2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)高考数学272个方法技巧全归纳(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)高考数学272个方法技巧全归纳(学生版+解析)，共23页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25404" 方法技巧01 集合的概念 PAGEREF _Tc25404 \h 1
\l "_Tc27436" 方法技巧02 集合间的基本关系 PAGEREF _Tc27436 \h 1
\l "_Tc10457" 方法技巧03 集合的运算 PAGEREF _Tc10457 \h 2
\l "_Tc29127" 方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题 PAGEREF _Tc29127 \h 3
\l "_Tc18889" 方法技巧05 充分、必要条件的判定 PAGEREF _Tc18889 \h 4
\l "_Tc16207" 方法技巧06 充分、必要条件的探求 PAGEREF _Tc16207 \h 5
\l "_Tc25680" 方法技巧07 充分、必要条件的应用 PAGEREF _Tc25680 \h 5
\l "_Tc10756" 方法技巧08 含量词命题的否定 PAGEREF _Tc10756 \h 6
\l "_Tc10865" 方法技巧09 含量词命题的真假判断 PAGEREF _Tc10865 \h 7
\l "_Tc9602" 方法技巧10 含量词命题的应用 PAGEREF _Tc9602 \h 8
\l "_Tc11377" 方法技巧11 数(式)的大小比较 PAGEREF _Tc11377 \h 9
\l "_Tc10155" 方法技巧12 不等式的性质 PAGEREF _Tc10155 \h 10
\l "_Tc23707" 方法技巧13 不等式性质的应用 PAGEREF _Tc23707 \h 11
\l "_Tc1505" 方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值 PAGEREF _Tc1505 \h 12
\l "_Tc15870" 方法技巧15 配凑法求最值 PAGEREF _Tc15870 \h 13
\l "_Tc5449" 方法技巧16 常数代换法求最值 PAGEREF _Tc5449 \h 15
\l "_Tc32312" 方法技巧17 消元法求最值 PAGEREF _Tc32312 \h 16
\l "_Tc28135" 方法技巧18 不等式法求最值 PAGEREF _Tc28135 \h 17
\l "_Tc31380" 方法技巧19 多次运用基本不等式 PAGEREF _Tc31380 \h 19
\l "_Tc28625" 方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围 PAGEREF _Tc28625 \h 20
\l "_Tc29433" 方法技巧21 基本不等式的实际应用 PAGEREF _Tc29433 \h 21
\l "_Tc25299" 方法技巧22 不含参的不等式的解法 PAGEREF _Tc25299 \h 22
\l "_Tc387" 方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法 PAGEREF _Tc387 \h 24
\l "_Tc3114" 方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数 PAGEREF _Tc3114 \h 25
\l "_Tc25535" 方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 PAGEREF _Tc25535 \h 27
\l "_Tc13136" 方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc13136 \h 28
\l "_Tc19165" 方法技巧27 一元二次方程根的分布问题 PAGEREF _Tc19165 \h 29
\l "_Tc5610" 方法技巧28 同一函数的判断 PAGEREF _Tc5610 \h 34
\l "_Tc21076" 方法技巧29 求函数的定义域 PAGEREF _Tc21076 \h 36
\l "_Tc3156" 方法技巧30 求函数的值域 PAGEREF _Tc3156 \h 37
\l "_Tc30925" 方法技巧31 求函数的解析式 PAGEREF _Tc30925 \h 41
\l "_Tc27490" 方法技巧32 分段函数 PAGEREF _Tc27490 \h 43
\l "_Tc5464" 方法技巧33 确定函数的单调性(单调区间) PAGEREF _Tc5464 \h 44
\l "_Tc21833" 方法技巧34 函数单调性的应用 PAGEREF _Tc21833 \h 46
\l "_Tc21290" 方法技巧35 求函数的最值 PAGEREF _Tc21290 \h 47
\l "_Tc31450" 方法技巧36 函数奇偶性的判断 PAGEREF _Tc31450 \h 49
\l "_Tc20606" 方法技巧37 函数奇偶性的应用 PAGEREF _Tc20606 \h 51
\l "_Tc5995" 方法技巧38 函数的周期性 PAGEREF _Tc5995 \h 52
\l "_Tc8524" 方法技巧39 轴对称问题 PAGEREF _Tc8524 \h 53
\l "_Tc1309" 方法技巧40 中心对称问题 PAGEREF _Tc1309 \h 54
\l "_Tc15608" 方法技巧41 两函数图象间的对称问题 PAGEREF _Tc15608 \h 55
\l "_Tc29809" 方法技巧42 幂函数的图象及性质 PAGEREF _Tc29809 \h 55
\l "_Tc22047" 方法技巧43 二次函数的图象与解析式 PAGEREF _Tc22047 \h 56
