【期末冲刺】第16章 相交线与平行线 培优讲义(新题速达)2026年沪教版数学七年级下册

这是一份【期末冲刺】第16章 相交线与平行线 培优讲义(新题速达)2026年沪教版数学七年级下册，共4页。学案主要包含了作业10，作业11，作业12，作业13，作业14等内容，欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
理解 对顶角、邻补角的概念及性质，掌握垂线、垂线段、点到直线距离的定义。
熟练 识别同位角、内错角、同旁内角，能运用平行线的判定与性质进行角度计算与推理。
学会 添加辅助线（过拐点作平行线）解决复杂角度问题，掌握“猪蹄”模型及其变式。
理解 命题的概念，能判断真假命题，会写出逆命题，会用反例证明假命题。
体会 数形结合、转化思想、分类讨论在几何问题中的运用。
✨ 核心：三线八角识别 · 平行线辅助线 · 命题真伪判断。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 相交线
对顶角： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。性质：对顶角相等。
邻补角： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线。性质：邻补角互补。
垂线： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
垂线段最短： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
角平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。角平分线上的点到角的两边距离相等。
新定义（如“完美交线”）： 两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线。需分类讨论求解。
☆ 平行线
三线八角： 两条直线被第三条直线所截，形成八个角。
同位角（F型）： 在截线的同旁，被截两直线的同一方。
内错角（Z型）： 在截线的两旁，被截两直线之间。
同旁内角（U型）： 在截线的同旁，被截两直线之间。
平行线的判定：
同位角相等 ⇔ 两直线平行。
内错角相等 ⇔ 两直线平行。
同旁内角互补 ⇔ 两直线平行。
平行于同一直线的两直线平行。
平行线的性质：
两直线平行 ⇔ 同位角相等。
两直线平行 ⇔ 内错角相等。
两直线平行 ⇔ 同旁内角互补。
平行公理及推论： 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一直线的两直线平行。
常见辅助线： 遇平行线间转折角，常过转折点作平行线（“猪蹄”模型），将角度转化到同一组平行线中。
角平分线与平行线综合： 由角平分线+平行线可推出等腰三角形，或利用角平分线定义及平行线性质求角度。
翻折（折叠）与平行： 折痕是角平分线，折叠前后对应角相等，结合平行线可求角。
☆ 命题与证明
命题： 判断一件事情的语句。通常由“题设”和“结论”两部分组成。
真命题与假命题： 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。
逆命题： 交换原命题的题设和结论得到的命题。原命题为真，逆命题不一定为真。
证明： 根据已知条件，通过逻辑推理，得出结论的过程。
☑ 知识总结表
核心考点 ·3大考点精讲
【模块一】相交线（对应第1-11题）
※ 方法总结
对顶角识别：有公共顶点，两边互为反向延长线（题1）。
点到直线距离：垂线段最短，距离小于任意斜线段（题2、3、6）。
新定义“完美交线”：分两种情况（夹角60°可能在∠AOC或∠BOC），结合垂直求角度（题4）。
折叠旋转与矩形：利用全等、勾股、含30°直角三角形求边长（题5）。
对顶角、角平分线、邻补角综合：利用对顶角相等、角平分线定义、邻补角互补求角度（题7-10）。
分类讨论：点E,F在直线同侧或异侧，利用余角、平角、角平分线推导角度关系（题11）。
1．（2026春•普陀区期中）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
2．（2026春•浦东新区期中）如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故点P到直线l的距离小于3．
【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，且垂线段最短，
∴P到直线l的距离小于3，
∴点P到直线l的距离可能是2．
故选：A．
【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
3．（2026春•思明区校级期中）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．BC可能为1.95mB．BC可能为1.8m
C．AB可能为1.85mD．AB可能为1.95m
【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可．
【解答】解：∵该女生获得满分但未加分，
∴1.85m≤BC＜1.95m，
∵AB＞BC，
∴AB可能为1.95m，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．
4．（2026春•上海校级期中）新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为 30°或150° ．
【分析】根据题意分两种情况讨论，画出图形，分别根据垂直的定义、角的和与差计算即可．
【解答】解：如图1，
∵直线AB，CD互为完美交线，
∴∠BOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠EOC＝90°﹣60°＝30°；
如图2，
∵直线AB，CD互为完美交线，
∴∠AOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EOC＝90°+60°＝150°，
∴∠EOC的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了垂直定义和邻补角定义，解题的关键是要注意分类讨论思想的应用．
5．（2026春•徐汇区校级期中）如图，直尺ABCD直立在水平桌面GE上，点B不动，转动直尺，使其一顶点靠在竖直墙壁EF上．观测发现，点D、C、D′在同一直线上，顶点A到墙壁EF的距离为20cm，∠C'BE＝30°，则直尺长AD为 83 cm．
【分析】连接BD′，由矩形的性质和旋转的性质可得，∠BCD′＝∠BC′D′＝90°，∠CBC′＝60°，BC＝BC′，从而证明Rt△BCD′≌Rt△BC′D′（HL），因此∠CBD′=∠C′BD′=12∠CBC′=30°．根据含30°的直角三角形的性质可得，BC′=3C′D′，BE=32BC′，则BE=32C′D′=32AB，结合AE＝20可计算出AB＝8，因此AD=3AB=83．
【解答】解：如图，连接BD′，
由条件可知∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠CBC′＝180°﹣∠ABC﹣∠C′BE＝60°，
∵点D、C、D′在同一直线上，
∴∠BCD′＝180°﹣∠BCD＝90°，
由旋转的性质可得，BC′＝BC，CD＝C′D′，∠BC′D′＝∠BCD＝90°，
在Rt△BCD′和Rt△BC′D′中，
BC=BC′BD′=BD′，
∴Rt△BCD′≌Rt△BC′D′（HL），
∴∠CBD′=∠C′BD′=12∠CBC′=30°，
在Rt△BC′D′中，∠C′BD′＝30°，
∴BD′＝2C′D′，
由勾股定理可得BC′=BD′2−C′D′2=3C′D′，
∴C′E=12BC′，
由勾股定理可得BE=BC′2−C′E2=32BC′，
∴BE=32C′D′=32CD=32AB，
∵AE＝AB+BE＝20cm，
∴AB+32AB=20，
解得AB＝8cm，
∴C′D′＝AB＝8cm，
∴BC′=3C′D′=83cm，
∵BC′＝BC，BC＝AD，
∴AD=83cm．
故答案为：83．
【点评】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2026春•上海期中）如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段CE 的长度．
【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可．
【解答】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E，
∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度．
故答案为：CE．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度．
7．（2026春•闵行区期中）如图，直线AB与CD相交于一点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝60°，则∠COE＝ 150 度．
【分析】先根据对顶角相等求出∠BOD，然后根据角平分线的定义求出∠DOE，然后利用邻补角求解即可．
【解答】解：∵直线AB与CD相交于一点O，∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=30°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150．
【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角以及对顶角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义以及对顶角相等这一性质．
