2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第03讲二项式定理(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第03讲二项式定理(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了二项式定理的项，二项式展开的系数，三项的二项式系数，二项式系数的和，奇偶项系数和，系数最值，整除和余数，杨辉三角等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1214003413" 考情探究 PAGEREF _Tc1214003413 \h 1
\l "_Tc513232144" 知识梳理 PAGEREF _Tc513232144 \h 2
\l "_Tc1598317856" 探究核心考点 PAGEREF _Tc1598317856 \h 3
\l "_Tc55265469" 考点一 二项式定理的项 PAGEREF _Tc55265469 \h 3
\l "_Tc1133801979" 考点二 二项式展开的系数 PAGEREF _Tc1133801979 \h 3
\l "_Tc1187461222" 考点三 三项的二项式系数 PAGEREF _Tc1187461222 \h 4
\l "_Tc1095226583" 考点四 二项式系数的和 PAGEREF _Tc1095226583 \h 4
\l "_Tc1390842044" 考点五 奇偶项系数和 PAGEREF _Tc1390842044 \h 5
\l "_Tc522735913" 考点六 系数最值 PAGEREF _Tc522735913 \h 5
\l "_Tc266889914" 考点七 整除和余数 PAGEREF _Tc266889914 \h 6
\l "_Tc1672929662" 考点八 杨辉三角 PAGEREF _Tc1672929662 \h 6
\l "_Tc2072922710" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc2072922710 \h 9
\l "_Tc984781689" 基础过关 PAGEREF _Tc984781689 \h 9
\l "_Tc569379594" 能力提升 PAGEREF _Tc569379594 \h 10
\l "_Tc375705326" 真题感知 PAGEREF _Tc375705326 \h 11
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.
【备考策略】
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【命题预测】本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.
1.二项式定理相关概念
该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项，
其中各项的系数叫做二项式系数，
展开式的第项为
注意：①是第项，而不是第k项；
②通项公式中a，b的位置不能颠倒．
2.二项式系数的性质
3.系数之和（赋值法）
①求各项系数之和，令即可
②若，则f(x)展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为.
考点一 二项式定理的项
典例1．若的二项展开式中第项是常数项，则 .
典例2．的二项展开式中第4项是 .
跟踪训练1．（多选）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（ ）
A．6B．11C．15D．20
跟踪训练2．展开式中的常数项为160，则实数 ．
考点二 二项式展开的系数
典例1．若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．15D．20
典例2．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则 .
跟踪训练1．在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．6B．16C．24D．216
跟踪训练2．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为 ．
考点三 三项的二项式系数
典例1．的展开式中的系数是 （用数字作答）.
典例2．若，则 ．
跟踪训练1．（多选）下列命题错误的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是
C．30030能被64个不同偶数整除
D．在的二项展开式中，则第3项的二项式系数为10
跟踪训练2．在的展开式中，的系数为 ．
考点四 二项式系数的和
典例1．（多选）设，则下列说法正确的有（ ）
A．的展开式中所有项的二项式系数的和为
B．
C．
D．
典例2．（多选）已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ）
A．B．只有第3项的二项式系数最大
C．的系数为D．各项系数之和为
跟踪训练1．（多选）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．常数项为-64B．含的项的系数为-160
C．所有的二项式系数之和为64D．所有项的系数之和为-1
跟踪训练2．若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则 ，该展开式每一项的系数之和为 .
考点五 奇偶项系数和
典例1．（多选）已知二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
典例2．若，则 ； .
跟踪训练1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 系数最值
典例1．（多选）在的展开式中，（ ）
A．常数项为20
B．含的项的系数为80
C．各项系数的和为32
D．各项系数中的最大值为80
典例2．已知.
(1)当时，，求中的最大值；
(2)若，求.
跟踪训练1．（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为B．各项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第项D．有理项的系数和为
跟踪训练2．已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
考点七 整除和余数
典例1．已知，，若，，则（ ）
A．1B．13C．12D．2
典例2．已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ；
跟踪训练1．被9除的余数是 .
跟踪训练2．已知，求证：能被20整除.