\l "_Tc26937" 方法技巧44 二次函数的单调性与最值 PAGEREF _Tc26937 \h 58
\l "_Tc22063" 方法技巧45 指数幂的运算 PAGEREF _Tc22063 \h 59
\l "_Tc28783" 方法技巧46 指数函数的图象及应用 PAGEREF _Tc28783 \h 60
\l "_Tc17013" 方法技巧47 比较指数式的大小 PAGEREF _Tc17013 \h 61
\l "_Tc23936" 方法技巧48 解简单的指数方程或不等式 PAGEREF _Tc23936 \h 61
\l "_Tc16056" 方法技巧49 指数函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc16056 \h 62
\l "_Tc4859" 方法技巧50 对数的运算 PAGEREF _Tc4859 \h 64
\l "_Tc16801" 方法技巧51 对数函数的图象及应用 PAGEREF _Tc16801 \h 64
\l "_Tc14802" 方法技巧52 对数函数的性质及应用 PAGEREF _Tc14802 \h 66
\l "_Tc29059" 方法技巧53 函数图象的辨识 PAGEREF _Tc29059 \h 68
\l "_Tc9103" 方法技巧54 函数图象的应用 PAGEREF _Tc9103 \h 69
\l "_Tc5185" 方法技巧55 判定函数零点所在的区间 PAGEREF _Tc5185 \h 71
\l "_Tc14111" 方法技巧56 确定函数零点的个数 PAGEREF _Tc14111 \h 72
\l "_Tc4950" 方法技巧57 根据函数零点个数求参数 PAGEREF _Tc4950 \h 73
\l "_Tc1326" 方法技巧58 根据函数零点范围求参数 PAGEREF _Tc1326 \h 75
\l "_Tc23899" 方法技巧59 用函数图象刻画实际问题 PAGEREF _Tc23899 \h 75
\l "_Tc18471" 方法技巧60 已知函数模型的实际问题 PAGEREF _Tc18471 \h 77
\l "_Tc30842" 方法技巧61 构建函数模型的实际问题 PAGEREF _Tc30842 \h 78
\l "_Tc30026" 方法技巧62 变化率问题 PAGEREF _Tc30026 \h 79
\l "_Tc30124" 方法技巧63 导数的运算 PAGEREF _Tc30124 \h 81
\l "_Tc28548" 方法技巧64 导数几何意义的应用 PAGEREF _Tc28548 \h 82
\l "_Tc12981" 方法技巧65 两曲线的公切线问题 PAGEREF _Tc12981 \h 83
\l "_Tc12774" 方法技巧66 导函数与原函数性质关系问题 PAGEREF _Tc12774 \h 85
\l "_Tc2364" 方法技巧67 不含参数的函数的单调性 PAGEREF _Tc2364 \h 87
\l "_Tc14059" 方法技巧68 含参数的函数的单调性 PAGEREF _Tc14059 \h 88
\l "_Tc15224" 方法技巧69 函数单调性的应用 PAGEREF _Tc15224 \h 90
\l "_Tc19192" 方法技巧70 根据函数的图象判断函数的极值 PAGEREF _Tc19192 \h 92
\l "_Tc13110" 方法技巧71 求已知函数的极值 PAGEREF _Tc13110 \h 94
\l "_Tc11183" 方法技巧72 已知函数的极值(点)求参数 PAGEREF _Tc11183 \h 95
\l "_Tc3672" 方法技巧73 利用导数研究函数的最值 PAGEREF _Tc3672 \h 98
\l "_Tc8977" 方法技巧74 导数型构造函数 PAGEREF _Tc8977 \h 99
\l "_Tc3063" 方法技巧75 依据数值特征构造具体函数 PAGEREF _Tc3063 \h 102
\l "_Tc1158" 方法技巧76 地位同等同构 PAGEREF _Tc1158 \h 103
\l "_Tc18370" 方法技巧77 指对混合型的同构 PAGEREF _Tc18370 \h 104
\l "_Tc25407" 方法技巧78 移项构造法证明不等式 PAGEREF _Tc25407 \h 106
\l "_Tc23909" 方法技巧79 分拆构造双函数法证明不等式 PAGEREF _Tc23909 \h 108
\l "_Tc21648" 方法技巧80 放缩法证明不等式 PAGEREF _Tc21648 \h 109
\l "_Tc7147" 方法技巧81 端点效应 PAGEREF _Tc7147 \h 112
\l "_Tc26163" 方法技巧82 洛必达法则 PAGEREF _Tc26163 \h 115
\l "_Tc29058" 方法技巧83 单变量不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc29058 \h 117
\l "_Tc28565" 方法技巧84 单变量不等式能成立问题 PAGEREF _Tc28565 \h 119
\l "_Tc14855" 方法技巧85 双变量不等式恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc14855 \h 120
\l "_Tc24223" 方法技巧86 数形结合法探究函数零点问题 PAGEREF _Tc24223 \h 123
\l "_Tc12097" 方法技巧87 借助函数的性质探究函数的零点问题 PAGEREF _Tc12097 \h 124
\l "_Tc25487" 方法技巧88 构造函数法研究函数零点 PAGEREF _Tc25487 \h 127
\l "_Tc28603" 方法技巧89 隐零点问题 PAGEREF _Tc28603 \h 129
\l "_Tc15586" 方法技巧90 极值点偏移问题 PAGEREF _Tc15586 \h 131
\l "_Tc31128" 方法技巧91 任意角 PAGEREF _Tc31128 \h 136
