2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题7.4直线平面垂直的判定与性质(五类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题7.4直线平面垂直的判定与性质(五类重难点题型精练)(学生版+解析)，共52页。试卷主要包含了如图，在三棱锥中，，等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 垂直的性质
1．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，，B．，，
C．，D．，
3．（2025·天津·二模）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
4．（2025·湖北黄冈·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
①若，则；
②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
③若，则必垂直于面内的无数条直线；
④若为异面直线且点，则存在两条直线过点且与都相交.
A．④B．③C．②D．①
5．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选题）设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选题）如图，棱长为2的正方体，O为底面ABCD的中心，E为棱的中点，M是线段上的动点，P为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）．
A．平面B．
C．的最小值为D．OP的最小值为
重难点题型2 证明线线垂直
7．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥中，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值．
8．（2025·云南丽江·一模）已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.

(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正切值；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
10．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
重难点题型3 证明线面垂直
11．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线和平面所成角的正弦值．
12．（2025·福建厦门·三模）在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面.
(1)证明：平面；
(2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
13．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.

(1)证明：平面；
(2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求.
14．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
15．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，直四棱柱中，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且，求二面角的余弦值．
重难点题型4 证明面面垂直
16．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．

(1)求证：平面平面BDEF；
(2)求四面体ADEF的体积；
(3)求直线AD与平面ABF所成角的余弦值．
17．（2025·河北邢台·三模）如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
18．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，．
(1)求证：平面平面．
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角所成平面角的余弦值．
20．（2025·上海·模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点.
(1)当时，证明:平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值.
重难点题型5 垂直关系的综合应用
21．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：；
(2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围．
22．（2025·山东淄博·三模）在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上的动点，、分别是二面角 和二面角的平面角.
(1)当为棱的中点时，
(i)证明: 平面；
(ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置；
(2)当最小时，求 .
23．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，四边形是边长为2的正方形，点分别在线段上运动，且．将沿折起，使得点到达点的位置，此时平面平面．
(1)当时，求证：；
(2)是否存在，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；
(3)证明：存在，使得二面角的平面角为．
24．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)若为等边三角形，求四棱锥的体积；
(2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由；
(3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
序号
题型
重难点题型1
垂直的性质
重难点题型2
证明线线垂直
重难点题型3
证明线面垂直
重难点题型4
证明面面垂直
重难点题型5
垂直关系的综合应用
专题7.4 直线、平面垂直的判定与性质
目录●重难点题型分布
重难点题型1 垂直的性质
1．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.
【详解】解：由得：
存在，满足，
若，则直线垂直平面中任意一条直线，
，，，，
，，，是否相交不确定，不一定成立，
“，”是“”的必要不充分条件．
故选：B
2．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，，B．，，
C．，D．，
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直
【分析】对于A当时，则与有可能相交即可判断，对于B当时即可判断，对于C由线面位置关系即可判断，对于D由线面垂直的判断定理即可判断.
【详解】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误；
对于B：当时，则，，，故B错误；
对于C：满足，，则或，故C错误；
对于D：由，,故D正确.
故选：D.
3．（2025·天津·二模）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断线面是否垂直、判断面面是否垂直、线面垂直证明线线平行、线面平行的性质
【分析】ACD可举出反例；B选项，利用线面平行的性质定理、平行关系的转化判断即可.
【详解】对于A，若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误；
对于B，若，设，，，则．
又，则．
因为，，则，
所以，故B正确；
对于C，若，，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误；
对于D，若，，则，或，故D错误．
故选：B．
4．（2025·湖北黄冈·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
①若，则；
②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
③若，则必垂直于面内的无数条直线；
④若为异面直线且点，则存在两条直线过点且与都相交.
A．④B．③C．②D．①
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】平行公理、异面直线的概念及辨析、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直
【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用面面垂直判定定理及其性质可判断③正确，由异面直线定义以及基本定理可得仅有一条直线过点且与都相交，即④错误.
【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示：
即①错误；
对于②，不妨取正方体为例，如下图所示：
直线外一点，此时平面与均与直线平行，
因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误；
对于③，若，不妨设，
作，且，所以可知，显然这样的直线可以作出无数条，
如下图所示：
所以必垂直于面内的无数条直线，即③正确；
对于④，在直线上取两点，在直线上取两点，如下图所示:
因为为异面直线且点，所以过三点有且仅有一个平面，
同理过三点有且仅有一个平面，此时两平面仅有一条过点的交线，
所以④错误；
综上可知，仅有③正确.
故选：B
5．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选题）设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
【详解】若，则，所以A选项正确；
若，则或m与n相交或异面，所以B选项错误；
若，则根据线面垂直与线面平行的性质定理可得，所以C选项正确；
若，则或或或m与α成的任意角，所以D选项错误．
故选：AC．
6．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选题）如图，棱长为2的正方体，O为底面ABCD的中心，E为棱的中点，M是线段上的动点，P为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）．
A．平面B．
C．的最小值为D．OP的最小值为
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、点面距离的概念及性质、线面垂直证明线线垂直
【分析】用线面平行判定定理判断A选项；用线面垂直的性质定理判断B；用余弦定理判断C；结合垂直平面时的值最小判断D选项.
【详解】选项A中，分别取，中点，，连接、，，可知，
又因为，所以，所以平面不成立，选项A错误；
选项B中，取中点，连接，，，所以，
因为正方体，所以面，
因为平面，所以，即；
因为，，所以，
，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，故，选项B成立；
选项C中，要求的最小值，面，面，
这两个三角形和都是边长为的正三角形，
将它们置入同一平面可以得到平行四边形，为中点，
在中，由余弦定理可得，
∴，选项C成立；
选项D中，垂直平面时的值最小，
又到平面的距离等于到平面距离的，
设正四面体的高等于，
因为，即，
即，解得，
正四面体的高等于，所以的最小值为．选项D成立；
故选：BCD．
重难点题型2 证明线线垂直
7．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥中，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、空间垂直的转化、由线面平行求线段长度
【分析】（1）取中点，证得且，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）作交于H，证得平面，得到为直线与平面所成角，求得的长，结合，即可求解；
（3）设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，证得截面为矩形，设，得到矩形的面积，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接，
因为，，可得且，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：作交于H，连接，，
由（1）平面，平面所以平面平面，
因为平面平面，且平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
又因为，所以，
因为，可得
又因为，所以 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：如图所示，设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，
因为，且平面，所以，
同理可证，，，即，
由（1）知，所以，所以截面为矩形，
设，其中，则，
所以矩形的面积，
当且仅当，即时，等号成立，所以截面面积的最大值为.
8．（2025·云南丽江·一模）已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.

