华东师大版（2024）七年级下册（2024）解一元一次不等式组优质学案

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▉题型1 一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．
1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A．x−y＞0x+y＜0
B．x+13＞12x3x≠4x−1
C．3x−2＞0(x−2)(x+3)＞0
D．3x+2y=0x＞−y
【答案】B
【解答】解：A、是二元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
C、是一元二次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：B．
▉题型2 解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
2．若不等式组x+1＞4x−8x−m2＞0无解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m＞3C．m≤3D．m＜3
【答案】A
【解答】解：由x+1＞4x﹣8，得：x＜3，
由x−m2＞0，得：x＞m，
∵不等式组无解，
∴m≥3，
故选：A．
3．对于三个数a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，如max{2，﹣1，0}＝2，max{﹣1，0，a}=a(a≥0)，0(a＜0)．若max{3，8﹣2x，2x﹣5}＝3，则x的取值范围是（ ）
A．23≤x≤92B．52≤x≤4C．23＜x＜92D．52＜x＜4
【答案】B
【解答】解：∵max{3，8﹣2x，2x﹣5}＝3，
则3≥8−2x3≥2x−5，
∴x的取值范围为：52≤x≤4，
故选：B．
4．若关于x的不等式组x≥m2(x+1)＜4无解，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1B．m＜1C．m≥1D．m≤1
【答案】C
【解答】解：解第二个不等式得：x＜1，
∵原不等式组无解，
∴m≥1，
故选：C．
5．关于x的一元一次不等式组3x−5≥12x+a＜8有解，则a的取值范围是（ ）
A．a≥4B．a＞4C．a≤4D．a＜4
【答案】D
【解答】解：3x−5≥1①2x+a＜8②
解不等式①得：x≥2
解不等式②得：x＜4−12a，
∵x的一元一次不等式组3x−5≥12x+a＜8有解，
∴2＜4−12a
解得：a＜4，
故选：D．
6．不等式组2−2x＞04x−8≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：2−2x＞0①4x−8≤0②，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：x＜1，
在数轴上表示为：
故选：C．
7．定义一种新运算：a⊗b＝a﹣ab，例如：3⊗2＝3﹣3×2＝﹣3．根据上述定义，不等式组2⊗x≥−1x⊗2≤1的解集是 −1≤x≤32 ．
【答案】−1≤x≤32．
【解答】解：由题意可得，不等式组2⊗x≥−1x⊗2≤1可以转化为2−2x≥−1x−2x≤1，
解得−1≤x≤32，
故答案为：−1≤x≤32．
8．不等式组5−2x≥1−2x＜4的解集是 ﹣2＜x≤2 ．
【答案】﹣2＜x≤2
【解答】解：解不等式5﹣2x≥1，得：x≤2，
解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故答案为：﹣2＜x≤2．
9．已知不等式组x−a＜1x−2b＞3的解集为﹣1＜x＜3，则（a+1）（b﹣1）＝ ﹣9 ．
【答案】﹣9．
【解答】解：由x−a＜1x−2b＞3得x＜a+1x＞2b+3，
∵不等式组x−a＜1x−2b＞3的解集为﹣1＜x＜3，
∴a+1＝3，3+2b＝﹣1，
解得：a＝2，b＝﹣2，
∴（a+1）（b﹣1）＝（2+1）×（﹣2﹣1）＝﹣9，
故答案为：﹣9．
10．解下列不等式（组），并把解集分别表示在数轴上：
（1）2（x﹣1）﹣3＜1；
（2）x−3(x−2)≥4，2x−15＜x+12.．
【答案】（1）x＜3，数轴见解答；
（2）﹣7＜x≤1，数轴见解答．
【解答】解：（1）去括号得，2x﹣2﹣3＜1，
移项得，2x＜2+3+1，
合并同类项得，2x＜6，
把x的系数化为1得，x＜3，
在数轴上表示为：
（2）x−3(x−2)≥4①2x−15＜x+12②，
由①得，x≤1，
由②得，x＞﹣7，
故此不等式组的解集为：﹣7＜x≤1，
在数轴上表示为：
11．阅读下列例题，再回答问题．
例题：解一元二次不等式：（3x﹣6）（2x+4）＞0．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①3x−6＞0，2x+4＞0或②3x−6＜0，2x+4＜0.