\l "_Tc11112" 方法技巧92 扇形的弧长及面积公式 PAGEREF _Tc11112 \h 137
\l "_Tc8404" 方法技巧93 三角函数的概念及应用 PAGEREF _Tc8404 \h 138
\l "_Tc6119" 方法技巧94 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 PAGEREF _Tc6119 \h 139
\l "_Tc1238" 方法技巧95 正余弦齐次式的计算 PAGEREF _Tc1238 \h 139
\l "_Tc32516" 方法技巧96 sinα±csα和sinαcsα之间的关系 PAGEREF _Tc32516 \h 141
\l "_Tc26425" 方法技巧97 诱导公式的应用 PAGEREF _Tc26425 \h 142
\l "_Tc7498" 方法技巧98 和、差、倍角公式的直接应用 PAGEREF _Tc7498 \h 144
\l "_Tc5687" 方法技巧99 和差角公式的逆用与变形 PAGEREF _Tc5687 \h 145
\l "_Tc25730" 方法技巧100 角的变换问题 PAGEREF _Tc25730 \h 146
\l "_Tc28446" 方法技巧101 三角函数式的求值 PAGEREF _Tc28446 \h 148
\l "_Tc19645" 方法技巧102 三角函数的定义域和值域 PAGEREF _Tc19645 \h 149
\l "_Tc25013" 方法技巧103 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 PAGEREF _Tc25013 \h 150
\l "_Tc26303" 方法技巧104 求三角函数的单调区间 PAGEREF _Tc26303 \h 152
\l "_Tc25467" 方法技巧105 根据三角函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc25467 \h 153
\l "_Tc683" 方法技巧106 比较三角函数值的大小 PAGEREF _Tc683 \h 154
\l "_Tc31266" 方法技巧107 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 PAGEREF _Tc31266 \h 155
\l "_Tc5404" 方法技巧108 由图象确定三角函数的解析式 PAGEREF _Tc5404 \h 156
\l "_Tc32445" 方法技巧109 三角函数图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc32445 \h 158
\l "_Tc5659" 方法技巧110 三角函数模型的应用 PAGEREF _Tc5659 \h 160
\l "_Tc1908" 方法技巧111 三角函数中ω的范围问题 PAGEREF _Tc1908 \h 161
\l "_Tc12418" 方法技巧112 复杂三角函数性质判断 PAGEREF _Tc12418 \h 164
\l "_Tc5051" 方法技巧113 利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc5051 \h 167
\l "_Tc3542" 方法技巧114 判断三角形的形状 PAGEREF _Tc3542 \h 169
\l "_Tc14176" 方法技巧115 三角形面积的计算 PAGEREF _Tc14176 \h 170
\l "_Tc10659" 方法技巧116 三角形的中线问题 PAGEREF _Tc10659 \h 172
\l "_Tc8939" 方法技巧117 三角形的角平分线问题 PAGEREF _Tc8939 \h 175
\l "_Tc12492" 方法技巧118 三角形的高线问题 PAGEREF _Tc12492 \h 177
\l "_Tc7210" 方法技巧119 已知三角形的一角求取值范围 PAGEREF _Tc7210 \h 180
\l "_Tc21634" 方法技巧120 已知三角形的一角及其对边求取值范围 PAGEREF _Tc21634 \h 182
\l "_Tc20438" 方法技巧121 已知三角形的一角及其邻边求取值范围 PAGEREF _Tc20438 \h 184
\l "_Tc30132" 方法技巧122 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围 PAGEREF _Tc30132 \h 185
\l "_Tc28091" 方法技巧123 测量距离问题 PAGEREF _Tc28091 \h 187
\l "_Tc30005" 方法技巧124 测量高度问题 PAGEREF _Tc30005 \h 188
\l "_Tc19145" 方法技巧125 测量角度问题 PAGEREF _Tc19145 \h 190
\l "_Tc5619" 方法技巧126 和差正切公式在解三角形的应用 PAGEREF _Tc5619 \h 191
\l "_Tc24820" 方法技巧127 平面向量的概念 PAGEREF _Tc24820 \h 193
\l "_Tc2537" 方法技巧128 平面向量的线性运算 PAGEREF _Tc2537 \h 195
\l "_Tc718" 方法技巧129 向量共线定理的应用 PAGEREF _Tc718 \h 196
\l "_Tc18367" 方法技巧130 平面向量基本定理的应用 PAGEREF _Tc18367 \h 198
\l "_Tc2370" 方法技巧131 平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc2370 \h 199
\l "_Tc30248" 方法技巧132 向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc30248 \h 201
\l "_Tc13274" 方法技巧133 平面向量数量积的运算 PAGEREF _Tc13274 \h 202