考点八 杨辉三角
典例1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
典例2．（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
跟踪训练1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第行的第个数为，则
跟踪训练2．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第行中，最大
C．
D．
一、单选题
1．的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．30C．45D．15
2．的展开式中的系数为（ ）
A．210B．C．10D．
3．若，则等于（ ）
A．4B．C．32D．
4．已知，则的值为（ ）
A．70B．84C．56D．126
5．展开式中的系数为（ ）
A．B．12C．D．18
6．的展开式中，的系数为（ ）
A．15B．30C．45D．60
7．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（ ）
A．10B．C．D．
二、多选题
8．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A．
B．各项二项式系数和为128
C．二项式系数最大项有2项
D．第5项系数等于-35
9．二项式的展开式中含的项的系数是60，则下列说法正确的是（ ）
A．B．展开式中含的项的系数是
C．展开式中一定有含的项D．展开式中的常数项是
三、填空题
10．若为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是 ．
11．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .
12．已知的展开式的所有系数之和为，则 ．
13．展开式中的常数项是 ．
14．已知，则 .
15．若，则 ．（用数字作答）
16．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
1．设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（ ）
A．1B．C．D．
2．（多选）下列有关说法正确的是（ ）
A．设随机变量服从正态分布，若，则
B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种
C．若，则
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；
3．（多选）二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（ ）
A．B．C．D．
4．在的展开式中，若的系数为，则 .
5．已知函数，.
(1)若，求；
(2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称.
（i）求，；
（ii）若，，.证明：.
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
3．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
4．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
7．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年上海卷第4题，4分
特定项系数
无
2025年北京卷第12题，5分
题特定项和系数和
无
2025年天津卷第11题，5分
特定项系数
无
2024年上海卷第6题，4分
系数最大值
无
2024年北京卷第4题，5分
特定项系数
无
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到
增减性与最大值
当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值
①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；
②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大；
二项式系数的和
二项式系数的和为
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即
第03讲 二项式定理
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc710713491" 考情探究 PAGEREF _Tc710713491 \h 1
\l "_Tc657598623" 知识梳理 PAGEREF _Tc657598623 \h 2
\l "_Tc1309209299" 探究核心考点 PAGEREF _Tc1309209299 \h 3
\l "_Tc763241131" 考点一 二项式定理的项 PAGEREF _Tc763241131 \h 3
\l "_Tc873865186" 考点二 二项式展开的系数 PAGEREF _Tc873865186 \h 4
\l "_Tc411519269" 考点三 三项的二项式系数 PAGEREF _Tc411519269 \h 5
\l "_Tc1507010743" 考点四 二项式系数的和 PAGEREF _Tc1507010743 \h 8
\l "_Tc907424883" 考点五 奇偶项系数和 PAGEREF _Tc907424883 \h 10
\l "_Tc1808631234" 考点六 系数最值 PAGEREF _Tc1808631234 \h 12
\l "_Tc34126553" 考点七 整除和余数 PAGEREF _Tc34126553 \h 15
\l "_Tc186842522" 考点八 杨辉三角 PAGEREF _Tc186842522 \h 16
\l "_Tc641175340" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc641175340 \h 20
\l "_Tc160998734" 基础过关 PAGEREF _Tc160998734 \h 20
\l "_Tc76327118" 能力提升 PAGEREF _Tc76327118 \h 26
\l "_Tc782134967" 真题感知 PAGEREF _Tc782134967 \h 30
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.
【备考策略】
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【命题预测】本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.
1.二项式定理相关概念
该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项，
其中各项的系数叫做二项式系数，
展开式的第项为
注意：①是第项，而不是第k项；
②通项公式中a，b的位置不能颠倒．
2.二项式系数的性质
3.系数之和（赋值法）
①求各项系数之和，令即可
②若，则f(x)展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为.
考点一 二项式定理的项
典例1．若的二项展开式中第项是常数项，则 .
【答案】
【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解.
【详解】的二项展开式中第项是常数项，
所以，解得.
故答案为：.
典例2．的二项展开式中第4项是 .
【答案】
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：的二项展开式中第4项是.
故答案为：.
跟踪训练1．（多选）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（ ）
A．6B．11C．15D．20
【答案】ABD
【分析】根据二项式展开式的通项公式结合题意求得正确答案.
