2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)高考数学(空间向量与立体几何、解析几何)76个方法技巧全归纳(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)高考数学(空间向量与立体几何、解析几何)76个方法技巧全归纳(学生版+解析)，共23页。
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc225516026" 方法技巧01 基本立体图形结构特征 PAGEREF _Tc225516026 \h 1
\l "_Tc225516027" 方法技巧02 空间几何体的直观图 PAGEREF _Tc225516027 \h 2
\l "_Tc225516028" 方法技巧03 空间几何体的展开图 PAGEREF _Tc225516028 \h 3
\l "_Tc225516029" 方法技巧04 空间几何体的表面积与体积 PAGEREF _Tc225516029 \h 4
\l "_Tc225516030" 方法技巧05 简单几何体的外接球 PAGEREF _Tc225516030 \h 7
\l "_Tc225516031" 方法技巧06 简单几何体的内切球 PAGEREF _Tc225516031 \h 10
\l "_Tc225516032" 方法技巧07 与球有关的截面问题 PAGEREF _Tc225516032 \h 11
\l "_Tc225516033" 方法技巧08 基本事实的应用 PAGEREF _Tc225516033 \h 12
\l "_Tc225516034" 方法技巧09 空间两直线位置关系的判定 PAGEREF _Tc225516034 \h 14
\l "_Tc225516035" 方法技巧10 异面直线所成的角 PAGEREF _Tc225516035 \h 16
\l "_Tc225516036" 方法技巧11 空间几何体的截面、截线问题 PAGEREF _Tc225516036 \h 18
\l "_Tc225516037" 方法技巧12 截面分割体积比问题 PAGEREF _Tc225516037 \h 21
\l "_Tc225516038" 方法技巧13 直线与平面平行的判定 PAGEREF _Tc225516038 \h 24
\l "_Tc225516039" 方法技巧14 线面平行性质定理的应用 PAGEREF _Tc225516039 \h 26
\l "_Tc225516040" 方法技巧15 平面与平面平行的判定与性质 PAGEREF _Tc225516040 \h 28
\l "_Tc225516041" 方法技巧16 平行关系的综合应用 PAGEREF _Tc225516041 \h 31
\l "_Tc225516042" 方法技巧17 直线与平面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc225516042 \h 33
\l "_Tc225516043" 方法技巧18 平面与平面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc225516043 \h 35
\l "_Tc225516044" 方法技巧19 垂直关系的综合应用 PAGEREF _Tc225516044 \h 37
\l "_Tc225516045" 方法技巧20 三垂线定理及其逆定理 PAGEREF _Tc225516045 \h 41
\l "_Tc225516046" 方法技巧21 空间向量的线性运算 PAGEREF _Tc225516046 \h 43
\l "_Tc225516047" 方法技巧22 空间向量数量积的应用 PAGEREF _Tc225516047 \h 44
\l "_Tc225516048" 方法技巧23 利用向量证明平行与垂直 PAGEREF _Tc225516048 \h 46
\l "_Tc225516049" 方法技巧24 异面直线所成的角 PAGEREF _Tc225516049 \h 49
\l "_Tc225516050" 方法技巧25 直线与平面所成的角 PAGEREF _Tc225516050 \h 51
\l "_Tc225516051" 方法技巧26 平面与平面的夹角 PAGEREF _Tc225516051 \h 56
\l "_Tc225516052" 方法技巧27 求空间距离 PAGEREF _Tc225516052 \h 59
\l "_Tc225516053" 方法技巧28 立体几何中的探索性问题 PAGEREF _Tc225516053 \h 63
\l "_Tc225516054" 方法技巧29 立体几何中的翻折问题 PAGEREF _Tc225516054 \h 67
\l "_Tc225516055" 方法技巧30 动态空间位置关系的判定 PAGEREF _Tc225516055 \h 70
\l "_Tc225516056" 方法技巧31 立体几何轨迹问题 PAGEREF _Tc225516056 \h 73
\l "_Tc225516057" 方法技巧32 立体几何最值(范围)问题 PAGEREF _Tc225516057 \h 76
\l "_Tc225516058" 方法技巧33 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc225516058 \h 79
\l "_Tc225516059" 方法技巧34 直线方程的求法 PAGEREF _Tc225516059 \h 81
\l "_Tc225516060" 方法技巧35 直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc225516060 \h 82
\l "_Tc225516061" 方法技巧36 两条直线位置关系的判断及应用 PAGEREF _Tc225516061 \h 83
\l "_Tc225516062" 方法技巧37 两条直线的交点与距离问题 PAGEREF _Tc225516062 \h 84
\l "_Tc225516063" 方法技巧38 直线的对称问题 PAGEREF _Tc225516063 \h 86
\l "_Tc225516064" 方法技巧39 圆的方程 PAGEREF _Tc225516064 \h 88
\l "_Tc225516065" 方法技巧40 与圆有关的最值问题 PAGEREF _Tc225516065 \h 90
\l "_Tc225516066" 方法技巧41 与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc225516066 \h 92
\l "_Tc225516067" 方法技巧42 直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc225516067 \h 95
\l "_Tc225516068" 方法技巧43 圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc225516068 \h 97
\l "_Tc225516069" 方法技巧44 圆的切线问题 PAGEREF _Tc225516069 \h 99
\l "_Tc225516070" 方法技巧45 圆的弦长问题 PAGEREF _Tc225516070 \h 100
\l "_Tc225516071" 方法技巧46 与圆有关的综合问题 PAGEREF _Tc225516071 \h 102
\l "_Tc225516072" 方法技巧47 椭圆的定义及应用 PAGEREF _Tc225516072 \h 103
