2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第8讲：导数的概念及其意义，导数的运算(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第8讲：导数的概念及其意义，导数的运算(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了导数的概念及其意义，导数的运算，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.考纲核心要求
理解导数的实际背景（如瞬时速度、切线斜率），掌握导数的定义（函数在某点的导数、导函数）.
掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则及复合函数的求导法则.
能运用导数的几何意义解决切线方程、切点坐标等问题.
2.命题趋势分析
基础题型：导数的定义辨析、简单函数求导、切线方程求解（高考选择/填空第1-3题难度，占5分）.
综合题型：与函数单调性、极值结合的求导问题，复合函数分层求导（解答题第1问，占6-8分）.
高频载体：指数函数、对数函数、分式函数、三角函数与二次函数的组合函数.
第二部分：知识体系梳理
一、导数的概念及其意义
1.导数的定义
函数在某点的导数：设函数在的某个邻域内有定义，若极限存在，则称在处可导，该极限为在处的导数.
导函数：若在区间内每点可导，则为在内的导函数（简称导数）.
2.导数的几何意义与物理意义
几何意义：曲线在点处的切线斜率为，切线方程为（若不存在，切线为）.
物理意义：若表示位移关于时间的函数，则为时刻的瞬时速度；为时刻的瞬时加速度.
二、导数的运算
1.基本初等函数的导数公式（常考核心）
2.导数的四则运算法则
（乘积法则，高考高频）
（，分式求导必用）
3.复合函数的求导法则
若，，则（“层层求导，链式相乘”）
示例：求的导数：设，则，
第三部分：常考结论与真题提炼
1.导数定义的常考变形结论（真题高频考点）
结论1：（对称差商，2023全国卷I选择第5题考过）
结论2：若在处可导，则在处连续（逆命题不成立，如在处连续但不可导）
结论3：导数定义的“凑形”技巧：，需将所求极限转化为该形式（2022新高考II卷填空第13题）
2.切线问题的核心结论
结论1：曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，但过曲线外一点可作曲线的2条切线（如抛物线，2021全国乙卷解答第20题）
结论2：若两曲线与在点处相切，则且（公切线条件，2024新高考I卷选择第10题）
结论3：切线方程的“快速写法”：对于，在处切线为（可直接代入公式）
3.求导运算的简化结论
结论1：乘积函数求导优先“分拆”：若，可先化简再求导（如，直接用乘积法则，避免复杂运算）
结论2：复合函数“分层标记”法：求的导数时，标记，导数为（2023浙江卷解答第19题复合3层函数）
结论3：三角函数求导注意符号：，（易漏负号，高考高频出错点）
第四部分：注意事项与易错点警示
1.概念理解易错点
易错1：混淆“函数在某点可导”与“导函数连续”：可导函数的导函数不一定连续（如，，在处不连续）
易错2：认为“切线斜率存在则曲线在该点光滑”：反例在处导数不存在，但曲线光滑
易错3：导数定义中“趋向于0的任意性”：不能仅用取正整数趋向0判断可导
2.运算求解易错点
易错1：基本公式记错：如误写为（遗漏），误写为（混淆幂函数与指数函数）
易错2：复合函数求导“漏层”：如，误求为（正确为）
易错3：分式求导“分子符号错误”：如误写为（正确，但若分子为，易漏负号）
3.高考答题规范注意事项
写切线方程时，需先判断导数是否存在，再写方程（若导数不存在，直接写，不可遗漏）
求导过程需分步书写，尤其是复合函数和分式函数，避免跳步导致扣分（如2024全国卷III解答第18题，需展示复合求导步骤）
利用导数定义解题时，必须明确标注极限存在的条件，否则逻辑不完整（高考阅卷按步骤给分）.
题型分类
知识讲解与常考题型
一、基础题型（高考送分题，必拿分）
题型1：导数定义的辨析与简单应用
答题模板：
1.定义辨析模板：
步骤1：写出导数定义标准形式
步骤2：对题干极限变形，令题干中的增量（如），转化为标准形式
步骤3：对比系数，判断是否等于（含符号）
2.凑形计算模板：
步骤1：提取增量系数，将分母化为与分子增量一致的形式（如题干分子增量为，分母化为）
步骤2：代入导数定义，得
步骤3：代入已知导数数值，计算结果
子题型：
1.定义辨析题：
经典例题例题
（24-25高二下·广西钦州·期末）已知函数在处可导，且，则（ ）
A．B．2C．D．
小试牛刀1
（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（ ）
A．B．C．2D．3
小试牛刀2
（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则 ．
难度：★☆☆考频：★★★
题型2：基本初等函数的直接求导
答题模板：
步骤1：识别函数类型（幂/指/对/三角/组合），拆分复杂函数（组合函数拆分为单一函数之和）
步骤2：调用对应基本导数公式（如、）
步骤3：组合结果，化简表达式（如负指数、根式化为分式形式）
示例：求的导数
解：①拆分：；②分别求导：，，；③组合：
考查目标：熟记基本导数公式，快速求解单一函数的导数
真题溯源：2024全国卷III填空第11题、2021新高考I卷选择第3题
子题型：
1.幂函数/指数函数/对数函数求导：
经典例题例题
（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
小试牛刀1
（2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是 .
