沪科版（2024）七年级下册（2024）一元一次不等式优秀学案

这是一份沪科版（2024）七年级下册（2024）一元一次不等式优秀学案，文件包含第7章72一元一次不等式2025-2026学年七年级下初中数学同步复习讲义沪科版2024原卷版docx、第7章72一元一次不等式2025-2026学年七年级下初中数学同步复习讲义沪科版2024解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共46页， 欢迎下载使用。

▉题型1 一元一次不等式的定义
【知识点的认识】
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．2x﹣1＞0B．﹣1＜2C．3x﹣2y≤﹣1D．y2+3＞5
【答案】A
【解答】解：A、是一元一次不等式；
B、不含未知数，不符合定义；
C、含有两个未知数，不符合定义；
D、未知数的次数是2，不符合定义；
故选：A．
2．下列式子中，一元一次不等式有（ ）
①x+2x2＞1；②2x﹣y＞0；③1x−1−1＞0；④2x﹣3＞5；⑤x−23＞1；⑥3x−x2＞2﹣x．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：一元一次不等式有：④2x﹣3＞5；⑤x−23＞1；⑥3x−x2＞2﹣x．
一元一次不等式有3个．
故选：B．
3．写出一个解集为x＜5的一元一次不等式：x﹣5＜0（答案不唯一） ．
【答案】x﹣5＜0（答案不唯一）
【解答】解：解集为x＜5的一元一次不等式可以是x﹣5＜0．
故答案为：x﹣5＜0（答案不唯一）．
▉题型2 解一元一次不等式
【知识点的认识】
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
4．若关于x，y的方程组3x+y=5−mx+5y=3m+1的解满足x+y＜1，则|m+4|﹣|2﹣m|的化简结果是（ ）
A．6B．﹣6C．2D．﹣2
【答案】B
【解答】解：解方程组得x=12−4m7y=5m−17，
∵x+y＜1，
∴12−4m7+5m−17＜1，
解得m＜﹣4，
则|m+4|﹣|2﹣m|
＝﹣m﹣4﹣（2﹣m）
＝﹣m﹣4﹣2+m
＝﹣6，
故选：B．
5．关于x，y的方程组3x−y=k−3x−3y=3k−1的解，满足x﹣y＜4，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5B．k≥5C．k＜5D．k≤5
【答案】C
【解答】解：3x−y=k−3①x−3y=3k−1②
由①+②得：4x﹣4y＝4k﹣4
∴x﹣y＝k﹣1，
∵x﹣y＜4，
∴k﹣1＜4
解得：k＜5，
故选：C．
6．不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：C．
7．对实数m，n定义一种新运算，规定：f（m，n）＝mn+an﹣3（其中a为非零常数）；例如：f（1，2）＝1×2+a×2﹣3；已知f（2，3）＝9，给出下列结论：
①a＝2；
②若f（1，n）＞0，则n＞1；
③若f（m，m）＝2m，则m=3；
④f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为3；
以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：∵f（2，3）＝9，
∴2×3+3a﹣3＝9，
解得：a＝2，
故①正确；
∵f（1，n）＞0，
∴n+2n﹣3＞0，
解得：n＞1，
故②正确；
∵f（m，m）＝2m，
∴m2+2m﹣3＝2m，
解得：m＝±3，
故③不正确；
由题意得：f（n，n）﹣2n＝n2+2n﹣3﹣2n＝n2﹣3，
∵n2≥0，
∴n2﹣3≥﹣3，
∴f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为﹣3，
故④不正确；
所以，上列结论正确的个数是2个，
故选：B．
8．已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则下列不等式符合的是（ ）
A．x+1≥2B．3（x﹣1）≤2C．﹣2x﹣1≤3D．32x≥4−x
【答案】C
【解答】解：A．x+1≥2的解集为x≥1，不符合题意；
B．3（x﹣1）≤2的解集为x≤53，不符合题意；
C．﹣2x﹣1≤3的解集为x≥﹣2，符合题意；
D．32x≥4﹣x的解集为x≥85，不符合题意；
故选：C．
9．不等式x+2＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：解不等式可得x＞2．
在数轴上表示D选项是正确的．
故选：D．
10．若关于x，y的方程组2x+5y=3mx−3y=2+m的解满足3x+2y＞7，则m的最小整数解为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：2x+5y=3m①x−3y=2+m②，
①+②得：3x+2y＝4m+2，
∵关于x，y的方程组2x+5y=3mx−3y=2+m的解满足3x+2y＞7，
∴4m+2＞7，
解得：m＞54，
∴m的最小整数解为2．
故选：C．
11．若关于x的不等式x−k3≥−1的解集表示在如图所示的数轴上，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】D
【解答】解：解不等式x−k3≥−1得：x≥k﹣3，
