2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题13排列与组合、二项式定理(易错专练)(学生版+解析)

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易错点1 混淆两个计数原理而出错
易错典题
【例1】（2025·上海高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.
【解析】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有种情况，（易错点）
注意：分类相斥，分步相依
要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况；
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况（其中有一种情况与上面重复），（易错点）
注意剔除重复的方法
则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况，
所以可以到达C点的概率为.
故选：B.
【错因分析】在利用两个计数原理处理计数问题时，往往容易因为混淆分类、分步而错用两个原理致错.
知识混淆：分不清分类加法计数原理与分步乘法计数原理，把多步骤完成的事当成分类，或把多类别情况当成分步，混用加、乘运算，导致结果要么少算要么多算。
概念模糊：对 “分类”“分步” 理解不清，不明白分类是任选其一即可完成，分步是依次完成才算完成。只看数字不辨逻辑，直接乱加乱乘，原理用错。
望文生义：看到 “共有多少种” 就凭感觉计算，不分析事件结构，不判断是分类还是分步，直接套用熟悉算法，忽略逻辑关系，造成计数错误。
避错攻略
【方法总结】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
【知识链接】1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。
3.两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
举一反三
【变式1-1】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有( )

A．5种B．6种C．7种D．9种
【变式1-2】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ）
A．24B．27C．30D．33
【变式1-3】（多选）（25-26高二下·陕西安康·阶段练习)现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是( )
A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法
易错点2 分步“有序”导致错误
易错典题
【例2】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【答案】 C
【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）（易错点）．
至少至多型产品抽取问题一般分类讨论或用间接法求解
方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C.
【错因分析】由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有种不同的取法，故共有（种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有（种）；②取出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是．
知识混淆：混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大。
概念模糊：对抽取模型理解不清，不区分有先后放回和无先后一次性抽取，盲目分步设序，忽略抽取对象无顺序差异，错误引入多余次序。
望文生义：看到 “抽取” 就自动分步依次取，不审题是否强调顺序，直接按有序计数，无视实际无序要求，导致结果与正确组合数不符。
避错攻略
【方法总结】对于“至少”“至多”类型的问题，考生应注意从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．
【知识链接】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（ ）
A．482种B．462种C．392种D．270种
【变式2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种B．840种C．1470种D．1480种
易错点3 分步不合理导致重复或遗漏
易错典题
【例3】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．384种B．168种C．108种D．192种
【答案】D
【解析】先给2，5染色，有种方法，（易错点）
涂色时常先从中间部分涂起
若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法．（易错点）
涂色时一般按相对区域同色或异色分类处理
因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种．
故选：D
【错因分析】本题在求解过程中容易错用分步乘法计数原理，从1到8依次涂色，方法数为，错解的根源是涂完1、2后，3号可以与1相同，也可以不同，而3号的颜色影响4号颜色的选择.
知识混淆：混淆分类与分步，把相邻、不相邻区域混为一谈，未按 “先邻后独” 分步，错误使用加法或乘法，造成计数重复或遗漏。
概念模糊：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致步骤间矛盾，结果出错。
望文生义：看到涂色就直接分步计算，不看区域相邻关系，凭直觉定顺序，无视相邻区域不能同色的约束，出现重复计数或漏算情况
避错攻略
【方法总结】使用分步计数原理时，要注意以下三点：（1）‌步骤完整性‌：完成一件事必须且只需连续完成所有步骤。每个步骤的方法选择与其他步骤无关，但所有步骤必须依次完成；
（2）‌独立性‌：每一步的方法选择是独立的，即前一步的选择不会影响后一步的选择；
（3）‌连续性‌：只有当前一步完成后，才能进行下一步。所有步骤必须依次进行，不能跳过任何一步‌.
【知识链接】1.分类计数原理的应用原则
分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，
分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.
2.分类计数原理的应用原则
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏.
举一反三
【变式3-1】（25-26 高三上·江苏南京·期中）用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-2】(25-26·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2026·重庆·一模）在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为 ；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要 种不同的颜色．
易错点4忽视排列数组合数公式的隐含条件致误
易错典题
【例4】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 .
【答案】或
【解析】根据组合数的性质，由
可知：或，（易错点）
需注意考虑上组合数方程上标间的限制条件
即或，所以和均满足题意，
所以该方程的解为：或.
【错因分析】在组合数中要注意隐含条件.
知识混淆：混淆排列数、组合数的适用条件，只记公式不关注约束，不清楚 n≥m≥0 且 m,n 为自然数，盲目代入字母参数计算，忽略取值限制。
概念模糊：对公式的意义理解不清，不明白下标不小于上标是基本前提，只机械套用表达式求解参数，不检验取值是否合法，导致出现无意义的解或范围错误。
望文生义：看到排列、组合字眼就直接列方程，不审题中隐含的整数、范围要求，默认参数可取任意实数，无视组合数的天然约束，造成增解或漏解。
避错攻略
【方法总结】本题在求解过程中容易忽略这一隐含条件而出错.
【知识链接】1、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：①；②；③．
2、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
举一反三
【变式4-1】（24-25高二下·重庆·期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（25-26高二上·上海宝山·期中）若 为正整数，则不等式 的解集是
【变式4-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（1）求的值；
（2）解不等式.
易错点5 分组问题混淆“均分”与“非均分”
易错典题
【例5】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本；
(4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；
(5)（平均分组）平均分成三堆．
【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的,而分组问题，只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同.
