2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第5讲：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性四大性质综合(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第5讲：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性四大性质综合(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了复习导航，核心性质梳理，核心题型总览，分题型突破模块等内容，欢迎下载使用。
>核心定位：夯实基础·突破综合·规范逻辑·提升应用
一、复习导航
二、核心性质梳理
（一）基础定义/公式/判定/易错点
（二）12个高频结论
三、核心题型总览
四、分题型突破模块
▶基础题型1：单一性质判定（分性质细分题型+模板）
1.奇偶性判定
奇偶性判定模板
核心前提：必做「定义域关于原点对称判定」（奇偶性的核心前提，定义域不对称直接非奇非偶）
一、关键知识点（浓缩版）
1.定义本质：定义域对称基础上，（奇），（偶）；
2.常见函数：奇函数（），偶函数（），非奇非偶（）；
3.运算性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇；
4.特殊结论：奇函数过原点（定义域含0时，）.
二、细分题型极简模板（含知识点嵌入）
三、易错提醒（3点核心）
1.定义域优先：不对称直接非奇非偶，勿跳过定义域直接判；
2.变形规范：化简需彻底（通分、有理化、因式分解），避免符号错误；
3.特殊情况：仅适用于定义域含0的奇函数，原点无定义时不成立.
【专项训练】
【例题1：函数的奇偶性判断】（安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．f(x)=csx⋅lnx2+1−xB．f(x)=sinx⋅lnx2+1−x
C．f(x)=xlnx2+1−xD．f(x)=x2lnx2+1−x
【小试牛刀】（四川省成都市蓉城名校联盟2026届高三第一次联合诊断性考试数学试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间−8,8上的大致图象，则该函数可能是（ ）
A．fx=x4sinxex+e−xB．fx=x4sinx−xex+e−x
C．fx=x4csxex+e−xD．fx=x4csx−xex+e−x
【例题2：由函数的奇偶性求参数】（浙江省稽阳联谊学校2026届高三上学期11月联考数学试题）已知函数fx=lg22+ax+1+b是奇函数，则a+b=（ ）
A．−3B．−1C．−5D．1
【小试牛刀】（2025届湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学高三模拟预测数学试题）已知fx=lnmx−2+1+2x为奇函数，则实数m的值是 ．
【例题3：由函数的奇偶性求解析式】（湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题）已知函数fx的定义域为R，y=fx−sinx为偶函数，y=fx+2csx为奇函数，则fx的最大值为 ．
【小试牛刀】（广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷）已知奇函数fx和偶函数gx的定义域均为R，且满足gx=fx+e−x，则fx2+gx2=（ ）
A．1B．−1C．f2xD．g2x
2.单调性判定
单调性判定核心模板
核心前提：所有判定必做「定义域求解」（单调性是区间性质，定义域是基础）
关键知识点铺垫
1.单调性定义本质：自变量大小关系与函数值大小关系的一致性（增函数“同增”，减函数“反增”）；
2.导数判定逻辑：→严格递增，→非严格递增（含常函数段）；→严格递减，→非严格递减；
3.复合法则核心：“同增异减”（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）；
4.常见函数单调性结论：一次函数（全增，全减）、二次函数（对称轴分区间，左减右增）、反比例函数（在和分别减，不可用“∪”）.
通用知识点+易错提醒
1.区间表示：单调区间用“()”，断开区间（如反比例函数）用“和”，不可用“∪”（并集表示的是两个区间的整体，不满足单调性定义的“任意两点”）；
2.特殊函数：反比例函数、分式函数的单调区间必须排除分母为0的点，不可笼统表述为“在上单调”；
3.导数与单调性：导数为0的点可能是极值点，但不影响整体单调区间（如，，但在上单调递增）；
4.作差变形技巧：整式函数优先因式分解，二次函数优先配方，确保变形后能直接通过判号.
【专项训练】
【题型1：由定义法判断单调性】(25-26高三上·辽宁沈阳东北育才学校·一模)已知函数f(x)=b⋅2x−1+1a⋅2x−1+1是定义域为R的奇函数，a,b∈R.
(1)求a,b的值；
(2)用定义法证明f(x)的单调性；
(3)当x∈[1,4]时，f(kx)+f(−x2−4)>0恒成立，求实数k的取值范围.
【小试牛刀】（上海市格致中学2024届高三下学期三模数学试卷）已知fx=ax−b4−x2，函数y=fx是定义在−2,2上的奇函数，且f1=13.