8．（2025春•闵行区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得解；
（2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠COA＝40°，
∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，
设∠AOC＝x，则∠COE=32x，
∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，
∴x+32x+90°＝180°，
解得：x＝36°，
∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，
∴2∠DOF+36°＝180°，
解得：∠DOF＝72°．
【点评】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键．
9．（2025秋•徐汇区校级期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；
（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为 77° ．
【分析】（1）求解∠AOC＝∠BOC＝90°，∠AOE=25×90°=36°，∠COE=35×90°=54°，结合角平分线的定义进一步求解即可；
（2）设∠AOC＝x°，可得∠AOE=25∠AOC=25x°，∠COE=35∠AOC=35x°，∠BOF=∠EOF=12∠BOE，∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，进一步列方程求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠AOE：∠COE＝2：3，
∴∠AOE=25×90°=36°，∠COE=35×90°=54°，
∴∠BOE＝90°+54°＝144°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF=12∠BOE=72°．
（2）设∠AOC＝x°，则∠AOE=25∠AOC=25x°，∠COE=35∠AOC=35x°，∠BOF=∠EOF=12∠BOE，
∵∠BOF＝∠AOC+12°，
∴∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴2(x+12)+25x=180，
解得：x＝65，
∴∠AOE=25×65°=26°，
∴∠BOE＝180°﹣26°＝154°，
∴∠BOF=12×154°=77°．
【点评】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2026春•青浦区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°．
（1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可；
（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°，
∴∠BOC＝2∠BOE＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，又∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣40°＝50°；
（2）∵∠BOD：∠BOE＝1：2，OE平分∠BOC，
∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°，
∴∠BOD＝36°，
∴∠AOC＝36°，
又∵∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣36°＝54°．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．
11．（2025春•虹口区校级月考）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
【模块二】平行线（对应第12-31题）
※ 方法总结
三线八角识别：根据截线和被截线位置判断同位角、内错角、同旁内角（题12）。
平行线求角度：利用内错角、同位角相等，同旁内角互补，结合三角板已知角计算（题13-15、25-27）。
多组平行线综合：作辅助平行线，利用平行线的传递性，将角度转化（题16-18、22-24）。
翻折（折叠）与平行：折痕为角平分线，折叠前后对应角相等，结合平行线求角度（题20、练习2、作业9）。
“猪蹄”模型（过拐点作平行线）：证明∠EPF＝∠AEP+∠CFP 或 ∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°（题30）。
角平分线与平行线综合：由角平分线+平行线可得等腰或等角，进而证明垂直或平行（题21、22、28、29）。
利用平行线性质推导角度和（题31、练习1、练习3）。
光的反射：入射角等于反射角，转化为角度相等，结合平行线求角（题17、19）。
平行线间距离：通过中心偏离原理求最远延伸长度（作业7）。
12．（2026春•普陀区期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠3是直线AB、FC被直线DE所截得的内错角
B．∠1与∠4是直线AB、FC被直线DE所截得的同位角
C．∠1与∠2是直线AB、FC被直线DE所截得的同旁内角
D．∠B与∠C是直线AB、FC被直线BC所截得的同旁内角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项可得：
A、∵∠1与∠3在直线AB，FC之间，且在直线DE两侧，∴∠1与∠3是内错角，原说法正确，不符合题意；
B、∵∠1在直线DE上方，∠4在直线DE下方，
∴∠1与∠4不是同位角，原说法不正确，符合题意；
C、∵∠1与∠2在直线AB，FC之间，且在直线DE同旁，
∴∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
D、∵∠B与∠C在直线AB，FC之间，且在直线BC同旁，
∴∠B与∠C是同旁内角，原说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同位角，内错角，同旁内角，正确记忆相关知识点是解题关键．
13．（2026春•上海期中）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD，若∠CDB＝∠ACD＝70°，则∠EAC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】根据AB∥CD和∠CDB、∠ACD的度数分别求出∠ABD和∠CAB的度数，然后根据AE∥BD求出∠BAE，进而求出∠EAC，即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，∠CDB+∠ABD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠CDB＝∠ACD＝70°，
∴∠ABD＝110°，∠CAB＝110°，
∵AE∥BD，
∴∠BAE+∠ABD＝180°，
∴∠BAE＝70°，
∴∠EAC＝∠CAB﹣∠BAE＝110°﹣70°＝40°．
所以∠EAC的度数为40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
14．（2026春•浦东新区校级月考）将三角板ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠2＝25°，则∠1的度数是（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
【分析】由角的和差即可求出∠3，再利用平行线的性质可求出∠3＝∠1即可．
【解答】解：∵∠CAB＝60°，∠2＝25°，
∴∠3＝35°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝35°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质与判定，关键是利用平行线的性质得出内错角相等解答．
15．（2026春•徐汇区校级期中）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE﹣EF”组成．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．∠BAE+∠AEF＝180°
B．∠BAE+∠AEF＝270°
C．∠BAE+∠AEF＝360°
D．∠BAE+∠AEF的度数无法确定
【分析】根据平行线的性质对所给选项进行判断即可．
【解答】解：过点A作EF的平行线AM，
∵EF∥BD，EF∥AM，
∴AM∥BD，∠AEF+∠EAM＝180°，
∴∠MAB+∠B＝180°．
∵∠B＝90°，
∴∠MAB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝∠BAM+∠EAM+∠AEF＝90°+180°＝270°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
16．（2026春•嘉定区期中）如图，下列说法正确的有（ ）个．
（1）若∠1＝∠2，则DB∥EG；
（2）若∠1＝80°，∠A＝55°，则∠DBA＝45°；
（3）∠A和∠F是内错角；
（4）若DB∥EG，则∠A+∠DBA+∠2＝180°．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行线的判定与性质对所给说法依次进行判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠DHF，∠1＝∠2，