由数轴可知不等式的解集为x≥﹣1，
∴k﹣3＝﹣1，
∴k＝2，
故选：D．
12．已知关于x，y的方程组2x+y=2k−1x+2y=−4的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 k＞4 ．
【答案】k＞4
【解答】解：2x+y=2k−1①x+2y=−4②，
①+②得：3x+3y＝2k﹣1﹣4，
即：x+y=2k−53；
∵x+y＞1，
∴2k−53＞1，解得：k＞4；
故答案为：k＞4．
13．已知关于x的不等式ax＞b的解集是x＞﹣3，则不等式bx＞a的解集是 x＜−13 ．
【答案】x＜−13
【解答】解：∵关于x的不等式ax＞b的解集是x＞﹣3，
∴a＞0，ba=−3，
∴b＝﹣3a＜0，
故可得不等式bx＞a的解集为：x＜−13．
故答案为：x＜−13．
14．若关于x的不等式（1﹣a）x＜3可化为x＞31−a，则a的取值范围是a＞1 ．
【答案】a＞1．
【解答】解：（1﹣a）x＜3可化为x＞31−a，
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1，
故答案为：a＞1．
15．代数式13x的值不小于x−12，则x的取值范围是x≤3 ．
【答案】x≤3．
【解答】解：由题意得：13x≥x−12，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
16．关于x的一元一次方程x+k2=1的解是非负数，则k的取值范围是k≤2 ．
【答案】k≤2．
【解答】解：由条件可知x＝2﹣k，
∵关于x的一元一次方程x+k2=1的解是非负数，
∴2﹣k≥0，
∴k≤2，
故答案为：k≤2．
17．以下是小力同学解不等式x−13−2x+42≤−3的过程，请你完成下列任务．
解：去分母，得2（x﹣1）﹣3（2x+4）≤﹣3…第一步
去括号，得2x﹣2﹣6x﹣12≤﹣3…第二步
移项合并同类项，得﹣4x≤11…第三步
系数化为1，得x≥−114⋯第四步
任务一：小力同学从第 一 步开始出错；
任务二：请写出正确的解答过程，并将解集表示在数轴上．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务一：小力同学从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
任务二：正解去分母，得2（x﹣1）﹣3（2x+4）≤﹣18，
去括号，得2x﹣2﹣6x﹣12≤﹣18，
移项合并同类项，得﹣4x≤﹣4，
系数化为1，得x≥1，
18．已知方程组5x+2y=−8+4m2x+5y=1+3m的解满足x+y≥4．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣4|+|3﹣m|．
【答案】（1）m≥5；
（2）2m﹣7．
【解答】解：（1）5x+2y=−8+4m①2x+5y=1+3m②，
①+②得：7x+7y＝﹣7+7m，
解得：x+y＝﹣1+m，
∵x+y≥4，
∴﹣1+m≥4，
解得：m≥5；
（2）|m﹣4|+|3﹣m|
＝m﹣4+m﹣3
＝2m﹣7．
19．（1）观察发现：材料：解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②．
将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2，把y＝2代入①，得x＝2，所以x=2y=2，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②的解为 x=0y=−1 ；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x−y−2=02x−y+13+x=3；
（3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组2x+y=−3m+2x+2y=7的解满足x+y＞﹣1，请直接写出满足条件的m的所有正整数值 1，2，3 ．
【答案】（1）x=0y=−1；(2)x=2y=2；(3)1；2；3．
【解答】解：（1）x−y−1=0①4(x−y)−y=5②，
由①得：x﹣y＝1③，
把③代入②得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③得：x＝0，
∴方程组的解为：x=0y=−1；
（2）2x−y−2=0①2x−y+13+x=3②，
由①得，2x﹣y＝2③，
把③代入②得，x＝2，
把x＝2代入①，得，y＝2，
∴方程组的解为x=2y=2；
（3）2x+y=−3m+2①x+2y=7②，
①+②得：3x+3y＝9﹣3m，
x+y＝3﹣m，
∵关于x，y的二元一次方程组2x+y=−3m+2x+2y=7的解满足x+y＞﹣1，
∴3﹣m＞﹣1，
∴m＜4，
∴满足条件的m的所有正整数值为1，2，3．
20．下面是小乐同学解一元一次不等式x+46＜2x+13−1的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务：
（1）第一步的依据是 ② ．（填序号）
①不等式的基本性质1
②不等式的基本性质2
③不等式的基本性质3
（2）第 二 步开始出现错误，错误的原因是 去括号时，括号内第二项没有乘2 ．
（3）直接写出该不等式正确的解集．
【答案】（1）②；
（2）二：去括号时，括号内第二项没有乘2；
（3）x＞83．
【解答】解：（1）第一步的依据是不等式的基本性质2，