(1)求fx的解析式；
(2)判断y=fx的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
【题型2：复合函数的单调性】（湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学试题）已知函数fx=lg5ax−2在1,+∞上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．1,+∞B．ln2,+∞C．2,+∞D．2,+∞
【小试牛刀】（黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题）函数fx=exx−t在2,3上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A．6,+∞B．−∞,6
C．−∞,4D．4,+∞
【题型3：由函数的单调性求参数】（浙江省金华市义乌市2025届高三下学期适应性考试（三模）数学试题）已知函数fx=ax−lnx在区间1,4上单调递增，则a的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【小试牛刀】(24-25高三上·广东茂名·)已知函数fx=x2−6x+5在区间a,+∞上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．−∞,1B．−∞,3C．3,+∞D．5,+∞
【题型4：分段函数的单调性】（高三数学综合原创基础小卷04）若函数fx=−x2+3ax+a−1,xf2−x，则x的取值范围是（ ）
A．−13,+∞B．−∞,−3∪−13,+∞
C．−∞,−5∪−13,+∞D．−5,−13
【小试牛刀】（黑龙江省大庆市2026届高三第一次教学质量检测数学试题）已知函数f(x)的定义域为R,f(1+x)=f(3−x)，且f(x)在[2,+∞)上单调递减，则不等式f(2x−3)>f(3)的解集是（ ）
A．(−∞,3)B．(−∞,2)C．(3,+∞)D．(2,3)
【题型4：奇偶性+对称性】(25-26高三上·山西吕梁·)已知定义在R上的函数fx与gx满足fx−g2+x=4，其中fx+1−1为奇函数，gx的图象关于直线x=2对称，且g2=3，则f2025+g2026= ．
【小试牛刀】（湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷）函数fx对∀x∈R,fx+2=f4−x，且fx+6为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若x∈0,3时fx=2x，则f8=4
B．fx的周期为6
C．fx的图象关于−6,0中心对称
D．f2025+f3≠0
【题型5：奇偶性+周期性】（福建省泉州市2026届高三上学期质量监测（一）数学试题）定义在R上的奇函数fx满足fx+2=fx，且当0f−53D．若f0=1，则i=120fi=10
▶综合题型2：三/四性质综合（细分题型+解题模板）
1.细分题型
2.通用解题模板
四大性质综合题型通用实用答题模板
核心原则：定义域先行+性质关联+范围缩小+精准求解
（适配所有三/四性质综合题，含抽象函数、分段函数、具体函数）
一、通用解题步骤（6步闭环，每步可直接落地）
二、实用工具包（直接套用，省去推导）
1.性质关联速查表（核心桥梁）
2.常见题型秒杀技巧
抽象函数赋值法：遇、，先令求，再令判奇偶性；
分段函数综合：各分段分别用模板，重点验证“分段衔接点”的性质一致性（如处奇偶性、处周期性）；
三角函数综合：直接用已知性质（如是奇函数+周期+中心对称），跳过复杂判定.
三、易错防控清单（必看，避免丢分）
1.定义域遗漏：如对数真数>0未考虑，导致奇偶性判定错误；
2.周期公式记错：的周期是，非；
3.区间表示错误：周期函数单调区间需加（），断开区间用“和”非“∪”；
4.脱“”忘条件：必须先确保自变量在“同一单调区间”，再用单调性脱；
5.分段衔接点忽略：如是分段点，需验证（连续性）和性质一致性.
