2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第04讲：基本不等式14个题型(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第04讲：基本不等式14个题型(学生版+解析)，共22页。
题型01 基本不等式的适用条件
经典例题例题
（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最小值为2
C．的最小值为2D．的最小值为1
本次考点为基本不等式的应用条件及凑项变形求最值，需重点掌握：
基本不等式的“一正、二定、三相等”；
小试牛刀1
（25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有 .
① ② ③ ④，
小试牛刀2
（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
小试牛刀3
【多选题】（25-26高一上·陕西商洛·阶段练习）下列各式中，最小值是2的有（ ）
A．B．C．D．
题型02 直接使用基本不等式求最值
经典例题例题
（2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为 .
本次考点为基本不等式“和定积最大”的应用及凑系数变形技巧，需重点掌握“和定积最大”的三个条件（一正、和定、三相等）、凑系数匹配已知和的变形方法（如将凑为以匹配）
小试牛刀1
（25-26高一上·上海·阶段练习）已知，则的最大值为 ．
小试牛刀2
（25-26高一上·上海·阶段练习）设、．已知，则的最大值为 ．
小试牛刀3
（25-26高二上·贵州遵义·期中）的最小值为 ．
题型03 配凑发求最值
经典例题例题
已知，当取最小值时，实数的值为（ ）
A．1B．C．D．
用基本不等式求最值时，若代数式形式不满足“和定”或“积定”，需通过凑项（如本题拆分一次项匹配分式分母）构造符合条件的形式，同时需确保变量为正，最后验证等号成立条件是否满足
小试牛刀1
（25-26高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值是 ，此时 .
小试牛刀2
（2025高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ．
小试牛刀3
（24-25高二下·山西·开学考试）若，则函数的最小值为 ．
题型04 基本不等式”1”的代换
经典例题例题
（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
处理含分式和的条件最值问题，若约束条件是两变量的和为定值，可先变形约束条件匹配分式分母，再用“1的代换”（乘以定值和的倒数）展开代数式，构造积定形式后用基本不等式求最值，需确保变量为正且等号能取到
小试牛刀1
（25-26高一上·上海·期中）已知，且满足，则的最小值为 ．
小试牛刀2
（25-26高三上·福建厦门·期中）设，，，则的最小值为 .
小试牛刀3
（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）已知，，，则的最小值为
题型05 分式型（一次/二次，二次/二次）
经典例题例题
当变量为负时，求分式最值需通过换元变号（将负变量转化为正变量），再对分式做整式分离，利用基本不等式时注意变号后不等式方向的变化，同时需结合原变量范围确定换元后变量的范围，验证等号成立条件
小试牛刀1
（2022高一上·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ．
小试牛刀2
（2022高一上·全国·专题练习）函数 的最小值为 ．
小试牛刀3
（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 .
题型06 和与积共存时求和/积的最值
经典例题例题
（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知，，且.
(1)求mn的最小值；
(2)求的最小值.
(1)已知“积=和+常数”的条件时，可利用基本不等式将“和”转化为“积的算术平方根”，构造关于目标积的不等式求解最值
(2)二元代数式的最值问题，可通过消元转化为一元代数式，再凑项变形为“整式+分式”形式，结合基本不等式求最值，需注意变量的取值范围（保证分式分母为正）
小试牛刀1
（25-26高一上·安徽合肥·期中）设，且，则的最小值为 .
小试牛刀2
（25-26高一上·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为 .
小试牛刀3
（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最小值为 .
题型07 换元法求最值
经典例题例题
（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ．
本次考点是换元法结合“1的代换”的基本不等式应用，需重点掌握：分母换元的方法、原约束条件向新变量线性等式的转化步骤、“1的代换”构造积定形式的技巧
小试牛刀1
（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知，则 的最小值为 .
小试牛刀2
（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，为正实数，且满足，则的最小值为 ．
小试牛刀3
（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为 .
题型08 消元法求最值
经典例题例题
（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ．
本次考点为消元法结合基本不等式求二元最值，需重点掌握：
从约束等式中消元表示另一变量的方法
单变量代数式的凑项变形技巧
基本不等式应用前的变量范围验证
小试牛刀1
（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ．
小试牛刀2
（2024·安徽安庆·三模）若正数x，y满足，则的最小值是 .
小试牛刀3
（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为 ．
题型09 齐次化求最值
经典例题例题
（25-26高一上·黑龙江·阶段练习）已知，，且，则的最小值是 ．
齐次化方法适用于条件为线性等式（和为定值）的分式最值问题，核心是利用定值等式将分子/分母凑为同次式，再拆分分式为“整式+分式”形式，结合基本不等式求解，需保证变量为正且等号成立条件满足
小试牛刀1
（2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 .
