2026年高考数学一轮复第02讲平面向量基本定理及坐标表示(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第02讲平面向量基本定理及坐标表示(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共2页。学案主要包含了方法技巧，易错分析，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练1-3，变式训练2-1，变式训练3-1，变式训练3-2等内容，欢迎下载使用。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc199181716 \h 4
\l "_Tc199181717" 知能解码 PAGEREF _Tc199181717 \h 4
\l "_知识点1" 知识点1 平面向量的基本定理 PAGEREF _Tc199181718 \h 4
\l "_知识点2" 知识点2 平面向量的正交分解 PAGEREF _Tc199181719 \h 4
\l "_知识点3" 知识点3 平面向量的坐标运算4
\l "_知识点4" 知识点4 向量坐标的坐标表示5
\l "_Tc199181722" 题型破译 \l "_Tc199181721" 5
\l "_题型1" 题型1 对基向量概念的理解5
\l "_题型2" 题型2 用基底表示向量6
\l "_题型3 _x0001_" 题型3 利用平面向量基本定理求参数7
【方法技巧】对应系数相等求参数
【易错分析】向量的分解易错
\l "_题型4 _x0001_" 题型4 平面向量的坐标运算8
\l "_题型5 _x0001_" 题型5 向量共线的坐标表示9
\l "__x0001__5" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc199181733 \h 10
\l "__x0001__6" 05课本典例·高考素材11
\l "_Tc25045" 知识点1 平面向量的基本定理
自主检测在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
\l "_Tc25045" 知识点2 平面向量的正交分解
1、正交基、正交分解及标准正交基
（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；
（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；
（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 .．
（4）把一个向量分解为两个 .的向量，叫做把向量作正交分解.
自主检测已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．
(1)用坐标表示；
(2)求的模长；
(3)求顶点A的坐标．
\l "_Tc25045" 知识点3 平面向量的坐标运算
1、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作eq \(OP,\s\up6(→))＝a（通常称eq \(OP,\s\up6(→))为位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝xi＋yj．
因此，a＝xi＋yj．
我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)．
2、点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为，容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量的坐标．
3、平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
自主检测若向量，，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc25045" 知识点4 向量坐标的坐标表示
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量，
即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
自主检测已知向量，，若，则y的值为（ ）
A．B．C．2D．
题型1 对基向量概念的理解
例1-1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）
A．与B．与C．与D．与
例1-2（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
方法技巧 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【变式训练1-1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与向量方向相同的单位向量的坐标为
B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．为非零向量，且相互不共线，则
D．若与共线，则
【变式训练1-3】若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①和 ②和
③和 ④和
A．①②B．②③C．③④D．①④
题型2 用基底表示向量
例2-1已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（ ）
A．B．C．D．
例2-2在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
方法技巧
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量
【变式训练2-1】若点O是平行四边形两条对角线的交点，，则向量（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2·变考法】（多选）在中，已知是的中点，若P是上的一点，且满足与交于点E，则（ ）
A．B．在上的投影向量为
C．D．
【变式训练2-3·变载体】在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则 .（用，表示）
题型3 利用平面向量基本定理求参数
例3-1
在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
例3-2（2026高三·全国·专题练习）已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（ ）
A．5B．6C．9D．10
例3-3如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（ ）
A．1B．3C．5D．8
方法技巧
若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
【变式训练3-1】在平行四边形中，，交于点，若，则 .
【变式训练3-2】如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ．
题型4 平面向量的坐标运算
例4-1与向量平行的单位向量是（ ）
A．B．
C．或D．或
例4-2在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ．
方法技巧
求向量的坐标的一般方法
1、数形结合法：根据正交分解，求向量在轴、轴上的坐标分量；
2、平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标；
3、若已知、，则．
【变式训练4-1】已知向量，，则与（ ）
A．互为相等向量B．互为相反向量C．相互垂直D．均为零向量
【变式训练4-2·变载体】已知点，则（ ）
A．B．C．D．
题型5 向量共线的坐标表示
例5-1已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．无解
例5-2已知平面向量，，且，则 .
例5-3已知点，点，且，则点的坐标为 ．
方法技巧
1、判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则．
2、由向量共线求参数的值
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解．
【变式训练5-1】已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A．B．或
C．D．或
【变式训练5-2】设向量其中为坐标原点， ，若三点共线， 则的最小值为 .
【变式训练5-3已知向量，，，若与平行，则实数 .
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．
(1)若的焦点，求离心率e；
(2)若，且上存在一点P，满足，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
1.已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则 .
2.已知，，，当时，求实数x，y应满足的关系式．
3.已知，，，求的顶点的坐标．
4.已知，，求的坐标．
5.已知向量，，，求，并用标准正交基表示.
6.已知，，求，，的坐标．
7.如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量；
（2）借助平面坐标系，掌握平面向量的坐标表示；
（3）理解向量坐标的运算及中点坐标公式；
（4）掌握平面向量平行的坐标表示．
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷，12题，5分
新课标I卷，第3题，5分
全国甲卷，第9题，5分
上海卷，第5题，4分
新课标I卷，第3题，5分
考情分析：
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
复习目标：
（1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；
（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题；
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．
条件
e1，e2是同一平面内的两个 .
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
基底
若e1，e2 .，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝ .
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝ .
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘
λa＝ .
实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积