∴∠DHF＝∠2，
∴DB∥EG．
故①正确；
∵∠1＝80°，∠A＝55°，
∴∠DBA＝180°﹣80°﹣55°＝45°．
故②正确；
∵∠A和∠F是直线DF和AC被直线AF所截得的一对内错角，
故③正确；
∵DB∥EG，
∴∠2＝∠DHG．
∵∠1＝∠DHG，
∴∠2＝∠1．
又∵∠A+∠DBA+∠1＝180°，
∴∠A+∠DBA+∠2＝180°．
故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及同位角、内错角、同旁内角，熟知平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
17．（2026春•杨浦区校级期中）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝48°，则∠2的度数为（ ）
A．52°B．54°C．48°D．42°
【分析】由平角的定义求出∠MAB＝88°，由平行线的性质推出∠ABN+∠MAB＝180°，求出∠ABN＝92°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3＝48°，
∴∠MAB＝180°﹣48°﹣48°＝84°，
∵a∥b，
∴∠ABN+∠MAB＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣84°＝96°，
∵∠2＝∠4，
∴∠2=12×(180°−96°)=42°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
18．（2026春•闵行区校级月考）已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H是直线AB与CD外一点，连接HE、HF．若∠EHF＝120°，∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，点P、H、Q在同一直线上，若∠Q﹣∠P＝50°，则n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝nα，∠CFH＝nβ，过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB，则AB∥CD∥PK∥HL∥QR，则∠KPQ＝∠RQP，∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α，∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β，因此∠PQF﹣∠EPQ＝（n﹣1）（β﹣α），而由AB∥HL∥CD，得∠EHL+∠LHF＝120°，因此∠BEH+∠HFD＝120°，代入得nα+180°﹣nβ＝120°，化简得β−α=60°n，故n（∠Q﹣∠P）＝（n﹣1）60°，根据∠Q﹣∠P＝50°，列式计算即可求解．
【解答】解：过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PK∥HL∥QR（平行于同一直线的两直线相互平行），
∵∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ
设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝nα，∠CFH＝nβ，
∵PK∥QR，
∴∠KPQ＝∠RQP（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥PK，
∴∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α（两直线平行，内错角相等），
∵QR∥CD，
∴∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β（两直线平行，内错角相等），
∵∠PQF＝∠RQP+∠RQF，∠EPQ＝∠EPK+∠QPK，
∴∠PQF﹣∠EPQ＝∠RQF﹣∠EPK＝（n﹣1）（β﹣α），
∵AB∥HL∥CD，
∴∠EHL＝∠BEH，∠LHF＝∠HFD，
∵∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝120°，
∴∠BEH+∠HFD＝120°，
即nα+180°﹣nβ＝120°，
∴β−α=60°n，
∴∠PQF−∠EPQ=(n−1)60°n，即n（∠Q﹣∠P）＝（n﹣1）60°．
∵∠Q﹣∠P＝50°，
∴50°n＝（n﹣1）60°，
解得n＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
19．（2026春•上海期中）有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，PQ为直径，一单色光线AP从点P射入，折射光线PB从点B射出，出射光线BC∥PQ．若AP与QP延长线的夹角∠APD＝74°，则入射光线AP所在直线与出射光线BC所在直线相交形成的∠BEP的度数为 106° ．
【分析】首先根据对顶角的性质可得∠EPQ＝∠APD＝74°，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案．
【解答】解：∵∠APD＝74°，
∴∠EPQ＝∠APD＝74°（对顶角相等），
∵BC∥PQ，
∴∠BEP＝180°﹣∠EPQ＝180°﹣74°＝106°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：106°．
【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
20．（2026春•徐汇区校级期中）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝36°，∠A＝96°，点D是边AB上的定点(BD＜12AB)．在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与边AC平行时，∠BDE的度数为 120° ．
【分析】利用平行线的性质及三角形内角和即可求解．
【解答】解：∵EF∥AC，∴∠BEF＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣96°﹣36°＝48°，
∵∠BED=12∠BEF＝24°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣36°﹣24°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键．
21．（2026春•上海校级期中）如图，已知AB∥MN，点C在AB上，点D，E在MN上，连接CD，CE，∠DCE＝∠CDE，EF⊥CD，EG∥CD，CG平分∠BCE．给出下列结论：①EG平分∠CEN；②∠BCG＝∠DEF；③∠G＝90°；④∠CDM﹣∠CEF＝90°．上述结论中，正确的是 ①②③④ ．
【分析】根据平行线的性质，对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
∵AB∥MN，
∴∠ACD＝∠CDE．
∵∠DCE＝∠CDE，
∴∠ACD＝∠DCE．
∵CG平分∠BCE，
∴∠BCG＝∠ECG，
∴∠DCE+∠ECG=12×180°＝90°，
即∠FCG＝90°．
∵EG∥CD，
∴∠G+∠FCG＝180°，
∴∠G＝90°．
故③正确；
又∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴∠FEG＝90°，
∴∠CEF+∠CEG＝∠DEF+∠GEN＝90°．
∵ED＝EC，EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠DEF，
∴∠CEG＝∠GEN，
∴EG平分∠GEN，
故①正确；
∵AB∥MN，
∴∠BCE＝∠CEM，
∴2∠BCG＝2∠DEF，
∴∠BCG＝∠DEF．
故②正确；
∵∠CEF＝∠DEF，∠CDM＝90°+∠DEF，
∴∠CDM＝90°+∠CEF，
即∠CDM﹣∠CEF＝90°．
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键．
22．（2026春•杨浦区校级期中）已知：如图AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G．作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，则∠EMF＝ 45° ．
【分析】先求∠EGF的度数，然后过M作MN∥AB，得到MN∥CD，由平行线的性质推得到∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理∠EGF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线定义得到∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，即可求出∠EMF＝45°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠EFD，
∴∠GEF+∠GFE=12（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
如图，过MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠MFD，
∴∠EMN+∠FMN＝∠BEM+∠MFD，
∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD，
同理：∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
∵EM平分∠BEG，FM平分∠DFG，
∴∠BEG＝2∠BEM，∠DFG＝2∠DFM，
∴∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，
又∠EGF＝90°，
∴∠EMF=12∠EGF＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是灵活应用平行线的性质来解决问题．
23．（2026春•杨浦区校级期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连接FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK．则下列结论：①AD∥BC；②AB∥DC；③GK平分∠AGC；④∠DGH＝37°．其中正确结论为 ①②③④ ．
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；根据平行线的判定定理得到AB∥DC，故②正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故③正确；根据题意列方程得到∠FGA＝∠DGH＝37°，故④正确．
【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，
故①正确，符合题意；
∵∠EAD＝∠D，
∴AB∥DC，
故②正确，符合题意；
∴∠AGK＝∠CKG，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠AGK＝∠CGK，
∴GK平分∠AGC；
故③正确，符合题意；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°﹣∠FGA＝∠DGH+16°，
∵∠FGA＝∠DGH，
∴90°﹣2∠FGA＝16°，
∴∠FGA＝∠DGH＝37°，
故④正确，符合题意；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
24．（2026春•闵行区期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝128°，则∠COE的度数为 14 度．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：延长A′B′交CE于点M，
∵A'B∥OE，∠CEO＝90°，
∴∠CMA′＝∠CEO＝90°．
∵∠CB′A′＝128°，
∴∠B′CE＝128°﹣90°＝38°．
∵CB'平分∠OCE，
∴∠OCE＝2∠B′CE＝76°，
∴∠COE＝90°﹣76°＝14°．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
25．（2026春•浦东新区校级同步）如图，DB∥AG∥EC，∠ABD＝70°，∠ACE＝38°，AP是∠BAC的平分线，则∠BAP的度数是 54° ．
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAG与∠CAG的度数，再由角平分线的性质求出∠PAC的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵DB∥AG∥EC，∠ABD＝70°，∠ACE＝38°，
∴∠BAG＝∠ABD＝70°，∠CAG＝∠ACE＝38°，
∴∠BAC＝70°+38°＝108°．
∵AP是∠BAC的平分线，
∴∠BAP=12∠BAC=12×180°＝54°．
故答案为：54°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
26．（2026春•徐汇区校级期中）如图，一束平行主光轴EF的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线为BF，一束光线CO经过光心O，其折射光线为OD，折射光线BF与OD交于P点，点F为焦点，若∠ABF＝145°，∠COE＝30°，则∠DPF＝ 65° ．
【分析】根据平行线的性质求出∠BFE的度数，再结合光线CO经过光心O，得出∠POF＝∠COE，最后利用外角定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ABF+∠BFE＝180°．
又∵∠ABF＝145°，
∴∠BFE＝35°．
又∵光线CO经过光心O，且∠COE＝30°，
∴∠POF＝∠COE＝30°，
∴∠DPF＝∠BFE+∠POF＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
27．（2026春•上海校级期中）阅读下列文字，补全推理过程，并填写依据．
如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG、EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，试说明：AB∥CD．
解：∵∠2＝∠3（已知），
∴HK∥EG （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝ ∠AKH （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1+∠4＝180°（已知），
∴ ∠AKH +∠4＝180°（等量代换），
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，先说明HK∥EG，从而∠1＝∠AKH，再根据∠1+∠4＝180°，等量代换得∠AKH+∠4＝180°，即可说明．
【解答】解：∵∠2＝∠3，
∴HK∥EG（内错角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠AKH（两直线平行，同位角相等），
∵∠1+∠4＝180°，
∴∠AKH+∠4＝180°（等量代换），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：EG；内错角相等，两直线平行；∠AKH；两直线平行，同位角相等；∠AKH；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行性的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
28．（2026春•普陀区期中）如图，已知：AB∥CD，EF平分∠AEG，GH平分∠DGE．求证：EF∥GH．
对于这道题，某同学的证明过程如下：
（1）请找出这位同学出错的地方，并指出错误原因；
（2）请写出本题正确的证明过程．
【分析】（1）根据平行性的判定与性质解答即可；
（2）根据平行性的判定与性质解答即可
【解答】（1）解：最后一步出现错误，∠AEF与∠HGD不是一组内错角；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠DGE．
∵EF平分∠AEG，GH平分∠DGE．
∴∠GEF=12∠AEG，∠HGE=12∠DGE．
∴∠GEF＝∠HGE．
∴EF∥GH．
【点评】本题考查了平行性的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
29．（2026春•普陀区期中）如图，已知：AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：ED∥AC；
（2）如果∠BED＝70°，AD平分∠BAC，求∠BDE的度数．
【分析】（1）先证明AD∥FG，利用等角的补角相等求得∠CAD＝∠2，利用内错角相等两直线平行证明ED∥AC；
（2）利用平分线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴AD∥FG，
∴∠1+∠CAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠CAD＝∠2（同角的补角相等），
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵ED∥AC，
∴∠BAC＝∠BED＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=12∠BAC=35°，
∵ED∥AC，
∴∠2＝∠CAD＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°﹣∠2＝55°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
30．（2026春•上海期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”．
（1）阅读理解：如图1，AB∥CD，点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行线间一点，猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程：
解：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：
过点P作MN∥AB，
∴∠AEP＝∠EPN，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ），
∴∠CFP＝ ∠FPN ，
∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝∠AEP+∠CFP（等量代换），