故选：②；
（2）第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号内第二项没有乘2；
故答案为：二：去括号时，括号内第二项没有乘2；
（3）x+46＜2x+13−1，
去分母，得x+4＜2（2x+1）﹣6，
去括号，得x+4＜4x+2﹣6，
移项，得x﹣4x＜2﹣6﹣4，
合并同类项，得﹣3x＜﹣8，
两边都除以﹣3，得x＞83．
21．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▇”处空缺的内容为 5 ，“▲”处空缺的内容为 ﹣1 ．
（2）应用整体思想完成练习中题目的解答．
（3）已知关于x，y的二元一次方程组4x+y=k+1x+4y=3的解满足x+y＜1，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1）5，﹣1；
（2）x=52y=−32；
（3）k＜1．
【解答】解：（1）5，﹣1，理由如下：
2x+y=7①x+2y=8②，
13×(①+②)得x+y＝5，①﹣②得x﹣y＝﹣1，
故答案为：5，﹣1；
（2）2023x+2025y=2020①2025x+2023y=2028②，
14048×(①+②)得x+y＝1，
12×(②−①)得x﹣y＝4，
则x+y=1③x−y=4④，
两式相加得x=52，
两式相减得y=−32，
∴原方程组的解为x=52y=−32；
（3）k＜1，理由如下：
4x+y=k+1①x+4y=3②，
①+②得x+y=k+45．
由条件得k+45＜1，解得k＜1．
▉题型3 一元一次不等式的整数解
【知识点的认识】
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
22．定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：根据题意，原不等式转化为：4（4﹣x）+1≥2，
去括号，得：16﹣4x+1≥2，
移项、合并同类项，得：﹣4x≥﹣15，
系数化为1，得：x≤154，
正整数解有3个，为1，2，3．
故选：C．
23．在满足不等式7﹣2（x+1）＞0的x取值中，x可取的最大整数为（ ）
A．4B．3C．2D．无法确定
【答案】C
【解答】解：去括号，得：7﹣2x﹣2＞0，
移项、合并，得：﹣2x＞﹣5，
系数化为1，得：x＜2.5，
则x可取的最大整数为2，
故选：C．
24．由绝对值的定义可知|a|表示数轴上数a的点到原点的距离，|a﹣1|表示数轴上数a的点到1的距离，根据以上信息可知不等式|x﹣2|+|x+3|≤10的整数解的个数为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：∵|a﹣1|表示数轴上数a的点到1的距离，
∴|x﹣2|+|x+3|≤10表示数x的点到2 的距离和数x的点到﹣3的距离之和不大于10．
分三种情况：
①当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+（﹣x﹣3）≤10，
解得x≥﹣5.5，
∴﹣5.5≤x≤﹣3；
②当﹣3＜x≤2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5≤10；
③当x＞2时，|x﹣2|+|x+3|＝x﹣2+x+3≤10，
解得x≤4.5，
∴2＜x≤4.5．
综上，x的范围是﹣5.5≤x≤4.5，
∴x的整数解为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，共10个．
故答案为：10．
25．不等式x﹣2≤2的最大整数解是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：移项，得：x≤2+2，
合并同类项，得：x≤4，
则不等式的最大整数解为4；
故答案为：4．
26．不等式6+x＞2x+13的正整数解的个数是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵6+x＞2x+13，
∴x−2x＞13−6，
∴−x＞−173，
∴x＜173，
则不等式的正整数解有1、2、3、4、5共5个，
故答案为：5．
27．已知有理数m、n，定义一种新运算“*”，规定：m*n＝am﹣bn+5（a、b均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10，则关于x的不等式x*（3x﹣2）＜﹣5的最小整数解为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵2*3＝1，3*（﹣1）＝10，
∴得到：2a−3b+5=13a−(−b)+5=10，
解得：a=1b=2．
∵x*（3x﹣2）＜﹣5，
∴ax﹣b（3x﹣2）+5＝﹣5x+9＜﹣5，
解得x＞145，
∴关于x的不等式x*（3x﹣2）＜﹣5的最小整数解为3．
故答案为：3．
28．已知不等式1+3x2＞2x−1的最大整数解是关于x的方程3m﹣（2+x）＝6的解，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解不等式1+3x2＞2x−1得：x＜3，
则该不等式组的最大整数解为x＝2，
将x＝2代入方程得：3m﹣4＝6，
解得m=103．
