2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲平面向量的数量积(知识+真题+11类高频考点)(精讲)(原卷版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19507" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19507 \h 1
\l "_Tc1869" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc1869 \h 3
\l "_Tc9802" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9802 \h 4
\l "_Tc16167" 高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析 PAGEREF _Tc16167 \h 4
\l "_Tc7945" 高频考点二：平面向量数量积的几何意义 PAGEREF _Tc7945 \h 4
\l "_Tc7205" 高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积） PAGEREF _Tc7205 \h 6
\l "_Tc14837" 高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算） PAGEREF _Tc14837 \h 7
\l "_Tc7881" 高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角） PAGEREF _Tc7881 \h 7
\l "_Tc31855" 高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数） PAGEREF _Tc31855 \h 9
\l "_Tc10826" 高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积） PAGEREF _Tc10826 \h 11
\l "_Tc19140" 高频考点八：向量的垂直关系 PAGEREF _Tc19140 \h 11
\l "_Tc12264" 高频考点九：向量的投影（投影向量) PAGEREF _Tc12264 \h 12
\l "_Tc7858" 高频考点十：平面向量的综合应用 PAGEREF _Tc7858 \h 13
\l "_Tc25061" 高频考点十一：最值范围问题 PAGEREF _Tc25061 \h 15
\l "_Tc27399" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc27399 \h 16
\l "_Tc4897" 备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题 PAGEREF _Tc4897 \h 16
\l "_Tc23879" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc23879 \h 17
第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 ．
4．（2023·上海·高考真题）已知,，求
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．0B．1C．2D．3
例题2．（多选）已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
精练高频考点
1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
2．（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
3．（多选）已知任意的非零平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图，已知圆C的弦的长度为4，则的值是（ ）．
A．4B．6C．8D．10
例题2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 .
例题3．（24-25高一下·上海·期末）已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知为的外心，，则 ．
3．（24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 .
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
例题2．（24-25高一下·福建南平·期末）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．若向量满足，则 ．
例题4．（2025高三·全国·专题练习）设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25高一下·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（ ）
A．B．C．3D．7
2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）
A．2B．C．1D．
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是 ．

高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
例题1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）若向量与的夹角为，且，则（ ）
A．2B．C．D．6
例题3．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量，满足，则 ．
例题4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知平面向量、、、，且，若，，则的最小值为 .
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．或C．或1D．
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·上海·期中）已知则 ．
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
例题1．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值．
例题3．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长度；
(2)若与交于点，求．
精练高频考点
1．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，．
(1)用，表示向量，；
(2)求的余弦值．
3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点．
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值．
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知向量，与的夹角为锐角的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．且C．D．
例题2．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，．
(1)若、、三点共线，求的值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
练高频考点
1．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量，，．
(1)若，求；
(2)若在方向上的投影数量为1，求m的值；
(3)若，的夹角为锐角，求m的取值范围．
3．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，．
(1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
例题1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量是单位向量，且，则为（ ）
A．1B．C．D．2
例题2．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则 ．
例题3．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知向量，满足，，则 .
精练高频考点
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）若向量，都是单位向量，且满足，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知向量满足，则 ．
3．（24-25高一下·广西梧州·阶段练习）已知单位向量满足，则 .
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
例题1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
例题3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知向量.
(1)求的值；
(2)若向量与垂直，求k的值.
精练高频考点
1．（23-24高二下·四川德阳·期末）平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．9C．D．7
2．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 .
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，，若，则 .
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
例题1．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ．
精练高频考点
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖北·模拟预测）向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为 .
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，点，，.
(1)求以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数满足，求的值；
(3)求以线段为邻边的平行四边形的面积.
例题3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，，，，，求的取值范围．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知在矩形中，，若是上的动点，求的最小值．
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知等边的边长为2，的半径为1，为任意一条直径．
(1)判断是否为定值；
(2)求的取值范围．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
例题1．（2025·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（24-25高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 .
例题4．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ．
精练高频考点
1．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·重庆·三模）已知矩形的边，，点P，Q分别在边上，若则的最小值为 .
3．（2025高三·全国·专题练习）在矩形ABCD中，，，点M，N分别为边，上的动点，且，则的最小值是 ．
4．（24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则 .若，点为线段上的动点，则的最小值为 .