【专项训练】
【题型1：四个性质综合】【多选题】（2026届辽宁省丹东市高三上学期总复习阶段测试数学试卷）定义在R上的奇函数fx满足fx+1+fx−1=fx，fx在区间0,32上单调递增，且f−32=−3，则（ ）
A．f−6=0B．fx在32,3上单调递减
C．fx关于直线x=9对称D．f2025+f32=6
【小试牛刀】【多选题】(25-26高三上·陕西商洛镇安中学·模拟)已知定义域为R的函数fx在−1,0上单调递增，满足f1+x=f1−x，且fx的图象关于点2,0对称，则以下结论正确的有（ ）
A．fx=fx+4
B．f0=f−2
C．fx在2,3上单调递减
D．f2024>f2025>f2026
▶拓展题型：抽象/导函数与原函数性质综合（细分题型+模板）
1.抽象函数性质综合（细分3类题型）
【专项训练】
【题型1：抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性】【多选题】（黑龙江省2024届高三冲刺卷（四）数学试卷）已知函数f(x)的定义域为R，若∀x,y∈R，有f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y),f(1)=0，f(0)≠0，则（ ）
A．f(0)=1B．f12=22
C．f(x)为偶函数D．4为函数f(x)的一个周期
【小试牛刀】【多选题】（河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题）已知函数fx的定义域为R，且fx+y+fx−y=fxfy，f1=1，则（ ）
A．f0=2B．f3−x=f3+x
C．fx是周期函数D．fx的解析式可能为fx=2sinπ6x
2.导函数与原函数奇偶性、对称性核心技巧
一、核心性质对应（直接套用）
1.奇偶性
原奇（）→导偶（）
原偶（）→导奇（）
导偶→原=奇函数+常数（，定义域含0）
导奇→原=偶函数+常数（，定义域含0）
2.对称性
原关于轴对称（）→导关于中心对称（）
原关于中心对称（）→导关于轴对称（）
二、解题核心步骤
1.顺推（原→导）
1.验定义域对称+原函数可导
2.写原函数性质定义式
3.两边求导（复合函数法则）
4.化简得导函数性质
2.逆推（导→原）
1.验定义域对称+原函数连续（必含条件）
2.写导函数性质表达式
3.构辅助函数消常数（如）
4.推导得原函数性质
三、秒杀工具+避坑要点
1.速记口诀
奇偶性：原奇导偶，原偶导奇；导偶加常为原，导奇加常为原
对称性：原轴→导中心，原中心→导轴（对称点/轴横坐标不变）
2.避坑3点
逆推必验原函数连续性，否则结论不成立
常数项不影响导函数性质，但逆推必须补常数
定义域需对称，可导区间与导函数定义域一致
【专项训练】
【题型1：导函数与原函数的奇偶性对称性关系】【多选题】（广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试题）已知定义在R上的函数fx,gx的导函数分别为f'x,g'x，且fx=f4−x，f1+x−gx=4,f'x+g'1+x=0，则（ ）
A．gx关于直线x=1对称B．g'3=1
C．f'x的周期为4D．f'n⋅g'n=0n∈Z
【小试牛刀】（广东省深圳市龙岗区德琳学校2023届高三二模数学试题）已知函数fx，gx在R上的导函数分别为f'x，g'x，若fx+2为偶函数，y=gx+1−2是奇函数，且f3−x+gx−1=2，则下列结论正确的是（ ）
A．f'2022=0B．g2023=0
C．f(x)是R上的奇函数D．g'x是R上的奇函数
课后针对训练
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）函数fx=xcs2xlnx2+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，gx=fx−x+1是奇函数，hx=fx−x3是偶函数，则f323=（ ）
A．−10B．−8C．8D．10
3．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数fx=2a+3x−4a+3,x≥1ax,x0，则a的取值范围是（ ）
A．a>1B．a0.
维度
核心目标
知识目标
1.掌握四大性质定义、公式、判定方法；>2.熟记12个高频结论；
3.理清性质关联；4.掌握抽象/分段函数综合应用逻辑.
能力目标
1.会用模板解基础题、迁移解综合题；
2.具备“判定→转化→应用”逻辑链；
3.规范答题步骤，规避错误.
易错突破
1.单一性质易错点（定义域、符号、区间表示）；综合应用遗漏性质、逻辑断层；3.易混结论辨析（对称vs周期、周期vs最小正周期）.
性质类型
核心定义/公式
判定方法
易错点
单调性
增：任意，；：任意，；导数：增，减
定义法、导数法、复合函数法、图像法
特殊值代“任意”；区间用“∪”；漏定义域
奇偶性
奇：定义域对称且；偶：定义域对称且；
充要条件：
定义法、图像法、性质法、导数法
未判定义域对称；变形错；误写
对称性
轴对称：（直线）；中心对称：（点）
定义法、图像法、代换法
混淆对称表达式；误将对称当周期
周期性
定义：，任意，；>常见周期：→；双对称→；轴对称+中心对称→
定义法、性质法、迭代法
公式记忆错；漏“任意”；混淆周期与最小正周期
性质组合
结论
应用场景