29．对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式x＞0和不等式x＜3只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式x＞0和不等式x＜3是“双整”的．
（1）判断不等式2x﹣3＜5和x﹣1≥0是否是“双整”的并说明理由；
（2）若不等式2x﹣a+1＜0和x＞1是“双整”的，求a的整数值．
【答案】（1）不是，理由见解答；
（2）a的整数值为8，9．
【解答】解：（1）不是，理由如下：
联立2x−3＜5xx−x−≥0，解不等式组得1≤x＜4，
满足条件的整数有三个：1、2、3，所以这两个不等式不是“双整”的；
（2）解不等式2x﹣a+1＜0，得x＜a−12，
若2x﹣a+1＜0和x＞1是“双整”的，
∴1＜x＜a−12，则满足1＜x＜a−12的整数有两个：2和3，
∴3＜a−12≤4即7＜a≤9，
故a的整数值为8，9．
30．解下列不等式：
（1）解不等式8﹣3（x+2）≥2（x﹣4），并把解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式2x−13−5x+12≤1的非正整数解．
【答案】（1）x≤2；
（2）﹣1，0．
【解答】解：（1）8﹣3（x+2）≥2（x﹣4），
去括号，得8﹣3x﹣6≥2x﹣8，
移项，得﹣3x﹣2x≥﹣8﹣8+6，
合并同类项，得﹣5x≥﹣10，
系数化1，得x≤2，
将不等式的解集在数轴上表示为：
；
（2）2x−13−5x+12≤1，
去分母，得2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
去括号，得4x﹣2﹣15x﹣3≤6，
移项，得4x﹣15x≤6+2+3，
合并同类项，得﹣11x≤11，
系数化1，得x≥﹣1，
所以不等式2x−13−5x+12≤1的非正整数解是﹣1，0．
31．解不等式2（x﹣2）≥5（x﹣1）+3，并求出满足它的最大整数解．
【答案】x≤−23，则最大整数解是﹣1．
【解答】解：2（x﹣2）≥5（x﹣1）+3，
去括号得：2x﹣4≥5x﹣5+3，
移项合并得：﹣3x≥2，
系数化为1得：x≤−23，
则最大整数解是﹣1．
32．综合与探究．
对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b为常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b，F（2，﹣3）＝2a﹣3b．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1．
（1）a＝ 2 ，b＝ 1 ．
（2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程F（x，3y）＝8的解．
（3）若关于x，y的方程组F(x，−y)=m−3F(12x，4y)=−3m+8的解满足x+y＞0，且m为非负整数，求m的值．
（4）若关于x的不等式F（﹣3x，4）＞2n恰好有3个正整数解，求n的取值范围．
【答案】（1）2；1；
（2）x=4y=0或x=1y=2；
（3）m的值为0或1或2；
（4）﹣10≤n＜﹣7．
【解答】解：（1）∵F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，
∴a+b＝3，a﹣b＝1，
解a+b=3a−b=1得：a=2b=1；
（2）由（1）知，F（x，y）＝2x+y，
则F（x，3y）＝2x+3y＝8．
∵x，y为非负整数，
∴x=4y=0或x=1y=2．
（3）依题意2x−y=m−3，①x+4y=−3m+8，②，
①+②化简得x+y=−2m+53．
∵x+y＞0，即−2m+53＞0，
解得m＜52．
又∵m为非负整数，
∴m的值为0或1或2．
（4）依题意得﹣6x+4＞2n，解得x＜−n+23．
∵此不等式有3个正整数解，
∴3＜−n+23≤4，
解得﹣10≤n＜﹣7．
▉题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式
【知识点的认识】
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
33．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（ ）
A．30+（3﹣0.5）x≤300B．300﹣30x﹣0.5≤3
C．30+（3﹣0.5）x≥300D．0.5+300﹣30x≥3
【答案】C
【解答】解：依题意得：30+（3﹣0.5）x≥300．
故选：C．
34．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过30km/h．用v（km/h）表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ）
A．v≤30B．v＜30C．v＞30D．v≥30
【答案】A
【解答】解：根据题意得：v≤30．
故选：A．
35．某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，设打x折销售，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意可得150x﹣100≥100×20%
B．依题意可得150×x10−100≥150×20%
C．该商品最多打8折
D．该商品最多打9折
【答案】C
