2026年高考数学一轮复重难点培优02统计解答题全题型归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优02统计解答题全题型归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共12页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 频率分布直方图（含其他类型统计问题）（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 线性回归方程（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 7
\l "_Tc26803" 题型三 非线性回归方程（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 9
\l "_Tc13512" 题型四 残差与决定系数（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 12
\l "_Tc3897" 题型五 独立性检验（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 16
\l "_Tc326" 题型六 统计新定义（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 20
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 23
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 23
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 34
1、根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
（1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
（3）众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．
2、样本相关系数
（1）样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示：
两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量，
其计算公式为，
其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数．
（2）相关系数r与相关程度
（1）当时，称成对样本数据正相关；
当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系；
（2）样本相关系数r的取值范围为[-1,1]；
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3、一元线性回归模型
（1）一元线性回归模型参数的最小二乘估计
回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征.
（2）我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．
这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计，
其中
4、回归分析
（1）残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为残差；
（2）残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图；
（3）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽带越窄，说明模型拟合精度越高；
一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析，借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策；
（4）残差平方和：称为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；
（5）决定系数R2比较，，R2越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好，R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
5、非线性回归模型
（1）解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程．
求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误．
6、常见的非线性函数转换方法
（1）幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值)
对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x，
令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数，
该式表示u，v的线性函数.
（2）指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1):
对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a，
令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数，
该式表示u，x的线性函数.与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y.
（3）反比例函数y＝ (k>0)：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数.
（4）二次函数y＝ax2＋c：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数.
（5）对数型函数y＝clgax：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数.
7、独立性检验
（1）计算公式:，其中.
（2）临界值的定义：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，概率值越小，临界值越大.
（3）独立性检验：，通常称为零假设或原假设.
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.
这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
（4）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
（5）独立性检验的一般方法
①根据题目信息，完善列联表；
②提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
③根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
④当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。


题型一 频率分布直方图（含其他类型统计问题）
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·宁夏·一模）某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
(1)计算样本的平均数和方差；
(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）．
2．某市举办徒步(健步)示范队评选活动，其宗旨是激发大众健身热情，展现徒步(健步)队伍风采．某小区计划按年龄组队，现从参与活动的居民中随机抽取40人，将他们的年龄分为7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)试求这40人年龄的85%分位数的估计值；
(2)已知该小区年龄在[10，80]的总人数为2 000，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人(18周岁及18周岁以上为成年人)的人数．
3．某校高一（1）班、（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学生的成绩分别为，，…，，平均成绩为，方差为，已知，.
(1)求，；
(2)记（2）班所有学生的成绩分别为，，…，，其平均成绩为82，，试求两个班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定.
4．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率；
(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差
5．某校有高中生2000人，其中男女生人数之比约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案．
方案一：采用比例分配的分层随机抽样法，抽取了样本量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．
方案二：采用分层随机抽样法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的平均数为170，女生样本的平均数为160．
(1)根据图表信息，求并将频率分布直方图补充完整，估计该校高中生身高的平均数．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）
(2)计算方案二中总样本的平均数．
(3)计算两种方案总样本平均数的差，并说明用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计合适吗？为什么？
6．（25-26高三上·山东潍坊·月考）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
(3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

题型二 线性回归方程
【技巧通法·提分快招】
1．由国家统计局提供的数据可知，2012年至2018年中国居民人均可支配收入y（单位：万元）的数据如下表．
(1)求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)分析2012年至2018年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测2019年中国居民人均可支配收入．
参考数据：，．
参考公式，．
2．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量（千克）之间的对应数据的散点图如图所示.
(1)从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数并判断它们的相关程度；
(2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量.
附：，，.
3．（2025·广东深圳·模拟预测）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（%）：
(1)求2017-2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)预测2026年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
样本相关系数，．
4．（2025·广东广州·模拟预测）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图.
经计算得，，，，.
(1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；
(2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到），并预测胸径为cm的树高.
附：相关系数，回归方程中，，.

题型三 非线性回归方程
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·山东济南·三模）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
2．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且．
(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
(2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值．
参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
3．（2025·山东烟台·三模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据：
(1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程；
(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量；
(3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望．
参考数据和公式：．，．
令，，，．
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
4．有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展.
根据以上数据，回答下面的问题.
(1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由.
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1）
(3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为；
参考数据：，令，.