【详解】由题意得展开式的通项，
展开式的通项，
要使的展开式中存在含的项，
则或，即或，其中，
所以的值可能是，不可能的是.
故选：ABD.
跟踪训练2．展开式中的常数项为160，则实数 ．
【答案】1
【分析】根据二项式的通项公式结合常数项计算求参数.
【详解】由题意知，
则，即，
故即．
故答案为：1.
考点二 二项式展开的系数
典例1．若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．15D．20
【答案】A
【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解.
【详解】由题意得， ，所以展开式的通项为
令 ，所以展开式中的常数项为．
故选：A.
典例2．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则 .
【答案】
【分析】写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可.
【详解】因为展开式的通项为，
因为第2项与第3项的二项式系数之比为，
所以，即，解得.
故答案为：
跟踪训练1．在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．6B．16C．24D．216
【答案】A
【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可.
【详解】由题可知：的项的二项式系数为.
故选：A
跟踪训练2．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为 ．
【答案】135
【分析】根据给定条件，利用赋值法求得指数，再利用二项式展开式的通项计算求解.
【详解】依题意，，解得，
故二项式的展开式的通项为：，
当时，可得该展开式中的系数为.
故答案为：.
考点三 三项的二项式系数
典例1．的展开式中的系数是 （用数字作答）.
【答案】-60
【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项.
【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：，
令，得
的通项公式为：
令，解得：，
,
项为
的系数是-60.
典例2．若，则 ．
【答案】
【分析】根据二项展开式公式分别计算即可.
【详解】由题意，中含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
故.
故答案为：
跟踪训练1．（多选）下列命题错误的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是
C．30030能被64个不同偶数整除
D．在的二项展开式中，则第3项的二项式系数为10
【答案】ACD
【分析】由幂函数图象的特点可得A错误；把换为可得，再代入化简可得，再根据导数的几何意义求解可得B正确；由加法原理结合组合数的计算可得C错误；先将原式变形为，再由二项式系数的计算可得D错误.
【详解】对于A，当时，函数的图象是一条除去点的直线，故A错误；
对于B，由，有，
即，
将代入，
有，
故，，
所以在处的切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程是，即，故B正确；
对于C，因为，所以30030的任一偶因数必含2这个因数，
另含3,5,7,11,13中的若干个因数，
在3,5,7,11,13共五个因数中取个数做因数，有种方法，
根据加法原理，30030的所有偶因数有个，故C错误；
对于D，，
所以第三项的二项式系数为，故D错误.
故选：ACD
跟踪训练2．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】-30
【分析】将视作为，计算出第项，从而得出的系数.
【详解】解：
故，
因为要求的系数，
所以或5，
当时，的系数为，
当时，的系数为，
所以的系数为.
【点睛】本题考查了二项式定理的知识，解题的关键是要将转化为来求解，进而分类讨论得到结果.
考点四 二项式系数的和
典例1．（多选）设，则下列说法正确的有（ ）
A．的展开式中所有项的二项式系数的和为
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】A选项，由结论直接可得二项式系数的和为，A正确；B选项，令得；C选项，赋值得到，相加可得C正确；D选项，令得，D错误.
【详解】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确；
B选项，中，令得，B正确；
C选项，中，令得
①，
令得②，
两式①+②得，
即，C正确；
D选项，，
由二项式定理得，
故，，
令得，D错误.
故选：ABC
典例2．（多选）已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ）
A．B．只有第3项的二项式系数最大
C．的系数为D．各项系数之和为
【答案】AC
【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D.
【详解】由题设，可得，A对；
展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B错误；
展开式通项为，，
令，可得，则的系数为，C对；
令，则，D错.
故选：AC
跟踪训练1．（多选）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．常数项为-64B．含的项的系数为-160
C．所有的二项式系数之和为64D．所有项的系数之和为-1
【答案】BC
【分析】利用二项式定理得展开式为可对A、B判断求解；利用二项式系数的性质可判断C，利用赋值法求出展开式系数和可判断D
【详解】A：由题得二项式的展开式为，当时为常数项，且系数为，故A错误；
B：当时，系数为，故B正确；
C：因，所有的二项式系数之和为，故C正确；
D：令，得所有项的系数之和为，故D错误.