【解答】解：设打x折销售，则售价为150×x10元，
根据题意，150×x10−100≥100×20%，A，B选项错误；
化简得：15x﹣100≥20，
解得：15x≥120⇒x≥8，
因此，最多打8折，C选项正确，D选项错误．
故选：C．
36．如图①，一个容量为500mL的杯子中装有200mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．200+4x＜500B．200+4x≤500
C．200+4x＞500D．200+4x≥500
【答案】A
【解答】解：水的体积为200cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4xcm3，
根据题意得到：200+4x＜500．
故选：A．
37．某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为0.8×（2x﹣100）＜900，那么小鱼告诉妈妈的信息是（ ）
A．买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到900元
B．买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到900元
C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元
D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元
【答案】C
【解答】解：∵小鱼妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为0.8×（2x﹣100）＜900，
∴由2x﹣100得出两件商品减100元，以及由0.8×（2x﹣100）得出买两件打8折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元．
故选：C．
38．语句“x的12与3的差不超过5”可以表示为（ ）
A．x2−3≤5B．x2−3≥5C．2x−3≤5D．x2−3＝5
【答案】A
【解答】解：“x的12与3的差不超过5”用不等式表示为x2−3≤5．
故选：A．
39．列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于﹣3： 12c−d≥−3 ．
【答案】12c−d≥−3．
【解答】解：根据题意得：12c−d≥−3，
故答案为：12c−d≥−3．
40．a与8的差不大于0，用不等式表示为 a﹣8≤0 ．
【答案】a﹣8≤0
【解答】解：由题意，用不等式表示为a﹣8≤0，
故答案为：a﹣8≤0．
41．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如右表：
现在用这两种原料10千克配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x千克应满足的不等式 600x+100（10﹣x）≥4200 ．
【答案】600x+100（10﹣x）≥4200
【解答】解：设所需甲种原料的质量x千克，由题意得：
600x+100（10﹣x）≥4200，
故答案为：600x+100（10﹣x）≥4200．
▉题型5 一元一次不等式的应用
【知识点的认识】
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
42．“吕梁木枣”是山西省的主栽品种、栽培历史已有1300多年，“吕梁木枣”自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一．“家家利”超市购进一批“吕梁木枣”，一箱的进价为18元，标价为21元，在端午节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 9 折．
【答案】9．
【解答】解：设打x折，
由题意可得：21×x10−18≥18×5%，
解得x≥9，
∴至多可以打9折，
故答案为：9．
43．“沙金红杏”是享誉三晋、名扬海外的珍稀果品，被称为山西三大名杏之首．现有A，B两个品种的“沙金红杏”，A品种的进价为12元/千克，B品种的进价为9元/千克，杜师傅计划采购这两个品种的“沙金红杏”共50千克，且总费用不超过540元，那么最多能采购A品种“沙金红杏” 30 千克．
【答案】30．
【解答】解：设采购A品种“沙金红杏”x千克，则采购B品种“沙金红杏”（50﹣x）千克，
由题意得，12x+9（50﹣x）≤540，
解得x≤30，
∴x的最大值为30，
∴最多能采购A品种“沙金红杏”30千克，
故答案为：30．
44．黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 九 折．
【答案】九．
【解答】解：设打x折销售，
由题意可得：21×x10−18≥18×5%，
x≥9，
答：至多打九折，
故：答案为：九．
45．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：2x+y=24x=3y，
解得：x=0.6 y=0.8，
答：1个A部件的质量为0.6吨，1个B部件的质量为0.8吨；
（2）设该货车一次可运输m套这种设备，
根据题意得：（0.6+0.8×3）•m+6≤49，
解得：m≤1413，
∵m为正整数，
∴m的最大值为14，
答：该货车一次最多可运输14套这种设备．
