．
6．（24-25高三上·宁夏银川·月考）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值

题型五 奔驰定理
【技巧通法·提分快招】
1．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河北保定·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
3．（23-24高三上·江西新余·期末）（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，则
4．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三下·江西·月考）设为的重心，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
3．已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
4．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．设O为的内心，，，，则 （ ）.
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·辽宁·期中）设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（ ）
A．B．C．D．
7．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选题）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若为的重心，则B．若为的外心，则
C．若为的垂心，则D．若为的内心，则
9．（24-25高三上·吉林松原·月考）（多选题）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则动点的轨迹经过的内心
D．若，则动点的轨迹经过的外心
10．（2025·陕西咸阳·三模）（多选题）如图，已知是内一点，三角形、、的面积分别为、、，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是（ ）

A．是的垂心
B．
C．
D．
11．（多选题）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
12．（多选题）边长为1的正三角形的内心为，过的直线与边交于，则（ ）
A．B．当时，此时
C．的最大值为18D．的最小值为15
13．（2024·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则 ．
14．在中，I为的内心，若，则 .
15．设分别为的外心和垂心，，，，，则 ．
16．（2024高三·江苏·专题练习）在中，，O是的外心，则的最大值为
17．由三角形内心的定义可得：若点为内心，则存在实数，使得.在中，，若点为内心，且满足，则的最大值为 .
18．（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，O是的内心，且，则=（ ）
A．B．C．D．
3．已知为的垂心，且，，，，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
5．（多选题）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（ ）．

A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果O为的重心，那么
D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么
6．（2025·新疆·模拟预测）已知为的外心，若，则的最大值为 .
7．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）

①是的垂心；②；
③；④
设是的重心，为平面内任意一点.
（1）
（2），，，
（3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心.
（4）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心
（5）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；
（1）（或）
其中分别是的三边的长
（2），则P点的轨迹一定经过三角形的内心
（注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)）
（3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心
（4）
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心
（4）.
三角形四心与奔驰定理的关系
①是的重心：．
②是的内心：
③是的外心：．
④是的垂心：