小试牛刀2
（24-25高三上·重庆渝中·月考）已知，，则的最大值是 ．
小试牛刀3
（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知，，，则的最小值为
题型10 基本不等式链的应用
经典例题例题
早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最大值为6D．的最小值为
处理含、的条件最值问题，可通过换元（设）将约束条件转化为单变量范围，再结合基本不等式或函数单调性分析代数式最值，需注意变量范围需满足基本不等式的“一正二定三相等”
小试牛刀1
【多选题】（25-26高三上·山西大同·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
小试牛刀2
【多选题】（25-26高一上·广东广州·期中）若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
小试牛刀3
【多选题】（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）若都为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为11B．
C．的最小值为2D．的最小值为9
题型11 多次使用基本不等式
经典例题例题
（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．
利用“和定积最大”求积的最值，需满足基本不等式的“一正、二定、三相等”条件
多变量代数式的最值问题，可先化简部分变量的代数式求其最值，再结合剩余变量用凑项变形+基本不等式求解，需注意变量范围的验证
小试牛刀1
（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 .
小试牛刀2
（23-24高一上·四川成都·期中）已知是正实数，且，则最小值为 ．
小试牛刀3
（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）对任意的正实数，且满足，则的最小值为 .
题型12 基本不等式在解三角形中的应用
经典例题例题
（2025·浙江杭州·一模）设的内角的对边分别为，已知.
(1)若.
（i）求；
（ii）求；
(2)求的最大值.
三角形中可利用内角和定理将转化为，是处理角的关系的核心技巧
正弦定理需结合三角恒等变换，先求对应角的正弦值再计算边长
三角式的最值可通过换元（如）转化为代数分式，再用基本不等式求解
小试牛刀1
（25-26高三上·河南郑州·期中）在中，内角的对边分别为．已知．
(1)求；
(2)若，点在边上，，求面积的最大值．
小试牛刀2
（25-26高二上·陕西·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值.
小试牛刀3
（2025·湖北黄冈·一模）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为 ．
题型13 基本不等式在平面向量中的应用
经典例题例题
（25-26高三上·北京·阶段练习）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 .
平面向量基本定理中，共线点对应的向量线性表示需满足系数和的特定关系
求分式最值时，若已知变量的线性和为定值，可通过“1的代换”展开代数式，结合基本不等式求解
小试牛刀1
（25-26高三上·四川成都·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 .
小试牛刀2
（25-26高三上·北京丰台·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是
小试牛刀3
（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .
题型14 基本不等式在解析几何中的应用
经典例题例题
（山西省太原市2025-2026学年高二上学期期中学业诊断数学试题）已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值．
(1)椭圆的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为离心率的点的轨迹是椭圆，可通过直译法推导其标准方程；(2)直线与椭圆联立需用判别式确定参数范围，结合韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再通过换元+基本不等式求最值
小试牛刀1
（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值；
小试牛刀2
（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ．
小试牛刀3
（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为 ．
一、单选题
1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．25B．50C．16D．9
2．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（25-26高一上·浙江·期中）设，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．7C．11D．24
5．（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
6．（25-26高一上·广东深圳·期中）若实数，，且，则（ ）
A．的最小值为7B．的最大值为9
C．的最小值为8D．的最小值为1
7．（25-26高一上·广东东莞·期中）若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．（25-26高三上·广东河源·月考）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
9．（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（ ）
A．B．4C．9D．
10．（25-26高一上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．D．
11．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
12．（25-26高三上·天津·阶段练习）在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ．
13．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为 .

14．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则的最小值为 ．
15．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知F是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为 ．
四步
内容
题意
拆解
题目给出4个代数式.要求判断每个代数式的最小值是否正确.核心是利用基本不等式（均值不等式）分析最值.需关注代数式中变量的取值范围及等号成立条件.
考点
定位
核心考点：基本不等式（均值不等式）的应用，具体涉及：
基本不等式“一正、二定、三相等”的使用条件；
代数式的“凑定值”变形技巧；
对勾函数的单调性（当基本不等式等号取不到时的补充方法）.
思路
构建
根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD.
