2026年高考数学一轮复第03讲平面向量的数量积及其应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第03讲平面向量的数量积及其应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共2页。学案主要包含了变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练2-1，变式训练3-1，变式训练3-2，变式训练4-1，变式训练5-1，变式训练5-2等内容，欢迎下载使用。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc199181716 \h 4
\l "_Tc199181717" 知能解码 PAGEREF _Tc199181717 \h 4
\l "_知识点1" 知识点1 平面向量数量积的有关概念 PAGEREF _Tc199181718 \h 4
\l "_知识点2" 知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示 PAGEREF _Tc199181719 \h 4
\l "_知识点3" 知识点3 平面向量数量积的运算律 PAGEREF _Tc199181720 \h 5
\l "_知识点4" 知识点4 平面几何中的向量方法5
\l "_Tc199181722" 题型破译 \l "_Tc199181721" 5
\l "_题型1" 题型1 平面向量数量积的定义5
\l "_题型2" 题型2 平面向量数量积的运算6
\l "_题型3 _x0001_" 题型3 数量积的坐标表示7
\l "_题型4 _x0001_" 题型4 投影向量8
\l "_题型5 _x0001_" 题型5 向量在几何中的应用8
\l "_题型6" 题型6 向量在物理中的应用9
\l "_题型7" 题型7 向量新定义10
\l "__x0001__5" 04真题溯源·考向感知12
\l "__x0001__6" 05课本典例·高考素材12
\l "_Tc25045" 知识点1 平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
自主检测（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
\l "_Tc25045" 知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝ .
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔ .
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
自主检测（多选）若，，则（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．在方向上的投影向量为
\l "_Tc25045" 知识点3 平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
自主检测（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
\l "_Tc25045" 知识点4 平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
自主检测已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型1 平面向量数量积的定义
例1-1一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（ ）
A．12B．16C．D．
例1-2已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
【变式训练1-1】已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ．
【变式训练1-2】已知边长为4的菱形的一个内角为，则 ．
题型2 平面向量数量积的运算
例2-1已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．1B．C．D．
例2-2已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．5
例2-3已知，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
方法技巧
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【变式训练2-1】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2·变考法】已知，则 .
题型3 数量积的坐标表示
例3-1已知向量，则 .
例3-2已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 .
例3-3已知向量，，若，的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
方法技巧 坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，
即若，，则；
（2）适用范围： = 1 \* GB3 ①已知或可求两个向量的坐标； = 2 \* GB3 ②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。
【变式训练3-1】已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
题型4 投影向量
例4-1已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例4-2设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是 .
方法技巧
设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则
【变式训练4-1】如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-2·变载体】已知，.
(1)若，求的值；
(2)若且，求在方向上的投影数量.
题型5 向量在几何中的应用
例5-1已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例5-2已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
方法技巧 用向量方法解决实际问题的步骤
【变式训练5-1】已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【变式训练5-2】已知，则的最大值为 ．
【变式训练5-3】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则 ，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 .
题型6 向量在物理中的应用
例6-1共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ）
A．B．C．D．
例6-2如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-1】如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h.
【变式训练6-2】如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则 .
题型7 向量新定义
例7-1已知，，定义新运算，记，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
例7-2）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值．
【变式训练7-1】定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练7-2】如图，在中，，，，，，设与交于点，且．
(1)求的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）．
（ⅰ）若为的中点，求的值；
（ⅱ）若，求的值．
【变式训练7-3】已知向量，且，定义向量的新运算：．
(1)若向量，且，求；
(2)证明：是的充要条件，
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
6．（2023·上海·高考真题）已知,，求
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
8．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
1.若向量，满足，且，，则（ ）．
A．2B．C．1D．
2.若，是单位向量，且，则与的夹角是 .
3.已知点，，，求证：．
4.一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．
5.已知，．若存在向量，使得，，试求向量的坐标．
6.一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．
7.已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
8.已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷，第12题，5分
上海卷，第12题，5分
天津卷，第14题，5分
新课标I卷，第3题，5分
新课标II卷，第3题，5分
全国甲卷，第9题，5分
天津卷，第14题，5分
北京卷，第5题，4分
新课标I卷，第3题，5分
新课标II卷，第13题，5分
全国甲卷，第4题，5分
全国乙卷，第12题，5分
天津卷，14题，5分
考情分析：平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标：
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
3.了解平面向量基本定理及其意义
4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算