小试牛刀2
（24-25高二下·广东中山·月考）设，则＝（ ）
A．0B．eC．1D．－e
2.三角函数求导：
经典例题例题
（24-25高二下·江西·期末）已知函数，则（ ）
A．B．1C．0D．2
小试牛刀1
（24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数，则（ ）
A．1B．C．－1D．0
小试牛刀2
（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）已知函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3.常数与简单组合函数求导：
经典例题例题
（24-25高二下·湖北咸宁·期末）已知函数，则的值为 .
小试牛刀1
（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知函数，则该函数在处的切线斜率为 ．
难度：★☆☆考频：★★★★
题型3：导数的物理意义应用
答题模板：
1.瞬时速度模板：
步骤1：明确“瞬时速度”
步骤2：对位移函数求导，得速度函数
步骤3：代入，计算数值结果
子题型：
1.瞬时速度计算：
经典例题例题
（24-25高二下·广东韶关·期末）某运动质点位移与时间之间的关系为，则该质点的最大瞬时速度是（ ）
A．B．1C．D．2
小试牛刀1
（24-25高二下·福建漳州·期中）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ）
A．B．C．D．
小试牛刀2
（24-25高二下·广东佛山·期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的（ ）
A．B．C．D．
难度：★☆☆考频：★★
二、中档题型（高考高频题，重点练）
题型4：导数的几何意义综合应用
答题模板：
1.已知切点求切线模板：
步骤1：求曲线在切点处的导数（切线斜率）
步骤2：代入点斜式
步骤3：整理为斜截式或一般式（高考无要求时斜截式即可）
2.已知切线求参数模板：
步骤1：设切点为，求（切线斜率）
步骤2：列两个方程：①（切点在切线上）；②（斜率相等）
步骤3：解方程组得，再求参数值
3.过曲线外一点作切线模板：
步骤1：设切点为，求
步骤2：由两点斜率公式得（为外点）
步骤3：联立，解方程得（可能多解）
步骤4：代入点斜式，写出所有切线方程
4.两曲线公切线模板：
步骤1：设公切线与曲线1切于，与曲线2切于
步骤2：列方程：①（斜率相等）；②（截距相等）
步骤3：解方程组得，再写切线方程
考查目标：掌握切线方程、切点坐标、斜率的相互求解，应对“在点处”与“过点处”切线问题
真题溯源：2024新高考I卷选择第10题、2023浙江卷填空第12题
子题型：
1.已知切点求切线方程：
经典例题例题
（2025·陕西西安·二模）已知曲线在点处的切线方程为 .
小试牛刀1
（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．1
小试牛刀2
（25-26高三上·天津滨海新·期中）曲线在处的切线方程为 ．
2.已知切线求切点/参数：
经典例题例题
（25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（ ）
A．4B．3C．2D．-5
小试牛刀1
（25-26高三上·安徽芜湖·月考）若直线与函数的图象相切，则 ．
小试牛刀2
（25-26高三上·山东菏泽·期中）若直线是曲线的切线，则 .
3.过曲线外一点作切线：
经典例题例题
（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 .
小试牛刀1
（2025·海南·一模）已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 .
小试牛刀2
（25-26高三上·山东青岛·月考）写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程 ．
4.两曲线公切线问题：
经典例题例题
（25-26高三上·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
小试牛刀1
（25-26高三上·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为 .（写出符合条件的一个方程即可）
小试牛刀2
（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ．
难度：★★☆考频：★★★★★
题型5：导数的四则运算与复合函数求导
答题模板：
1.乘积函数求导模板：
步骤1：记，明确、
步骤2：套用公式
步骤3：代入导数并化简（合并同类项、提取公因式）
2.分式函数求导模板：
步骤1：记，明确、（）
步骤2：套用公式（注意分子符号）
步骤3：展开分子并化简（避免因式遗漏）
3.复合函数求导模板：
步骤1：分层设中间变量（从外到内），如设，，
步骤2：层层求导：，，
步骤3：链式相乘：
步骤4：代回原变量，化简（如，，得）
4.混合运算求导模板：
步骤1：按“加减”拆分函数为多个子函数（如，，）
步骤2：分别对每个子函数求导（子函数用乘积/分式/复合法则）
步骤3：合并各子函数导数，整理结果
考查目标：熟练运用四则运算法则，掌握复合函数“分层求导”技巧
真题溯源：2023浙江卷解答第19题、2022新高考I卷解答第21题第1问
子题型：
1.乘除函数求导：
经典例题例题
（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设是大于1的常数，则（ ）
A．B．
C．D．
小试牛刀1
【多选题】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导结果正确的有（ ）
A．B．
C．D．
小试牛刀2
【多选题】（24-25高二下·河南驻马店·期末）下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2.多层复合函数求导：
经典例题例题
（24-25高二下·广东中山·月考）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
小试牛刀1
（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
小试牛刀2
（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
难度：★★☆考频：★★★★★
课后针对训练
一、单选题
1．（25-26高三上·湖南·期中）吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26高三上·河北·月考）函数满足，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（25-26高三上·江西·月考）已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．
C．当时，
D．曲线在点处的切线方程为
三、填空题
7．（25-26高三上·湖南·期中）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 .
8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数 的图象在处的切线的倾斜角为
9．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为 .
10．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 .
11．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数，则 .
12．（2025·吉林长春·三模）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 ．
13．（25-26高三上·上海·月考）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 .
14．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则 .
函数类型
导数公式
高考高频示例
常数函数
（为常数）
，
幂函数
（）
，
指数函数
，（）
（复合）
对数函数
，
（换底+复合）
三角函数
，
（复合）