解法
优化
【详解】对于A,当时，，故A错误，
对于B,当时，，，则，故B错误，
对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误，
对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确，
故选：D
四步
内容
题意
拆解
已知正数、，满足线性约束条件，要求乘积的最大值
考点
定位
核心考点是基本不等式（均值不等式）的“和定积最大”性质，辅助考点为凑系数的变形技巧
思路
构建
已知、均为正（满足“一正”），是定值（满足“和定”），需将凑成含的形式，利用“和定积最大”的基本不等式求最值
解法
优化
将变形为与匹配的形式：
由基本不等式“”（、），令、，则
代入，得
因此
当且仅当时等号成立，结合，解得、，此时取最大值1
四步
内容
题意
拆解
已知，求当代数式取最小值时，实数的取值，选项为四个给定数值
考点
定位
核心考点是基本不等式（均值不等式）的应用，重点是凑定值的变形技巧，以及“一正、二定、三相等”的使用条件
思路
构建
由可知（满足“一正”），需将变形，凑出含的形式以构造“积定”，再用基本不等式求最值，最后根据等号成立条件求的值
解法
优化
因为，且，则，，
则，
当且仅当，且时，即时取等号，
故选：B．
四步
内容
题意
拆解
已知实数，，且，要求代数式的最小值，选项为四个给定数值
考点
定位
核心考点是基本不等式的“1的代换”技巧，结合“一正、二定、三相等”的使用条件，属于条件最值问题
思路
构建
由变形得（匹配代数式中的），因、故（满足“一正”），利用“1的代换”，将代数式乘以（即乘以1），展开后构造积定形式，用基本不等式求最值
解法
优化
先变形约束条件：由得（，）
对代数式做“1的代换”：
展开得：
由基本不等式，，当且仅当时等号成立
代入得：
验证等号条件：由得，结合，解得、（满足、），故最小值为，对应选项B
四步
内容
题意
拆解
已知，要求代数式的最大值，选项为四个给定数值
考点
定位
核心考点是基本不等式的应用（负变量下的变号处理），辅助考点为分式的整式分离（换元变形），属于含约束条件的分式最值问题
思路
构建
先通过换元将负变量转化为正变量（因），再对分式做整式分离（化为整式+分式形式），利用基本不等式求最值，最后结合换元关系验证等号成立条件
解法
优化
设，由得，且
将代入分子：
原式化为
因，令，变形得：
由基本不等式，（当且仅当即时等号成立）
因此
此时，（满足），故最大值为，对应选项A
四步
内容
题意
拆解
已知，，且满足等式，(1)求的最小值；(2)求的最小值
考点
定位
核心考点是基本不等式的应用，(1)涉及“和转积”的不等式构造；(2)涉及消元法+凑项变形，或因式分解换元后的基本不等式应用
思路
构建
(1)由、，利用基本不等式，将已知等式中的替换为，构造关于的不等式求解最小值
(2)先通过已知等式消元（用表示），将转化为关于的一元代数式，再凑项变形为“整式+分式”形式，结合基本不等式求最值
解法
优化
（1）因为，所以，
即，解得或（舍），
所以，当且仅当时等号成立，即mn的最小值为16.
（2）因为，所以，又，，
所以，同号，
假设，，，，
又，，，，与矛盾，
假设不成立，故，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
四步
内容
题意
拆解
已知，满足线性约束条件，要求代数式的最小值
考点
定位
核心考点是基本不等式的“1的代换”技巧，辅助考点为换元法（将分母转化为新变量），属于条件分式最值问题
思路
构建
先通过换元将分母设为新变量，将原约束条件转化为新变量的线性等式，再利用“1的代换”将目标代数式与新变量的线性等式结合，展开后构造积定形式，用基本不等式求最值
解法
优化
设，（由得、）
将用、表示：解方程组，得、，代入，化简得
目标代数式转化为，利用“1的代换”：
由基本不等式，，当且仅当即时等号成立
结合，得，代入换元式得、（满足），故的最小值为
四步
内容
题意
拆解
已知，，且满足等式，要求用消元法求代数式的最小值
考点
定位
核心考点是基本不等式的应用，辅助考点为消元法、分式的凑项变形，属于条件约束下的单变量代数式最值问题
思路
构建
从已知等式中用表示（消去），结合确定的范围，将目标式转化为关于的单变量代数式，通过凑项变形为“整式+分式”形式，利用基本不等式求最值
解法
优化
步骤1：消元（用表示）
对已知等式变形：，移项得，故
由且，分析得（保证分母、分子均为正）
步骤2：代入目标式并变形
将代入，得：
拆项凑形：将拆为，将拆为，化简得：
步骤3：用基本不等式求最值
因，故，由基本不等式：
当且仅当（即）时等号成立，此时（满足）
故的最小值为
四步
内容
题意
拆解
已知、，满足线性约束条件，要求用齐次化方法求分式的最小值
考点
定位
