2026年高考数学一轮复重难点培优02二项式定理题型技巧全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优02二项式定理题型技巧全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共24页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 二项展开式第k项（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 二项式系数（和）（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 6
\l "_Tc26803" 题型三 指定项系数（有理项）（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 8
\l "_Tc13512" 题型四 各项系数和（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 9
\l "_Tc3897" 题型五 系数最大（小）项（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 10
\l "_Tc326" 题型六 三项展开式系数问题（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 14
\l "_Tc11957" 题型七 两个二项式相乘展开系数问题（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 16
\l "_Tc17557" 题型八 赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和）（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 19
\l "_Tc28054" 题型九 整除和余数问题（★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 21
\l "_Tc8991" 题型十 近似计算问题（★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 24
\l "_Tc24465" 题型十一 杨辉三角（★★★★） PAGEREF _Tc24465 \h 25
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 28
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 28
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 39
一、二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
二、二项式的展开式的特点
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
三、两个常用的二项展开式：
①（）
②
四、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
五、二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
六、系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
七、赋值法
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【常用结论】
奇数项的系数和与偶数项的系数和
①5当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
②当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．


题型一 二项展开式第k项
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·江苏南京·月考）展开式中的第三项为 ．
【答案】
【分析】根据二项式的通项公式：对于，其展开式的第项为，代入已知条件求解.
【详解】根据二项式的通项公式得：
故答案为：.
2．（25-26高三上·上海宝山·月考）展开式的常数项为 .
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项即可求解.
【详解】的二项展开式的通项为，
令，则，
所以展开式的常数项为.
故答案为：.
3．（25-26高三上·上海青浦·期中）在的二项展开式中，第四项是常数项，则 ．
【答案】6
【分析】求出通项，再令可解.
【详解】展开式的通项为，，
因为第四项是常数项，
所以当时，，
所以
故答案为：6.
4．（2025·湖南娄底·模拟预测）若的展开式中的系数为231，则 .
【答案】2
【分析】求出展开式的通项公式，令的次幂为求出，然后利用系数列方程即可求解.
【详解】的展开式的通项，.
令，解得，则，解得.
故答案为：2.
5．（2024·江西鹰潭·一模）的展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】由题意得的展开式通项，令，求出回代到通项公式中去即可求解.
【详解】的展开式通项为，
由题意令，解得，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：.

题型二 二项式系数（和）
【技巧通法·提分快招】
1．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数.
【详解】已知的展开式第项为，
当，为含项，二项式系数为.
故选：C.
2．（25-26高三上·江苏南京·月考）若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．15D．20
【答案】A
【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解.
【详解】由题意得， ，所以展开式的通项为
令 ，所以展开式中的常数项为．
故选：A.
3．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A．B．各项的二项式系数和为128
C．二项式系数最大的项只有1项D．第5项系数等于
【答案】B
【分析】根据二项展开式的通项公式和相关性质逐一判断各选项即可.
【详解】由题意，解得，故A错误；
二项展开式的各项的二项式系数和为，故B正确；
的二项展开式共有8项，其二项式系数最大的项有两项，分别为第四项和第五项，故C错误；
对于D，二项展开式的第5项为，其系数为35，故D错误.
故选：B.
4．（25-26高三上·北京昌平·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为
【答案】20
【分析】根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为的二项式系数和为64，则，解得，
所以二项式系数最大值为.
故答案为：20.
5．（25-26高三上·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .
【答案】7
【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案.
【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式共有9项，即，
所以展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：7
6．（25-26高三上·江苏徐州·期中）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则 .
【答案】
【分析】写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可.
【详解】因为展开式的通项为，
因为第2项与第3项的二项式系数之比为，
所以，即，解得.
故答案为：

题型三 指定项系数（有理项）
1．（2025·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】由通项公式即可求解.
【详解】通项公式为，
易知当或或或时，
即或或或时，可得有理数项，
所以有理数的项的个数是4，
故选：A
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ）
A．43B．C．27D．
【答案】D
【分析】根据展开式通项公式得到第7项，从而得到方程，求出，，进而得到，则，求出有理项的系数和.
【详解】展开式的第7项为，
由题意可得，，，解得，，
则展开式的通项为，，
令，则，
所以展开式中的有理项的系数和为.
故选：D.
3．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项.
【详解】由题知，又，
所以，展开式通项为，令，
则，所以展开式中有4项的有理项.
故选：C