(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正切值；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角的正弦值为
【难度】0.65
【知识点】求csx(型)函数的值域、证明线面垂直、求线面角、求二面角
【分析】（1）由题意得到平面，即得，再由可证平面，由线面垂直可得；
（2）过在平面内作于，连接，证明平面，得到为二面角的平面角，在中，利用三角函数的定义求解即得；
（3）由平面得到到平面的距离即为到平面的距离，利用等体积求得，设直线与平面所成的角为，求得，推得当时，最小，从而的值最大，由此即得点的位置.
【详解】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，
所以平面，又平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）

如图，过在平面内作于，连接，
因为平面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，故为二面角的平面角，
因菱形中，，则，，
又是等边三角形，故，
由，知，
在中，，故二面角的正切值为.
（3）因为，且平面平面，所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，
因为，所以，
即，
所以，
设直线与平面所成的角为，则，，
因正弦函数在第一象限单调递增，故要使最大，即使最大，则需使最小，
此时，由对称性知，，
所以，此时，
故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，且最大角的正弦值为.
9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）先证，推得在同一直线上，在中，由余弦定理求得，进而可证，利用线线垂直可得平面，进而可证结论；
（2）利用余弦定理求得，可证得，结合，得到平面，建系后，求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得．
【详解】（1）因为，，所以，
又因为，点O为AC中点．
所以，且，故在同一条直线上，
在中，由余弦定理，可得，
又，，故得，
解得，又，，故是等边三角形，则，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）由（1）可得，，
，，
在中，由余弦定理可得，
又，，，，
因，则，
又，且，平面，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
由（1）已得，故可知平面，
即是平面的一个法向量，
所以，
所以二面角的正弦值为．
10．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）取中点，连接，利用三角形中位线的性质及异面直线夹角的概念得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值即可.
【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点，
则，因为，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）由（1）知是二面角的平面角，所以.
如图，以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，可取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
重难点题型3 证明线面垂直
11．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取取中点，连接，只需证明平面平面，再结合面面平行的性质定理即可得证；
（3）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的法向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为在矩形中，，是的中点，
所以，即，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）如图所示，取中点，连接，
因为在矩形中，，是的中点，
所以，即四边形为平行四边形，
从而，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为分别是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（3）取中点，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，所以，
所以两两互相垂直，
以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，
设，
因为四边形为平行四边形，所以，
即，所以，
故，
又因为，
解得，
又因为是中点，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
所以平面的法向量为，
故所求为.
12．（2025·福建厦门·三模）在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面.
(1)证明：平面；
(2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量
【分析】（1）由平面 平面 ，得到 平面 ，再结合即可求证；
（2）建系，设 求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解，利用体积公式计计算得出结果.
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
又 平面 ，
所以 平面 .
（2）记 的中点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 .
因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设 ，则 ，
所以 .
由题知 ，设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，则 .
则 .
化简可得 ，解得 或 ，
三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 .
13．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.

(1)证明：平面；
(2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、求平面的法向量、已知面面角求其他量
【分析】（1）利用平行四边形性质得到，再结合全等三角形的性质和给定条件得到，，最后由线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，设，，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再由二面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）连接，交于点，连接，.

由题意得，且，，为中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.①
在和中，，，是公共边，
故，故有，
又是中点，所以.
结合①可得. 又，
且，面，故平面.
（2）在梯形中，取中点，连接，则，
易证四边形是矩形，故，.
在中，由勾股定理得，故.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设，，
则，
由（1）知平面，故，
又，故，又，且，
面，故平面，
故可取为平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则，即，可取.
设二面角的大小为，则，故，
所以，
整理得，解得或（舍），故.
14．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法
【分析】（1）取的中点，连接，在，中，运用勾股定理逆定理得到，再结合线面垂直判定定理证明；
（2）建系，求出关键点坐标，应用计算求解；
（3）求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算即可求出余弦值，最后应用同角三角函数关系求出正弦值.
【详解】（1）设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形，
取的中点，底面是等腰梯形，.
连接
，
在中，，
在中，.
，
，且平面，
平面；
（2）
如图，建系，则
，
设直线与所成角为，
（3）设平面的法向量是
，即，令，解得
设平面的法向量是
，即令，解得
设平面与平面夹角为
故面与平面夹角正弦值为.
15．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，直四棱柱中，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，由勾股定理得，然后由得，最后根据线面垂直的判定定理及性质证明即可；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值即可.
【详解】（1）因为为直四棱柱，故底面，
又底面，所以，
由知，因为，所以，
因为，平面，所以平面，
又，所以平面.
（2）以为原点，以直线所在方向分别为轴建立如图的空间直角坐标系，
因为，且，，所以，
则，
设平面的一个法向量为，，
则取得．
设平面的一个法向量为．
则取得．
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
重难点题型4 证明面面垂直
16．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．