题型四 残差与决定系数
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·云南丽江·三模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了次试验，得到数据如下：
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，
(1)求关于的线性回归方程；
(2)求各样本的残差；
(3)试预测加工个零件需要的时间.
2．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下：
并计算得，．
(1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）；
(2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）．
附：，．
3．某公司为了解年研发资金（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程：
①；②．
(1)求的值；
(2)已知①中的残差平方和，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值．
参考数据：，，，．
参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数．
4．（2025·湖南·三模）中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表：
(1)若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好．
附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数
参考数据：，，，
线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）．
5．在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示.
甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型：
模型①；模型②，
两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表：
计算得到两个模型的残差平方和分别为：，，
若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据.
(1)请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？
(2)在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）.
参考公式：，
参考数据：
6．（2025·江苏徐州·模拟预测）某品牌新能源汽车在某城市2024年1月至5月的销售量如下表所示：
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3的一对数据为“异常数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数X的概率分布和数学期望．
附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

题型五 独立性检验
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表：
(1)记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为，求的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？
附：，．
2．（25-26高三上·广东·开学考试）某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数．
(1)当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率；
(2)若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值．
附：
3．（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表：
(1)完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
4．（25-26高三上·广东东莞·月考）苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边城市开设加盟分店，为了确定在城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在相城区的5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.
(1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程：
(2)如果该公司最终决定在城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异?
参考公式：，，，
5．（25-26高三上·湖北武汉·月考）某种疾病分为甲、乙两种类型，为研究该疾病的类型与患者性别是否有关，随机抽取了名患者进行调查，得到如下列联表：
(1)根据小概率值的独立性检验，得出了“所患疾病的类型与性别有关”的结论，求的最小值；
(2)现对部分人群接种预防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2个周期接种疫苗，每人每周期必须接种3次，每次接种后，产生抗体的概率为0.8．如果一个周期内至少2次产生抗体，那么该周期结束后终止接种，否则进入第二个周期．已知每人每周期接种费用为30元，试估计1000人接种疫苗总费用的期望．附，
6．（25-26高三上·四川南充·月考）近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，商品和快递都满意的交易次数为80次.
(1)根据已知条件完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断是否有充分的理由认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
(2)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.
附：，，

题型六 统计新定义
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三下·湖南·月考）多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高.已知两个实验水塘的构成如下：
(1)若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2)（i）比较的多样性大小；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
2．某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下：
甲 47 51 49 50 53
乙 44 51 60 58 52
(1)利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价；
(2)产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广?
3．2024年安徽省首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（在政治、地理、化学、生物中选修2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将我省某再选科目原始成绩按从高到低划分为A、B、C、D、E五个等级，各等级人数占一定的比例，依照转换公式（转换公式：，其中，分别表示某等级所对应原始分的下限和上限，，分别表示对应等级赋分区间的下限和上限，表示某等级内考生的原始分，表示相应等级内某考生的赋分成绩），将五个等级的原始分分别转换到相应的五个分数区间，并将所得分数小数点后“四舍五入”，得到保留为整数的转换分作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表：
(1)我校某学生高考查分显示政治是81分，已知该学生所在等级原始分上限、下限分别为77分、63分（以上数据仅是示例），求该生政治科目今年高考的原始分；
(2)现从我省今年高考化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示.求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计我省今年高考化学原始成绩等级中的最低分（小数点后四舍五入，保留为整数）.
4．近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在省内的发展情况，某调查机构从省内抽取了5个城市，并统计了共享单车的指标和指标，数据如下表所示：
(1)画出散点图；
(2)建立关于的经验回归方程，并预测当指标为7时，指标的估计值；
(3)若某城市的共享单车的指标在区间的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至指标在区间内．现已知省内某城市共享单车的指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由（其中）．
参考公式：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计分别为．
5．统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值.
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题.
(1)根据材料估计敌军生产的战机数量；
(2)已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，.
（ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；
（ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明：
6．（24-25高三下·云南昭通·月考）某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政，园艺，共有400名学生．学校对学生选择了这两类课程的人数进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有两项缺失，用频率估计概率，已知在学生为男生的情况下，选择家政课的概率为，统计表格如下：
(1)补全表格，并根据小概率值的独立性检验，判断学生选择哪类劳动教育课程是否与性别有关；
(2)为检测两类课程的授课效率，学校对某一课程中同一知识点教师的授课时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长（分钟）和学生任务完成率数据如下：
学校为了调研学生完成率是否存在某一上课时长下完成率与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式：①，②，已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显．
（i）用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显；
（ii）判断此后校方的每次调研均采用（i）中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理，并证明你的判断．
附：，

