重难点培优02 平面轨迹方程问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优02 平面轨迹方程问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共11页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 圆的轨迹方程（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 直接法（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 定义法（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 3
\l "_Tc13512" 题型四 相关点法（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 点差法（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 6
\l "_Tc326" 题型六 交轨法（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 6
\l "_Tc11957" 题型七 参数法（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 7
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 8
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 8
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 10
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)．


题型一 圆的轨迹方程
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．（且）D．（且）
5．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 ．
6．已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为 ．

题型二 直接法
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ．
4．已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ．

题型三 定义法
【技巧通法·提分快招】
1．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对
3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为 ．
6．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
7．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
8．（24-25高三下·安徽合肥·月考）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ．
9．已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为 .
10．已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ．

题型四 相关点法
【技巧通法·提分快招】
1．已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（ ）．
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·贵州·月考）长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ）
A．+=1(y)B．+=1(y)
C．+=1(y)D．+=1(y)
6．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．

题型五 点差法
【技巧通法·提分快招】
1．双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是 ．
2．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ．
3．由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程．
4．已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.

题型六 交轨法
【技巧通法·提分快招】
1．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．求解下列问题：

(1)如图，动圆：，与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点，分别为的左、右顶点．求直线与直线的交点M的轨迹方程．
(2)已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求的重心G的轨迹方程．
3．（23-24高二下·广东惠州·月考）抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．

题型七 参数法
【技巧通法·提分快招】
1．为参数，圆的圆心的轨迹方程为 ．
2．已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ．
3．已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ．
4．已知椭圆，和一条过定点且不与轴重合的直线相交于两点，线段的中点为点，
(1)求点的轨迹方程；

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）．
A．B．
C．D．
3．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
6．设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
9．已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A．7B．
C．.D．
10．设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（24-25高三下·安徽安庆·月考）（多选题）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（ ）
A．B．
C．D．
12．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ．
13．方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
14．已知等腰的顶点的坐标为，底边的一个端点的坐标为，则另一个端点的轨迹方程为 ．
15．（24-25高三下·陕西西安·月考）已知点，的方程为，P，Q为上的动点，满足，则PQ中点的轨迹方程为 ．
16．过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.
17．已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ．
2．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 .
3．已知抛物线上一点是抛物线上另两点，且．
(1)求点的轨迹方程；
4．已知椭圆，左、右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形．

(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)如图，直线与椭圆有唯一的公共点M，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点．当点运动时，求点的轨迹方程．
5．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程；
(3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若直线l的斜率为，求的面积.
(3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程.
7．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，对于曲线C上任意一点，总存在点满足关系式（），则曲线C变换为曲线，称为平面直角坐标系中的伸缩变换，记为．已知曲线经过伸缩变换后得到曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)已知过点的直线与曲线交于点（点在轴上方），曲线与轴的左、右两个交点分别为，设直线的斜率分别为．
（i）是否存在常数t，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（ii）若直线与交于点，试求点的轨迹方程．
当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）,从而得到轨迹方程.同时要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）
1、椭圆定义
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (0＜e＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当0＜e2＜1时，该动点的轨迹为椭圆。
2、双曲线定义
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (e＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当e2＞1时，该动点的轨迹为双曲线。
3、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
（1）定直线l不经过定点F.
（2）定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1=f(x,y)y1=g(x,y)
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.
交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.该问题常用参数法和交轨法进行处理,交轨法是对参数方程法的一种优化,参数方程法是联立两个曲线方程,解出交点的参数方程,然后再消参求出轨迹,而交轨法是直接把两个曲线方程中的参数消去,得到轨迹方程.所以用交轨法求动点轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消掉参数,得出点的两个坐标间的关系即可
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,且所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到,也没有相关信息可用时,可先考虑将,用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参.