题型四 各项系数和
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·江苏泰州·月考）已知的二项展开式中各项系数的和为 ．
【答案】256
【分析】利用赋值法计算即可.
【详解】对于，令，
则的二项展开式中各项系数的和为．
故答案为：256
2．（25-26高三上·四川南充·月考）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为 ．
【答案】135
【分析】根据给定条件，利用赋值法求得指数，再利用二项式展开式的通项计算求解.
【详解】依题意，，解得，
故二项式的展开式的通项为：，
当时，可得该展开式中的系数为.
故答案为：.
3．（2025·西藏拉萨·二模）若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则 ．
【答案】或1
【分析】由赋值法求得系数和，构造等式求解即可.
【详解】由题知二项式系数之和为，
令，系数之和为．
取，得，
所以，解得或1．
故答案为：或1
4．，且，则 .
【答案】5
【分析】令原式中的，再利用等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】在中，
令，得，
所以，即，解得.
故答案为：5.

题型五 系数最大（小）项
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（ ）
A．280B．448C．560D．672
【答案】C
【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数.
【详解】展开式通项公式为，且为整数，
要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，
则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，
故二项式展开式中，系数最大值为.
故选：C
2．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（ ）
A．252B．210C．120D．10
【答案】B
【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可.
【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32，
所以，
所以的通项公式为
，
当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为，
故选：B
3．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解.
【详解】的展开式的通项为，
由题可知，解得．
故选：A
4．（24-25高三下·重庆渝中·月考）在 的展开式中系数最大的项为 .
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果.
【详解】的展开式的通项公式为,
所以系数为，其中，
当为奇数时，为负数，系数不是最大，
，
所以系数最大的项为
故答案为：
5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ．
【答案】
【分析】根据二项式系数及项的系数的关系求出，由展开式通项公式列出不等式组得解.
【详解】由题意，，即，解得，
因为，，
所以，解得或（舍去），
因为，
设第项系数最大，则，
即，解得，
因为为正整数，所以，
所以展开式中系数最大的项为.
故答案为：.
6．已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为 ，系数最大值为 ．
【答案】 70 7
【分析】写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，设第项的系数最大得，求解即可.
【详解】二项式通项公式为：
，
所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，
第三项的系数为： ，
由于前三项的系数成等差数列，
所以，解得，或，
因为至少有前三项，所以（舍），故，
所以二项式系数的最大值为.
二项式通项公式为：，
设第项的系数最大，故，
即，即，
解得，
因为，所以或，
故系数最大的项为或.
故系数最大值为7.
故答案为：70；7.

题型六 三项展开式系数问题
【技巧通法·提分快招】
1．的展开式中，的系数为（ ）
A．4B．32C．60D．120
【答案】D
【分析】根据二项式的通项公式求解即可，也可速解即根据乘法的运算规律进行求解.
【详解】的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以的展开式通项为，
由，得，
因此展开式中的系数为．
故选：D．
速解：
由5个相乘得到，要得到含的项的系数，
需要1个提供x，2个提供y，2个提供，
则展开式中的系数为．
故选：D．
2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A．B．12C．D．18
【答案】A
【分析】根据多项式展开式系数的计算直接求解即可．
【详解】根据题意，
展开式中项为，
所以展开式中的系数为．
故选：A．
3．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（ ）
A．B．
C．160D．80
【答案】A
【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解.
【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，
选或或．
设选的有个，选的有个，那么选的有个，
则有，解得或或，
即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个；
因此含项的系数为.
故选：A
4．（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．120C．240D．360
【答案】B
【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.
【详解】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取，
即这一项为.
故的系数为.
故选：B
5．（25-26高三上·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可．
【详解】的展开式表示10个因式的乘积，
故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选，
即可得到含的项，故的系数为，即；
在的展开式表示9个因式的乘积，
故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项，
故的系数为，即，
所以.
故选：B．