\l "_Tc225516073" 方法技巧48 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc225516073 \h 106
\l "_Tc225516074" 方法技巧49 椭圆的简单几何性质 PAGEREF _Tc225516074 \h 107
\l "_Tc225516075" 方法技巧50 椭圆的离心率问题 PAGEREF _Tc225516075 \h 109
\l "_Tc225516076" 方法技巧51 与椭圆有关的最值(范围)问题 PAGEREF _Tc225516076 \h 111
\l "_Tc225516077" 方法技巧52 椭圆的蒙日圆及其性质 PAGEREF _Tc225516077 \h 112
\l "_Tc225516078" 方法技巧53 直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc225516078 \h 114
\l "_Tc225516079" 方法技巧54 椭圆的弦长问题 PAGEREF _Tc225516079 \h 116
\l "_Tc225516080" 方法技巧55 椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc225516080 \h 118
\l "_Tc225516081" 方法技巧56 直线与椭圆的综合问题 PAGEREF _Tc225516081 \h 120
\l "_Tc225516082" 方法技巧57 圆锥曲线的非对称韦达问题 PAGEREF _Tc225516082 \h 123
\l "_Tc225516083" 方法技巧58 双曲线的定义及其应用 PAGEREF _Tc225516083 \h 126
\l "_Tc225516084" 方法技巧59 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc225516084 \h 128
\l "_Tc225516085" 方法技巧60 双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc225516085 \h 130
\l "_Tc225516086" 方法技巧61 双曲线的离心率 PAGEREF _Tc225516086 \h 131
\l "_Tc225516087" 方法技巧62 与双曲线有关的最值、范围问题 PAGEREF _Tc225516087 \h 132
\l "_Tc225516088" 方法技巧63 直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc225516088 \h 133
\l "_Tc225516089" 方法技巧64 抛物线动点轨迹的判定 PAGEREF _Tc225516089 \h 135
\l "_Tc225516090" 方法技巧65 抛物线上的点到定点的距离及最值 PAGEREF _Tc225516090 \h 136
\l "_Tc225516091" 方法技巧66 抛物线的标准方程与几何性质 PAGEREF _Tc225516091 \h 138
\l "_Tc225516092" 方法技巧67 直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc225516092 \h 139
\l "_Tc225516093" 方法技巧68 抛物线中的阿基米德三角形 PAGEREF _Tc225516093 \h 141
\l "_Tc225516094" 方法技巧69 圆锥曲线中的四点共圆问题 PAGEREF _Tc225516094 \h 143
\l "_Tc225516095" 方法技巧70 圆锥曲线中的定点问题 PAGEREF _Tc225516095 \h 149
\l "_Tc225516096" 方法技巧71 圆锥曲线的定值问题 PAGEREF _Tc225516096 \h 155
\l "_Tc225516097" 方法技巧72 圆锥曲线的定直线问题 PAGEREF _Tc225516097 \h 157
\l "_Tc225516098" 方法技巧73 圆锥曲线的等角定理 PAGEREF _Tc225516098 \h 161
\l "_Tc225516099" 方法技巧74 圆锥曲线中的范围、最值问题 PAGEREF _Tc225516099 \h 164
\l "_Tc225516100" 方法技巧75 圆锥曲线中的证明、探索性问题 PAGEREF _Tc225516100 \h 169
\l "_Tc225516101" 方法技巧76 圆锥曲线的极点、极线 PAGEREF _Tc225516101 \h 173
方法技巧01 基本立体图形结构特征
空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
【典例1】(多选)下列说法中正确的是( )
A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【解析】由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的几何体是圆台，故A正确；
各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面是菱形，不一定是正方体，故B错误；
底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；
棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．故选AD．
【典例2】(多选)下列说法中正确的是( )
A．长方体是直四棱柱
B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
【解析】长方体是直四棱柱，A正确；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错误；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；平行六面体是棱柱，D错误．故选AC．
方法技巧02 空间几何体的直观图
在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半．
【典例1】如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是( )
A．AB＝2
B．A′D′＝22
C．四边形ABCD的周长为4＋22＋23
D．四边形ABCD的面积为62
【解析】由题意可知A′D′＝2，直观图的原图形如图所示，所以AB＝4，AD＝22，CD＝2，作CE⊥AB于点E，可求得BC＝23．
所以四边形ABCD的周长为6＋22＋23，四边形ABCD的面积为12×4+2×22＝62．故选D．
【典例2】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．34a2 B．38a2 C．68a2 D．616a2
【解析】法一：如图①②所示的原图形和直观图，
由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，
则C′D′＝22O′C′＝68a，所以S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616a2．故选D．
法二：S△ABC＝12×a×a sin 60°＝34a2，
又S直观图＝24S原图＝24×34a2＝616a2．故选D．
方法技巧03 空间几何体的展开图