(1)求证：平面平面BDEF；
(2)求四面体ADEF的体积；
(3)求直线AD与平面ABF所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角、证明面面垂直
【分析】（1）只需证明平面BDEF，进一步将线面垂直问题转换为线线垂直问题，只需证明，即可；
（2）由锥体体积计算公式即可求解；
（3）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AD的方向向量与平面ABF的法向量，结合向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO．
因为四边形ABCD为菱形，所以，
且O为AC中点，，
所以．又平面BDEF，
所以平面BDEF．又平面ABCD，
所以平面平面BDEF．
（2）由题知平面BDEF，
．
（3）连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且，
所以为等边三角形．因为O为BD中点，
所以．又，AC，平面ABCD，
所以平面．故OA，OB，OF两两垂直，
所以建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，四边形ABCD为菱形，，
所以．因为为等边三角形，
所以．所以，
所以．
设平面ABF的法向量为，则
令，解得．
设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为
，
，
所以AD与平面ABF所成角的余弦值为．
17．（2025·河北邢台·三模）如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）根据投影的定义结合已知条件可得平面，然后根据面面垂直的判定即可得；
（2）建立空间直角坐标系，通过向量法求解面面夹角的余弦列出方程，然后解方程即可；
【详解】（1）当时，即为线段的中点，
因为，所以，所以，
又，所以，
又因为平面，平面//平面，
所以平面，平面，所以，
且，，平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为，为的中点，所以，且平面，
故以为坐标原点，，，分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，
所以，，，，
可得，，
所以，.
设平面的法向量为，
则化简得
令，则，，
可得，
由题意可知，平面的法向量，
所以，
又平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得或，所以的值为或.
18．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，．
(1)求证：平面平面．
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线线垂直证线面垂直，再由面面垂直的判定证面面垂直；
（2）根据垂直关系以的中点为原点建系，利用向量法求面面夹角的余弦值.
【详解】（1），，．
，且，平面，，
平面．
平面，
平面平面．
（2）设平面与平面的夹角为，的中点为，的中点为．
由，，知平面，
又，，故以为原点，
，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，．
易知平面的一个法向量为，
，，
设平面的法向量为，因此，取，
故．
19．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角所成平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、求二面角
【分析】（1）根据空间中垂直关系的转化可得平面，从而可得，故可证平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）先求出到棱的距离，再求出到平面的距离，从而可得平面角的正弦值，故可求其余弦值．
【详解】（1）证明：因为四边形为直角梯形，且，故，
又，故，而，，平面，
所以平面，而平面，所以，
而，，平面，由梯形知，必定相交，
故平面，而平面，
故平面平面；
（2）连接，在平面中过作，垂足为，
由（1）可得平面，而平面，故，
而，，故，而，
所以，
因为，所以，
在平面中，过作，交延长线于点，连接，
则，故，且，
取的中点为，连接，由可得，
因为平面，故，
而，，平面，
故平面，而平面，故，
而，，平面，故平面，
故到平面的距离为，且，
而，平面，平面，
故平面，故到平面的距离即为到平面的距离为，
设二面角的平面角为，则，
由图可知为钝角，故．
20．（2025·上海·模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点.
(1)当时，证明:平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）由垂直于圆锥的底面，所以，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面.
（2）当三棱锥的体积最大时，得到为弧的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为垂直于圆锥的底面，所以，
当时，，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）当三棱锥的体积最大时，只需的面积最大，此时为弧的中点，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
设平面的法向量为，则，
取，得，所以，
设与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角正弦值为.
重难点题型5 垂直关系的综合应用
21．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：；