单调+奇偶
1.奇函数对称区间单调性一致；
2.偶函数对称区间单调性相反；
3.单调奇函数：
解不等式、比较大小
对称+周期
4.双轴对称→；5.双中心对称→；轴对称+中心对称→
求周期、解析式
奇偶+周期
7.奇函数→；
8.偶函数→
周期推导、转化
单一性质
9.奇函数原点有定义→；.单调函数至多1个零点；11.周期函数的导函数同周期；
12.单调奇函数的反函数仍单调奇
求参数、零点判断
题型编号
题型名称
对应性质
难度等级
核心考点
基础题型1
单一性质判定（分性质细分题型）
单个性质
基础
定义理解、步骤规范
基础题型2
单一性质应用（分性质细分题型）
单个性质
基础-提升
公式应用、定义域优先
综合题型1
两性质综合（单调+奇偶/对称+周期等）
两个性质关联
提升
性质转化、逻辑推导
综合题型2
三/四性质综合
多性质关联
提升-拓展
多性质叠加、结论迁移
拓展题型
抽象/分段函数性质综合
四大性质+抽象/分段
拓展
赋值法、衔接点检验
题型
核心步骤（含知识点）
分式函数
1.定定义域（分母≠0，验证关于原点对称）；2.化简（通分/因式分解）；3.对比与定结论
根式函数
1.定定义域（根号下非负，验证关于原点对称）；2.有理化；3.对比与定结论
分段函数
1.定定义域（各分段区间对称衔接，验证关于原点对称）；2.逐段验证；3.检验衔接点一致性，全段统一结论
整式/多项式函数
1.定定义域（通常为，天然对称）；2.化简（合并同类项）；3.看奇偶次项：仅奇次项为奇，仅偶次项+常数为偶
细分题型
核心模板（含知识点融入）
整式函数（定义法）
1.定定义域（整式函数通常为，含根号/对数需额外限制）；
2.任取（“任意”是定义关键，不可用特殊值替代）；
3.作差变形（常用配方、因式分解、提取公因式，目标：转化为可直接判号的因式乘积/平方形式）；
4.判符号（根据推导各因式符号，结合不等式性质）；
5.定结论（严格增/减，标注区间，二次函数需按对称轴拆分）.
分式函数（导数法）
1.定定义域（分母≠0，列不等式求解，排除无定义点）；
2.求导化简（用商的导数公式：，合并同类项、因式分解）；
3.判导数符号（分子分母分别分析，注意定义域对符号的限制，导数为0的点不影响单调性）；
4.定区间（严格增/减区间，断开区间用“和”连接，不可用“∪”）。
复合函数（同增异减）
1.分解内外层（外层：基本初等函数如；内层：整式/分式函数如）；
2.求定义域交集（外层定义域+内层定义域，如对数复合函数需满足真数）；
3.判内外层单调性（外层按基本初等函数性质，内层用定义/导数法）；
4.用“同增异减”定区间（内外层均增→复合增；一增一减→复合减）.
对数/指数函数
1.定定义域（对数函数真数>0，指数函数通常为，含根号内层需额外限制）；
2.判底数单调性（对数：外层减，外层增；指数：同对数规律）；
3.分析内层函数的单调区间（用定义/导数法）；
4.结合“同增异减”定结论（注意：对数函数真数需始终大于0，需同步验证内层函数值域）.
题型
核心步骤（含知识点）
代数法判定
1.假设对称类型（轴对称/中心对称）；2.代入对应表达式（轴对称用，中心对称用）；3.化简验证等式是否恒成立，成立则确定对称元素（或）
图像法判定
1.绘制函数关键点（顶点、零点、交点等）；2.观察是否关于某直线折叠重合（轴对称）或某点旋转180°重合（中心对称）；3.代数法验证猜想（图像法仅辅助，需代数确认）
分段函数判定
1.确定各分段区间的对称对应关系（如与对应，为对称轴横坐标）；2.逐段验证对称表达式；3.检验衔接点（如对称轴处、对称中心处）函数值是否符合规律
题型
核心步骤（含知识点）
显性周期（已知关系式）
1.提取周期关系式（如）；2.迭代推导（用常见周期公式快速判定）；3.验证“任意”，确定周期（优先写最小正周期）.
隐性周期（对称推导）
1.提取对称条件（双轴对称/双中心对称/轴+中心对称）；2.用高频结论求周期（双对称→，轴+中心→）；3.代入验证等式恒成立.
分段函数周期
1.逐段分析周期规律（假设周期，验证）；2.确保各分段周期一致；3.检验衔接点（如处）是否满足.
组合类型
解题逻辑
单调+奇偶
1.判奇偶性→简化函数；2.奇偶性转化区间（）；.单调性求解（比较大小/解不等式）
对称+周期
1.提取对称关系式；>2.推导周期；周期化简（求函数值/解析式）
单调+对称
1.对称转化函数值（）；单调性定区间关系；
3.求解参数/区间
奇偶+对称
1.判奇偶性；2.对称转化关系式；推导周期/求解析式
奇偶+周期
1.判奇偶性；
2.求周期；.转化自变量到已知区间求函数值
单调+周期
1.求周期；.周期转化区间（将未知区间自变量映射到已知单调区间）；
3.利用单调性比较大小/求最值/解不等式
细分题型
核心特征
单调+奇偶+周期
三性质叠加，需先推导周期，再转化区间单调性
单调+奇偶+对称
以奇偶性+对称为基础推导周期，结合单调性求解
对称+周期+奇偶
周期由对称性推导，奇偶性简化函数表达式
四性质综合（单调+奇偶+对称+周期）
多性质环环相扣，需按“判定→转化→应用”逐步拆解
步骤
具体操作（含实用技巧）
四大性质融合要点
Step1：定定义域（必做第一步）
1.列定义域限制条件：分式分母≠0、对数真数>0、根号下≥0、三角函数定义域等；
2.化简定义域区间，验证是否关于原点对称（为奇偶性判定铺垫）；
3.标注定义域边界、无定义点（后续性质判定需排除）.