46．根据以下素材，完成任务．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务1：设A种娃娃销售单价为x元，B种娃娃销售单价为y元，
根据题意列方程组得5x+4y=2503x+3y=165，
解得x=30y=25，
即A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元，
答：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元；
任务2：由题意得，若在线下凭会员卡购买，共需要30×0.8m+25×0.8（18﹣m）+50＝（4m+410）元，
若在线上淘宝店购买，共需要30×0.9m+25×0.9（18﹣m）＝（4.5m+405）元，
故答案为：（4m+410）；（4.5m+405）；
任务3：由题意得，4m+410＜4.5m+405，
∴m＞10，
∴当10＜m＜18，即购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算．
47．文具批发商城有甲、乙两种文具．已知甲文具的批发单价比乙文具的批发单价少10元；8件甲文具的总价正好和7件乙文具的总价相等．
（1）求甲、乙两文具的批发单价各是多少？
（2）学校商店计划从该批发部购进以上两种文具．若所用资金为590元，且购进甲文具不超过5件，则该店购进乙文具至少多少件？
【答案】（1）甲文具的批发单价是70元/件，乙文具的批发单价是80元/件；
（2）该店购进乙文具至少3件．
【解答】解：（1）设甲文具的批发单价是x元/件，则乙文具的批发单价是（x+10）元/件，
根据题意得：8x＝7（x+10），
解得：x＝70，
∴x+10＝70+10＝80（元）．
答：甲文具的批发单价是70元/件，乙文具的批发单价是80元/件；
（2）设该店购进m件乙文具，则购进590−80m70件甲文具，
根据题意得：590−80m70≤5，
解得：m≥3，
又∵m，590−80m70均为正整数，
∴m的最小值为3．
答：该店购进乙文具至少3件．
48．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费．
（1）若小明想要购买的物品价值为250元，则他到哪个商场购物花费更少？
（2）顾客到哪家商场购物花费少？并结合你的分析给出一个合理化的购物方案．
【答案】（1）他到乙商场购物花费更少；
（2）当0＜x≤100及x＝300时，到两家商场购物所需费用相同；当100＜x≤200时，到乙商场购物花费少；当x＞300时，到甲商场购物花费少．
【解答】解：（1）根据题意得：到甲商场购物所需费用为200+（250﹣200）×80%＝240（元）；
到乙商场购物所需费用为100+（250﹣100）×90%＝235（元），
∵240＞235，
∴他到乙商场购物花费更少；
（2）设顾客所购物品的原价为x元，
当0＜x≤100时，到甲商场购物所需费用为x元，到乙商场购物所需费用为x元，
∵x＝x，
∴当0＜x≤100时，到两家商场购物所需费用相同；
当100＜x≤200时，到甲商场购物所需费用为x元，到乙商场购物所需费用为100+（x﹣100）×90%＝（0.9x+10）元，
显然x＞0.9x+10，
∴当100＜x≤200时，到乙商场购物花费少；
当x＞200时，到甲商场购物所需费用为200+（x﹣200）×80%＝（0.8x+40）元，到乙商场购物所需费用为100+（x﹣100）×90%＝（0.9x+10）元，
若0.8x+40＞0.9x+10，则x＜300，
∴当200＜x＜300时，到乙商场购物花费少；
若0.8x+40＝0.9x+10，则x＝300，
∴当x＝300时，到两家商场购物所需费用相同；
若0.8x+40＜0.9x+10，则x＞300，
∴当x＞300时，到甲商场购物花费少．
答：当0＜x≤100及x＝300时，到两家商场购物所需费用相同；当100＜x≤200时，到乙商场购物花费少；当x＞300时，到甲商场购物花费少．
49．学校决定购买A，B两种型号小音箱，若购买A型小音箱3台，B型小音箱6台共需480元，若购买A型小音箱2台，B型小音箱3台共需270元．
（1）求A，B两种型号小音箱每台多少元？
（2）若用不超过1700元去购买A，B两种型号小音箱共32台，则最多可购买A型小音箱多少台？
【答案】（1）每台A型小音箱60元，每台B型小音箱50元；
（2）最多可购买A型小音箱10台．
【解答】解：（1）设每台A型小音箱x元，每台B型小音箱y元，
根据题意得：3x+6y=4802x+3y=270，
解得：x=60y=50．
答：每台A型小音箱60元，每台B型小音箱50元；
（2）设购买A型小音箱m台，则购买B型小音箱（32﹣m）台，
根据题意得：60m+50（32﹣m）≤1700，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：最多可购买A型小音箱10台．
50．某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息．
信息1：
信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带．
请根据以上信息，完成以下任务．
任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人．
任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案．