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP．
（2）方法运用：如图2，AB∥CD，猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由．
（3）深化拓展：如图3，AB∥CD，∠AEP、∠CFP的角平分线相交于点Q．
①过点E、F作射线EG、FG交于点G，若∠AEG=13∠AEQ， ∠CFG=13∠CFQ， ∠EPF=108°，求∠G的度数；
②若∠AEG=1m∠AEQ， ∠CFG=1m∠CFQ， ∠EPF=n°，请直接写出∠G的度数 12m（360°﹣n°） ．（用含m、n的代数式表示）
【分析】（1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可；
（2）同理可得∠EPF＝∠BEP+∠DFP，由平角的定义可得∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°，则∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°；
（3）①根据（2）的结论得到∠AEP+∠CFP＝252°，再由角平分线的定义和角之间的关系得到∠AEG=16∠AEP，∠CFG=16∠CFP，则∠G＝∠AEG+∠CFG＝42°；②仿照①求解即可．
【解答】解：（1）∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：
如图，
过点P作MN∥AB，
∴∠AEP＝∠EPN（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠CFP＝∠FPN，
∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝∠AEP+∠CFP（等量代换）
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠FPN．
（2）猜想∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°，理由如下：
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵∠AEP+∠BEP＝180°，∠CFP+∠DFP＝180°，
∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°，
∴∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°；
（3）①同理可得∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°，
∵∠EPF＝108°，
∴∠AEP+∠CFP＝252°，
∵∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点Q，
∴∠AEQ=12∠AEP，∠CFQ=12∠CFP，
∵∠AEG=13∠AEQ，∠CFG=13∠CFQ，
∴∠AEG=16∠AEP，∠CFG=16∠CFP，
∴∠AEG+∠CFG=16（∠AEP+∠CFP）=16×252°＝42°，
∴∠G＝∠AEG+∠CFG＝42°；
②如图
∵∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°，∠EPF＝n°，
∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣n°，
∵∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点Q，
∴∠AEQ=12∠AEP，∠CFQ=12∠CFP，
∵∠AEG=1m∠AEQ， ∠CFG=1m∠CFQ， ∠EPF=n°，
∴∠AEG=12m∠AEP，∠CFG=12m∠CFP，
∴若∠AEG=1m∠AEQ， ∠CFG=1m∠CFQ， ∠EPF=n°，
则∠G＝∠AEG+∠CFG=12m（∠AEP+∠CFP）=12m（360°﹣n°）．
故答案为：12m（360°﹣n°）．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
31．（2026春•松江区期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC．
∴∠B＝∠EAB，∠C＝ ∠DAC ．
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC ＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°（提示：过点C作CF∥AB）．
深化拓展：
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°．BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝50°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝100°，则∠BED的度数为 160 °．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=12∠ABC＝50°，∠CDE=12∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
【解答】解：（1）如图1，过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（2）如图2，过C作CF∥AB
，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE=12∠ABC＝25°，∠CDE=12∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE=12∠ABC＝50°，∠CDE=12∠ADC＝30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线．
【模块三】命题与证明（对应第32-40题）
※ 方法总结
命题的判断：陈述句且能判断真假才是命题（题33）。
假命题的反例：满足条件但不满足结论的例子（题32、35）。
真命题的判断：根据定义、定理、性质判断（题34）。
逆命题：交换原命题的条件和结论（题36-38）。
命题的证明：根据已知条件，利用平行线的判定与性质进行逻辑推理（题39-40）。
补充证明过程：填写推理依据，完成证明（题27、练习4、作业12）。
32．（2026春•松江区期中）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝2C．a=12D．a＝0
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念判断．
【解答】解：A、当a＝﹣2时，a＜1，而a2＞1，
说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，符合题意；
B、当a＝2时，a＞1，
不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
C、当a=12时，a＜1，而a2＜1，
不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
D、当a＝0时，a＜1，而a2＜1，
不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
33．（2026春•普陀区期中）下列语句中，是命题的是（ ）
A．画一个角等于已知角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？
C．等角的余角相等
D．延长线段AB到点D，使得BD＝AB
【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果．
【解答】解：根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义逐项分析判断如下：
A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题；
B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题；
C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题；
D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题．
故选：C．
【点评】本题考查命题的定义，熟练掌握该知识点是关键．
34．（2026春•虹口区期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①钝角大于直角；
②对顶角相等；
③同位角相等，两直线平行；
④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】逐个判断四个命题的真假，统计真命题的个数，用到钝角的定义，对顶角的性质，平行线的判定与性质等知识点．
【解答】解：根据真假命题及平行线性质、钝角、对顶角性质逐项分析判断如下：
①∵钝角是大于90°且小于180°的角，直角为90°，
∴钝角大于直角，①是真命题．
②∵对顶角相等是对顶角的性质，
∴②是真命题．
③同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理，
∴③是真命题．
④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行，
∴④是假命题．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