\l "_Tc25476" 方法技巧134 平面向量数量积的应用 PAGEREF _Tc25476 \h 204
\l "_Tc30834" 方法技巧135 平面向量的应用 PAGEREF _Tc30834 \h 206
\l "_Tc29527" 方法技巧136 极化恒等式求数量积 PAGEREF _Tc29527 \h 207
\l "_Tc9544" 方法技巧137 极化恒等式求数量积的最值 PAGEREF _Tc9544 \h 209
\l "_Tc30854" 方法技巧138 复数的有关概念 PAGEREF _Tc30854 \h 210
\l "_Tc4295" 方法技巧139 复数的四则运算 PAGEREF _Tc4295 \h 211
\l "_Tc27267" 方法技巧140 复数的几何意义 PAGEREF _Tc27267 \h 212
\l "_Tc11398" 方法技巧141 由an与Sn的关系求通项公式 PAGEREF _Tc11398 \h 213
\l "_Tc5321" 方法技巧142 由数列的递推关系求通项公式 PAGEREF _Tc5321 \h 215
\l "_Tc15690" 方法技巧143 数列的周期性 PAGEREF _Tc15690 \h 216
\l "_Tc7005" 方法技巧144 数列的单调性 PAGEREF _Tc7005 \h 217
\l "_Tc18447" 方法技巧145 数列的最值 PAGEREF _Tc18447 \h 218
\l "_Tc17454" 方法技巧146 等差数列基本量的运算 PAGEREF _Tc17454 \h 219
\l "_Tc1122" 方法技巧147 等差数列的判定与证明 PAGEREF _Tc1122 \h 220
\l "_Tc13442" 方法技巧148 等差数列性质的应用 PAGEREF _Tc13442 \h 222
\l "_Tc26265" 方法技巧149 等差数列的前n项和及其最值 PAGEREF _Tc26265 \h 224
\l "_Tc2782" 方法技巧150 等比数列基本量的运算 PAGEREF _Tc2782 \h 226
\l "_Tc10404" 方法技巧151 等比数列的判定与证明 PAGEREF _Tc10404 \h 227
\l "_Tc16640" 方法技巧152 等比数列性质的应用 PAGEREF _Tc16640 \h 229
\l "_Tc11919" 方法技巧153 分组求和与并项求和 PAGEREF _Tc11919 \h 231
\l "_Tc24299" 方法技巧154 裂项相消法求和 PAGEREF _Tc24299 \h 233
\l "_Tc19436" 方法技巧155 错位相减法求和 PAGEREF _Tc19436 \h 235
\l "_Tc3862" 方法技巧156 数列模型的应用 PAGEREF _Tc3862 \h 237
\l "_Tc22977" 方法技巧157 数列中的不等式证明 PAGEREF _Tc22977 \h 239
\l "_Tc25909" 方法技巧158 数列中的不等式恒成立 PAGEREF _Tc25909 \h 241
\l "_Tc18605" 方法技巧159 数列奇偶项问题 PAGEREF _Tc18605 \h 242
\l "_Tc29756" 方法技巧160 数列增减项问题 PAGEREF _Tc29756 \h 244
\l "_Tc31067" 方法技巧161 数列新情境、新定义问题 PAGEREF _Tc31067 \h 245
\l "_Tc30091" 方法技巧162 基本立体图形结构特征 PAGEREF _Tc30091 \h 247
\l "_Tc13701" 方法技巧163 空间几何体的直观图 PAGEREF _Tc13701 \h 248
\l "_Tc4707" 方法技巧164 空间几何体的展开图 PAGEREF _Tc4707 \h 250
\l "_Tc13843" 方法技巧165 空间几何体的表面积与体积 PAGEREF _Tc13843 \h 251
\l "_Tc10771" 方法技巧166 简单几何体的外接球 PAGEREF _Tc10771 \h 254
\l "_Tc18197" 方法技巧167 简单几何体的内切球 PAGEREF _Tc18197 \h 257
\l "_Tc638" 方法技巧168 与球有关的截面问题 PAGEREF _Tc638 \h 258
\l "_Tc24743" 方法技巧169 基本事实的应用 PAGEREF _Tc24743 \h 259
\l "_Tc32236" 方法技巧170 空间两直线位置关系的判定 PAGEREF _Tc32236 \h 261
\l "_Tc1039" 方法技巧171 异面直线所成的角 PAGEREF _Tc1039 \h 262
\l "_Tc2113" 方法技巧172 空间几何体的截面、截线问题 PAGEREF _Tc2113 \h 265
\l "_Tc26247" 方法技巧173 截面分割体积比问题 PAGEREF _Tc26247 \h 268
\l "_Tc16145" 方法技巧174 直线与平面平行的判定 PAGEREF _Tc16145 \h 271
\l "_Tc32656" 方法技巧175 线面平行性质定理的应用 PAGEREF _Tc32656 \h 273
\l "_Tc13097" 方法技巧176 平面与平面平行的判定与性质 PAGEREF _Tc13097 \h 275
\l "_Tc32462" 方法技巧177 平行关系的综合应用 PAGEREF _Tc32462 \h 278
\l "_Tc22401" 方法技巧178 直线与平面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc22401 \h 280
\l "_Tc3505" 方法技巧179 平面与平面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc3505 \h 282
\l "_Tc4284" 方法技巧180 垂直关系的综合应用 PAGEREF _Tc4284 \h 284