在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
【典例1】如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为( )

A．22 B．25
C．4 D．45
【解析】如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，
由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短．
所以最短路线长为BC1＝42+22＝25．故选B
【典例2】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是( )

A．a2+9b2 B．9a2+b2
C．4a2+9b2 D．a2+b2
【解析】
正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为a2+9b2．故选A．
方法技巧04 空间几何体的表面积与体积
求空间几何体的体积的常用方法
【典例1】(2024·山东枣庄一模)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为( )
A．6π B．16π
C．26π D．32π
【解析】圆台的上底面圆半径r′＝1，下底面圆半径r＝3，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有2π×3=πl+x，2π×1=πx，解得x=2，l=4，所以圆台的侧面积S＝πr'+rl＝π1+3×4＝16π．故选B．
【典例2】为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为( )
A．78 B．4324
C．19 D．127
【解析】设正六棱柱的底面边长为a，由题意知正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为23a，正六棱锥的侧棱长为133a，正六棱锥的侧面积
S1＝6×12a139a2−14 a2＝432a2，
正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以S1S2＝4324．故选B．
【典例3】(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为( )
A．23π B．33π
C．63π D．93π
【解析】设圆柱和圆锥的底面半径均为r，则圆锥的母线长为r2+3，而它们的侧面积相等，所以2πr×3＝πr×3+r2，即23＝3+r2，故r＝3，故圆锥的体积为13π×9×3＝33π．故选B．
【典例4】(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为________．
【解析】法一：如图所示，设O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O．因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12−BE2＝2−12＝62，所以O1O＝62，所以V正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766．
法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22．连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2−BO2＝6，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为62，所以V正四棱台ABCD−A1B1C1D1＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766．(或者V四棱锥P-ABCD＝13×22×6＝463，V四棱锥P−A1B1C1D1＝18V四棱锥P-ABCD，所以V正四棱台ABCD−A1B1C1D1＝V四棱锥P-ABCD－V四棱锥P−A1B1C1D1＝78V四棱锥P-ABCD＝78×463＝766．)
《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
【解析】
如图，过点E作EG⊥平面ABCD，垂足为点G，过点F作FH⊥平面ABCD，垂足为点H，过点G作PQ∥AD，交AB于点Q，交CD于点P，过点H作MN∥BC，交AB于点N，交CD于点M，连接EQ，EP，FN，FM．则AQ＋NB＝4－2＝2，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM＝13(AQ＋NB)·AD·EG＋S△EPQ·NQ＝13×2×3×1＋12×3×1×2＝5(立方丈)．
方法技巧05 简单几何体的外接球
求解外接球问题的方法
(1)解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．
(2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置．
(3)到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是球的半径，列关系式求解即可．
(4)分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心．
【典例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝3π4，AA1＝BC＝2，则球O的体积为( )
A．43π B．8π C．12π D．20π
【解析】在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径r＝BC2sin∠BAC＝22sin3π4＝2，则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径R＝r2+AA122＝22+12＝3，
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为43πR3＝43π．故选A．
【典例2】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
【解析】由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32+OO12＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42+OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．
【典例3】已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝5，BC＝7，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为( )
A．83π B．823π
C．163π D．323π
【解析】∵AB＝5，BC＝7，AC＝2，
∴PA＝1，PC＝3，PB＝2．
以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，如图所示，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球．
∵长方体的体对角线长为1+3+4＝22，
∴球的直径为22，半径R＝2，
∴三棱锥P-ABC外接球的体积为43πR3＝43π×(2)3＝823π．故选B．