故选：BC.
跟踪训练2．若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则 ，该展开式每一项的系数之和为 .
【答案】
【分析】由二项式系数和性质求，赋值法求系数和.
【详解】由已知可得，解得；
令，则展开式每一项的系数之和为
故答案为：，.
考点五 奇偶项系数和
典例1．（多选）已知二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】令，利用二项展开式通项可判断A选项；利用赋值法可判断BC选项；求导，结合赋值法可判断D选项.
【详解】令，
对于A选项，的展开式通项为，
其中，，所以，A对；
对于B选项，，
所以，B错；
对于C选项，，
所以，C对；
对于D选项，，
故，D对.
故选：ACD.
典例2．若，则 ； .
【答案】
【分析】利用赋值法直接计算即可.
【详解】令，则；
令，
令，
两式相减得，
即.
故答案为：；.
跟踪训练1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】赋值法求系数和.
【详解】令，则①，
令，则②，
则（①-②）再除以2可得，
故选：B.
跟踪训练2．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D.
【详解】对于A，令，得，即，故A错误；
对于B，展开式的通项公式为，
所以，故B错误；
对于C，令，得，
即，故C正确；
对于D，令，得，
即，
因为，
所以，
因为，
所以不成立，故D错误.
故选：C
考点六 系数最值
典例1．（多选）在的展开式中，（ ）
A．常数项为20
B．含的项的系数为80
C．各项系数的和为32
D．各项系数中的最大值为80
【答案】BD
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解AB，根据二项式系数的定义可求解C，求出展开式的通项公式为：，利用求解即可判断D。
【详解】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确；
含x的项为，故x的系数是80，所以B正确；
各项系数的和是令时得到，即，故C错误．
的展开式的通项公式为：，
设第项的系数最大，系数为，则，
解得：或，此时系数为，故D正确；
故选：BD．
典例2．已知.
(1)当时，，求中的最大值；
(2)若，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可；
（2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可.
【详解】（1）当时，，
，则，
显然为奇数时，；为偶数时，；
则当取到最大值时，为偶数，
设为最大项，其中．当时，
得，即，
解得，又因为，经验证得：．
又因为，所以最大项为．
（2）法一：因为，
，
令，得：，所以：．
法二：
则，因为，所以，
所以
跟踪训练1．（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为B．各项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第项D．有理项的系数和为
【答案】AC
【分析】根据二项式展开式的通项、对赋值进行计算即可求解.
【详解】二项式的通项为：，
当即时，该项为常数项，即，故选项A正确；
当时，各项系数和为，故选项B错误；
因为是偶数，所以二项式系数最大的项是，
即第项为二项式系数最大的项，故选项C正确；
有理项要求的指数为整数，即为整数，
令，则，即，故需为偶数，
因此，分别计算对应项的系数：
，
，
，
，
有理项系数和为，因此选项D错误.
故选：AC.
跟踪训练2．已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据组合数的性质可得，利用不等式两边夹逼的方法可得，即可利用三角函数的周期公式求解.
【详解】由题意可知，展开式的二项式系数为，
当时，取得最大值，展开式的系数为，
当满足，时，系数最大．
即即，解得．
又，时，系数的最大值为．
则，所以，其最小正周期为，
故选：B．
考点七 整除和余数
典例1．已知，，若，，则（ ）
A．1B．13C．12D．2
【答案】B
【分析】由题可得，变形即可求解.
【详解】由题可得,
所以得
，
由于
，所以；
故选：B
典例2．已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ；
【答案】
【分析】利用两个数列的通项公式得出公共项的关系，借助二项式定理及整除问题求出.
【详解】令数列的第项与数列的第项相等，即，则，
由，
显然是3的正整数倍，由，得是3的倍数，
则，因此为正奇数，即，于是，
所以数列的通项公式.
故答案为：
跟踪训练1．被9除的余数是 .
【答案】7
【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数.
【详解】根据二项式定理，
对进行变形，
可得，即.
因为，所以.
根据二项式定理展开：
，
则.