\l "_Tc9079" 方法技巧181 三垂线定理及其逆定理 PAGEREF _Tc9079 \h 288
\l "_Tc12701" 方法技巧182 空间向量的线性运算 PAGEREF _Tc12701 \h 290
\l "_Tc9817" 方法技巧183 空间向量数量积的应用 PAGEREF _Tc9817 \h 291
\l "_Tc21522" 方法技巧184 利用向量证明平行与垂直 PAGEREF _Tc21522 \h 293
\l "_Tc10958" 方法技巧185 异面直线所成的角 PAGEREF _Tc10958 \h 296
\l "_Tc15313" 方法技巧186 直线与平面所成的角 PAGEREF _Tc15313 \h 298
\l "_Tc27221" 方法技巧187 平面与平面的夹角 PAGEREF _Tc27221 \h 303
\l "_Tc5780" 方法技巧188 求空间距离 PAGEREF _Tc5780 \h 306
\l "_Tc5412" 方法技巧189 立体几何中的探索性问题 PAGEREF _Tc5412 \h 310
\l "_Tc20342" 方法技巧190 立体几何中的翻折问题 PAGEREF _Tc20342 \h 314
\l "_Tc32426" 方法技巧191 动态空间位置关系的判定 PAGEREF _Tc32426 \h 317
\l "_Tc5636" 方法技巧192 立体几何轨迹问题 PAGEREF _Tc5636 \h 320
\l "_Tc25287" 方法技巧193 立体几何最值(范围)问题 PAGEREF _Tc25287 \h 323
\l "_Tc32503" 方法技巧194 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc32503 \h 326
\l "_Tc12841" 方法技巧195 直线方程的求法 PAGEREF _Tc12841 \h 328
\l "_Tc5054" 方法技巧196 直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc5054 \h 329
\l "_Tc1586" 方法技巧197 两条直线位置关系的判断及应用 PAGEREF _Tc1586 \h 330
\l "_Tc3891" 方法技巧198 两条直线的交点与距离问题 PAGEREF _Tc3891 \h 331
\l "_Tc8517" 方法技巧199 直线的对称问题 PAGEREF _Tc8517 \h 333
\l "_Tc14653" 方法技巧200 圆的方程 PAGEREF _Tc14653 \h 335
\l "_Tc18048" 方法技巧201 与圆有关的最值问题 PAGEREF _Tc18048 \h 337
\l "_Tc8227" 方法技巧202 与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc8227 \h 339
\l "_Tc19490" 方法技巧203 直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc19490 \h 342
\l "_Tc9696" 方法技巧204 圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc9696 \h 344
\l "_Tc9767" 方法技巧205 圆的切线问题 PAGEREF _Tc9767 \h 346
\l "_Tc18621" 方法技巧206 圆的弦长问题 PAGEREF _Tc18621 \h 347
\l "_Tc21230" 方法技巧207 与圆有关的综合问题 PAGEREF _Tc21230 \h 349
\l "_Tc2542" 方法技巧208 椭圆的定义及应用 PAGEREF _Tc2542 \h 350
\l "_Tc8674" 方法技巧209 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc8674 \h 353
\l "_Tc10776" 方法技巧210 椭圆的简单几何性质 PAGEREF _Tc10776 \h 354
\l "_Tc19572" 方法技巧211 椭圆的离心率问题 PAGEREF _Tc19572 \h 356
\l "_Tc29401" 方法技巧212 与椭圆有关的最值(范围)问题 PAGEREF _Tc29401 \h 358
\l "_Tc23535" 方法技巧213 椭圆的蒙日圆及其性质 PAGEREF _Tc23535 \h 359
\l "_Tc15824" 方法技巧214 直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc15824 \h 361
\l "_Tc27374" 方法技巧215 椭圆的弦长问题 PAGEREF _Tc27374 \h 363
\l "_Tc11455" 方法技巧216 椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc11455 \h 365
\l "_Tc1915" 方法技巧217 直线与椭圆的综合问题 PAGEREF _Tc1915 \h 367
\l "_Tc25516" 方法技巧218 圆锥曲线的非对称韦达问题 PAGEREF _Tc25516 \h 370
\l "_Tc25371" 方法技巧219 双曲线的定义及其应用 PAGEREF _Tc25371 \h 373
\l "_Tc23862" 方法技巧220 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc23862 \h 375
\l "_Tc10331" 方法技巧221 双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc10331 \h 377
\l "_Tc29310" 方法技巧222 双曲线的离心率 PAGEREF _Tc29310 \h 378
\l "_Tc18834" 方法技巧223 与双曲线有关的最值、范围问题 PAGEREF _Tc18834 \h 379
