2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)第五章平面向量与复数(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)第五章平面向量与复数(学生版+解析)，共40页。试卷主要包含了本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量a， b，下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，则a>bB．若a=b，则a=b
C．若a=b，则a//bD．若a≠b，则a，b不是共线向量
【答案】C
【解题思路】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可.
【解答过程】对于A，向量不能比较大小，故A错；
对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错；
对于C，若a=b，由向量相等的条件可得a//b，故C正确；
对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错.
故选：C．
2．（5分）（2025·广西柳州·模拟预测）复数2i2−i的虚部为（ ）
A．−25B．−45C．25D．45
【答案】D
【解题思路】利用复数的除法结合复数的概念求解即可.
【解答过程】因为复数满足2i2−i=2+i2i2+i2−i=−2+4i4−i2=−2+4i5=−25+45i，
因此，复数的虚部为45.
故选:D.
3．（5分）（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量a，b满足a=4，b=2，a与b的夹角为π3，则a−b=（ ）
A．2B．4C．23D．25
【答案】C
【解题思路】法一：对a−b，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案.
【解答过程】法一：a−b2=a2+b2−2a⋅b=16+4−2×4×2×12=12，
即a−b=23；
法二：
由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若a=AC，AC=4，b=AB，AB=2，∠A=60∘，
则∠B=90∘，a−b=BC，故a−b=42−22=23.
故选：C.
4．（5分）（2025·江西·模拟预测）在复平面内，(1−2i)(1+3i)对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解题思路】由复数的乘法运算及复数的几何意义可解.
【解答过程】因为(1−2i)(1+3i)=1+i−6i2=7+i，
则所求复数对应的点为(7,1)，位于第一象限.
故选：A.
5．（5分）（2025·湖北武汉·三模）在矩形ABCD中，A−1,0,Bx,1−x，若n=2,−3，且n//AD，则x=（ ）
A．−5B．−15C．15D．5
【答案】C
【解题思路】由已知n⊥AB，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值.
【解答过程】由题设知n⊥AB，且AB=(x+1,1−x)，则n⋅AB=2(x+1)−3(1−x)=0，
所以5x−1=0，即x= 15.
故选：C.
6．（5分）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的三等分点，G为EF的中点，记AG=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．1712B．1312C．712D．512
【答案】A
【解题思路】根据向量线性运算可得AG→=23AB→+34AD→，计算即可求解.
【解答过程】由题意可得AF→=13AB→+AD→，AE→=AB→+12AD→，
因为G为EF的中点，
所以AG→=12AF→+12AE→=12AD→+16AB→+14AD→+12AB→=23AB→+34AD→，
则λ=23,μ=34，所以λ+μ=23+34=1712.
故选：A.
7．（5分）（2025·山西长治·模拟预测）平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点，且处于平衡状态.若F1=1N,F2=6−22N,F1与F2的夹角为45°，则F3与F1夹角的余弦值为（ ）
A．−6+24B．6+24C．−6−24D．6−24
【答案】A
【解题思路】根据F1+F2+F3=0,先求得F3=F1+F2，再由F2=F12+F32+2F1F3csθ，即可求解.
【解答过程】∵三个力平衡，
∴F1+F2+F3=0，
∴F3=F1+F2=F12+2F1⋅F2+F22=12+2×1×6−22cs45°+6−222=2.
设F3与F1的夹角为θ，则F2=F12+F32+2F1F3csθ，
即6−22=12+22+2×1×2csθ，
解得csθ=−6+24
故选：A.
8．（5分）（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心，集合S=PP∈D,PP0≤PPi,i=1,2,3，则P1P2⋅P1P的取值范围为（ ）
A．3,15B．32,152C．2,12D．1,6
【答案】B
【解题思路】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解.
【解答过程】如图，设A,B,C,D,E,F为各边三等分点，
根据等边三角形可知，BE,AD,CF相交于中心点P0，
根据等边三角形可知：四边形P1AP0F是菱形，
则由菱形的对角线互相垂直平分可得：AF是线段P1P0的垂直平分线，
所以当点PP0=PP1时，动点P一定在AF上，
同理可得：动点P一定在BC上，动点P一定在ED上，
所以当PP0≤PPi，i=1,2,3时，结合点P在三角形的内部，
可得集合S为正六边形ABCDEF及其内部区域，
所以当P与F重合时，P1P2⋅P1P=3×1×csπ3=32，即可取到最小值32，
当P与C重合时，P1P2⋅P1P=P1P2⋅P1C=P1P2⋅P1P2+P2C=3×3+3×1×cs2π3=9−32=152，
即可取到最大值152.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数z=m2−4+(m−2)i(m∈R)，则（ ）
A．若复数z为实数，则z=0
B．若复数z为纯虚数，则m=±2
C．当m=1时，|z|=10
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
【答案】ACD
【解题思路】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解.