解不等式组①，得x＞2．解不等式组②，得x＜﹣2．
所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．
问题探究：
（1）不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集是x＞3或x＜﹣4 ；
（2）求不等式5x+154−2x＞0的解集．
【答案】（1）x＞3或x＜﹣4；
（2）﹣3＜x＜2．
【解答】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”有①2x+8＞03−x＜0或②2x+8＜03−x＞0，
解不等式组①得：x＞3，解不等式组②得：x＜﹣4，
∴不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集是x＞3或x＜﹣4，
故答案为：x＞3或x＜﹣4；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”有①5x+15＞04−2x＞0或5x+15＜04−2x＜0，
解不等式组①得：﹣3＜x＜2，解不等式组②得：无解，
∴不等式5x+154−2x＞0的解集为﹣3＜x＜2．
12．解不等式组：3(x+1)≥2x−1x+52＞x+1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解不等式3（x+1）≥2x﹣1，得：x≥﹣4，
解不等式x+52＞x+1，得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣4≤x＜3．
13．（1）解不等式组2x−3＞1①−12x≥−2②，请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①得x＞2 ；
（Ⅱ）解不等式②得x≤4 ；
（Ⅲ）把不等式的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集是 2＜x≤4 ．
（2）解下列不等式，并将它们的解集在数轴上表示出来：
2x−13≤3x−46
【答案】（1）x＞2，x≤4，2＜x≤4；
（2）x≤﹣2，把它们的解集表示在数轴上见解答．
【解答】解：（1）（Ⅰ）解不等式①，得x＞2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集是2＜x≤4．
故答案为：x＞2，x≤4，2＜x≤4．
（2）2x−13≤3 x−46，
去分母得，2（2x﹣1）≤3x﹣4，
去括号得，4x﹣2≤3x﹣4，
移项得，4x﹣3x≤﹣4+2，
合并同类项得，x≤﹣2，
把它们的解集表示在数轴上，如图所示：
．
14．解下列不等式组或方程组：
（1）2(x−2)＜3(2−x)1−x−14≥x；
（2）4x+3y=53x−2y=8；
【答案】（1）x≤1；
（2）x=2y=−1．
【解答】解：（1）2(x−2)＜3(2−x)①1−x−14≥x②，
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≤1，
∴不等式组的解集为：x≤1；
（2）4x+3y=5①3x−2y=8②，
①×2+②×3得：17x＝34，
∴x＝2，
把x＝2代入②得：3×2﹣2y＝8，
∴y＝﹣1，
∴方程组的解为x=2y=−1．
▉题型3 一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
15．关于y的一元一次不等式组32y+1＞y−22y−a＜0有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2B．1＜a≤2C．a≥1D．1≤a＜2
【答案】B
【解答】解：32y+1＞y−22①y−a＜0②，
由①得：y＞﹣2，
由②得：y＜a，
∴原不等式组的解集为﹣2＜y＜a，
∵关于y的一元一次不等式组32y+1＞y−22y−a＜0有3个整数解，
∴1＜a≤2，
故选：B．
16．不等式组x≥1，1−2x＞3(x−7)的最大整数解是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解答】解：解不等式1﹣2x＞3（x﹣7），得x＜225，
∴不等式组的解集为1≤x＜225，
∴不等式组x≥1，1−2x＞3(x−7)的最大整数解是4．
故选：D．
17．若不等式组2x−1＞3x≤a的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）
A．5≤a＜6B．5＜a≤6C．5＜a＜6D．5≤a≤6
【答案】A
【解答】解：2x−1＞3①x≤a②，
∵解不等式①得：x＞2，
又∵不等式组的整数解共有三个，
∴5≤a＜6，
故选：A．
18．若关于x的一元一次不等式组x−a＞02x−3＜1有2个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2B．﹣3≤a＜﹣2C．﹣3≤aD．a＜2
【答案】B
【解答】解：x−a＞0①2x−3＜1②，
∵解不等式①得：x＞a，
解不等式②得：x＜2，
又∵关于x的一元一次不等式组x−a＞02x−3＜1有2个负整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2，
故选：B．
19．求不等式组2x−x+32≤0①5x+1＞3(x−1)②的整数解．
【答案】﹣2＜x≤1，整数解为：﹣1，0，1．
【解答】解：解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
∴原不等式组的整数解为：﹣1，0，1．
20．解不等式组：3(x−1)≤x+1x−92＜2x，并求出不等式组的整数解之和．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：3(x−1)≤x+1①x−92＜2x②，
解①得x≤2，
解②得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
所以不等式的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，它们的和为（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝0．
21．（1）解方程组：2x−5y=2①x+3y=12②；
（2）解不等式组3(x−1)≤5x+1①2x＜9−x4②并求不等式组的整数解．
【答案】（1）x=6y=2；
（2）﹣2≤x＜1，不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．
【解答】解：（1）2x−5y=2①x+3y=12②，
①﹣②×2得：﹣11y＝﹣22，
解得y＝2，
将y＝2代入②得：x+6＝12，
解得x＝6，
所以方程组的解为x=6y=2；
（2）3(x−1)≤5x+1①2x＜9−x4②，
解不等式①，得x≥2；
解不等式②，得x＜1．
所以这个不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．
22．解不等式组x+32≥x+13+4(x−1)＞−9，并写出不等式组的整数解．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由x+32≥x+1得：x≤1，
由3+4（x﹣1）＞﹣9得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
所以其整数解为﹣1、0、1．
23．解不等式组4x＞#160;2x−6，x−13≤x+19，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