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为 ．
3．已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
4．已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
第五部分：新定义题
1．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ）
A．B．3C．D．6
2．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则下列选项错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若Rt中，，则
D．若中，，则是等腰三角形
4．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则线段的长度为1
C．已知，则
D．已知，则的最大值为
第03讲 平面向量的数量积
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19507" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19507 \h 1
\l "_Tc1869" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc1869 \h 3
\l "_Tc9802" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9802 \h 5
\l "_Tc16167" 高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析 PAGEREF _Tc16167 \h 5
\l "_Tc7945" 高频考点二：平面向量数量积的几何意义 PAGEREF _Tc7945 \h 7
\l "_Tc7205" 高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积） PAGEREF _Tc7205 \h 11
\l "_Tc14837" 高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算） PAGEREF _Tc14837 \h 15
\l "_Tc7881" 高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角） PAGEREF _Tc7881 \h 18
\l "_Tc31855" 高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数） PAGEREF _Tc31855 \h 25
\l "_Tc10826" 高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积） PAGEREF _Tc10826 \h 29
\l "_Tc19140" 高频考点八：向量的垂直关系 PAGEREF _Tc19140 \h 31
\l "_Tc12264" 高频考点九：向量的投影（投影向量) PAGEREF _Tc12264 \h 33
\l "_Tc7858" 高频考点十：平面向量的综合应用 PAGEREF _Tc7858 \h 35
\l "_Tc25061" 高频考点十一：最值范围问题 PAGEREF _Tc25061 \h 41
\l "_Tc27399" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc27399 \h 48
\l "_Tc4897" 备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题 PAGEREF _Tc4897 \h 48
\l "_Tc23879" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc23879 \h 49
第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案为：；.
4．（2023·上海·高考真题）已知,，求
【答案】4
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③.
【详解】，，，
表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等，
故①②③正确，④错误，
故选：D
例题2．（多选）已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】BC
【分析】根据平面向量定义、数量积的计算公式、向量平行的定义等知识直接求解.
【详解】对于A，若，则，
则，但与不一定相同，
所以得不到，无法得到，故A错误；
对于B，若，平方得，即，所以，故B正确；
对于C，若，，则显然成立，故C正确；
对于D，，，
若，则，若，原式不成立，故D错误.
故选：BC
精练高频考点
1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
2．（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
【答案】CD
【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D.
【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，B正确；
对于C，由，得，当时，满足题设，C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误.
故选：CD
3．（多选）已知任意的非零平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用数量积的定义及运算律，逐项判断即得.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，为非零向量，，B正确；
对于C，是与共线的向量，是与共线的向量，而无任何关系，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图，已知圆C的弦的长度为4，则的值是（ ）．
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】应用向量数量积的定义及圆的性质求数量积即可.
【详解】由，由圆的性质知，
所以.
故选：C
例题2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 .
【答案】
【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得．
【详解】在方向上的数量投影为：
故答案为： ．
例题3．（24-25高一下·上海·期末）已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由向量数量积几何意义可得当C为G，F时，数量积最大，当C为D，E时，数量积最小，据此可得答案.
【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大，
此时；
当C为D或E时，数量积最小，
此时.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义即可求解。
【详解】如图：取弦的中点为,
,
故选:D
2．（2025高三·全国·专题练习）已知为的外心，，则 ．
【答案】6
【分析】思路1：用特殊化思想求解．
思路2：利用平面向量的数量积的几何意义．
思路3：利用，将向量的模的等式转化为向量的等式．
思路4：用极化恒等式求解．
【详解】解法1：取，如图1，为的中点．
则．
解法2：如图2，过点作，垂足分别为．
因为为的外心，所以分别是的中点．
则
．
解法3：由，得，所以，即 ①．
同理得 ②．
因为为的外心，所以，故．
①－②得，
即，即，故．
解法4：如图2，
，
又因为四点共圆，且为直径，
所以，
即，
从而．
故答案为：
3．（24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】连接，过作直线于，交圆于，过作于，利用数量积的几何意义，得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于，
因为，所以，且，则在上的投影向量为，
由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧，
且，当且仅当与重合时取等号，
又圆的半径为，则，所以，
故答案为：.
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标运算即可求解.
【详解】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：
则，，，
设，则，，所以．
所以当时，取得最大值为2．
故选：B．
例题2．（24-25高一下·福建南平·期末）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，所以，
则，故C正确.