【解答过程】对于A，依题意可得m−2=0，即m=2，则z=0，故A正确；
对于B，依题意可得m2−4=0m−2≠0⇒m=−2，故B错误；
对于C，依题意可得z=−3−i，所以|z|=(−3)2+(−1)2=10，故C正确；
对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则m2−40⇒m∈∅，所以D正确，
故选：ACD．
10．（6分）（2025·江西·模拟预测）已知向量a=(2,3),b=(−4,m)，则（ ）
A．若a⊥b，则m=83
B．若m=1，则a−b=215
C．若a+b∥b，则m=6
D．若m=2，则a在b方向上的投影向量的坐标为25,−15
【答案】AD
【解题思路】对于A，由向量垂直坐标表示可得m；对于B，由向量模长坐标计算公式可判断选项正误；对于C，由向量平行坐标表示可得m；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误.
【解答过程】对于A，由a⊥b，可得a⋅b=−8+3m=0，解得m=83，故A正确；
对于B，当m=1时，a−b=(6,2)，故|a−b|=62+22=210，故B错误；
对于C，a+b=(−2,3+m)，由(a+b)∥b，可得m=6+2m，解得m=−6，故C错误；
对于D，当m=2时，b=(−4,2)，此时a在b方向上的投影向量的坐标为
a⋅b|b|⋅b|b|=−8+620×(−4,2)=25,−15，故D正确．
故选：AD．
11．（6分）（2025·河北·模拟预测）已知a→=2b→=2，且向量a,b的夹角为π3，下列说法正确的是（ ）
A．a+2b=25
B．a−4b⊥a
C．向量a−2b和a的夹角为π2
D．若λa→+2b→//a→−3b→，则λ=−23
【答案】BD
【解题思路】通过向量的数量积公式a→·b→=abcsθ以及向量模长公式m=m→2等进行计算和判断.
【解答过程】因为a→=2b→=2，且向量a→,b→的夹角为π3，
对于选项A：
a→+2b→=a→+2b→2=a→2+4b→2+4a→·b→=4+4+4×2×1×csπ3=23，则A错误；
对于选项B：
要使得a→−4b→⊥a→，则它们的数量积为0.
即a→−4b→⋅a→=4−4×2×1×csπ3=0，则B正确；
对于选项C：
因为cs=a→−2b→·a→a→−2b→a→=4−2×2×1×csπ34+4−4×2×1×csπ3×2=24=12，则=π3，则C错误；
对于选项D：因为λa→+2b→//a→−3b→，
所以λa→+2b→=ka→−3b→，解得λ=k=−23，则D正确．
故选：BD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2025·江西·模拟预测）已知向量a,b满足a=(−2,3),b=(1,k),a⋅b=2，则a+b= .
【答案】−1,133
【解题思路】先根据数量积的坐标运算求得k=43，再根据向量的线性坐标运算求解即可.
【解答过程】因为a⋅b=(−2,3)⋅(1,k)=−2+3k=2，解得k=43，
则b=1,43，所以a+b=−1,133.
故答案为：−1,133.
13．（5分）（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足z+2z=9+2i（其中i为虚数单位），则z的虚部为 .
【答案】−2
【解题思路】设z=a+bia,b∈R，利用复数相等可得答案.
【解答过程】设z=a+bia,b∈R，z=a−bi，
则z+2z=a+bi+2a−2bi=3a−bi=9+2i，
所以3a=9,−b=2，解得a=3,b=−2，
则z的虚部为−2.
故答案为：−2.
14．（5分）（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量a在向量b上的投影向量为12b，b=2，则a−b⋅b=
.
【答案】−1
【解题思路】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出a⋅b的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出a−b⋅b的值.
【解答过程】因为非零向量a在向量b上的投影向量为，
所以a⋅bb2=12，故a⋅b=12b2=12×2=1，
所以a−b⋅b=a⋅b−b2=1−2=−1.
故答案为：−1.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数z=m+2m+m2−mi，则
(1)当实数m取什么值时，z是实数；
(2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限．
【答案】(1)1
(2)−2