【答案】﹣3＜x≤2，其解集在数轴上表示见解答，该不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【解答】解：4x＞2x−6①x−13≤x+19②，
解不等式①，得：x＞﹣3，
解不等式②，得：x≤2，
∴该不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
其解集在数轴上表示如下：
，
∴该不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
▉题型4 一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
24．按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结果是否≥17”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为 73≤x＜6 ．
【答案】73≤x＜6．
【解答】解：由题意得3x−1＜17①3(3x−1)−1≥17②，
解不等式①得，x＜6，
解不等式②得，x≥73，
∴73≤x＜6，
故答案为：73≤x＜6．
25．从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为x米/分，则可列不等式组为 30x≤240040x≥2400 ，小明步行的速度范围是 60米/分﹣80米/分 ．
【答案】30x≤240040x≥2400；60米/分﹣80米/分
【解答】解：（1）设步行速度为x米/分，依题意可得：
30x≤240040x≥2400，
（2）解（1）的不等式组可得：60≤x≤80
所以小明的步行范围是60米/分﹣80米/分．
故答案为：30x≤240040x≥2400；60米/分﹣80米/分．
26．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？
（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，
2x+y=6804x+3y=1560，
解得，x=240y=200，
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；
（2）设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备（20﹣a）台，
则12a+10(20−a)≤230240a+200(20−a)≥4500，
解得，12.5≤a≤15，
第一种方案：当a＝13时，20﹣a＝7，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台；
第二种方案：当a＝14时，20﹣a＝6，即购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台；
第三种方案；当a＝15时，20﹣a＝5，即购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台．
27．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些同学都是在本次竞赛中表现优异的同学，学校又给这些同学中每个男生奖励一个价值100元的篮球，每个女生奖励一个价值90元的排球，学校共花去580元．那么这些学生中有多少名男生，多少名女生？
【答案】这些学生中有4名男生，2名女生．
【解答】解：设共有x名同学分这些书，则这些书共（3x+8）本，
根据题意得：3x+8＞5(x−1)3x+8＜5(x−1)+3，
解得：5＜x＜132，
又∵x为整数，
∴x＝6．
设这些学生中有y名男生，则有（6﹣y）名女生，
根据题意得：100y+90（6﹣y）＝580，
解得：y＝4，
∴6﹣y＝6﹣4＝2（名）．
答：这些学生中有4名男生，2名女生．
28．实验中学组织七年级学生赴龙岗红色基地研学旅行，报名人数超过630人，在安排住宿时发现，若每间住8人，则有120人无法入住；若每间宿舍住10人，则只有一间宿舍不空也不满，求参加研学的学生人数．
【答案】632人．
【解答】解：设共有x间宿舍，则参加研学的学生人数为（8x+120）人，
根据题意得：8x+120＞10(x−1)8x+120＜10x，
解得：60＜x＜65，
∴600＜8x+120＜640，
又∵报名人数超过630人，且x为正整数，
∴x＝64，
∴8x+120＝8×64+120＝632（人）．
答：参加研学的学生人数为632人．
29．文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元；
（2）该商店共有3种进货方案，
【解答】解：（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：2x+3y=3404x+5y=620，
解得：x=80y=60．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品（100﹣m）件，
依题意得：m≥3880m+60(100−m)≤6800，
解得：38≤m≤40．
又∵m为正整数，
∴m可以为38，39，40，
∴该商店共有3种进货方案．
30．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．
（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？
（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元；
（2）该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球；
（3）方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．
【解答】解：（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，
依题意，得：10x+5y=1005x+3y=55，
解得：x=5y=10．
答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进1000−10m5=（200﹣2m）个甲种乒乓球，
依题意，得：200−2m≥6mm≥23，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以取23，24，25，
∴该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．
（3）方案1获得的利润为3×154+4×23＝554（元），
方案2获得的利润为3×152+4×24＝552（元），
方案3获得的利润为3×150+4×25＝550（元）．
∵554＞552＞550，
∴方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．
31．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x＝550，
∴x＝50，
经检验，符合题意，
∴3x＝150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，100−y≥4850y+150(100−y)≤10000，
∴50≤y≤52，
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，
当y＝52时，所需资金最少，最少是9800元．
题型1 一元一次不等式组的定义
题型2 解一元一次不等式组
题型3 一元一次不等式组的整数解
题型4 一元一次不等式组的应用