\l "_Tc15177" 方法技巧224 直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc15177 \h 380
\l "_Tc31484" 方法技巧225 抛物线动点轨迹的判定 PAGEREF _Tc31484 \h 382
\l "_Tc20555" 方法技巧226 抛物线上的点到定点的距离及最值 PAGEREF _Tc20555 \h 383
\l "_Tc23126" 方法技巧227 抛物线的标准方程与几何性质 PAGEREF _Tc23126 \h 385
\l "_Tc2238" 方法技巧228 直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc2238 \h 386
\l "_Tc6301" 方法技巧229 抛物线中的阿基米德三角形 PAGEREF _Tc6301 \h 388
\l "_Tc21932" 方法技巧230 圆锥曲线中的四点共圆问题 PAGEREF _Tc21932 \h 390
\l "_Tc24234" 方法技巧231 圆锥曲线中的定点问题 PAGEREF _Tc24234 \h 396
\l "_Tc12443" 方法技巧232 圆锥曲线的定值问题 PAGEREF _Tc12443 \h 402
\l "_Tc11195" 方法技巧233 圆锥曲线的定直线问题 PAGEREF _Tc11195 \h 404
\l "_Tc116" 方法技巧234 圆锥曲线的等角定理 PAGEREF _Tc116 \h 408
\l "_Tc9511" 方法技巧235 圆锥曲线中的范围、最值问题 PAGEREF _Tc9511 \h 411
\l "_Tc12008" 方法技巧236 圆锥曲线中的证明、探索性问题 PAGEREF _Tc12008 \h 416
\l "_Tc18637" 方法技巧237 圆锥曲线的极点、极线 PAGEREF _Tc18637 \h 419
\l "_Tc14739" 方法技巧238 两个计数原理及综合应用 PAGEREF _Tc14739 \h 422
\l "_Tc16395" 方法技巧239 排列、组合问题 PAGEREF _Tc16395 \h 424
\l "_Tc9653" 方法技巧240 分组、分配问题 PAGEREF _Tc9653 \h 425
\l "_Tc16178" 方法技巧241 二项展开式的通项公式的应用 PAGEREF _Tc16178 \h 427
\l "_Tc12859" 方法技巧242 二项式系数和与系数和 PAGEREF _Tc12859 \h 428
\l "_Tc32212" 方法技巧243 二项式系数与系数最值 PAGEREF _Tc32212 \h 430
\l "_Tc17247" 方法技巧244 二项式定理的应用 PAGEREF _Tc17247 \h 431
\l "_Tc30312" 方法技巧245 随机事件与样本空间 PAGEREF _Tc30312 \h 432
\l "_Tc7233" 方法技巧246 随机事件的频率与概率 PAGEREF _Tc7233 \h 433
\l "_Tc20494" 方法技巧247 古典概型 PAGEREF _Tc20494 \h 435
\l "_Tc24080" 方法技巧248 事件的相互独立性 PAGEREF _Tc24080 \h 436
\l "_Tc11134" 方法技巧249 条件概率 PAGEREF _Tc11134 \h 439
\l "_Tc16837" 方法技巧250 全概率公式的应用 PAGEREF _Tc16837 \h 440
\l "_Tc5225" 方法技巧251 离散型随机变量分布列的性质 PAGEREF _Tc5225 \h 441
\l "_Tc26757" 方法技巧252 离散型随机变量的分布列及数字特征 PAGEREF _Tc26757 \h 443
\l "_Tc8908" 方法技巧253 离散型随机变量数字特征在决策中的应用 PAGEREF _Tc8908 \h 447
\l "_Tc16405" 方法技巧254 二项分布的期望 PAGEREF _Tc16405 \h 451
\l "_Tc29710" 方法技巧255 二项分布的性质 PAGEREF _Tc29710 \h 452
\l "_Tc9236" 方法技巧256 超几何分布 PAGEREF _Tc9236 \h 457
\l "_Tc8673" 方法技巧257 正态分布 PAGEREF _Tc8673 \h 459
\l "_Tc27087" 方法技巧258 二项分布与超几何分布的区别 PAGEREF _Tc27087 \h 462
\l "_Tc19763" 方法技巧259 简单随机抽样 PAGEREF _Tc19763 \h 464
\l "_Tc13293" 方法技巧260 分层随机抽样 PAGEREF _Tc13293 \h 465
\l "_Tc17853" 方法技巧261 分层随机抽样的均值与方差 PAGEREF _Tc17853 \h 466
\l "_Tc5190" 方法技巧262 统计图表 PAGEREF _Tc5190 \h 467
\l "_Tc23277" 方法技巧263 总体百分位数的估计 PAGEREF _Tc23277 \h 471
\l "_Tc30112" 方法技巧264 总体集中趋势的估计 PAGEREF _Tc30112 \h 473
\l "_Tc2369" 方法技巧265 总体离散程度的估计 PAGEREF _Tc2369 \h 475
\l "_Tc21543" 方法技巧266 成对数据的相关性 PAGEREF _Tc21543 \h 477
\l "_Tc3910" 方法技巧267 一元线性回归模型 PAGEREF _Tc3910 \h 478
\l "_Tc17119" 方法技巧268 非线性回归模型 PAGEREF _Tc17119 \h 481
\l "_Tc4067" 方法技巧269 独立性检验 PAGEREF _Tc4067 \h 485
\l "_Tc27997" 方法技巧270 以统计图表为载体的概率、统计问题 PAGEREF _Tc27997 \h 487
