2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲平面向量的数量积(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

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1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知空间四点满足，，，，则的值（ ）．
A．只有一个B．有两个C．有四个D．有无穷多个
3．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．4C．5D．8
4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选）（24-25高三下·河南·阶段练习）已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为
B．若，则
C．若，则
D．向量在向量上的投影向量为
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）设向量，满足，，则（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．与的夹角为钝角
11．（2025高三·全国·专题练习）已知为边长为1的等边所在平面内一点，且满足，则 ．
12．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ．
13．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形为的中点，，求的取值范围．
14．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，．
(1)求；
(2)若为边上一点，且，求．
B相遇高考
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．

C素养提升
1．（2025高三·全国·专题练习）在中，斜边为的中点，于D，则的最大值为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）设点是的外心，，，，则的取值范围为 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则的夹角的最小值是 ．
4．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：.
(1)已知向量，求；
(2)设向量，且，证明：；
(3)已知向量，若，求的值.
5．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：
(1)已知向量满足，，，求的值；
(2)①若，，用坐标，，，表示；
②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
(3)已知向量，，，求的最小值.
第03讲 平面向量的数量积
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解.
【详解】，则向量，
则在的投影向量为，
故选:A．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知空间四点满足，，，，则的值（ ）．
A．只有一个B．有两个C．有四个D．有无穷多个
【答案】A
【分析】利用向量的加法和点积公式进行推导
【详解】通过观察有，
又，则，
两边平方得，
则，
故
，
即，
所以只有一个值0．
故选：A．
3．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．4C．5D．8
【答案】C
【分析】先根据已知条件求出；再结合向量的投影公式，及向量模的计算即可求解.
【详解】由，可得：
因为，
所以.
又因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量的模.
故选：C.
4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角.
【详解】由，可得
又
所以解得：
所以
又所以
所以与的夹角为．
故选：C.
5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求的值即可.
【详解】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，，
则，
设，由得，，
所以
所以，所以，
所以.
故选：A.
6．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，求出即可求出向量在上的投影向量.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D.
7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由题意有，又因为，
所以，
故选：B.
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，再根据投影向量的定义求解.
【详解】因，
则，，
故在上的投影向量为.
故选：D.
9．（多选）（24-25高三下·河南·阶段练习）已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为
B．若，则
C．若，则
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】AC
【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解.
【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，若，则存在实数，使得，
因为，所以不共线，所以，故C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误.
故选：AC.
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）设向量，满足，，则（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．与的夹角为钝角
【答案】AC
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判断．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，
所以，与不垂直，故B错误；
对于C，，，，，
，所以与夹角为，故C正确；
对于D，，与的夹角不为钝角，故D错误；
故选：AC．
11．（2025高三·全国·专题练习）已知为边长为1的等边所在平面内一点，且满足，则 ．
【答案】3
【分析】解法1、由，直接进行数量积运算即可；解法2、利用极化恒等式计算.
【详解】解法1：如图，，
则．
解法2：如图，为的中点，．
故答案为：3.
12．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可.
【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点，
所以为等边三角形，即，
所以，又，
所以．
当点在上时，如图2，
此时，所以，
又，所以．
综上，．
故答案为：
13．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形为的中点，，求的取值范围．
【答案】．
【分析】思路1：运用转化法把和进行拆分然后转为为其他数量积问题；
思路2：直接运用极化恒等式求解.
【详解】解法1：如图，设为的中点，插入分点，则有：
，
即的取值范围为．

解法2：运用极化恒等式，易得．
14．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，．
(1)求；
(2)若为边上一点，且，求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积；
（2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解.
【详解】（1）
如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则,因为，
所以.
（2）如图，设，则，
因为，所以，解得或，
故或.
B相遇高考
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

C素养提升
1．（2025高三·全国·专题练习）在中，斜边为的中点，于D，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】结合图象，，再利用数量积的几何意义，设，则，最后利用均值不等式求最值.
【详解】如图，易知：
，
因为在方向上的投影向量为，且在中，
所以，
在方向上的投影向量为，所以，
设，则
，
当且仅当，即时等号成立，故所求的最大值为．
故答案为：

2．（2025高三·全国·专题练习）设点是的外心，，，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】通过作出辅助线，将向量进行转化，利用中点性质将向量用已知边向量表示，再根据数量积的几何意义最后结合已知条件求出取值范围.
【详解】如图，过点作、，垂足分别为、，
点是的外心，、分别是、的中心,
，
由得，从而，
的取值范围为
故答案为：.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则的夹角的最小值是 ．
【答案】
【分析】解法1：设的夹角为，，，由推得，即得，结合，代入计算可得在上恒成立，由求得即得其最小值；解法2：由可得恒成立，只需，即，即，化简得在上恒成立，同法求得.
【详解】解法1：设的夹角为，，，由可得，
两边取平方，可得，
即，该式对任意恒成立，
所以，即，
从而，计算整理得：，该式对任意的恒成立，
所以，得，因，则．
故所求最小值为．
解法2：易知，，则，
即恒成立，故只需，即恒成立．因，
，则有，
即，由得，因，
所以．故所求最小值为．
故答案为：.
4．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：.
(1)已知向量，求；
(2)设向量，且，证明：；
(3)已知向量，若，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由向量夹角公式求出，再得出，根据新定义求解；
（2）类比（1）求出，得出，利用新定义证明即可；
（3）根据（2）代入求解推出，再由三角恒等变换求解.
【详解】（1）设的夹角为，则，
所以，
所以，
故.
（2）设的夹角为，
则，
所以
，
则，
于是，.
（3）由题意，，
则由（2）的公式可得：，
又，则得，
故.
5．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：
(1)已知向量满足，，，求的值；
(2)①若，，用坐标，，，表示；
②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
(3)已知向量，，，求的最小值.
【答案】(1)2
(2)①，②7
(3)9
【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解.
（2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解.
（3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由，可得，则，
由于，因此，其中为的夹角，
故；
（2）①由，，可得，
结合，故，
故，
②由，，可得，
故
（3）由,，结合（2）的结论可知：
，
当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号，
因此的最小值为9.