除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除，
所以除以9的余数就是.
即被9除的余数是.
故答案为：7.
跟踪训练2．已知，求证：能被20整除.
【答案】证明见解析
【分析】法一：要证能被20整除，只需证明能被5整除，且能被4整除，而这只需按二项式定理展开和；法二：由，联想到等比数列的前项和公式，，当，或时，便可将与表示成若干个正整数的和，由此证明本题结论．
【详解】法一：
．
因为对任意正整数，，，，，，，都是正整数，
所以是20的倍数，即能被20整除.
法二：因为，，
所以，．
故，
此式是20的倍数，即能被20整除.
考点八 杨辉三角
典例1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
【答案】D
【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得.
【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误；
对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和，
因，故，故B错误；
对于C，
，故C错误；
对于D，因，而，故D正确．
故选：D．
典例2．（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
【答案】ABC
【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，由“杨辉三角”可得，第行的第个数为，
对于A，根据，
则，故A错误；
对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，故B错误；
对于C，记第行的第个数为，则，
则，故C错误；
对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，
则两个数的比为，故D正确.
故选：ABC.
跟踪训练1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第行的第个数为，则
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD.
【详解】对于A，
，
A正确；
对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确；
对于C，第行所有数字的平方和，
第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，
而，
又展开式中项的系数为，
因此，C正确；
对于D，因为，所以，D不正确.
故选：D
跟踪训练2．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第行中，最大
C．
D．
【答案】C
【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误；
对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和，
因，故，故C正确；
对于选项D，因为
，
则，故D错误；
故选：C.
一、单选题
1．的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．30C．45D．15
【答案】A
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】的展开式中，有，
则的系数为，的系数为，
所以的展开式中，的系数为．
故选：A．
2．的展开式中的系数为（ ）
A．210B．C．10D．
【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项求出含的项即可得出结果.
【详解】已知展开式中第项为，
令，解得；
所以含的项为.
因此展开式中的系数为.
故选：D
3．若，则等于（ ）
A．4B．C．32D．
【答案】D
【分析】利用二项式的通项公式赋值即可.
【详解】的通项公式为：，
令得：，
所以.
故选：D
4．已知，则的值为（ ）
A．70B．84C．56D．126
【答案】B
【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案．
【详解】四项中不存在，
对于其余部分
展开式中的系数为，展开式中的系数为，
展开式中的系数为，展开式中的系数为，
故选：B.
5．展开式中的系数为（ ）
A．B．12C．D．18
【答案】A
【分析】根据多项式展开式系数的计算直接求解即可．
【详解】根据题意，
展开式中项为，
所以展开式中的系数为．
故选：A．
6．的展开式中，的系数为（ ）
A．15B．30C．45D．60
【答案】A
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式中的通项为，
取，可得的系数为.
故选：A．
7．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可．
【详解】的展开式表示10个因式的乘积，
故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选，
即可得到含的项，故的系数为，即；
在的展开式表示9个因式的乘积，
故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项，
故的系数为，即，
所以.
故选：B．
二、多选题
8．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A．
B．各项二项式系数和为128
C．二项式系数最大项有2项
D．第5项系数等于-35
【答案】BC
【分析】利用二项展开式的性质和通项公式计算即可逐一判断.
【详解】对于A，的二项展开式共有8项，则 ，即，故A错误；
对于B，二项式展开式中各项的二项式系数的和为，故B正确；
对于C，因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，故C正确；
对于D，因，则第5项的系数是35，故D错误.
故选：BC.
9．二项式的展开式中含的项的系数是60，则下列说法正确的是（ ）
A．B．展开式中含的项的系数是
C．展开式中一定有含的项D．展开式中的常数项是
【答案】ABD
【分析】由含的项的系数是60，求得，再结合通项公式逐个判断即可.
【详解】的通项公式为，
令，可得，解得，A正确，
故通项公式为：，
令，可得项的系数为，B正确，
由，得不符合题意，所以展开式中一定不含的项，C错误，
对于D,令，可得展开式中的常数项是，D正确，
故选：ABD
三、填空题
10．若为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是 ．
【答案】
【分析】求出第六十百分位数，再利用二项式定理求出常数项.