核心考点是齐次化方法在基本不等式中的应用，辅助考点为代数式的齐次变形技巧、基本不等式“一正二定三相等”的应用
思路
构建
齐次化的核心是将分式的分子、分母化为同次式，利用已知条件，将分子中的低次项（、）乘以“”（即），使分子次数与分母（，次数2）一致，再拆分分式为可应用基本不等式的形式
解法
优化
齐次化处理：因，将分子中的、分别乘以，使分子次数为2：
分子
展开分子：
，，故分子
化简分式：
原式
应用基本不等式：
因、，，当且仅当（即）时等号成立
结合，解得、，此时原式最小值为
四步
内容
题意
拆解
已知正实数、，满足约束条件，利用不等式链，判断四个选项中关于的最小值、的最大值、的最大值、的最小值的说法正确性
考点
定位
核心考点是基本不等式链的应用，辅助考点为换元法转化条件、代数式与（或）、的变形技巧，属于条件约束下的代数式最值判断问题
思路
构建
设（），将表示为，结合基本不等式确定的取值范围；再将各选项的代数式转化为关于的表达式，结合函数单调性或基本不等式分析其最值
解法
优化
步骤1：确定的范围
设（），由约束条件得
由基本不等式，得，解得，故（当且仅当时取等号）
步骤2：逐一分析选项
选项A：，由基本不等式得，当且仅当时取等号（满足约束条件），故的最小值为2，A正确
选项B：由，得，当时取等号，故的最大值为，B正确
选项C：，令，则，其在时单调递增，故最小值为，C错误
选项D：，由，得，当时取等号，故的最小值为，D正确
四步
内容
题意
拆解
已知正实数、、，满足约束条件，第一问求的最大值，第二问求代数式的最小值
考点
定位
第一问核心考点是基本不等式“和定积最大”的应用，第二问核心考点是基本不等式的凑项变形、单变量代数式的最值求解，辅助考点为分式的化简技巧
思路
构建
第一问：利用基本不等式“”（），结合构造关于的不等式，求其最大值
第二问：先化简含a、b的分式部分，求该部分的最小值，再将目标式转化为含的单变量代数式，通过凑项变形结合基本不等式求整体最小值
解法
优化
第一问：求的最大值
因、且，由基本不等式，得
两边平方得，即
当且仅当时等号成立，故的最大值为
第二问：求的最小值
1. 化简含a、b的部分：
代入，得
通分后为，令（），则的最小值为2（当、时取等号）
2. 转化为含的代数式：
目标式简化为，凑项变形为
3. 用基本不等式求最值：
因，由基本不等式得
当且仅当（即）时等号成立，故最小值为
四步
内容
题意
拆解
已知△的内角的对边为，满足，(1)当、时，(i)求；(ii)求边；(2)求的最大值
考点
定位
涉及三角形内角和定理、三角恒等变换（正弦和角/差角公式）、正弦定理、基本不等式求最值
思路
构建
(1)(i)：利用得，代入已知等式展开化简，结合求
(1)(ii)：由求，利用求，再用正弦定理求
(2)：设，结合三角恒等变换将表示为关于的正切的代数式，再用基本不等式求最大值
解法
优化
（1）（i），展开化简得：
所以；
（ii）由，而为三角形内角，故，
所以，
由正弦定理，得.
（2）由（1）可得，故均为锐角，
所以，
当且仅当时，取到最大值.
四步
内容
题意
拆解
已知D是△ABC的BC边（不含端点）上一点，E是AC中点，向量，先求的值，再求的最小值
考点
定位
核心考点是平面向量基本定理（共线向量的线性表示），辅助考点是基本不等式的“1的代换”求分式最值
思路
构建
先利用E是AC中点，将转化为的线性式，再结合D在BC上的共线条件，用平面向量基本定理建立的关系求；再利用的定值，通过“1的代换”结合基本不等式求的最小值
解法
优化
求的值
因E是AC中点，故，代入得：
又D在BC上，故存在，使
由平面向量基本定理，系数对应相等：，（即）
因此
求的最小值
由（），用“1的代换”：
展开得：
由基本不等式，，当且仅当时等号成立
代入得，此时、（满足条件）
四步
内容
题意
拆解
已知平面内定点和定直线，动点到的距离与到的距离比为，(1)求动点的轨迹曲线的标准方程；(2)过点且斜率为的直线与曲线交于D、E两点，求（为原点）的面积最大值
考点
定位
(1)椭圆的第二定义（轨迹方程推导）；(2)直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式求最值
思路
构建
(1)根据动点到定点与定直线的距离比，列坐标等式，化简得到椭圆的标准方程；(2)设直线方程，联立椭圆方程，用韦达定理得根与系数的关系，结合弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再用基本不等式求最大值
解法
优化
(1)求曲线的标准方程
由题意，动点满足，两边平方得：
展开化简：，整理得，即曲线的标准方程为
(2)求的面积最大值
设直线方程为，联立椭圆方程，消去得：
由判别式，得
设、，由韦达定理得：
弦长
原点到直线的距离
面积
令（），则，代入得：
由基本不等式，当且仅当（即）时取等号
故，即面积的最大值为