【典例4】在四面体P-ABC中，已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则该四面体的外接球的体积为( )
A．π B．3π C．2π D．3π2
【解析】如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，
又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB．
在Rt△PBC中，OB＝12PC，
同理OA＝12PC，
所以OA＝OB＝OC＝12PC，
因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，
在Rt△ABC中，AC＝AB2+BC2＝2．
在Rt△PAC中，PC＝PA2+AC2＝3，
球O的半径R＝12PC＝32，
所以外接球的体积为43π×323＝3π2．故选D.
【典例5】已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝22，PC＝5，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．
【解析】如图所示，设M为BC的中点，在平面PBC内过点M作MN⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，MN⊂平面PBC，所以MN⊥平面ABC．
又△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以直线MN上任意一点到A，B，C的距离相等．
在平面PBC内作线段PB的垂直平分线DE，设DE与MN的交点为O，则点O到P，A，B，C的距离都相等，即点O为三棱锥P-ABC外接球的球心，并且O也是△PBC的外心．
因此三棱锥P-ABC外接球的半径与△PBC的外接圆的半径相等．
又PB＝22，BC＝3，PC＝5，
所以cs ∠PBC＝8+9−52×22×3＝22，
则sin ∠PBC＝22．
设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，
则2R＝522＝10，即R＝102，
则外接球的表面积S＝4πR2＝10π．
方法技巧06 简单几何体的内切球
“切”的问题处理规律
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法．
(3)正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1．(a为该正四面体的棱长)
(4)等体积法求内切球半径．
【典例1】已知圆台的上、下底面的半径之比为12，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为( )
A．3π B．5π
C．8π D．9π
【解析】设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面．
由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切，
故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r．
根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1，
所以球的直径为HG＝22，即半径为2，则球的表面积为4π×(2)2＝8π．故选C．
【典例2】 (2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
【解析】法一：
如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝BC2−BD2＝22．易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝22－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(22－R)2－R2＝4，所以R＝22，圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π．
法二：
如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝BC2−BD2＝22，则S△ABC＝22．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝2S△ABC3+3+2＝22，所以圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π．
【典例3】若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________．
【解析】设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积S1＝4×34×a2＝3a2，其内切球的半径r为612a，因此内切球的表面积S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π．
方法技巧07 与球有关的截面问题
巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤
(1)确定球心O和截面圆的圆心O′．
(2)探求球的半径R和截面圆的半径r．
(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．
【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A．3 B．32
C．1 D．32
【解析】由等边三角形ABC的面积为934，得34×AB2＝934，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝23×32AB＝33AB＝3．设球的半径为R，由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝R2−r2＝1，故选C．
【典例2】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高是8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A．500π3 cm3 B．866π3 cm3
C．1 372π3 cm3 D．2 048π3 cm3
【解析】设球心为O，半径为R cm，正方体上底面中心为A，上底面一边的中点为B(图略)，在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，AB＝4 cm，OB＝R cm，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5(cm)，∴V球＝43πR3＝500π3(cm3)．故选A．
方法技巧08 基本事实的应用
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【典例1】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
[证明] (1)如图所示，连接B1D1．
因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面．
(2)连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，平面BDEF为β．
因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF