2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第16讲：同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识梳理+解题总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第16讲：同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识梳理+解题总结)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了新高考课程标准要求，知识梳理，课前自测，针对训练，解题策略等内容，欢迎下载使用。
1.理解同角三角函数的基本关系式：掌握平方关系，商数关系。能够利用平方关系实现正弦、余弦的互化，利用商数关系实现弦切互化，同时要注意公式的逆用及变形应用，如，等，开方时要根据角所在象限确定符号。
2.推导并掌握诱导公式：能借助单位圆的对称性，推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，其中奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。并能利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，进行化简、求值等运算。
【知识梳理】
一：同角三角函数的基本关系
平方关系：。该公式可变形为，，。
商数关系：，也可变形为。
二.三角函数的诱导公式
公式一：，，，。
公式二：，，。
公式三：，，。
公式四：，，。
公式五：，。
公式六：，。
这些诱导公式可概括为：对于的三角函数值，当是偶数时，函数名不变；当是奇数时，函数名变为相应的余函数，即与互变，与互变（高中阶段常用、、）。符号则看把视为锐角时，原三角函数在所在象限的符号，简记为“奇变偶不变，符号看象限”。
【课前自测】
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解.
【详解】因为，所以,
因为，所以，
所以，
所以.
故选：A.
2．已知，若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】应用诱导公式化简得，再应用齐次式法求值即可.
【详解】由题设，
由
.
故答案为：.
3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，求值：．
【答案】
【分析】先根据三角函数定义得到，利用三角函数诱导公式和齐次化化简，代入求值.
【详解】由题意知，故原式．
4．（多选题）在中，下列各式的值为常数的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用诱导公式、平方关系及倍角公式，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，因为，又，所以，故A错误，
对于，因为，为常数，故B正确，
对于C，因为，为常数，故C正确，
对于D，因为，不是常数，故D错误
故选：BC．
5．已知，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，根据“齐次式”进行弦化切，最后代入正切值即可.
【详解】根据题意，，且，
则.
故选：C.
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：同角三角函数的基本关系的应用】
【角度1：“知一求二”问题】
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据条件，利用单位圆中三角函数的定义，即可求解；
（2）将，，，的值代入，即可求出结果．
【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，且的纵坐标为，
，又是第一象限角，，
．
的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，
，又是第二象限角，，
．
（2）由（1），，
，
．
【针对训练】
1．已知（x是第二象限角），则 ．
【答案】
【分析】先根据同角三角函数关系及角的象限计算，再根据弦求切.
【详解】根据且x是第二象限角，
，
则．
故答案为：.
2．已知，，则 ， ．
【答案】 /0.8 /
【分析】根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解．
【详解】由题，，则，．
故答案为：，．
3．已知，且在第三象限，则
【答案】/0.75
【分析】利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】由，在第三象限，得，
所以.
故答案为：
【解题策略】
“知一求二”是同角三角函数基本关系的核心应用，即已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个值，求另外两个值。解题的关键是灵活运用平方关系和商数关系，同时结合角的终边所在象限（或范围）确定三角函数值的符号。以下是具体解题思路分析：
一、明确已知条件与目标
1. 已知类型：通常已知、、中的一个值，需求另外两个。
2. 核心公式：
平方关系：用于正弦与余弦的互求（已知其一，可通过开方求另一个）。
商数关系：用于“弦”与“切”的互化（已知弦求切，或已知切求弦）。
二、分情况解题步骤
（一）已知或，求另外两个值
1. 第一步：用平方关系求另一个“弦”
若已知，则；
若已知，则。
关键：开方后的符号由角的终边所在象限决定（参考“三角函数值的符号判定”）。
2. 第二步：用商数关系求
由，代入已求得的和计算即可。
（二）已知，求和
1. 第一步：建立方程组
联立平方关系与商数关系：
由第二个方程得，代入第一个方程：
进而得。
2. 第二步：确定符号
根据的符号判断角所在象限（正切为正，在一、三象限；为负，在二、四象限），再结合象限对和的符号要求确定正负号。
三、关键注意事项
1. 符号判定是核心：
开方或求三角函数值时，必须先明确角的终边所在象限（或范围），否则可能出现多解错误。若题目未明确象限，需分情况讨论所有可能的象限。
2. 公式变形的灵活运用：
例如，已知的值，可通过平方得（即），再结合平方关系求解。
3. 避免增根：
当通过平方运算求解时，可能引入增根，需结合角的范围检验结果是否合理。
总结：“知一求二”的核心流程是“用公式建立关系→根据象限定符号→计算结果”，其中符号判定是避免错误的关键，需结合三角函数值的象限规律熟练应用。
【角度2：“齐次化”问题】
【例题1】已知，求的值．
【答案】
【分析】应用平方关系得到齐次式，由弦化切求值即可.
【详解】原式．
【针对训练】
1．已知，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．5
【答案】B
【分析】根据商数关系将变形为，再将代入计算即可.
【详解】因为，所以可知，
所以将的分子分母同时除以得到
，
将代入上式可得.