\l "_Tc21392" 方法技巧271 概率、统计与数列的综合问题 PAGEREF _Tc21392 \h 491
\l "_Tc133" 方法技巧272 概率、统计与函数的交汇问题 PAGEREF _Tc133 \h 495
方法技巧01 集合的概念
解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【典例1】(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为( )
A．－1，2 B．－3
C．－1，－3，2 D．－3，2
【解析】集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，4∈A，∴a2－a＋2＝4或1－a＝4，
当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2，
若a＝－1，则1－a＝2，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；
若a＝2，则集合A＝{2，4，－1}，满足题意；
当1－a＝4时，a＝－3，a2－a＋2＝14，集合A＝{2，14，4}，满足题意，综上所述，a＝2或a＝－3．故选D．
【典例2】(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________．
【解析】当x＝1，y＝1，2，4时，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A，
当x＝2，y＝1时可满足x－y＝1∈A，
当x＝2，y＝2时，x－y＝0，当x＝2，y＝4时，x－y＝－2均不满足x－y∈A，
当x＝4，y＝2时可满足x－y＝2∈A，当x＝4，y＝1时，x－y＝3，当x＝4，y＝4时，x－y＝0均不满足x－y∈A，
所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个．
方法技巧02 集合间的基本关系
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
【典例1】(2024·江苏南通三模)已知集合M＝xx=k+12，k∈Z，N＝xx=k2+1，k∈Z，则( )
A．M⊆N B．N⊆M
C．M＝N D．M∩N＝∅
【解析】M＝xx=k+12，k∈Z＝xx=2k+12，k∈Z，
N＝xx=k2+1，k∈Z＝xx=k+22，k∈Z，
因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N．故选A．
【典例2】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
【解析】∵B⊆A，∴①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2；
②当B≠∅时，2m−1≤m+1，2m−1≥−3，m+1≤4，解得－1≤m≤2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
方法技巧03 集合的运算
解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．
(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了．
(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)端点值验证．
【典例1】(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
【解析】由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C．
【典例2】(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x∈A}，则∁A(A∩B)＝( )
A．1，4，9 B．3，4，9
C．1，2，3 D．2，3，5
【解析】因为A＝1，2，3，4，5，9，B＝{x|x∈A}，
所以B＝1，4，9，16，25，81，则A∩B＝{1，4，9}，
∁AA∩B＝2，3，5．故选D．
【典例3】全集U＝{x|x0时，g′(x)0等价于x>0，gx>0=g1
或xln [a(x－1)]－1⇒ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1
⇒ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)；
③ax>lgax⇒ex ln a>lnxlna⇒(x ln a)ex ln a>x ln x．
【典例1】设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae B．b>ea
C．ab0，
则f (x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ea0，
∴f (t)在R上单调递增，
故ex－a＋x－a≥eln x＋ln x，即f (x－a)≥f (ln x)，
即x－a≥ln x，即x－ln x≥a．
设g(x)＝x－ln x，则g′(x)＝1－1x＝x−1x，
令g′(x)>0，则x>1；令g′(x)＜0，则0＜x＜1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1．故选C．
【典例3】已知当x≥e时，不等式xa＋1x－e1x≥a ln x恒成立，则正实数a的最小值为 ________．
【解析】不等式可变形为e1x－1x≤xa－a ln x，
即e1x－ln e1x≤xa－ln xa，
设f (x)＝x－ln x，
则当x≥e时，fe1x≤f (xa)恒成立，
因为f ′(x)＝1－1x＝x−1x，
所以函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
因为x≥e，a>0，
所以e1x>1，xa>1，
因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以e1x≤xa，