35．（2026春•虹口区期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝90°B．∠1＝50°，∠2＝130°
C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1+∠2＝90°
【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子．
【解答】解：根据真假命题的判定、平行线的判定与性质逐项分析判断如下：
A、∠1＝∠2＝90°，则∠1+∠2＝180°，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意；
B、∠1＝50°，∠2＝130°，则∠1+∠2＝180°，满足条件，但∠1≠∠2，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意；
C、∠1＝50°，∠2＝50°，∠1+∠2＝100°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意；
D、∠1+∠2＝90°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
36．（2026春•上海期中）“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是 真 （填“真”或“假”）命题．
【分析】交换原命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是对顶角相等，正确，是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
37．（2026春•黄浦区期中）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题 如果两个角相等，那么它们是对顶角 ．
【分析】逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的．
【解答】解：交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
【点评】该题考查了逆命题，熟练掌握该知识点是关键．
38．（2026春•上海期中）将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】直接写成“如果，那么”的形式即可．
【解答】解：将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
39．（2026春•中山市校级期中）如图，有三个论断：
①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD．
（1）如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题；
（2）若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．
【分析】（1）根据题意写出命题，再判定其真假；
（2）先说明CE∥FB，进而得证．
【解答】解：（1）若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，此命题为真命题；
（2）∵∠1＝∠2，∠1＝∠CGH，
∴∠2＝∠CGH，
∴CE∥FB，
∴∠C＝∠HFD，
∵∠B＝∠C，
∴∠HFD＝∠B，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查命题与定理平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
40．（2026春•七星区校级月考）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
（1）已知：如图，EF分别交AB，CD于G，H，EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD ，GI∥HJ，求证AB∥CD ．
（2）证明：
（3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可；
（2）根据平行线的性质和判定证明即可；
（3）写出已知和求证，然后证明即可．
【解答】解：（1）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
如图，EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ．求证：AB∥CD．
故答案为：EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD；AB∥CD；
（2）证明：∵GI平分∠AGH，
∴∠AGH＝2∠IGH，
∵HJ平分∠GHD，
∴∠DHG＝2∠JHG，
∵GI∥HJ，
∴∠IGH＝∠JHG，
∴∠AGH＝∠DHG，
∴AB∥CD；
（3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题，
已知：AB∥CD，被EF所截，GN平分∠AGH，HM平分∠CHG，求证：GN⊥MH；
如图所示，
∵AB∥CD，被EF所截，GN平分∠AGH，HM平分∠CHG，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∠AGN=∠NGH=12∠AGH，∠CHM=∠MHG=12∠CHG，则：∠NGH+∠MHG=12∠AGH+12∠CHG=12(∠AGH+∠CHG)=12×180°=90°，
∴GN⊥MH．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 平行线求角度：利用内错角、同位角相等，角的和差计算。
练习2 — 长方形纸带折叠：利用平行线内错角相等、折叠角相等，求角度。
练习3 — 多组平行线综合：过拐点作平行线，利用内错角、同旁内角互补求角度。
练习4 — 补充证明过程：填写平行线判定与性质的理由，完成推理。
练习5 — 平行线判定与性质综合：通过等角转化证明AB∥CD。
⭐ 复习重点：平行线辅助线 · 角度转化 · 命题推理。
【练习1】（2026春•上海校级期中）如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝96°，∠DCE＝62°，则∠E的度数 34° ．
【分析】由平行线的性质可得∠FCD＝∠FAB＝96°，则∠FCE＝34°，再由平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FAB＝96°，
∴∠FCD＝∠FAB＝96°，
∴∠FCE＝∠FCD﹣∠DCE＝96°﹣62°＝34°，
∵AC∥DE，
∴∠E＝∠FCE＝34°（两直线平行，内错角相等），
∴∠E的度数为34°，
故答案为：34°．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
【练习2】（2026春•普陀区期中）如图，长方形纸带ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AD、BC上，将纸带沿EF折叠，点C、D两点分别与点C'、D'对应．如果∠EFB＝72°，那么∠AED′＝ 36 °．
【分析】根据平行线的性质求出∠DEF 的度数，再根据折叠的性质得出∠D′EF＝∠DEF＝72°，最后利用平角的定义计算∠AED′的度数．
【解答】解：∵四边形 ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
∵∠EFB＝72°，
∴∠DEF＝72°，
由折叠的性质可知，∠D′EF＝∠DEF＝72°，
∴∠D′ED＝∠D′EF+∠DEF＝72°+72°＝144°，
∵∠AED′+∠D′ED＝180°，
∴∠AED′＝180﹣144°＝36°
故答案为：36．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
【练习3】（2026春•杨浦区校级期中）2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中∠BAE＝110°，∠BCD＝140°，∠ABC＝3∠CBF，若AE∥CD，则∠ABF＝ 100 度．
【分析】过点B作TH∥CD，结合平行线的性质得∠TBA＝∠BAE，∠BCD+∠CBT＝180°，代入数值得∠TBA＝110°，∠CBT＝40°，再运算角的和差以及根据∠ABC＝3∠CBF列式计算，即可作答．
【解答】解：过点B作TH∥CD，如图2所示：
∵AE∥CD，TH∥CD，
∴TH∥CD∥AE，
∴∠TBA＝∠BAE（两直线平行，内错角相等），∠BCD+∠CBT＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAE＝110°，∠BCD＝140°，
∴∠TBA＝110°，∠CBT＝40°，
∴∠ABC＝40°+110°＝150°，
∵∠ABC＝3∠CBF，
∴∠CBF＝50°，
∴∠ABF＝150°﹣50°＝100°，
故答案为：100．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
【练习4】（2026春•杨浦区期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，DB、EC分别交AF于点G、H，∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：∠AGB＝∠EHF．
证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠D＝∠DBA（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠D＝∠C，