定义域是所有性质的基础，不对称直接排除奇偶性；无定义点会断开单调/周期区间.
Step2：逐判核心性质（按“易→难”顺序）
1.判奇偶性（最快上手）：
-定义域不对称→非奇非偶，跳过；
-对称则化简，对比，标记“奇/偶/非奇非偶”；
-若为奇函数且定义域含0，直接写（速求参数）.
2.判对称/周期（关联性最强）：
-有对称表达式（如）→先定对称类型（轴/中心）；
-无显性周期→用“奇偶+对称”推导：
✅奇函数+轴对称→周期；
✅偶函数+轴对称→周期；
✅奇函数+中心对称→周期；
-有显性周期关系式（如）→直接得（速记公式）.
3.判单调性（最后判定，需缩小范围）：
-用周期/奇偶性锁定“核心区间”（如）；
-核心区间内用导数法/定义法判增减；
-延展到全定义域：奇函数对称区间单调性一致，偶函数相反，周期函数重复核心区间单调性.
性质判定不孤立：奇偶性是推导周期的关键，周期/对称性能缩小单调性判定范围.
Step3：性质关联串联（搭建解题桥梁）
1.列已判定性质清单：如“奇函数+轴对称+周期+核心区间增”；
2.补全隐含性质：
-周期→（）；
-偶函数→（解不等式速用）；
3.标记“可转化关系”：如→（奇偶转化），→（周期转化）.
关联是综合题核心：无关联则无法缩小求解范围，如仅知单调+奇偶，需用对称补周期.
Step4：自变量转化（统一到核心区间）
1.目标自变量（未知区间）→用周期转化：（），得；
2.若在核心区间外→用奇偶/对称转化：
-如→（轴对称）或（奇偶转化）；
3.最终将转化为核心区间内的（已知单调性/解析式）.
转化的目的是“化未知为已知”，所有综合题都需这一步缩小范围.
Step5：目标求解（按题型精准突破）
1.求参数：
-列方程：（奇函数）、周期关系式、对称条件、单调性边界条件；
-联立求解，代入定义域/性质验证.
2.解不等式（如）：
-用奇偶性→（偶函数）；
-用单调性→脱“”，得（增函数）；
-结合定义域、周期限制解集.
3.求解析式：
-核心区间内先求解析式（用已知条件、定义法）；
-用奇偶/周期延展到全定义域；
-验证衔接点（如处）函数值一致.
4.求最值/零点：
-周期内找最值点/零点→全定义域内个数=周期数×个数+剩余区间个数；
-结合单调性锁定极值点，对称点函数值相等（简化计算）.
求解需紧扣已判定性质，每一步都要标注性质依据（如“由周期得”）.
Step6：验证检验（避免踩坑）
1.性质一致性检验：周期是否符合所有分段、奇偶性是否满足衔接点、单调性是否与导数符号一致；
2.特殊点验证：代入、（对称轴）、（周期点），验证函数值是否合理；
3.定义域检验：解集/解析式是否在定义域内，无超出限制.
综合题易错点多，验证是最后一道防线，至少验证1个特殊点.
已知性质组合
隐含结论（直接用）
奇函数+轴对称
周期
偶函数+轴对称
周期
奇函数+中心对称
周期
双轴对称（和）
周期
轴对称+中心对称
周期
细分题型
答题模板
抽象函数两性质综合
Step1赋值法推导基础性质（令//等）；2建立性质关联（如奇偶+对称→周期）；3按两性质综合逻辑求解
抽象函数三/四性质综合
Step1逐次赋值推导所有已知性质（先奇偶性，再对称/周期，最后单调性）；Step2用高频结论串联性质（如赋值得和→推导）；转化自变量到“可求解区间”（如→）；
Step4结合所有性质求解（求函数值/不等式/参数）
抽象函数不等式证明
Step1构造辅助函数（利用奇偶性/单调性变形）；推导辅助函数性质（单调/奇偶）；
Step3转化不等式为辅助函数的区间关系；4结合定义域证明