故选：B
2．已知角的终边落在上，则 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，再应用同角三角函数关系及齐次式的求法求值即可.
【详解】角的终边落在上，
，
．
故答案为：
3．若，则 ．
【答案】
【分析】化简得，再代入，即可得答案.
【详解】解：因为.
.
故答案为：
4．已知，求的值．
【答案】
【分析】解法一：由利用两角和的正切公式求得，所求式子变形构造正余弦的齐次式，即可求解；
解法二：由利用两角和的正切公式求得，从而，所求式子变形后，代入求值即可．
【详解】解法一：
，，解得，
（由于，分子、分母都除以）
．
解法二：
．
．
【解题策略】
一、齐次式的定义与分类
定义：式子中和的次数相同的代数式。
分类：
一次齐次式：和均为 1 次，如或。
二次齐次式：和均为 2 次（平方项或乘积项），如或其分式形式。
可转化齐次式：含常数项（如 1），可通过转化为二次齐次式。
二、“齐次化” 解题策略
核心：利用，通过分子分母同除以的幂（一次式除以，二次式除以），将式子转化为仅含的表达式，简化计算（尤其适用于已知的场景）。
关键：
确保式子次数统一，必要时用配凑齐次；
转化后直接代入的值求解。
【角度3：“和差积”问题】
【例题1】已知，，求的值.
【答案】
【分析】由，两边同时平方得，所以.令，则，解出即可求解的值.
【详解】∵，∴，
∴，即.
令，则，即，即，解得或.
∵，，∴，∴.
∴.
【针对训练】
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】已知等式平方后应用二倍角公式得，同时判断出，，可再利用平方关系求得，代入即得结论．
【分析】∵，①
∴，即，
∴．
∵，且，∴，，
∴，②．
①②变形得，
∴．
故选：A．
2．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用及角的范围变形得到，从而得到.
【详解】，
又，所以，
所以，
又，所以，，
所以，
故．
故选：B
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用条件求出，再利用倍角公式化简可得结果.
【详解】等式两边平方可得，，即..
故选：C
4．已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可.
【详解】将两边同时平方，整理得，
所以，故B正确．
又，所以，
所以由，解得，故C错误，
所以，，故A错误，D错误，
故选：B．
【解题策略】
同角三角函数基本关系中“和差积”问题的解题策略
一、核心关联公式
“和差积”问题围绕与的三种形式展开，分别是：
和：
差：
积：
三者通过平方关系紧密关联，核心推导公式如下：
1.
2.
3. （和与差的平方和恒为2）
4. （和与差的平方差为积的4倍）
二、具体解题策略
1. 已知“和”或“差”，求“积”
若已知，直接利用，变形得。
若已知，利用，变形得。
2. 已知“积”，求“和”或“差”
由求：先计算，再根据角的象限确定的符号（正或负），开方得。
由求：先计算，同理根据象限确定的符号，开方得。
3. 已知“和与差”，求“积”或单独三角函数值
利用，直接得。
联立与，通过解方程组得：
，，进而可求任意三角函数值。
4. 已知“和与积”或“差与积”，求其他量
已知和：利用（由推导）求，或直接通过和联立方程求、。
已知和：利用求，同理可进一步求解。
三、关键注意事项
1. 符号判断：
“和”或“差”的符号需结合角所在象限及、的正负确定。例如：
若在第一象限，，的符号由与的大小决定；
若在第二象限，、，的符号取决于两者绝对值大小，（因）。
2. 范围限制：
由和可知，与均非负，因此的取值范围为，解题时需确保结果符合此范围。
3. 整体代换思想：
若问题涉及、或的组合式，可直接将、、作为整体代入计算，避免单独求解或带来的繁琐。
核心思路：以平方关系为桥梁，实现“和、差、积”之间的相互转化，结合符号规则与范围限制，通过整体代换简化运算，快速求解相关问题。
【考点二：诱导公式的应用】
【例题】
1.已知，（），求的值．
【答案】
【分析】寻找与之间的关系，发现和为定值，因此将转化为，再利用诱导公式求值．
【详解】因为，
所以．
因为，所以，
所以．
2.已知，且为第二象限角，，求的值．
【答案】
【分析】先计算出，利用齐次化进行化简，代入求值即可.
【详解】因为，且为第二象限角，
所以，又，
所以．
【针对训练】
1．已知，且，求的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将化简，即可得解.
【详解】，
，．
．
故选：A
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式化简已知式可求出，再由二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简即可得出答案.
【详解】由诱导公式可得，即.
所以，
故选:A.
3．已知，则等于（ ）．
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简得到，结合同角三角函数关系，分在第二象限和第四象限两种情况，进行求解.
【详解】因为，，
所以，又，
当在第二象限时，，此时；
当在第四象限时，，此时．
综上，.
故选：A．
4．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简，并由弦化切法求值即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以
；
（2）
.
【点睛】方法点睛：已知角的正切值或已知和构成的代数式易求得角的正切值，
①求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．
②求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值；
③求形如的整式的值，可将整式看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为形如的分式求解.
【解题策略】
一、核心原则：“负化正，大化小，小化锐”
1. 负化正：对负角（如），利用奇偶性转化为正角三角函数（正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数）。
2. 大化小：对大于（或）的角，利用周期性减去（或）的整数倍，缩小到（或）。
3. 小化锐：对（或）的角，通过与锐角的互余、互补关系转化（见下文分类）。
二、常见互余、互补的角及对应诱导公式
互余指两角和为（或），互补指两角和为（或），此类角度的诱导公式是转化的核心：
1. 与锐角互余的角（和为或）：
（或）：
，，（函数名改变，符号为正）。
（或）：
可视为，本质与互余相关，公式为：，（符号由象限决定）。
2. 与锐角互补的角（和为或）：
（或）：
，，（函数名不变，符号由第二象限特征决定）。
（或）：
与的补角再补，公式为：，，（符号由第三象限特征决定）。
3. 其他特殊关联角：
（或）：与终边关于轴对称，公式为：，，。
（或）：可视为，公式为：，（函数名改变，符号由第三象限特征决定）。
三、解题策略
1. 按步骤转化：严格遵循“负化正→大化小→小化锐”，优先处理负号和超范围角度，再利用互余、互补关系转化为锐角。
2. 巧用“符号看象限，函数名变不变”：
对（），为偶数时函数名不变，奇数时改变（正弦↔余弦，正切↔余切）；符号由将视为锐角时原角所在象限的三角函数符号决定。
3. 结合互余互补特征简化：若角度明显与锐角互余（如）或互补（如），直接套用对应公式，减少中间步骤。
4. 合并化简复杂表达式：对含多个诱导公式的式子，先分别转化每个角，再利用同角关系合并（如）。
四、注意事项
符号判断是关键，可借助“一全正，二正弦，三正切，四余弦”口诀记忆象限符号。
互余角公式核心是“正余互换”，互补角公式核心是“符号调整”，需区分函数名是否变化。
特殊角（如、）可直接套用公式（如），无需额外转化。
课后针对训练
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的终边上有一点，则（ ）
A．B．2C．D．3
3．已知函数，则（ ）．
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．1C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，角的终边不在轴上，则（ ）
A．0B．C．D．
8．已知，且，求的值为（ ）
A．B．C．0D．
9．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．已知，且，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．已知，则 .
12．若，且，则 .
四、解答题
13．已知.
(1)化简；
(2)若，求.
14．已知，α是第三象限角．
(1)求和的值；
(2)求的值．
15．已知关于的方程的两根为和，其中
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
参考答案
1．D
【分析】利用诱导公式即可求得结果.
【详解】由诱导公式得
故选：D
2．D
【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解.
【详解】由题意有，所以，
故选：D.
3．B
【分析】根据三角函数的诱导公式对所求式子进行化简求解即可.
【详解】由题意可得.
故选：B．
4．B
【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简求解即可.
【详解】由，则
.
故选：B.
5．B
【分析】由正弦二倍角公式及商的齐次式问题即可求解.
【详解】
.
故选：B.
6．A
【分析】根据题意结合解方程即可.
【详解】因为，则，且，
联立方程，解得或（舍去），
所以.
故选：A.
7．B
【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】因为，且角的终边不在轴上，
联立解得，则.
故选：B.
8．B
【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解.
【详解】因为，
所以，且，所以，
则.
故选：B.
9．B
【分析】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得.
【详解】因为，所以，
由平方关系可得，
所以.
故选：B
10．BCD
【分析】根据结合求得，，由计算可判断A；由计算可判断B；由计算可判断C；直接计算可判断D.
【详解】因为，且，，
所以，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD
11．10
【分析】利用诱导公式可求得，利用诱导公式与同角三角函数的商数关系化简即可.
【详解】由正切函数诱导公式可得，
故.
故答案为：10
12．/
【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值；
解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值；
解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值.
【详解】解法1：由已知得，
与联立可得，
故，
因为，则，所以.
解法2：由可知，
因为，则，，则，
由于，则，
联立，解得，即.
解法3：由，构造对偶式，令，
两式平方相加可得
，
因为，则，，则，
即或（舍），
所以，解得.
故答案为：.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式化简求值；
（2）在（1）基础上得到，凑角后利用诱导公式即得答案.
【详解】（1）；
（2）由可得，
则.
14．(1)，；
(2).
【分析】（1）应用平方关系、商数关系分别求出和；
（2）应用差角的余弦公式求值即可.
【详解】（1）由，α是第三象限角，则，
所以；
（2）.
15．(1)35
(2)
(3)
【分析】（1）由条件利用韦达定理求出，再对左右两边同时平方即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得，再将的值代入即可得出答案.
（3）由立方差化简，法一：利用同角三角函数的基本关系求出代入即可得出答案；法二：求出，代入即可得出答案.
【详解】（1）由得，
方程的两根为和，
于是，进而，即，
由，对左右两边同时平方，
得.解得.经检验符合.
（2）原式
原式
（3）由得.
由可得.
因此.
另解：原方程即，两根为，
由得，于是，
因此.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
B
A
B
B
B
BCD