【详解】由，数据1，2，4，8，9，10的第六十百分位数是8，
所以二项式的展开式的常数项是.
故答案为：70
11．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .
【答案】7
【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案.
【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式共有9项，即，
所以展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：7
12．已知的展开式的所有系数之和为，则 ．
【答案】
【分析】利用赋值法，令即可构造方程求得结果.
【详解】的展开式的所有系数之和为，
令，则，解得：.
故答案为：.
13．展开式中的常数项是 ．
【答案】
【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案.
【详解】由二项式的展开式的通项公式为，
所以，
所以当时有常数项，当时有常数项，
所以所求展开式的常数项为.
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项求，计算比值.
【详解】因为，
所以二项展开式通项，
所以，，
所以，
故答案为：.
15．若，则 ．（用数字作答）
【答案】729
【分析】与的展开式的所有项系数和相等，故令即可求解．
【详解】由题设的通项公式为，所以，
所以与的展开式的所有项系数和相等，
令，则．
故答案为：729．
16．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
【答案】
【分析】由二项展开式通项公式即可求解.
【详解】的通项公式为，
令，则，
则系数为，
故答案为：
1．设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余式定理，结合已知条件列出关于的方程组，进而求出的值．
【详解】有因式x，，
又被除后的余式为，当，即或时，
，，
被除后的余式为，当时，余式等于的值：
当时，，
当时，，
当时，，
，解得，
．
故选：D
2．（多选）下列有关说法正确的是（ ）
A．设随机变量服从正态分布，若，则
B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种
C．若，则
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；
【答案】ACD
【分析】利用正态分布的性质可判定A，应用分组分配结合排列组合计算判断B，采用赋值法令可计算出C正确；应用指对数运算结合回归方程判断D.
【详解】对于A，设随机变量服从正态分布，
若，则曲线关于对称，则，故A正确；
对于B：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去，
则不同的安排方法有种，B选项错误；
对于C，
令，可得，
令，可得，
即可得，即，C正确；
对于D：，两边取对数得到，故，的值分别是和0.3，D正确；
故选：ACD.
3．（多选）二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取，分别赋值，，作差后化简即可得解.
【详解】由题意可得，
令，得，
令，得，
两式作差，可得，
因此，．
故选：B．
4．在的展开式中，若的系数为，则 .
【答案】
【分析】利用二项式的展开式求得：，进而可得：，最后通过裂项相消法进行求解即可.
【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第，
令，可得：的系数为，
所以，
则，
则.
故答案为：
5．已知函数，.
(1)若，求；
(2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称.
（i）求，；
（ii）若，，.证明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据二项式定理求出，，和，求出，得出，令得出答案；
（2）（i）分奇偶两种情况讨论：当时，关于对称，得到，求导得到，令得；当时，关于点对称，得到，多次求导得到，令得
，，代入求出，同理得到；
（ii）由（i）和得到，，利用放缩得到，再利用裂项相消法证明即可.
【详解】（1），
，，，，，则，，，，，
，.
又，
，，
（2）（i）当时，关于对称，则①，
对①式两边分别求导得②，
对②式两边分别求导得③，
……
，
令，代入上式得，即.
当时，关于点对称，则①，
对①式两边求导得②，
对②式两边求导得③，
……
，
令，代入上式得，即.
又，，
同理可得.
（ii）由（i）知，，.
又，，，.
所以.
所以.
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
二、填空题
2．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
【答案】
【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
【详解】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
故答案为：.
3．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，
即展开式中的系数为.
故答案为：
4．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式，
令，得，
可得项的系数为.
故答案为：.
5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，
所以的展开式项的系数为.
故答案为：10
6．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.
【详解】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
7．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为.
故答案为：20.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年上海卷第4题，4分
特定项系数
无
2025年北京卷第12题，5分
题特定项和系数和
无
2025年天津卷第11题，5分
特定项系数
无
2024年上海卷第6题，4分
系数最大值
无
2024年北京卷第4题，5分
特定项系数
无
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到
增减性与最大值
当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值
①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；
②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大；
二项式系数的和
二项式系数的和为
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即