题型七 两个二项式相乘展开系数问题
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．3D．8
【答案】B
【分析】分析可知含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，即可得解.
【详解】因为含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，
所以的系数为.
故选：B．
2．（25-26高三上·重庆·月考）展开式中的系数为（ ）
A．B．24C．D．16
【答案】D
【分析】先写出的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
若从因式选取，则需，
此时展开式中含的项为；
若从因式选取，则需，
此时展开式中含的项为；
故展开式中的系数为.
故选：D
3．（2025·浙江宁波·一模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．0B．20C．10D．
【答案】A
【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意得展开式的通项公式为，
令，，
令，，
所以的系数为0.
故选：A
4．（25-26高三上·湖北·月考）的展开式中的系数为（ ）
A．162B．168C．180D．185
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
所以的展开式中的系数为.
故选：B
5．（2025·山东聊城·二模）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】C
【分析】先根据已知系数列式求出，再应用赋值法计算系数和即可.
【详解】的展开式中的系数为，所以，
所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48.
故选：C.
6．（2024·福建福州·模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．34D．74
【答案】B
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
【详解】的展开式为，1，2，3，4，，
的展开式，1，2，3，，
当，时，的系数为；
当，时，的系数为；
当，时，的系数为，
故的系数为．
故选：．

题型八 赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和）
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·北京·开学考试）若，则（ ）
A．B．0C．1D．32
【答案】D
【分析】利用赋值法直接求值即可.
【详解】由题意得，
令，可得，
则，故D正确.
故选：D
2．（24-25高三下·广东·月考）若，则（ ）
A．1B．C．129D．
【答案】B
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】令可得，
令可得，
即，
故选：B
3．（25-26高三上·宁夏·开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】赋值法求系数和.
【详解】令，则①，
令，则②，
则（①-②）再除以2可得，
故选：B.
4．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由赋值法可得.
【详解】设，
则，
，
因此，.
故选：C.
5．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】赋值可得，结合导数及代入可得，进而求解即可.
【详解】设，
令，得，又，
令，则，
所以，
即.
故选：A．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，.然后去绝对值，令，即可得出所求代数式的值.
【详解】的展开式通项为，
所以，
故当为偶数时，；当为奇数时，.
所以
.
故选：A.
7．已知多项式可以写成，则（ ）
A．0B．1C．256D．2560
【答案】A
【分析】由二项式定理可得，令，对求导并令可得结果.
【详解】易知，
所以，
令，则，
令，则，所以．
故选：A．

题型九 整除和余数问题
1．（2025·甘肃白银·三模）98除的余数是（ ）
A．1B．9C．3D．6
【答案】A
【分析】将转化为，写出其二项展开式，即可求解.
【详解】，故98除的余数是1．
故选：A
2．除以128的余数为（ ）
A．51B．43C．41D．33
【答案】C
【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案.
【详解】因为，
且显然能被128整除，
所以所求余数即为681除以128的余数.
因为，所以除以128的余数为41.
故选：C.
3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知，，若，，则（ ）
A．1B．13C．12D．2
【答案】B
【分析】由题可得，变形即可求解.
【详解】由题可得,
所以得
，
由于
，所以；
故选：B
4．若，且，若能被9整除，则的值为（ ）
A．1B．3C．6D．8
【答案】A
【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案.
【详解】因为，
所以该二项展开式的通项为，
当时，能被9整除，
但时，不能被9整除，
要使能被9整除，则能被9整除，
因为，所以，
，即.
故选：A.
5．被9除的余数是 .
【答案】7
【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数.
【详解】根据二项式定理，
对进行变形，
可得，即.
因为，所以.
根据二项式定理展开：
，
则.
除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除，
所以除以9的余数就是.
即被9除的余数是.
故答案为：7.
6．（2025·湖北武汉·三模）被8除的余数为 .
【答案】2
【分析】根据二项式展开式性质计算求解余数.
【详解】，
因为能被8整除，
所以除以8的余数即是被8除的余数，
所以被8除的余数是2.
故答案为：2.

题型十 近似计算问题
1．最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20B．1.21C．1.22D．1.23
【答案】C
【分析】利用二项式定理进行估值即可.
【详解】由题意得，
由二项式定理得，
而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，
所以我们得到，
则其与1.22更接近，故C正确.
故选：C
2．实数精确到的近似值为 .
【答案】
【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解.
【详解】因为
，
将精确到，故近似值为.
故答案为：.
3． （精确到0.01）
【答案】30.84
【分析】先利用二项式定理将原式化为，再变形为，利用二项式定理展开，并近似计算．
【详解】原式
故答案为：30.84．