故选：C
例题3．若向量满足，则 ．
【答案】/0.5
【分析】将平方，把代入即可.
【详解】因为，
所以，
即，
即，
所以，
故答案为：.
例题4．（2025高三·全国·专题练习）设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】取的中点，连结，根据极化恒等式求解即可.
【详解】取的中点，连结，
在内使用极化恒等式得
易知，故．
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一下·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（ ）
A．B．C．3D．7
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量积，从而可求解.
【详解】由题，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
则，，则，故A正确；
故选：A.
2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性关系结合平面向量数量积的运算律计算求解.
【详解】平行四边形中，，，，
为的中点，则.
故选：B.
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】根据题意解，设中点为，利用极化恒等式可得，接着用余弦定理求的范围即可.
【详解】设中点为，，，，
，
则，
设，
，
所以.
故答案为：.
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
例题1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解.
【详解】由，则，
解得，于是，
故.
故选：B
例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）若向量与的夹角为，且，则（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】C
【分析】利用数量积求出后可得.
【详解】由题意得，,
故，
故选：C.
例题3．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量，满足，则 ．
【答案】
【分析】由已知可求得，进而利用可求模.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
例题4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知平面向量、、、，且，若，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】不妨设，，设，，根据已知条件得出，由可设，可得出，利用平面向量模长的坐标公式可求得的最小值.
【详解】因为，可得，故，
不妨设，，
设，，则，解得，
，所以，
可得，
不妨设，可得，即，
所以，
所以
，
因为，故，
所以，
当且仅当时，取最小值.
故答案为：.
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】先计算的坐标，再利用模长公式计算即可.
【详解】由题意可得，，
则，解得.
故选：A
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．或C．或1D．
【答案】B
【分析】应用向量数量积的运算律将条件化为，再由向量模长的坐标运算列方程求参数值.
【详解】由两边平方化简得，
所以，即，
化简得，解得或.
故选：B
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，进而求出最大值.
【详解】，且，的夹角为，
在平面直角坐标系中，令，设，
则，由，得，
因此点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以的最大值为.
故选：D
4．（23-24高一下·上海·期中）已知则 ．
【答案】10
【分析】利用平面向量的数量积运算求解.
【详解】因为，所以，
所以，故，
，
故答案为：10.
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
例题1．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解.
【详解】，
.
.
.
.
.
.
故选：C.
例题2．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，，再根据共线向量列方程即可求解；
（2）根据题意列方程求得点的坐标以及的值，进一步根据向量夹角的余弦的坐标公式即可求解.
【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
又，，则有，所以；
（2）设，因为四边形为矩形，所以，，
又，，，
得，
则，，，
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为.
例题3．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长度；
(2)若与交于点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在直角三角形中利用勾股定理求得、、，确定的正弦、余弦值，再结合两角和的余弦公式以及余弦定理即可求解.
（2）解法一：构建平面直角坐标系，利用垂直关系，确定点坐标，利用平面向量的方法求解.解法二：在利用余弦定理确定，利用同角关系确定，再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1），，
，，，，
在中，，，
，
在中，，
．
（2）解法一：如图，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
，，过点作于点，
，即，
整理得，
，，，，
，，，
∴，
为与的夹角，，，
∴．
解法二：，在中，，，，
则，
，
则
．
精练高频考点
1．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可.
【详解】
以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，设，
，，，，
与共线，设，，即，
与共线，设，，即，
，解得，， ，
，，
，，
，
.
故选：A.
2．（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，．
(1)用，表示向量，；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量线性运算即可求解；
（2）法一：由平面向量数量积的运算律及夹角公式即可求解；法二：由余弦定理及相似三角形的性质即可求解；法三：以为原点，建立平面直角坐标系，由平面向量夹角的向量公式即可求解；法四：由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解．
【详解】（1）因为平行四边形，，，
所以．
又因为是的中点，
所以．
（2）解法一：，
．
．
．
因为与的夹角为，
所以．
解法二：因为平行四边形中，，，
所以中，，，，
由余弦定理得
，故．
因为，是的中点，所以，
所以，．
在中，由余弦定理得
．
解法三：以为原点，所在直线为轴如图建系，
则，，，，
所以，，
，，
．
因为与的夹角为，
所以．
解法四：因为平行四边形中，，，
所以中，，，，
由余弦定理得
，故．
在中，由正弦定理得，
，
所以
．
3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点．
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点建立直角坐标系，再利用向量平行的坐标表示可计算实数的值；
（2）设，根据向量垂直的坐标表示可求，再利用向量夹角的计算公式可求.