两边取对数，得1x≤a ln x，
因为x≥e，
所以a≥1xlnx，
令h(x)＝x ln x，x≥e，
h′(x)＝ln x＋1>0，
所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(e)＝e，
所以00)，则g′(x)＝1x－1．
令g′(x)0，即1x－1＞0，解得01．
【解析】 (1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝aexlnx+1x+bex−1x−1x2，
依题意得f1=2，f'1=e，解得a＝1，b＝2．
(2)证明：由(1)知f (x)＝exln x＋2ex−1x，x＞0，
从而f (x)>1等价于x ln x>xe－x－2e．
构造函数g(x)＝x ln x(x>0)，则g′(x)＝1＋ln x，所以当x∈0，1e时，g′(x)0，故g(x)在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g1e＝－1e．构造函数h(x)＝xe－x－2e(x>0)，则h′(x)＝e－x(1－x)，所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0时，g(x)>h(x)，即f (x)>1．
【典例2】已知函数f (x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0．
【解析】 (1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ex－a(x>0)，
①若a≤0，则f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0，则当0ea时，f ′(x)0，所以只需证f (x)≤exx－2e．
当a＝e时，由(1)知，f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f (x)max＝f (1)＝－e．
记g(x)＝exx－2e(x>0)，则g′(x)＝x−1exx2，
所以当00时，f (x)≤g(x)，
即f (x)≤exx－2e，
即xf (x)－ex＋2ex≤0得证．
方法技巧80 放缩法证明不等式
1．利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有ex，ln x，sin x，cs x，tan x或其他多项式函数中的两种或以上，可考虑先利用不等式进行放缩，使问题简化，然后再构造函数进行证明．
2．常见的放缩有：(1)tan x>x>sin x，x∈0，π2；(2)切线放缩：ex≥x＋1>x－1≥ln x，利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一次式，有利于后续的求解．
3．导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式．
【典例1】已知函数f (x)＝ln x＋1x－1．
(1)求函数f (x)的最小值；
(2)当x∈(0，π)时，证明：ex＞(1－ln x)sin x．
【解析】 (1)因为函数f (x)＝ln x＋1x－1的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x−1x2＝x−1x2，
所以当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，
当x＞1时，f ′(x)＞0，
所以当0＜x＜1时，函数f (x)单调递减；
当x＞1时，函数f (x)单调递增．
所以f (x)≥f (1)＝0，
即函数f (x)的最小值为0．
(2)证明：当x∈(0，π)时，要证明ex＞(1－ln x)·sin x，只需证exsinx＞1－ln x，
由(1)可知ln x＋1x－1≥0，即1x≥1－ln x，
所以要证exsinx＞1－ln x，只需证exsinx＞1x，
即证xex－sin x＞0．
令h(x)＝xex－sin x，则h′(x)＝(x＋1)ex－cs x，
当0＜x＜π时，
h′(x)＝(x＋1)ex－cs x＞0，
所以函数h(x)在(0，π)上单调递增，
所以当0＜x＜π时，h(x)＞h(0)＝0，
即xex－sin x＞0，
所以当x∈(0，π)时，不等式ex＞(1－ln x)sin x成立．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)证明：当时，在上恒成立.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，令，求得，结合，得到函数的单调性，进而求得极值；
（2）由，根据题意，由且，放缩得到，令，求得，得出函数单调性，结合单调性求得，得出，即可得证.
【详解】（1）解：由函数，可得定义域为，
且，
令，可得，所以单调递增，
又因为，
所以当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）解：由，
因为且，
可得
令，
可得，
因为，即或，
又因为方程的两根都是负数根（舍去），
所以，可得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值，
即，所以，
所以，所以，
故当时，在恒成立.
方法技巧81 端点效应
端点效应法是一种必要性探路法，是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法.
1.如图(1)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，f(x)≥0恒成立，则f(a)≥0且f(b)≥0.
2.一阶端点效应：如图(2)，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x≥x0时，f(x)≥0成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f'(x0)≥0.因为如果f'(x0)x0时，f(x)