题型十一 杨辉三角
1．杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第（）斜线上所有数值之和最大时，的值为（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
【答案】C
【分析】根据题意可得前2024行第斜线上所有数值之和为，第斜线上所有数值之和为，结合组合数的运算性质即可求解．
【详解】当时，前2024行第斜线上所有数值之和为
．
同理，前2024行第斜线上所有数值之和为，而，
所以前2024行第斜线与第斜线上所有数值之和最大时，，
解得．
故选：C.
2．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
【答案】D
【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得.
【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误；
对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和，
因，故，故B错误；
对于C，
，故C错误；
对于D，因，而，故D正确．
故选：D．
3．（多选题）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据杨辉三角的性质可得，，进而判断各选项即可.
【详解】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误；
当时，
，选项C正确；
当时，
，选项D正确．
故选：ACD．
4．“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：
则第8行的第7个数是 .
【答案】28
【分析】根据“杨辉三角”的特征，直接求出结果.
【详解】依题意，第8行的第7个数是.
故答案为：28.
5．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第8与第9个数的比为.
【答案】31
【分析】根据第行中从左至右第8个数与第9个数的比为，可以列出关于的等式，进而可解得正整数的值.
【详解】第行从左到右第8个数为，第9个数为，
依题意得，即，解得.
故答案为：31.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．二项式的展开式中常数项为（ ）
A．B．540C．15D．
【答案】B
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项.
【详解】二项式的展开式的通项为，
由，得，
所以二项式的展开式中常数项为.
故选：B.
2．（23-24高三下·山东·开学考试）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】利用二项式系数的性质直接求解即可.
【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有项，即.
故选：B
3．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项.
【详解】由题知，又，
所以，展开式通项为，令，
则，所以展开式中有4项的有理项.
故选：C
4．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项.
【详解】因为，所以，二项展开式的通项为
，
故二项展开式中，二项式系数最大的项为.
故选：A.
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】C
【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可.
【详解】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即，
即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81，
令可得，，解得，
此时二项式为，其展开式的通项公式为
，，
令，得，所以展开式中的系数是.
故选：C.
6．（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．30C．45D．15
【答案】A
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】的展开式中，有，
则的系数为，的系数为，
所以的展开式中，的系数为．
故选：A．
7．的展开式中的系数为（ ）
A．6B．8C．27D．33
【答案】D
【分析】解法一：将原展开式可以看作与展开式各项的乘积，然后根据二项式定理展开式的通项，分别求出两个二项式展开式中含的项，即可得出答案；解法二：化为，然后反复根据二项式定理展开式求解即可得出答案.
【详解】解法一：
因为，即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积.
展开式的通项为，
则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为；
展开式的通项为，
则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为.
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
解法二：
因为，展开式的通项为.
要使展开式中含，则可取或.
当时，，展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为；
当时，，展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为.
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
故选：D．
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D.
【详解】对于A，令，得，即，故A错误；
对于B，展开式的通项公式为，
所以，故B错误；
对于C，令，得，
即，故C正确；
对于D，令，得，
即，
因为，
所以，
因为，
所以不成立，故D错误.
故选：C
9．（2025·四川广安·二模）关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（ ）
A．2B．1C．3D．-1
【答案】D
【分析】分别计算展开式中项系数和项系数，进而可求解.
【详解】展开式中项系数为：，项系数为：,
所以展开式中含的项的系数，
解得，
故选：D
10．（2025·江西新余·模拟预测）100除的余数为：（ ）．
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【分析】将化为，利用二项式定理展开可得.
【详解】
，
因为是100的倍数
而20249除以100的余数为49.
故选：B．
