2026届高考一轮复习基础练数学第五章平面向量及其应用、复数(第4节 复数)

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知识点 53 复数的概念及四则运算
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设 z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R ,则复数的四则运算法则如下表所示.
教材素材变式
1.[单选][人A必修二P70练习第1题变式][2025年江苏南京高三调研第1题]
复数z=−1+4i，下列说法不正确的是（）
A. z的实部为−1 B. z的虚部为4i C. z―=−1−4i D. |z|=17
2.[单选][2024全国甲卷（理）第2题变式][2024年山东济南高三期中第2题]
若z=3−2i，则i(z―+z)=（）
A. 6 B. −6 C. 12 D. −12
3.[填空][人A必修二P73习题7.1第3题变式][2025年浙江杭州高三月考第3题]已知a,b均为实数，(1−i)(2+ai)=i(b−i)，则a+b=____．
4.[单选][人A必修二P69例1变式][2024年广东深圳高三模拟第4题]
若复数z=(1−2i)(3+ai)为纯虚数（a∈R），则|z|=（）
A. 5 B. 152 C. 13 D. 13
5.[单选][人B必修四P38例2变式][2025年安徽合肥一模第5题]
1+i1−i2=（）
A. i B. −i C. 1 D. −1
6.[单选][2024新课标Ⅰ卷第6题变式][2024年河北石家庄高三期中第6题]
若zz+1=2−i，则z=（）
A. 1+3i B. 1−3i C. −1+3i D. −1−3i
7.[填空][人A必修二P95复习参考题7第3,8题变式][2025年广东深圳高三模拟第7题]若复数z=(1+i)31−2i，则z⋅z―=____．
8.[填空][人A必修二P81习题7.2第7题变式][2024年江苏南京高三调研第8题]已知(2−i)z=3+4i，z是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，则pq=____．
变式探究
[单选][2024年北京海淀高三期中变式探究][2025年上海高三调研第9题]
已知虚数z是关于x的方程x2−6x+a=0（a∈R）的一个根，且|z|=10，则a=（）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 10
知识点 54 复数的几何意义
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1.复数的几何意义：复数 z=a+bia,b∈R ↔复平面内的点 Za,b ↔平面向量 OZ→ .
2.复数的模及复平面内两点之间的距离公式：对于复数 z=a+bia,b∈R ,复数 z 的模 |z|=a+bi=a2+b2 . 复平面内的两点 Z1x1,y1,Z2x2,y2x1,y1,x2,y2∈R 对应的复数分别为 z1=x1+y1,x2=x2+y21 ,连接 Z1Z2 ,则 Z1Z2=Z1Z2→=z2−z1=x2−x1+y2−y1i=x2−x12+y2−y12 .
教材素材变式
1.[单选][人A必修二P73习题7.1第6题变式][2025年广东广州高三调研第1题]复数m(2+i)−(3−2i)（m为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（）
A. (−2,32) B. (−32,2) C. (1,+∞) D. (−∞,−1)
2.[单选][人B必修四P42习题10 - 2A第7题变式][2024年北京海淀高三期中第2题]设复数z满足|z|=2，则当|z−1−3i|取最大值时，复数z为（）
A. 1+3i B. −1−3i C. 1−3i D. −1+3i
3.[多选][人A必修二P74习题7.1第7,8题变式][2025年江苏南京高三模拟第3题]已知复数z0=2+i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z−2|=|z+i|，在复平面内对应点Z，下列结论正确的是（）
A. 点P0的坐标为(2,1)
B. 复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于实轴对称
C. 点Z在一条直线上
D. 点P0与点Z之间的距离的最小值为52
知识点55 复数的三角表示*
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教材素材变式
1.[多选][人A必修二P90习题7.3第5题变式][2025年江苏南京高三调研第1题]已知复数z=csπ3+isinπ3（i为虚数单位），则（）
A. |z|=1 B. z3=−1 C. z+1z=1 D. z2的实部为12
2.[单选][人A必修二P85例2变式][2024年山东济南高三期中第2题]设复数z的辐角主值为3π4，模为2，则z2=（）
A. −4i B. 4i C. 22+2i D. 22−2i
3.[多选][苏教必修二P143阅读变式][2025年浙江杭州高三模拟第3题]依据欧拉公式exi=csx+isinx（x∈ℝ），下列结论正确的是（）
A. eπi+1=0
B. 复数eπ4i在复平面内对应的点位于第二象限
C. csx=exi+e−xi2
D. 若z1=eπ2i，z2=e−π3i，则|z1z2|=1
知识点 53 复数的概念及四则运算
1.答案：B
解析：对于复数 z=−1+4i，实部为−1，A 正确；虚部为 4，不是 4i，B 不正确；z=−1−4i，C 正确；|z|=(−1)2+42=17，D 正确。
2.答案：A
解析：因为 z=3−2i，所以 z=3+2i，z+z=6，i(z+z)=6i
3.答案：8
解析：左边(1−i)(2+ai)=2+ai−2i−ai2=2+a+(a−2)i，右边i(b−i)=b+i，所以2+a=ba−2=1，解得a=3，b=5，a+b=8
4.答案：B
解析：z=(1−2i)(3+ai)=3+ai−6i−2ai2=3+2a+(a−6)i，因为 z 为纯虚数，所以3+2a=0，a=−32，z=−152i，|z|=152
5.答案：D
解析：步骤一：化简1+i1−i
为了将分母化为实数，给分子分母同时乘以分母的共轭复数1+i，根据(a+b)(a−b)=a2−b2以及i2=−1进行计算：
1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+2i+i212−i2=1+2i−11−(−1)=2i2=i
步骤二：计算1+i1−i2
由步骤一可知1+i1−i=i，那么1+i1−i2=i2。
因为i2=−1，所以1+i1−i2=−1 。
综上，答案选D。
6.答案：A
解析：z=(2−i)(z+1)，z=(2−i)z+2−i，z−(2−i)z=2−i，(1−2+i)z=2−i，(−1+i)z=2−i，z=2−i−1+i=(2−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2−2i+i+i22=−3−i2=1+3i
7.答案：85
解析：(1+i)3=1+3i+3i2+i3=−2+2i，z=−2+2i1−2i=(−2+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−2−4i+2i+4i25=−6−2i5，z=−6+2i5，z⋅z=(−6−2i)(−6+2i)25=36−4i225=4025=85
8.答案：−4
解析：z=3+4i2−i=(3+4i)(2+i)(2−i)(2+i)=6+3i+8i+4i25=2+11i5，因为 z 是实系数方程的根，所以其共轭复数 z=2−11i5 也是方程的根，由韦达定理可得 −p=z+z=45，p=−45，q=z⋅z=12525=5，pq=−45×5=−4
变式探究
答案：D
解析：因为虚数 z 是方程的根，所以其共轭复数 z 也是方程的根，由韦达定理可得 z+z=6，zz=a，又 |z|=10，所以 zz=10，即 a=10
知识点 54 复数的几何意义
1.答案：A
解析：化简复数得(2m−3)+(m+2)i，对应点(2m−3,m+2)，第二象限需2m−30，解得−2