【期末冲刺】第15章 一元一次不等式(组) 培优讲义(新题速达)2026年沪教版数学七年级下册

这是一份【期末冲刺】第15章 一元一次不等式(组) 培优讲义(新题速达)2026年沪教版数学七年级下册，共4页。学案主要包含了作业10，作业11，作业12，作业13，作业14等内容，欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
理解 不等式的基本性质，能熟练运用性质进行不等式变形和大小比较。
掌握 一元一次不等式的解法，能在数轴上表示解集，会解含参数的不等式。
熟练 解一元一次不等式组，能根据解集或整数解个数求参数范围，会判断不等式组无解、有解的条件。
能够 建立一元一次不等式（组）模型解决实际问题（费用、分配、采购、行程等），并设计方案。
体会 数形结合、分类讨论、转化思想在不等式问题中的运用。
✨ 核心：不等式性质 · 解集数轴表示 · 整数解与参数 · 实际建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 不等式及其性质
不等式的定义： 用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”表示不等关系的式子。
不等式的基本性质：
性质1（可加性）： 若 a>b，则 a±c>b±c。
性质2（可乘性1）： 若 a>b，且 c>0，则 ac>bc，ac>bc。
性质3（可乘性2）： 若 a>b，且 cb+d。
已知范围求代数式范围（“放缩法”）：分别求出单个变量的范围，再通过不等式加法或乘法求整体范围。
盈利问题：总售价 > 总进价 → 列不等式，利用不等式性质比较a与b的大小。
1．（2026春•普陀区期中）如果m＜n，那么下列各式中正确的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣2B．2m＞2nC．﹣2m＞﹣2nD．m2−1＞n2−1
【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可．不等式性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：不等式性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．则：
A、不等式两边同时减2，不等号方向不变，得m﹣2＜n﹣2．故A错误；
B、不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得2m＜2n．故B错误；
C、不等式两边同时乘负数﹣2，不等号方向改变，得﹣2m＞﹣2n．故C正确；
D、不等式两边先同时除以正数2，得m2＜n2，再两边同时减1，不等号方向不变，得m2−1＜n2−1．故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．（2025春•嘉定区校级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2B．若a＞b，则−a2＜−b2
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若2a＞2b，则a＞b
【分析】根据不等式的性质，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：因为a＞b，
则根据不等式的基本性质1得，a+2＞b+2．
故A选项不符合题意．
因为a＞b，
则根据不等式的基本性质2得，−a2＜−b2．
故B选项不符合题意．
因为a＞b，
则根据不等式的基本性质2得，ac2＞bc2（c≠0）．
故C选项符合题意．
因为2a＞2b，
则根据不等式的基本性质2得，a＞b．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
3．（2024春•浦东新区校级期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．如果am2＞bm2，那么a＞b
B．如果﹣5＜﹣3，那么﹣5a＜﹣3a
C．如果a＞0，那么b﹣a＜b
D．如果a＞0，b＜0，c＞0，那么a（b﹣c）＜0
【分析】根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答．
【解答】解：A、如果am2＞bm2，说明m2＞0，那么a＞b，该选项是正确的；故不符合题意；
B、如果﹣5＜﹣3，当a≤0，那么﹣5a＜﹣3a是错误的，该选项是错误的，故符合题意；
C、如果a＞0，则﹣a＜0，那么b﹣a＜b，该选项是正确的；故不符合题意；
D、如果a＞0，b＜0，c＞0，那么a（b﹣c）＜0，该选项是正确的；故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键．
4．（2026春•上海期中）根据不等式的基本性质，若“6a＞b”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为a＜0 ．
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【解答】解：根据不等式的基本性质，若“6a＞b”可变形为“6＜ab”，
∵将“6a＞b”变形为“6＜ab”，需要在不等号两边同时乘以a，
∵不等号由“＞”变成“＜”，
∴a＜0，
故答案为：a＜0．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键．
5．（2026春•杨浦区校级月考）已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，若x≥﹣3y，则x+y+z的最大值为 7 ．