(2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为中点，理由见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据题意，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再由线面平行的性质定理，即可证得；
（2）取的中点，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面平面；
（3）设点为中点，取与连线交于点，以建立空间直角坐标系，设到平面的距离为，令，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角，列出关系式，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为四边形为矩形，
所以，因为平面，平面。
所以平面，因为平面平面，平面，
所以；
（2）存在为中点，使得平面，
理由如下：取的中点，
因为，所以，
因为且，
所以，因为且平面，
所以平面；
（3）设点为中点，取、和中点为，
由（2）知共面且平面，
取与连线交于点，连接，
则，可得为等腰梯形，
所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
设到平面的距离为，
因为四边形和四边形为两个全等的等腰梯形，
所以，设，
因为，
所以，解得，
所以，可得，
令，所以，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
所以，设平面的法向量为，
则，
取，可得，
所以，所以，
令，则，
则，
令，则，
所以在单调递增，
当时，当时，
所以，所以，
故平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围为.
22．（2025·山东淄博·三模）在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上的动点，、分别是二面角 和二面角的平面角.
(1)当为棱的中点时，
(i)证明: 平面；
(ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置；
(2)当最小时，求 .
【答案】(1)(i)证明见解析；(ii) 在上，且；
(2).
【难度】0.4
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、证明线面垂直、求点面距离、求二面角
【分析】（1）(i)建系，通过可证；(ii)确定的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线在四边形内部部分（包括边界），由，结合最大时，最大即可求解；
（2）作，连接，得到,.设，再由两角和的正切公式得到进而可求解.
【详解】（1）(i)因为，所以，
所以，又底面为平行四边形，所以底面为矩形，
因为为直四棱柱，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则,
所以,
则，
所以，又为平面内两条相交直线，
所以平面；
(ii)因为平面，平面，
所以平面平面，过在底面内作，
因为平面平面，
所以平面，即到平面为，
到直线的距离为，由题可知，
由抛物线定义知的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线在四边形内部部分（包括边界），
以中点为原点，所在直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为：，
设，，最大时，最大，
，当时，，当时，，
所以，所以当时，最大，即最大，
此时在上，且.
（2）作，连接，
因为，且为平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，由直角三角形面积易得：，
因为，为平面内两条相交直线，
所以平面，同理，
所以，所以四边形是矩形，
所以，
因为，所以，
所以二面角 的平面角即为,
同理二面角的平面角即为.
当与（或）重合时，，
，
当当不与（或）重合时，设，
，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，最小时，最小，
此时，
综上.
23．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，四边形是边长为2的正方形，点分别在线段上运动，且．将沿折起，使得点到达点的位置，此时平面平面．
(1)当时，求证：；
(2)是否存在，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；
(3)证明：存在，使得二面角的平面角为．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】零点存在性定理的应用、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）通过作辅助线以及证明线面垂直即可证明线线垂直.
（2）首先假设存在使得，然后根据线面垂直、线线垂直、面面垂直的性质可证明，然后根据长度关系证明不是直角，从而与假设矛盾，得出答案.
（3）先以点为原点建立空间坐标系，设相关量，根据条件求出一些点的坐标和向量. 接着求平面的法向量，然后根据二面角余弦值与相等建立等式，再通过令构造函数，利用零点存在情况判断是否存在满足条件的.
【详解】（1）当时，为的中点，为的中点，
此时，，．
如图，取的中点，连接．
则，．
又，平面，
所以平面．
又平面，所以．
（2）假设存在，使．
过作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面．
所以平面．
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
又，所以点重合．
所以，（*）
设，则，
则．
所以，
则，与（*）式矛盾．
所以不存在，使．

