新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、导数的概念和几何性质
1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．
注：增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3.复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
【常用结论】
1.在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2.过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
二、题型分类精讲
题型一 导数的定义
策略方法 对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.
【典例1】已知函数在处的导数，则（ ）．
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据题意由导数的定义即可得答案．
【详解】根据题意，函数在处的导数为，
而，
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2B．-1C．1D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义，计算得到答案.
【详解】.
故曲线在点处的切线斜率为.
故选：C
2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数的导函数是，若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据导数定义，将增量化成即可得到.
【详解】因为
所以
故选：B
二、填空题
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，则______．
【答案】
【分析】求出导函数，建立与的方程，求出，利用极限的运算及导数的定义求解即可.
【详解】当时，，所以，
又，
则，解得，
由定义可知，.
故答案为：
题型二 导数的运算
策略方法 对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.
【典例1】求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
(5)（为常数）；
(6).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据导数的运算法则即可求得导数.
【详解】（1）由已知，所以
（2）由已知，所以
（3）由已知，所以
（4）由已知
所以
（5）由已知，所以
（6）由已知，令，，故
所以
所以
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以.
2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以
（4）因为，所以
3．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据复合函数求导公式及运算法则，结合基本函数求导公式求解即得.
【详解】（1）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
；
（2）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
；
（3）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
又因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（4）函数可化为
因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
所以
；
（5）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
又因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（6）函数可化为，
因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
所以
.
题型三 导数中的切线问题Ⅰ-求在曲线上一点的切线方程
策略方法 已知切点A(x0，f (x0))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x0)，再根据y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)求解．
【典例1】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.
【详解】由得，故，
由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对函数进行求导，求出在处的切线的斜率，代入，求出，利用点斜式方程求出切线方程.
【详解】因为，所以，则，
所以的图象在处的切线方程为，
即.
故选：B.
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A．B．2C．±2D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面积列式可求出结果.
【详解】因为，所以.
因为，所以的图象在处的切线方程为.
因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，
令，得，令，得，
所以，所以.
故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由偶函数的定义确定参数的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.
【详解】因为是偶函数，
所以，
所以，故，
又，所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A.
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________．
【答案】
【分析】先利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，进而可对函数求导，然后根据条件列方程求.
【详解】由曲线得，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线得，
由已知可得，
解得.
故答案为：.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，，而，
因此函数的图象在处的切线方程为：，
令，得，于是，解得，
所以.
故答案为：
6．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】根据题意，求导可得，再由直线的点斜式即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，
由直线的点斜式可得，化简可得.
故答案为:
7．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知函数，直线，是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是________．
【答案】
【分析】记，，不妨设与相切于点，与相切于点，则，，利用导数求出，再求出直线，的方程，解方程求出点的横坐标，再利用基本不等式得解.
【详解】记，，
由函数图象可知，不妨设与相切于点，与相切于点，则，．
∴，，∴，，
∵，∴，即，所以，
∵的方程为，的方程为，
两方程相减得点的横坐标，
∵，∴，
∴，即点横坐标的取值范围是．
故答案为：
三、解答题
8．（2023·北京东城·高三专题练习）已知函数，其中.若曲线在处的切线过点，求的值；
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线，从而得到，求解即可.
【详解】，
，
, 即在处的切线斜率为0，
又当时, ，
在处的切线方程为，
整理得：，
曲线在处的切线过点，
，又，
题型四 导数中的切线问题Ⅱ-求过一点的切线方程
策略方法
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值
【典例1】过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.
【详解】因为，所以，
设所求切线的切点为，则，
由题知，，解得，所以切线斜率为，
故所求切线方程为.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．eB．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值.
【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，
则，解得.
故选：C
2．（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
3．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，由图象观察得出结论．
【详解】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，
所以，
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线有（ ）条
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入方程，即可求得答案.
【详解】由可得，
过坐标原点作曲线的切线，设切点为，则切线斜率为，
切线方程为，又，
所以，即，
所以，即切线有1条.
故选：B.
二、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】或
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案.
【详解】由可得，设切点坐标为，
所以切线斜率，又因为，
则切线方程为，
把代入并整理可得，解得或.
故答案为：或
6．（2023秋·广东梅州·高三平远县平远中学校考期末）已知直线与曲线相切，则_________.
【答案】
【分析】已知曲线的切线过某定点，根据导数的几何意义求直线的斜率.
【详解】设切点为，∵，∴，∴，
∵，∴，解得，∴.
故答案为：.
7．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案.
【详解】时，，设切点，
则，
切线过，
，
，
时，，切点，
，
切线过，
，
，
故.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______.
【答案】
【分析】先设切点为，利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将坐标原点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解.
【详解】设切点坐标为：，，
所以切线斜率为，
即切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，
整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，
所以，解得
故答案为：
题型五 导数中的切线问题Ⅲ-求参数的值(范围)
策略方法 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【典例1】已知函数在点处的切线为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得．
【详解】∵函数，
∴，，
∵在点处的切线为，
∴，
解得，，
∴．
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】设P点坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程，求得答案.
【详解】设，点 ，
则，
由在点P处的切线与直线垂直可得，即，
又，∴,
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与的图象在处有相同的切线，则（ ）
A．0B．C．1D．或1
【答案】C
【分析】求出两函数的导函数，利用求解即可.
【详解】点在两函数图象上，
，，
根据题意可得，
即.
故选：C
3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若点P是函数任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，令函数的导数等于的斜率求出切点，再求切点到的距离即可.
【详解】解：当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，
的斜率为1，
令，解得或，
因为，所以，，
所以曲线上和直线平行的切线的切点为，
到直线的距离为最小距离，
故选：A.
【点睛】考查求曲线上一点到给定直线的距离的最小值求法，基础题.
4．（2023·全国·高三专题练习）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.
【详解】设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐
因为直线的斜率等于，
曲线的导数，令，
可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A．B．C．D．，
【答案】C
【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，结合目标式有，构造并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故选：C．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．
【答案】
【分析】设，.求出，，根据导数的几何意义即可求出的值，进而得出答案.
【详解】设，.
则，.
直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以.
又，.
直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以.
所以.
故答案为：.
7．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为____________．
【答案】3
【分析】设切点为，求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得，进而得到，消去，得到的二次函数，即可得到所求最小值．
【详解】解：直线与曲线相切，则
设切点为，所以可得所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3．故答案为：3.①导数的定义
②导数的运算
③导数中的切线问题Ⅰ-求在曲线上一点的切线方程
④导数中的切线问题Ⅱ-求过一点的切线方程
⑤导数中的切线问题Ⅲ-求参数的值(范围)
基本初等函数
导函数
（为常数）