【分析】由条件可得x+y+z＝x﹣2，因此求最大值等价于求x的最大值，结合x+y＝6和x≥﹣3y约束，得到x≥﹣3（6﹣x），解不等式可得x≤9，从而求出最大值．
【解答】解：已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，
∴z＝x﹣8，
∴x+y+z＝6+（x﹣8）＝x﹣2，
故求x+y+z的最大值即求x的最大值，
由x+y＝6，得y＝6﹣x，
代入x≥﹣3y，得x≥﹣3（6﹣x），
即 x≥﹣18+3x，
解得x≤9
∴x的最大值为9，
x+y＝6，x﹣z＝8，
∴x＝z+8，
∴z+8+y＝6，
∴z+y＝﹣2
此时x+y+z＝9﹣2＝7，
∴x+y+z≤7，
故最大值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键．
6．（2025春•上海期末）如果a＞b，那么1−2a3 ＜ 1−2b3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】用作差法比较即可．
【解答】解：1−2a3−1−2b3
=1−2a−1+2b3
=−2a+2b3
=−2(a−b)3，
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴−2a+2b3＜0，
∴1−2a3−1−2b3＜0，
∴1−2a3＜1−2b3．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小．作差法比较大小的方法是：如果a﹣b＞0，那么a＞b；如果a﹣b＝0，那么a＝b；如果a﹣b＜0，那么a＜b；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果a＞b，b＞c，那么a＞b＞c．
7．（2026春•普陀区期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：
阅题一：设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．
以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．
问题二：设a＞b＞0，c＜d＜0，参考小普同学的推理方法，试判断ac与bd的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：（1）设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．则：
∵a＞b，
∴a+c＞b+c，
又∵c＞d，
∴b+c＞b+d，
∴a+c＞b+d．
（2）∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
∵c＜d，b＞0，
∴bc＜bd，
∴ac＜bd．
【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键．
8．（2026春•濂溪区校级月考）阅读理解与应用
阅读下列材料：解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0…①，
同理可得1＜x＜2…②，
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2，
按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 1＜x+y＜5 ；
（2）若a﹣b＝4，a＞1，b＜2，求2a+3b的取值范围．
【分析】（1）按照题干示范的步骤，先分别求出x和y的取值范围，再将两个范围相加即可求解；
（2）按照题干示范的步骤，先分别求出a和b的取值范围，再根据不等式性质求出2a和3b的取值范围，再将两个范围相加即可求解．
【解答】解：（1）∵x﹣y＝3，
∴x＝y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞﹣1，
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1⋯①，
同理可得2＜x＜4⋯②，
由①+②得：2﹣1＜x+y＜4+1，
∴已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∵a＞1，
∴b+4＞1，
∴b＞﹣3，
又∵b＜2，
∴﹣3＜b＜2⋯①，
同理可得1＜a＜6⋯②，
②乘2得2＜2a＜12⋯③，①乘3得﹣9＜3b＜6⋯④，
③+④，得2﹣9＜2a+3b＜12+6，
∴若a﹣b＝4，a＞1，b＜2，则：2a+3b的取值范围是﹣7＜2a+3b＜18．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2026春•二七区校级月考）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克a+b2元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系．
【分析】根据题意列出不等式10a+20b＜a+b2×(10+20)，整理得10a+20b＜15a+15b，再根据不等式基本性质即可得出b＜a．
【解答】解：根据题意，得10a+20b＜a+b2×(10+20)，
整理，得10a+20b＜15a+15b，
不等式两边都减去10a+15b，得5b＜5a，
不等式两边都除以5，得b＜a，
所以a与b的大小关系为a＞b．
【点评】本题考查了不等式基本性质的应用，正确理解题意列不等式求解是关键．
【模块二】一元一次不等式（对应第10-26题）
※ 方法总结
判断不等式组解集：根据a>b>0时−a