2026年高考数学一轮复习考点训练 导数的概念与运算讲义+真题模拟卷练习（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为
，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
题型一：求函数的导数
【例1】求下列函数的导数：
(1)； (2)； (3)．
【解析】（1）
.
（2）
.
（3），
故.
【变式1-1】在等比数列中，，函数，则_______．
【答案】
【解析】因为
，所以．
因为数列为等比数列，所以，于是．故答案为：
【变式1-2】已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.
【答案】
【解析】由题意可知，令，则，解得，由，得，即，令，得，即，解得.
故答案为：.
【变式1-3】已知函数，则__________.
【答案】-2
【解析】由函数求导得：，当时，，解得，因此，，所以.故答案为：-2
【解题方法总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型二：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
【例2】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】函数的导函数为，所以函数在处的导数值，
所以曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：.
【变式2-1】曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为，所以 ，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：.
【变式2-2】已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为______
【答案】
【解析】，令，，则，
令，，解得x＝2k＋1，，当k＝0时，x＝1，所以直线x＝1为的一条对称轴，
故的图象也关于直线x＝1对称，则有，解得b＝－1，则，，，，故切线方程为.故答案为；.
【变式2-3】若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为是奇函数，所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，则，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，化简得.
故答案为：
方向2、过点P的切线
【变式2-4】已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，设切点为，则切线斜率为，所以，过的切线方程为，综上，，即，所以有三个不同值使方程成立，即与有三个不同交点，而，
故、上，递减，上，递增；
所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，
综上，的取值范围是.故答案为：
【变式2-5】过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
【答案】，，，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为，因为，所以切线方程为．
因为切线经过点，所以，由题意关于的方程没有实数解，则，解得．因为为整数，所以的取值可能是，，.
故答案为：，，，只需写出一个答案即可
【变式2-6】过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】或
【解析】由可得，设切点坐标为，所以切线斜率，又因为，则切线方程为，把代入并整理可得，解得或.故答案为：或
方向3、公切线
【变式2-7】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.
【答案】1
【解析】设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，
设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，
则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点关于直线对称，从而，，所以．故答案为：1.
【变式2-8】若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】曲线在点处的切线方程为，由于直线与圆相切，得（*）
因为曲线与圆有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程有三个不相等的实数根.
令，则曲线与直线有三个不同的交点.
显然，.
当时，，当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
且当时，，当时，，
因此，只需，即，解得.故答案为：
【变式2-9】若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意得，设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，则切线方程为，即，
，即，由于两切线为同一直线，所以，得．令，则，
当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．即有处取得极小值，也为最小值，且为．又两曲线恰好存在两条公切线，即有两解，结合当时，趋近于0，趋于负无穷小，故趋近于正无穷大，当时，趋近于正无穷大，且增加幅度远大于的增加幅度，故趋近于正无穷大，
由此结合图像可得a的范围是，故答案为：
方向4、已知切线求参数问题
【变式2-10】若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.
【答案】
【解析】设切线切点为，因，则切线方程为：.
因过，则，由题函数图象
与直线有两个交点.，得在上单调递增，在上单调递减.
又，，.据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.故答案为：
【变式2-11】已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且，因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，所以，对任意的恒成立，则，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，解得.故选：B.
【变式2-12】已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】对求导得，由得，则，即，
所以，当且仅当时取等号．故选：D．
方向5、切线的条数问题
【变式2-13】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.
方向6、切线平行、垂直、重合问题
【变式2-14】若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．故选：A
【变式2-15】若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数在和的切线互相垂直，则，即①，
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，
即，解得或，
又，所以或，，
所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.故选：C.
方向7、最值问题
【变式2-16】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称，先求出曲线上的点到直线的最小距离．设与直线平行且与曲线相切的切点，．，，解得．．得到切点，点P到直线的距离．最小值为．
故选：B．
【变式2-17】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与互为反函数，它们图像关于直线对称；故可先求点P到直线的最近距离d，又，当曲线上切线的斜率时，得，，
则切点到直线的距离为，所以的最小值为．故选：D．
【变式2-18】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，
设，则，令得，则当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，
所以与无交点，则与也无交点，下面求出曲线上的点到直线的最小距离，设与直线平行且与曲线相切的切点，，，，解得，
，得到切点，到直线的距离，的最小值为，故选：D．
【变式2-19】已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，又，
表示点与曲线上的点之间的距离；
点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；令，则，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.故选：B.
【变式2-20】若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C
【解题方法总结】
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知在点处的切线方程为．（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上．
1.（2020·全国·统考高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.
2.（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.
3.（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
第01讲 导数的概念与运算
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以，
所以，故，又，所以，，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，，∴，由题意知，，解得：，
又∵M在上，∴，解得：，∴，∴.
故选：B.
3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A． B．2 C．±2 D．
【答案】D
【解析】因为，所以.因为，所以的图象在处的切线方程为.因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，令，得，令，得，所以，所以.故选：D
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内，对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；
对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；
对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；
对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，，
所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而函数的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D
5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，设过原点的切线与曲线在处相切，所以切线的斜率，整理得，
设，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，当时，所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.故选：C
6．（2023·湖北·模拟预测）已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，都有的最小值为0，可转化为直线与相切.设切点坐标为，则可得，可得.令，则，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
所以，即的最小值为.故选:A.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以
故答案为：
7．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】对函数求导可得，所以，所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.故答案为：.
8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与在处的切线相互垂直，则的最小值是___________.
【答案】/
【解析】因为，所以，
依题意可得，所以,所以且，
或且，当且时，
，，，，所以，，，
所以，，，所以当或时，取得最小值.
当且时，，，，，
所以，，，所以，，，
所以当或时，取得最小值.综上所述：的最小值是.
故答案为：.
1．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，，故函数在点处的切线斜率，
切线方程为，即．
故选：．
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．
法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，
设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．
3．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，得，（1），又（1），函数的图象在点，（1）处的切线方程为，即．故选：．
4．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【答案】，，．
【解析】，设切点坐标为，，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，△，解得或，
即的取值范围是，，，故答案为：，，．
5．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ．
【答案】，．
【解析】当时，，设切点坐标为，，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，，切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．
6．（2021•甲卷）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】．
【解析】因为，在曲线上，所以，所以，
则曲线在点处的切线方程为：，即．
故答案为：．
7．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则 ．
【答案】1．
【解析】，，（1），，则，
故答案为：1．
8．（2020•新课标Ⅰ）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
【答案】．
【解析】的导数为，设切点为，可得，解得，即有切点，
则切线的方程为，即，故答案为：．
9．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，，则，解得，则（1），解得；
（2），则在点，处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，，的变化情况如下表：
则的值域为，，故的取值范围为，．
基本初等函数
导函数
（为常数）
0
1
0
0
0
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增