【答案】任务1：此次活动中老师有6人，学生有230人；任务2：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少．
【解答】解：任务1：设此次活动中老师有x人，
由题意，得35x+20＝46（x﹣1），
整理得，11x＝66，
解得x＝6．
学生人数为：35×6+20＝210+20＝230（人）
答：此次活动中老师有6人，学生有230人；
任务2：设租用m辆30座客车，则租用（6﹣m）辆45座客车，租金为w元．
根据题意，得30m+45（6﹣m）≥230+6，
整理得，15m≤34，
解得m≤3415，
w＝300m+400（6﹣m）＝﹣100m+2400
∵k＝﹣100＜0
∴w随m的增大而减小
当m＝2，6﹣m＝4时，w有最小值．
答：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少．
51．为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．）
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
【答案】（1）每本文学名著25元，每本人物传记20元；
（2）人物传记至多买33本．
【解答】解：（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元，
根据题意得：30x+20y=115020x−20y=100，
解得：x=25y=20．
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元；
（2）设人物传记买m本，则文学名著买（m+20）本，
根据题意得：25（m+20）+20m≤2000，
解得：m≤1003，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为33．
答：人物传记至多买33本．
52．“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元，
（1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？
（2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，最多可购买多少本《论语》？
【答案】（1）购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元；
（2）40．
【解答】解：（1）设购买《论语》的单价是x元，则购买《孟子》的单价是y元，依题意得：
3x+2y=1705x+3y=275，
解得x=40y=25，
答：购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元；
（2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》（50﹣m）本，依题意得：
40×0.8 m+（25﹣4）（50﹣m）≤1500，
解得m≤401011．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为40，
∴最多可购买40本《论语》．
53．“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，积极开展“书香少年、书香班级”评选活动，现决定购买《把自己作为方法》和《夜晚的潜水艇》两种书共90本，已知购买1本《把自己作为方法》和1本《夜晚的潜水艇》共需117元；购买2本《把自己作为方法》和5本《夜晚的潜水艇》共需390元．
（1）《把自己作为方法》和《夜晚的潜水艇》的单价分别为多少元？
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过5200元，则该校最多可以购买《把自己作为方法》多少本？
【答案】（1）《把自己作为方法》的单价是65元，《夜晚的潜水艇》的单价是52元；
（2）该校最多可以购买《把自己作为方法》40本．
【解答】解：（1）设《把自己作为方法》的单价为x元，《夜晚的潜水艇》的单价为y元．
根据题意，得x+y=1172x+5y=390，
解得x=65y=52，
答：《把自己作为方法》的单价是65元，《夜晚的潜水艇》的单价是52元；
（2）设该校购买《把自己作为方法》m本，则购买《夜晚的潜水艇》（90﹣m）本．
根据题意，得65 m+52（90﹣m）≤5200，
解得m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买《把自己作为方法》40本．
54．综合与实践：
【问题情境】
2024年3月4日，“定山西•向未来”城市智趣跑活动在山西太原开幕．本次活动，激扬全民运动热情．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品．
素材1：某商店在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元．
素材2：该商店开展促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【解决问题】
（1）该商店在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？
【拓展提升】