∴∠C＝∠DBA．
∴BD ∥CE （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AGB＝∠AHC （ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠EHF＝∠AHC （ 对顶角相等 ），
∴∠AGB＝∠EHF．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【解答】证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠D＝∠DBA（两直线平行，内错角相等）．
∵∠D＝∠C，
∴∠C＝∠DBA．
∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AGB＝∠AHC（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠EHF＝∠AHC（对顶角相等），
∴∠AGB＝∠EHF．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；AHC；两直线平行，同位角相等；AHC；对顶角相等．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【练习5】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连接EF．分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C．证明：AB∥CD．
【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE＝∠C，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∠1＝∠AGH，
∴∠2＝∠AGH，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行，和内错角相等，两直线平行．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 利用平行线性质求角度（内错角、平角差）。
作业2 — 平行线的判定：同位角、内错角、同旁内角的转化。
作业3 — 平行线与角平分线：同位角、内错角、同旁内角的角平分线的位置关系。
作业4 — 三角板与平行线：过点作垂线构造平行，利用内错角、平角求角。
作业5 — 等腰三角形相似命题的真假判断（假命题需举反例）。
作业6 — 垂线、余角计算：由垂直得余角，求两直线夹角。
作业7 — 平行线间距离与重心原理：求积木最远延伸长度。
作业8 — 平行线传递性：由BE∥DF，AB∥CD，推同位角相等，再求补角。
作业9 — 折叠与平行：折叠得角平分线，结合平行线、三角形内角和求角。
作业10 — 平行线性质与对顶角：找出与∠CGF相等的所有角（同位角、内错角、对顶角）。
作业11 — 角平分线与垂直：设参数，利用方程思想求角。
作业12 — 补充证明过程：填写平行线判定与性质的理由。
作业13 — 过拐点作平行线证明EF∥GH，再结合角平分线、设参数求角度。
作业14 — 三角尺旋转与平行：利用平行线性质列方程求旋转角。
❤ 复习建议 相交线平行线是几何推理的基础，务必熟练掌握三线八角的识别、平行线的判定与性质。遇到折线或拐点，常通过添加平行线转化角度。命题部分要能准确写出逆命题并用反例证明假命题。
【作业1】（2026•青浦区二模）如图，AB∥CD，如果∠1＝63°，∠2＝120°，那么∠3的度数为（ ）
A．47°B．57°C．60°D．63°
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝63°，
∴∠ACD＝∠1＝63°．
又∵∠2＝120°，
∴∠3＝∠2﹣∠1＝120°﹣63°＝57°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
【作业2】（2026春•杨浦区期中）如图，直线a、b被直线c所截，由下列条件能推出a∥b的是（ ）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5+∠8＝180°．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
故①符合题意；
∵∠3＝∠6，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故②符合题意；
∵∠2＝∠8，∠1＝∠8，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
故③符合题意；
∵∠5+∠8＝180°，∠6+∠8＝180°，
∴∠5＝∠6，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
故④符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【作业3】（2026春•黄浦区期中）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（ ）
A．截得的一对同旁内角相等
B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行
C．截得的一对内错角的角平分线互相平行
D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直
【分析】根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以该选项说法错误，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成90°角，即互相垂直，所以该选项说法错误，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据平行线的性质可判断角平分线互相平行，所以该选项说法正确，符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据平行线的性质可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，所以该选项说法错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，同位角、内错角、同旁内角，关键是相关性质的熟练掌握．
【作业4】（2026春•松江区期中）如图，一副三角板放置在两条平行线l1，l2之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则∠α的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】过A作AC⊥l2于C，由平行线的性质推出AC⊥l1，判定ED∥AC，得到∠EAC＝∠DEM＝45°，求出∠BAC＝∠EAC﹣∠BAE＝15°，由直角三角形的性质得到∠ABC＝90°﹣15°＝75°，由平角定义即可求出∠α的度数．
【解答】解：过A作AC⊥l2于C，
∵l1∥l2，
∴AC⊥l1，
∵∠EDM＝90°，
∴ED⊥l1，
∴ED∥AC，
∴∠EAC＝∠DEM＝45°，
∴∠BAC＝∠EAC﹣∠BAE＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠α＝180°﹣90°﹣75°＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠EAC＝∠DEM．
【作业5】（2025秋•松江区期末）已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题
B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
【分析】根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：①两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形时，腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是假命题；
②底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【作业6】（2026春•普陀区期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥CD，如果∠BOE＝59°，那么直线AB，CD的夹角是 31 °．
【分析】根据垂线定义及余角概念解答即可．
【解答】解：根据垂线定义及余角概念可知：
OE⊥CD，∠BOE＝59°，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOE＝31°．
故答案为：31．
【点评】本题考查了垂直的定义、余角．解题的关键在于对垂直的定义的熟练理解与掌握．
【作业7】（2026春•普陀区期中）将若干块长、宽、高分别对应相等且材质均匀、质量相等的积木如图1叠起来．如图2，沿平行于积木长边的方向推动积木①而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下，将积木①推至最远．如图3保持积木②和积木①的相对位置不变，按图3手指方向推动积木①②组合，如果积木的长度为10m，那么积木①②组合最远延伸长度是多少 7.5 cm．
【分析】分别计算积木中心偏离的距离，再相加即可．
【解答】解：积木①的中心偏离积木②的中心距离为：12×10=5cm，
设积木②的中心偏离最下面的积木的中心距离为x，