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（25-26高三上·安徽·开学考试）近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
(1)求空气质量优良的概率的估计值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
2．（24-25高三上·江西宜春·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.
3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）7月1日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下映，结束了自今年1月29日以来153天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15天累计票房到达（单位：亿元）与所用时间（单位：天）的数据：
(1)利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
(2)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理．
参考公式：经验回归方程，其中．
相关系数．
参考数据：．
4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了若干人，得到如下列联表：
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求关系；
(2)在（1）的条件下，根据小概率值的独立性检验，分析得出超声波检查结果与患该疾病有关.求的最小值.（保留整数）
附，
5．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）药物临床试验是确认新药有效性和安全性必不可少的步骤，为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示：
若采用一元线性回归模型，已知一个经验回归方程为①；若采用一元非线性回归模型，可求得经验回归方程②.
(1)求；
(2)①与②哪个更适合作为关于的经验回归方程？请比较其决定系数的大小，并说明理由.
附：（i）参考数据：；在经验回归方程②中，；
（ii）对于一组数据，决定系数.
6．（25-26高三上·广东佛山·月考）某书店内有2017本书．下面的框线图显示店内书的售价的分布．已知这些书的总售价是，而该分布的分布域是四分位数间距的4倍．
(1)求该分布的下四分位数和分布域．
(2)现书店的经理增加210本新书，如下表所示：
已知增加210本新书后店内所有书的平均售价至少是，且．该经理宣称增加210本新书后，书的售价的中位数小于105$．你是否同意？试解释你的答案．
7．（2024·陕西西安·一模）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：
试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？
(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为，当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；
方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励元食堂代金券．
若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？
8．（25-26高三上·宁夏吴忠·月考）某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得免费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况
经计算得：．
(1)求关于的线性回归方程及第5天的残差：（精确到0.001）
(2)为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表：
①完成以上列联表：
②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传．
参考公式：
9．（25-26高三上·上海·开学考试）据文化和旅游部发布的数据显示，近几年国内出游人次显著增加.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：
(1)请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望.
10．某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：
(1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：与中哪一个适宜作为回归方程模型?
(2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程；
(3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）．
11．（23-24高三下·重庆·开学考试）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
(1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
(2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：，，，，，，，， ．
12．（2024·广西柳州·三模）某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
附：参考公式：，．
参考数据：，，．
(1)求p的值；
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；
(3)用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望．
13．（2025·云南·模拟预测）自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）.
(1)若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）.
(2)若用作为回归模型，
①求的值；
②已知该模型下的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模.
参考数据：
附：（1）上表中；
（2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数.
14．已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为，
(1)求关于的回归直线方程；
(2)由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）；
(3)又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，，，，
其回归直线方程为，其中，.
15．（2024·广东·一模）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏检率时，求临界值和错检率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
16．（2024·宁夏银川·一模）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：
改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和
(1)求；
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）．
17．（25-26高三上·云南玉溪·月考）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图.
附：．
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到．
18．（23-24高三上·安徽·月考）我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Scre)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为 其中R₁，R₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R时，等级分为G.某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)根据频率分布直方图求a，b的值，并估计此次化学考试原始分的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（25-26高三上·北京·月考）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.
(1)从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率；
(2)从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为，求的分布列及数学期望；
(3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对序号分别为1，2和3的这3篇论文按照标准化得分从高到低进行排名，请你写出排名结果.（结论不要求证明）