【详解】（1）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，
，，
所以，
又因为，所以，解得.
（2）因为点是边所在直线上的一个动点，所以设，则，
因为，所以，所以，
所以，，
设与的夹角为，则.
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知向量，与的夹角为锐角的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】D
【分析】求出与的夹角为锐角的充要条件，其对应集合的真子集即满足题意.
【详解】因为，
所以，
解得，
当与共线时，，解得，
所以与的夹角为锐角的充要条件为且，
故四个选项中只有为与的夹角为锐角的一个充分不必要条件，
故选：D
例题2．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为向量，的夹角是锐角，所以
解得且，所以的取值范围是.
故选：C.
例题3．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，．
(1)若、、三点共线，求的值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】1）根据题意结合运算求解；
（2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解.
【详解】（1），
三点共线，与共线，
则，解得.
（2）由（1）知，
与夹角为钝角，可得，解得，
若与平行，则，解得，
若与不平行，则，
的取值范围是.
练高频考点
1．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况.
【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即，
即，解得；
当共线时，，解得，
此时满足，此时两向量夹角为，
于是的夹角为锐角时，.
故选：A
2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量，，．
(1)若，求；
(2)若在方向上的投影数量为1，求m的值；
(3)若，的夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1)18
(2)
(3)，且．
【分析】（1）根据向量的数量积的坐标运算得解；
（2）根据投影向量的数量的概念求解即可；
（3）转化为数量积为正，且不同向共线即可得解.
【详解】（1）若，则，故，
所以．
（2）在方向上的投影数量是，，
若在方向上的投影数量为1，则，解得．
（3）若，的夹角为锐角，则，且，不共线，
由，所以，解得，
由，不共线，所以，解得，
综上，m的取值范围为，且．
3．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，．
(1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标表示共线计算即可；
（2）结合坐标计算数量积利用坐标表示向量的夹角计算即可.
【详解】（1）设，则，
故，
得
∴∴．
（2）由题意，
又因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
则
解得
则的取值范围为．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
例题1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量是单位向量，且，则为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】由两边平方求得，再求即可得.
【详解】由两边平方，得.
所以，又因为是单位向量，
所以，
所以.
故选：B.
例题2．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则 ．
【答案】/
【分析】根据已知条件判断出，的夹角，进而计算出.
【详解】依题意，，
由于，所以，同理可得，
由于，不相等，所以，的夹角为，
所以.
故答案为：
例题3．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知向量，满足，，则 .
【答案】
【分析】利用向量的数量积运算即可得到结果.
【详解】，
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）若向量，都是单位向量，且满足，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质和向量模的计算公式即可求解.
【详解】∵，∴，
又，都是单位向量，∴，
故选：A
2．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知向量满足，则 ．
【答案】
【分析】将平方，用数量积的运算律展开结合即可得解.
【详解】∵ ∴
由平方，得，
∴
故答案为：
3．（24-25高一下·广西梧州·阶段练习）已知单位向量满足，则 .
【答案】
【分析】本题可根据向量模长公式对两边同时平方，再结合单位向量的性质求解.
【详解】因为，
所以.
因为，所以，
所以，则.
故答案为：
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
例题1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出与的坐标，再利用向量垂直的性质列出等式，最后通过化简等式得到与的关系．
【详解】由题知，，，
，，
，整理得，
故选：B．
例题2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标运算得出，进而应用同角三角函数关系得出.
【详解】由，
可得，
所以，即得.
故选：C.
例题3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知向量.
(1)求的值；
(2)若向量与垂直，求k的值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）求出向量的坐标，根据向量的模长公式，即得答案；
（2）求出向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】（1）由，得，
故；
（2）由题意得，
因为向量与垂直，所以，
即，解得.
精练高频考点
1．（23-24高二下·四川德阳·期末）平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．9C．D．7
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式结合向量垂直公式得参数.
【详解】由，可知，
，即，
故选：B
2．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先求出的坐标，再根据得出，利用消元法结合基本不等式可求.