（2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店成为会员购买，共需要 （1.6m+291） 元；若在线上淘宝店购买，共需要 （1.8m+288） 元．（均用含m的代数式表示）
【综合应用】
（3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【答案】[解决问题]该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元；
[拓展提升]（1.6m+291），（1.8m+288）；
[综合应用]当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
【解答】解：[解决问题]（1）设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元，
根据题意得：15x+10y=23025x+25y=450，
解得x=10y=8．
答：该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元；
[拓展提升]（2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）；
在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）．
故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）；
[综合应用]（3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得m＞15，
又∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40．
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
55．植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．
（1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量．
（2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？
【答案】（1）参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵；
（2）至少需要购买80棵甲种树苗．
【解答】解：（1）参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，
由题意得：4x=y−706x=y+30，
解得：x=50y=270，
答：参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵；
（2）设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买（270﹣m）棵乙种树苗，
由题意得：3m+4（270﹣m）≤1000，
解得：m≥80，
又∵m 是正整数，
∴m的最小值为80，
答：至少需要购买80棵甲种树苗．题型1 一元一次不等式的定义
题型2 解一元一次不等式
题型3 一元一次不等式的整数解
题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式
题型5 一元一次不等式的应用

解：去分母，得x+4＜2（2x+1）﹣6，第一步
去括号，得x+4＜4x+1﹣6，第二步
移项，得x﹣4x＜1﹣6﹣4，第三步
合并同类项，得﹣3x＜﹣9，第四步
两边都除以﹣3，得x＞3．第五步
整体思想解二元一次方程组
解方程组：2x+y=7x+2y=8，
解：2x+y=7①x+2y=8②，
13×(①+②)得x+y＝▇，①﹣②得x﹣y＝▲，
则x+y=▇x−y=▲，解得x=2y=3．
评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“x+y”和“x﹣y”的值，再求解x和y的值．
练习：解方程组：2023x+2025y=20202025x+2023y=2028．
原 料
甲种原料
乙种原料
维生素C含量（单位/千克）
600
100
背景
我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．
素材1
某商店在无促销活动时，若买5个A种娃娃、4个B种娃娃，共需250元；若买3个A种娃娃、3个B种娃娃，共需165元．
素材2
该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；
该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1
该商店在无促销活动时，求A种娃娃和B种娃娃的销售单价各是多少元？
任务2
小明计划在促销期间购买A、B两种娃娃共18个，其中A款盲盒m个（0＜m＜18），若在线下凭会员卡购买，共需要 （4m+410） 元；若在线上淘宝店购买，共需要 （4.5m+405） 元．（均用含m的代数式表示）
任务3
请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？
车型
座位数（人/辆）
租金（元/辆）
30座客车
30
300
45座客车
45
400