11．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】令得，令得，两式相减即可得，即利用二项式定理即可求解.
【详解】令得，令得，
两式相减得，
所以，因为
，，因为能被8整除，
所以被8整除的余数为4.
故选：C.
12．（2025·广东珠海·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据二项展开式的通项判断各项系数的正负，然后利用赋值法求出，根据二项展开式的通项求出系数即可.
【详解】由，
其展开式的通项为，，
由于，且的展开式中的次数均为偶数，
所以当为偶数时，对应项的的次数为偶数，且对应项的系数大于0，
当为奇数时，对应项的的次数为奇次，且对应项的系数小于0，
所以为正数，为负数，
由，
令，则，
则，
此时由，
其展开式的通项为，，
而的展开式的通项为，，
要使的展开式中的次数为3，
则或，
则，
故选：A．
13．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第行中，最大
C．
D．
【答案】C
【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误；
对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和，
因，故，故C正确；
对于选项D，因为
，
则，故D错误；
故选：C.
14．（25-26高三上·广东·开学考试）（多选题）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为B．各项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第项D．有理项的系数和为
【答案】AC
【分析】根据二项式展开式的通项、对赋值进行计算即可求解.
【详解】二项式的通项为：，
当即时，该项为常数项，即，故选项A正确；
当时，各项系数和为，故选项B错误；
因为是偶数，所以二项式系数最大的项是，
即第项为二项式系数最大的项，故选项C正确；
有理项要求的指数为整数，即为整数，
令，则，即，故需为偶数，
因此，分别计算对应项的系数：
，
，
，
，
有理项系数和为，因此选项D错误.
故选：AC.
15．（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选题）已知二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】令，利用二项展开式通项可判断A选项；利用赋值法可判断BC选项；求导，结合赋值法可判断D选项.
【详解】令，
对于A选项，的展开式通项为，
其中，，所以，A对；
对于B选项，，
所以，B错；
对于C选项，，
所以，C对；
对于D选项，，
故，D对.
故选：ACD.
16．（多选题）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．第10行中从左往右第5个数与第6个数之比为
【答案】AD
【分析】根据杨辉三角的性质以及组合数的相关知识，对选项进行分析.
【详解】根据组合数性质，A正确；
，故B错误；
根据A的等式，，故C错误；
第10行中从左往右第5个数与第6个数分别为和，比值为，故D正确，
故选：AD.
17．（2025·湖北·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．被8整除的余数为1
D．精确到的近似数为
【答案】ABD
【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项.
【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确；
对于B项，令得①，令得②，
所以①②可得，故B项正确；
对于C项，，
由此可得被8整除的余数为，故C项错误；
对于D项，
，
所以精确到的近似数为，故D项正确.
故选：ABD.
18．（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则 ．
【答案】2
【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出.
【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，
所以当时的项为常数项，解得.
故答案为：2.
19．（25-26高三上·上海·单元测试）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ．
【答案】5
【分析】利用二项式展开式的通项公式可得结论.
【详解】因为展开式的通项为，
要使系数为有理数的项，需为整数，所以，共5项．
故答案为：5.
20．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ．
【答案】1215
【分析】根据正态分布的对称性，求得的值后，利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.
【详解】，，
，．
展开式第项：
，．
故答案为：1215.
21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）的常数项为 .
【答案】31
【分析】本题如果使用公式，计算将非常繁琐，选择使用组合数的方法，进行解答即可.
【详解】选取常数项；应将含有的项全部消掉（约分掉），观察项中的的指数比，为，
为了将指数化为0，如果选了一个，则应该选择2个，
所以所有选择的可能性有以下两种：①分别选择0个、0个、5个；②分别选择1个、2个、2个，
应用组合数可得：.
故答案为：.
22．（24-25高三下·江苏·月考）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为
【答案】
【分析】利用二项式的展开式通项公式来求解即可.
【详解】由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为，
令得，展开式中所有项的系数和为，
由题意知它们相等得，，
再根据展开式通项公式：，
当时，解得，
所以展开式中的常数项为，
故答案为：.
23．（2025·海南海口·模拟预测）若，且能被19整除，则a的最小值为 ．
【答案】1
【分析】利用二项式定理展开，即可得出也能被19整除，进而求出.
【详解】，
因能被19整除，
则也能被19整除，则，即，
因，故a的最小值为.
故答案为：
24．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 .
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项.
【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为，
因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即，
所以，则或（舍），
设展开式中第项的系数最大，则，可得，
解得，因为，所以，
所以系数最大的项为．
故答案为：