【详解】由题意得，，，
因，则
，则，
因，则，等号成立时，
故的最小值为.
故答案为：
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，，若，则 .
【答案】－7
【分析】根据平面向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解.
【详解】因为，，
所以，
.
故答案为：
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
例题1．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由投影向量的公式计算得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，
在上的投影向量为，
故选：C.
例题2．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得，然后由投影向量计算公式可得答案.
【详解】计算可得，
由，两边平方化简，得，
则在上的投影向量为.
故选：A.
例题3．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由两边平方可得，向量在向量方向上的投影化简为，再由基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以，
因为向量在向量方向上的投影为
，
当且仅当时等号成立，
故向量在向量方向上的投影的最小值为.
故答案为：．
精练高频考点
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得，从而根据投影向量的定义运算得答案.
【详解】因为，，，
所以，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为.
故选：A
2．（2025·湖北·模拟预测）向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由投影向量计算公式即可求解.
【详解】在上的投影向量为.
故选：A.
3．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】由条件可得，再由投影向量的定义代入计算，即可求解.
【详解】由，可得，即，
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值．
【答案】最大值为，最小值为
【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果。
【详解】先求最大值．
解法1：由题意知，
则，从而，所以．
平方得，所以．
解法2：如图，易知，
在中，有，得．
再求最小值．
易得，
则，从而，所以．
平方得，所以．
综上知的最大值为，最小值为．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，点，，.
(1)求以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数满足，求的值；
(3)求以线段为邻边的平行四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）法一利用平面向量的加法法则和减法法则求解对角线长度即可，法二利用平行四边形性质求出，进而求出，再利用两点间距离公式求解对角线长度即可.
（2）法一利用平面向量数量积的坐标表示建立方程，求解参数即可，法二对目标式合理变形，得到，再结合数量积和模的运算性质求解参数即可.
（3）先利用三角形面积的叉积公式求出三角形面积，进而求出平行四边形面积即可.
【详解】（1）法一：由题设知，，
则，，
所以，.
故所求的两条对角线的长分别为.
法二：如图，设该平行四边形的第四个顶点为，两条对角线的交点为，
由平行四边形性质得为的中点，得到，
因为为的中点，所以.
故由两点间距离公式得，.
（2）法一：由题设知，，
由，得，解得.
法二：因为，所以，
则，得到，即，
由题意得，，，可得.
（3）由题意得，，
由三角形面积计算的叉积公式得.
故平行四边形的面积.
例题3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，通过对比系数得到关于和的方程组，最后消去参数得出的值.
（2）先根据三角形面积关系得出与的关系，再联立已知等式求解和的值，进而求出线段长度，然后利用余弦定理求出和，最后通过向量运算求出的值.
【详解】（1）因为三点共线，
所以存在使得，
又，
因为不共线，所以
两式消去得.
（2）由得，所以，
由（1）得，联立解得.
所以，
在中，由余弦定理得，
所以在中，由余弦定理得，
因为为边的中点，所以，
所以.
又，
所以
.
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，，，，，求的取值范围．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，由得，作出图像，得，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】由得，
建立平面直角坐标系，设，标出各点坐标，如图1，
则有，
即，
整理得，即．
画出图形，如图2，则，
所以．

【点睛】
2．（2025高三·全国·专题练习）已知在矩形中，，若是上的动点，求的最小值．
【答案】1
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质求得最小值.
【详解】建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，其中是的中点，如图．
，
当时，等号成立，故的最小值为1．
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知等边的边长为2，的半径为1，为任意一条直径．
(1)判断是否为定值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)是定值
(2)
【分析】（1）由题知，，再根据向量数量积及线性运算可求；
（2）由数量积运算律可得，利用数量积定义即可求解.
【详解】（1）对向量分别插入分点，
则，．
．
（2）
，其中为与的夹角．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
例题1．（2025·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，且，，再应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围.
【详解】由题设，
设，则.
利用辅助角公式：
因为，所以.
综上，的取值范围是.
故选：A
例题2．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题.
【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，E是线段中点，
所以，
而是线段上的动点，
从而可设，
所以点的坐标是，
所以，
，
所以当时，的最小值是.
故选：C.
例题3．（24-25高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 .