【解析】（1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）（易错点）；
非均匀分组，利用计数原理分完即可
(2)由(1)知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）．
(3)由(1)知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）（易错点）
不定向分配，先分组后分配
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法．
（5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. （易错点）
要注意平均分组与平均分配的区别，前者要作除法，后者不用作除法
【错因分析】(1)要特别注意平均分配与平均分组的区别，如6本书分给甲、乙、丙三人各两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以 ．一般地，n个元素中有个元素（≤n)均分成m堆一定要除以 ．
(2)非平均不定向分配问题一般“先分堆，再分配”，如第(3)小题.
知识混淆：分不清平均分组与不平均分组的计算逻辑，平均分组需除以组数的全排列消序，非均分则不用。乱套公式，要么均分没除序重复计数，要么非均分多除序导致结果偏小。
概念模糊：对分组 “去重” 理解不清，不明白均分后组间无区别会产生重复情况。只记得分组用组合数，忽略均分必须消序，概念不全导致计数错误。
望文生义：看到分组就直接连乘组合数，不判断是否均分、是否有序。默认所有分组算法一样，不看每组数量是否相同，漏掉消序步骤，结果不符合实际。
避错攻略
【方法总结】对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也应是不同的；③分堆时要注意是否均匀．
【知识链接】分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（ ）
A．110种B．140种C．220种D．280种
【变式5-2】（25-26高三上·湖南常德·月考）在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（ ）
A．150种B．360种C．450种D．800种
【变式5-3】（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案
A．90B．120C．360D．540
【变式5-4】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人．
(1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？
(3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？
易错点6 计数时混淆有序与定序
易错典题
【例6】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个B．12个C．18个D．24个
【答案】C
【解析】当首位为2时，这样的五位数有个(易错点)；
2个0之间没有顺序，2个1之间没有顺序，故需作除法
当首位为1时，这样的五位数有个（易错点）.
2个0之间没有顺序，，故需作除法
综上，这样的五位数共有个.
故选：C.
【错因分析】本题容易混淆定序与有序的区别而错解，即未考虑相同元素之间可视为定序问题，从而未作除法导致出错.
知识混淆:分不清排列（有序）与定序（部分固定顺序）的算法区别，乱套排列数公式。定序本应除以定序元素的全排列，却直接按全有序计算，导致结果偏大。
概念模糊:对 “定序” 理解不清，不明白某些元素顺序固定无需再排，仍对所有元素全排列，忽略 “顺序已定” 这一关键限制，多算无效排列。
望文生义:看到 “排列” 就默认全有序.
避错攻略
【方法总结】“定序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题，可以看做排列问题之后除掉之间的顺序．
【知识链接】1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：
(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有eq \f(Aeq \\al(n,n),Aeq \\al(m,m))种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有Aeq \\al(n－m,n)种不同的方法．
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为eq \f(（m＋n）！,n！).
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq \\al(m－1,n－1)种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为( )
A．2B．11
C．36D．42
【变式6-2】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（ ）
A．144种B．108种C．120种D．360种
【变式6-3】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400B．11760C．13440D．20160
易错点7 混淆“系数”与“二项式系数”而出错
易错典题
【例7】（25-26高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
【答案】
【解析】由题意得（易错点），
二项式系数最大的项为最中间的一项（n为偶数）或最中间的两项（n为奇数）
通项，
当满足时，系数最大，（易错点）
一般利用夹击法求系数最大的项，即此项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数
，即，解得
又
解得，
所以，
故．
【错因分析】本题容易将展开式的系数与二项式系数混淆而出错.
解.
知识混淆:把二项式系数与项的系数（含字母、常数）混为一谈，只记组合数公式，不区分式子中有无额外系数，求系数和时直接用二项式系数结果代入，导致计算错误。
概念模糊:对两个概念理解不清，只知道 “系数” 一词，不清楚二项式系数仅指组合数，与式子中其他常数、符号无关，把二者等同，求最值、求和时概念用错。
望文生义:看到 “系数” 就直接当成二项式系数，不看题目表述，忽略式子中的常数、负号、字母系数，直接用计算，导致项的系数求错、结果偏差。
避错攻略
【方法总结】处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
【知识链接】1、二项式定理
（1）二项式定理：，
（2）通项公式：，表示展开式的第项：，
（3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数.
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
= 1 \* GB3 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
（2）二项式系数的最大项
二项式系数先增后减中间项最大
= 1 \* GB3 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
= 2 \* GB3 ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（3）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，
设第项系数最大，应有，从而解出来．
举一反三
【变式7-1】（25-26高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8B．C．28D．
【变式7-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式7-3】（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A．56B．42C．84D．120
单选题
1．（25-26高三上·山东济宁·期中）若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（25-26高三上·山西·月考）已知，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
3．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026高三·全国·专题练习）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A．10种B．种C．种D．45种
5．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于4500的偶数个数是（ ）
A．160B．148C．152D．164
6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球．则标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·全国·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（ ）
A．1360B．2380C．2510D．760
8．（2025高三·全国·专题练习） 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．960B．1020C．2150D．3125
多选题
9．（25-26高三上·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（ ）
A．奇数项的二项式系数的和为256B．第6项的系数最大
C．存在常数项D．有理项共有7项
【答案】BC
10（25-26高三上·广东肇庆·月考）下面正确的是（ ）
A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；
B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法；
C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法；
D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法．
11．（25-26高三上·江西鹰潭·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第10行所有数字之和为
C．第2026行的第1013个数最大
D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3
填空题
12（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
13（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
14．（25-26高三上·福建漳州·期末）一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地选择向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，若移动5次蚂蚁仍在圆内部，则不同走法共有 种.