（3）以点为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面向上的直线为轴建立空间直角坐标系.

过点A在平面内作，连接，
已知，，，，可得，所以，即，且.
因为平面平面，平面平面，平面，且，根据面面垂直性质定理得平面.
设，，则，，
又，所以，.
容易得到，进而，，.
则和
设平面法向量，由，，
令，得，
容易知道平面法向量.
所以，
又，则.
左边平方得.
右边平方：.
此时等式为.
所以.
移项整理：把含的项移到一边，得.
所以
令
令
因为，，由零点存在定理知存在使，即存在使二面角平面角为.
24．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)若为等边三角形，求四棱锥的体积；
(2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由；
(3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)作图及理由见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、平面的基本性质及辨析、证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）取的中点G，通过证明平面可求四棱锥的体积.
（2）延长和，设交点为Q，连接，根据点均在两个平面内可说明直线为平面与平面的交线；
（3）分析得到，建立空间直角坐标系，表示平面PAM和平面的法向量，计算两平面夹角的余弦值，通过分析函数可求出余弦值的最小值.
【详解】（1）取的中点G，连接，
因为，所以，，.
因为三角形为等边三角形，所以，
所以，故，
因为平面，，所以平面，
因为底面四边形为梯形，所以四边形的面积为，
所以四棱锥的体积为.
（2）延长和交于点Q，连接，
则平面与平面的交线为直线.理由如下：
因为，所以直线AM和BC必相交，设交点为Q，
因为平面，平面，所以平面，平面，
因为平面，平面，所以平面与平面的交线为直线.
（3）由（1）得，，所以为二面角的平面角，
即，
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面，且平面平面.
在平面中，过点D作，则平面，
如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
过P作于点H，
因为平面平面，平面平面，所以平面.
设，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量为，
因为
则，
令，则，
设平面PAM和平面PBC的夹角为，
则
令，则，所以，
因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
所以当时，函数有最大值，最大值为，
此时有最小值，最小值为，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.
序号
题型
重难点题型1
垂直的性质
重难点题型2
证明线线垂直
重难点题型3
证明线面垂直
重难点题型4
证明面面垂直
重难点题型5
垂直关系的综合应用