【答案】/
【分析】建立平面直角坐标系，写出的坐标，再根据已知条件可得点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称，设出坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得，进而可求得其最大值.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系，
因为八边形是正八边形，所以，则.
因为，则.
由题意知，点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称，
设，则，
则，，
所以
，
其中，
当时，为最大值.
故答案为：.
例题4．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律即可求解空1，利用向量的线性运算将问题转化为，求解的最大值，的最小值即可求解.
【详解】由于，则，
，
（ⅰ）当，则，故，
（ⅱ）,
由于为相反向量，故，
所以，
由，故当时，取最小值，
而的最大值为，
因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为，
故答案为：，
精练高频考点
1．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】AD
【分析】不妨设，，根据图形关系求出点的轨迹方程，利用坐标法计算的取值范围.
【详解】如图，圆的方程为，由于圆的对称性，不妨设，
因，则，则，
因，则点的轨迹为以为直径的圆，且位于圆内部，
中点为，，则以为直径的圆方程为，
设，则，则，
又与的交点坐标为，
则，则，
故AD正确，BC错误.
故选：AD
2．（2025·重庆·三模）已知矩形的边，，点P，Q分别在边上，若则的最小值为 .
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，表示出，用基本不等式求最小值.
【详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，．
设，则，，
则，，．
因为
．
当且仅当，即时，“＝”成立，
所以的最小值为．
故答案为：.
3．（2025高三·全国·专题练习）在矩形ABCD中，，，点M，N分别为边，上的动点，且，则的最小值是 ．
【答案】15
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示可得，由可得，利用直线与圆的位置关系建立不等式即可求解.
【详解】以为坐标原点,分别以为轴和轴建立平面直角坐标系，
则,则，
故，由于，令，
因与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，
即，故.
故答案为：15
4．（24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则 .若，点为线段上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设，，表示出点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意
，
又，且、不共线，所以，所以；
如图建立平面直角坐标系，则，，所以，，
所以，
因为点为线段上的动点，所以设，，
则，则，
所以，，
所以
，
所以当时取得最小值，最小值为；

故答案为：；
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标表示以及夹角范围计算，考虑向量反向的情况可得结论.
【详解】若“”可得，可得；
当时，与的方向相反，其夹角为，
即与的夹角为钝角或平角，充分性不成立；
若“与的夹角为钝角”，即可知，解得，必要性成立；
因此“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
2．已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.
【详解】因为，，与成锐角，
所以，
解得，
当与同向时，，即，解得，
此时满足，但与所成角为0，不满足题意，
综上，与成锐角时，y的取值范围为.
故答案为：
3．已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为，
故答案为：.
4．已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
【答案】(1)①或；②或
(2)
【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得；
（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.
【详解】（1），，
①若，则，即，解得或；
②若，则，解得或.
（2）由，解得或，
又时，或，
若向量与的夹角为钝角，则或或，
故的取值范围为.
第五部分：新定义题
1．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】C
【分析】根据坐标系中向量的坐标规定，先求出的值，再将分别用，表示，计算出的表达式，最后利用向量模的定义求出.
【详解】依题意，，
，则，
则，故.
故选：C.
2．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，且，代入运算即可.
【详解】因为，，，，
可知，
又因为向量在基底，下的坐标为，
则，
所以在基底，下的坐标为.
故选：C.
3．（2024高三·全国·专题练习）对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则下列选项错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若Rt中，，则
D．若中，，则是等腰三角形
【答案】C
【分析】根据新定义的运算，求出向量的模，向量的夹角，针对各个选项分别求解即可.
【详解】对于A：因为，所以或，
所以，A正确；
对于B：因为，
所以，，
所以，
，B正确；
对于C：若Rt中，，所以，
所以，C错误；
对于D：中，，
所以，
则，所以，
∴是等腰三角形，故D正确.
故选：C.
4．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，根据定义求出的坐标可得答案.
【详解】，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到
，
设，则，
解得，即.
故选：C.
5．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则线段的长度为1
C．已知，则
D．已知，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题设“仿射”坐标系的定义，依据各项条件并应用向量数量积的运算律及相关坐标运算判断正误即可.
【详解】A：由题设，
所以，对；
B：由题设，则，对；
C：由题设，错；
D：由题设，即，
由，且时取等号，
则，故，即时的最大值为，对.
故选：ABD