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，则（ ）
A．15B．16C．80D．81
【答案】A
【分析】应用赋值法求得、，作差即可得.
【详解】令，则，
令，则，
所以.
故选：A
2．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】赋值可得，结合导数及代入可得，进而求解即可.
【详解】设，
令，得，又，
令，则，
所以，
即.
故选：A．
3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知，则的值为（ ）
A．70B．84C．56D．126
【答案】B
【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案．
【详解】四项中不存在，
对于其余部分
展开式中的系数为，展开式中的系数为，
展开式中的系数为，展开式中的系数为，
故选：B.
4．若，则等于（ ）．
A．400B．425C．625D．800
【答案】D
【分析】法一，分解为两个二项式相乘，根据展开式的通项公式求解；法二，看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解.
【详解】解法1：，
与的展开式通项分别为：
，．
由题意知且，解得或或，
因此.
解法2：表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，选或或2．
设选的有a个，选的有b个，那么选2的有个，故有，解得或，
即选2个、3个2，或者选1个、4个2，因此含项的系数为，
故选：D．
5．（25-26高三上·广东中山·月考）（多选题）已知，展开式中只有第五项的二项式系数最大，以下说法正确的是（ ）
A．B．展开式中的系数为70
C．展开式中奇数项的系数和为D．展开式中偶数项的二项式系数和为
【答案】ACD
【分析】由展开式中只有第五项的二项式系数最大可得可判断A，由二项展开式的通项可判断B，分别令和可判断C，由二项式系数的性质可判断D.
【详解】对于A，由展开式中只有第五项的二项式系数最大，可得第五项为中间项，故展开式共有9项，从而，故A正确；
对于B，展开式中的系数为，故B错误；
对于C，令，可得；令，可得，
两式相加可得，从而，故C正确；
对于D，根据二项式系数的性质，可知展开式中偶数项的二项式系数和为，故D正确.
故选：ACD.
6．（25-26高三上·江西·开学考试）（多选题）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（ ）
A．2B．11C．15D．20
【答案】BD
【分析】由二项式的展开式通项得或，其中，且，对分四种情况讨论即可求解.
【详解】展开式的通项，展开式的通项.
因为的展开式中存在含的项，所以或，
即或，其中，且.
经检验知，当时，，，不符合题意，
当时，，不存在，符合题意；
当时，不存在，也不存在，不符合题意；
当时，，，，符合题意.
故选：BD.
7．（25-26高三上·重庆·开学考试）（多选题）已知 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假.
【详解】对A：因为，故A错误；
对B：令，得，故 B正确；
对C：令得①，
令得②.
① ②得：；①②得.
所以，故C正确；
对D：设，
则.
再令得，故D错误.
故选：BC
8．（25-26高三上·山西长治·月考）（多选题）已知函数，则（ ）
A．B．
C．的个位数是9D．
【答案】BD
【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D.
【详解】由题设，令，则，A错；
令，则，
所以，即，B对；
由，展开式通项为，
显然个位数由决定，即个位数是1，C错；
由，
展开式通项为，，
当时，，即， D对.
故选：BD
9．（25-26高三上·河南郑州·期中）在的展开式中按的升幂排列的第3项是 ．
【答案】
【分析】将问题转化为求项，再利用二项展开的通项公式，即可求解.
【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为项，
又的二项展开式的通项公式为，
的二项展开式的通项公式为，
故所求为，
故答案为：.
10．已知展开式中有一项是，则 .
【答案】3367
【分析】根据多项展开式每一项的次数特征，以及生成这一项的方法，结合组合数公式，即可求解.
【详解】因为展开式中每一项的次数均为，故；
从而含有的项为，
所以，故.
故答案为：
11．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，则 ； ．
【答案】
【分析】直接用二项展开式的通项可求得.用赋值法（令和），然后两式作差，可求得答案.
【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：，所以
令, 得：
……(1)
令, 得：
即：
……(2)
(1)式与(2)式作差，得：,
所以.
故答案为：；
12．（25-26高三上·安徽·开学考试）设，则 .
【答案】3
【分析】由二项式定理得，代入求值即可.
【详解】由二项式定理可得，
，
则有，
当时，.
故答案为：3.
13．被9除的余数是 .
【答案】7
【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数.
【详解】根据二项式定理，
对进行变形，
可得，即.
因为，所以.
根据二项式定理展开：
，
则.
除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除，
所以除以9的余数就是.
即被9除的余数是.
故答案为：7.
求a+bnn∈N∗ 型展开式中特定项问题的步骤
二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n．
“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如ax+bn，ax2+bx+cma,b,c∈R,m,n∈N∗的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如ax+byna,b∈R,n∈N∗的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.
（1）二项式系数最大项的确定方法
（2）二项展开式系数最大项的求法
求a+b+cnn∈N∗ 型展开式中问题的方法
（1）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题.
（2）因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题.
（3）组合知识法：把a+b+cn看成n个a+b+c的乘积，利用组合知识分析项的构成.
求两个因式之积的特定项（或系数）的两种常用方法
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
④一般地，若fx=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，则fx的展开式中各项系数之和为f1，奇数项系数之和为a0+a2+a4+⋯=f1+f−12，偶数项系数之和为a1+a3+a5+⋯=f1−f−12.