2．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：
其中，.
参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
(1)根据散点图判断，在推广期内，与 （均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
3．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
(1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）；
(2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）；
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
附：方差：相关系数：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，.
4．统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表：
(1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差；
(2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）；
(3)在一般情况下，证明：．
变量x
…
变量y
…
0. 1
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001
2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
1、在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
2、在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值。
3、频率分布直方图中的“众数”：根据众数的意义，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数。一般用中点近似值代替。
身高
频数
6
4
1、线性回归分析问题的类型及解题方法
（1）求线性回归方程： = 1 \* GB3 ①利用公式求出回归系数，； = 2 \* GB3 ②利用回归直线过样本中心点求系数；
（2）利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
（3）利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是；
（4）回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
人均可支配收入y
1.65
1.83
2.01
2.19
2.38
2.59
2.82
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
-2
-1
0
1
2
1.3
0.4
-0.1
-0.3
-1.3
建立非线性回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
10.15
108.40
3.04
0.16
14.00
－2.10
11.67
0.21
21.22
x
6
6.5
7
7.5
8
y
1.5
2
3
4.5
6.8
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
运营里程y/万千米
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.9
3.5
3.9
1、残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为残差；
2、决定系数R2比较，，R2越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好，R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
技艺展示量x（单位：个）
21
23
24
27
29
32
市场消费收入y（单位：万元）
6
11
20
27
57
77
月份
1
2
3
4
5
6
销售额（万元）
14
16
22
21
24
25
月份
1
2
3
4
5
6
销售额y（万元）
14
16
22
21
24
25
模型①
估计值
14.7
16.9
19.1
21.3
23.5
25.7
残差
2.9
0.5
模型②
估计值
14.6
16.1
17.8
19.7
21.8
24.1
残差
4.2
1.3
2.2
0.9
月份x
1
2
3
4
5
销售量y/辆
32
48
63
80
107
独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
优良品
合格品
合计
AI智能
80
20
100
手工
60
40
100
合计
140
60
200
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参加
不参加
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
性别
经常借助AI技术
不经常借助AI技术
合计
男
女
50
合计
120
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
（个）
2
3
4
5
6
（十万元）
2.5
3
4
4.5
6
不下单
下单
合计
分店一
分店二
合计
性别
疾病类型
合计
甲型病
乙型病
男
女
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
对快递满意
对快递不满意
合计
对商品满意
80
对商品不满意
合计
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
明确题目中的新定义是针对统计中的某一概念、方法或运算的拓展或创新.理解这一新定义的本质属性、条件、结论以及适用范围.
绿藻
衣藻
水绵
蓝藻
硅藻
6
6
6
6
6
12
4
3
6
5
等级
A
B
C
D
E
比例
赋分区间
城市1
城市2
城市3
城市4
城市5
指标
2
4
5
6
8
指标
3
4
4
4
5
课程
性别
合计
男生
女生
家政
160
园艺
120
合计
400
时长
20
24
28
32
36
40
完成率
50
70
60
66
72
84
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
空气质量
锻炼人次
优良
7
26
37
轻度污染
6
7
8
中度污染
7
2
0
空气质量
人次≤400
人次
合计
优良
污染
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
累计票房
20
40
60
80
100
用时
4
7
9
10
15
超声波检查结果组别
正常
不正常
合计
患该疾病
未患该疾病
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
2
3
4
5
6
55
20
6
3
1
种类
每本书的售价
书的数目
旅游书
92$
102
小说
h$
54
漫画
k$
54
成绩
高一学生人数
高二学生人数
第天
1
2
3
4
5
6
7
预约量（万张）
9.03
9
8.58
8.7
8.76
8.74
8.79
50岁以下
50岁（含50）以上
合计
通过APP预约人数
70
其它方式购票人数
80
合计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
青壮年
中老年
合计
自由行
60
跟团游
50
合计
80
170
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
1
2
3
4
5
6
1
1.5
3
6
12
经验回归方程
残差平方和
试销单价x（百元）
1
2
3
4
5
6
产品销量y（件）
91
86
p
78
73
70
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份编号
1
2
3
4
5
核心产值规模
1.5
2.5
3.4
4.9
7.8
3
4.02
16.16
104.91
1.24
22.54
1.1
1.5
11.4
组
0.66
0.68
0.69
0.71
0.72
0.74
组
0.46
0.48
0.49
0.49
0.51
0.51
箱产量
箱产量
旧养殖法
新养殖法
等 级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
81
83
82
2
80
86
83
3
84
86
85
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
67
82
74.5
7
61
76
68.5
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
1
2
3
4
5
6
7
6
11
21
34
66
101
196
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
甲
①
②
③
④
⑤
数学成绩
1
2
3
4
5
物理成绩
1
3
3
3
5
2
5
6
7
10
乙
①
②
③
④
⑤
数学成绩
3
3
4
5
5
物理成绩
1
3
3
4
4
4
6
7
9
9