则x+x+12l=12l×2，
即x=14l=14×10=2.5cm，
5+2.5＝7.5cm，即积木①②组合最远延伸长度是7.5cm，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
【作业8】（2026春•普陀区期中）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，如果∠B＝30°，那么∠CDH＝ 150 °．
【分析】先根据BE∥DF，∠B＝30°得出∠FMA＝∠B＝30°，再由AB∥CD即可得出∠CDM的度数，再由平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵BE∥DF，∠B＝30°，
∴∠FMA＝∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDM＝∠FMA＝30°，
∴∠CDH＝180°﹣∠CDM＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
【作业9】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝50°，∠CEF＝30°，那么∠A＝ 80 度．
【分析】先根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再由∠CEF＝30°求出∠DEC的度数，根据翻折变换的性质求出∠EDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠F的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵DF∥BC，∠B＝50°，
∴∠ADF＝50°．
∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴∠ADE＝∠EDF=12∠ADF=12×50°＝25°，∠A＝∠F．
∵∠CEF＝30°，
∴∠AED=180°−30°2=75°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣75°﹣25°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【作业10】（2026春•上海校级月考）如图，点E、F分别在线段AD、BC上，线段AC、EF交于点G，AB∥EF∥DC，找出图中与所有∠CGF相等的角： ∠CAB，∠DCG，∠AGE ．
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可．
【解答】解：∵AB∥EF，（已知）
∴∠CGF＝∠CAB（两直线平行，同位角相等），
∵EF∥CD，
∴∠DCG＝∠CGF（两直线平行，内错角相等），
∴∠CGF＝∠CAB＝∠DCG（等量代换），
又∵∠AGE与∠CGF是对顶角，
∴∠AGE＝∠CGF（对顶角相等），
∴图中与所有∠CGF相等的角有∠CAB，∠DCG，∠AGE．
故答案为：∠CAB，∠DCG，∠AGE．
【点评】本题考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键．
【作业11】（2026春•嘉定区期中）如图，已知EF∥GH，点A、D、B在直线EF上，点C在直线GH上，AC⊥BC，垂足为点C，CB平分∠DCH，若∠ACD：∠BCH＝7：3，则∠DAC＝ 63 ．
【分析】设∠BCH＝3x，根据比例关系表示出∠ACD，利用角平分线的定义表示出∠DCB，结合垂直定义建立方程求出 x 的值，进而求出∠BCH 的度数，最后利用平角的定义和平行线的性质求解即可．
【解答】解：设∠BCH＝3x，则∠ACD＝7x，
∵CB平分∠DCH，
∴∠BCH＝∠DCB＝3x，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∴7x+3x＝90°，
∴x＝9°，
∴∠BCH＝3×9°＝27°，
∵点 C 在直线 GH 上，
∴∠ACG＝180°﹣∠ACB﹣∠BCH＝180°﹣90°﹣27°＝63°，
∵EF∥GH，
∴∠DAC＝∠ACG＝63°．
故答案为：63°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键．
【作业12】（2026春•宝山区校级期中）将下面证明过程补充完整．
如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．
求证：∠A＝∠C．
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC．
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ 1 ＝∠ 3 ．
∵∠1＝∠2，
∴∠ 2 ＝∠ 3 ．
∴AB ∥CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠A+∠ADC ＝180°，∠C+∠ABC ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∴∠A＝∠C．
【分析】根据两直线平行的判定和性质，补齐相应的条件或结论，即可得到结果．
【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A＝∠C．
故答案为：1，3；2，3；AB，CD，内错角相等，两直线平行；ADC，ABC，两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题考查两直线平行的判定和性质的应用，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题的关键．
【作业13】（2026春•杨浦区期中）如图1，A是直线EF上一点，C是直线GH上一点，B是直线EF、GH之间的一点，且∠EAB+∠ABC+∠GCB＝360°．
（1）求证：EF∥GH；
（2）如图2，过点C作直线CD，使∠BCD＝∠BCH，且直线CD与∠FAB的平分线交于点D，若2∠B﹣∠D＝75°，求∠BAF的度数．
【分析】（1）过点B作BM∥EF，然后根据平行线的判定和性质进行推理证明；
（2）设∠BAF＝2x，∠BCH＝y，根据角平分线定义求出∠FAD=12∠BAF＝x，∠DCH＝∠BCD+∠BCH＝2y，过点D作DP∥EF，过点B作BQ∥EF，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，过点B作BM∥EF，
∴∠EAB+∠ABM＝180°，
∵∠EAB+∠ABC+∠GCB＝360°，∠ABC＝∠ABM+∠CBM，
∴∠CBM+∠GCB＝180°，
∴BM∥GH，
∴EF∥GH；
（2）解：如图2，
设∠BAF＝2x，∠BCH＝y，
∵AD平分∠FAB，
∴∠FAD=12∠BAF＝x，
∵∠BCD＝∠BCH，
∴∠DCH＝∠BCD+∠BCH＝2y，
过点D作DP∥EF，过点B作BQ∥EF，
∵EF∥GH，
∴DP∥GH∥BQ，
∴∠ADP＝∠FAD＝x，∠CDP＝∠DCH＝2y，
∴∠ADC＝∠ADP+∠CDP＝x+2y，
同理，∠ABQ＝∠FAB＝2x，∠CBQ＝∠BCH＝y，
∴∠ABC＝∠ABQ+∠CBQ＝2x+y，
∵2∠ABC﹣∠ADC＝75°，
∴2（2x+y）﹣（x+2y）＝75°，
∴x＝25°，
∴∠BAF＝50°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【作业14】（2026春•宝山区校级期中）如图（1），把一把含30°角的三角尺ABC的边BC放置于直尺DEFG的边EF上．
（1）填空：如图（1），∠1＝ 120 °，∠2＝ 90 °；
（2）如图（2），现把三角尺ABC绕点B逆时针方向旋转n°，当0＜n＜90且点C恰好落在边DG上，若∠2恰好是∠1的32倍，求n的值．
（3）按图（1）所示的方式放置三角尺ABC和直尺DEFG，现将射线BF绕点B以每秒1°的速度逆时针方向旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒2°的速度顺时针方向旋转得到射线QN．当射线QN旋转至第一次与QB重合时，射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）依据题意，根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）依据题意，根据∠2恰好是∠1的32倍列方程，计算可求解；
（3）依据题意，分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案．
【解答】解：（1）由题意，∵DG∥EF，
∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°，
∴∠1＝180°﹣60°＝120°；
故答案为：120，90；
（2）由题意，∵∠2恰好是∠1的32倍，
∴90+n=32（120﹣n），
∴n＝36．
（3）存在BM∥NQ，理由如下：
如图：则∠FBM＝t°，∠AQN＝2t°，
∵BM∥NQ，
∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM，
∴2t＝60﹣t，
∴t＝20；
如图：
∵BM∥NQ，
∴∠ABM＝∠BQN，
∴t﹣60＝180﹣2t，
∴t＝80．
综上所述，t的值为20或80．
【点评】本题主要考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．类别
核心内容
常用结论/方法
相交线
对顶角相等，邻补角互补；垂线段最短；角平分线定义
分类讨论（如完美交线）
三线八角
同位角（F）、内错角（Z）、同旁内角（U）
根据截线和被截线位置判断
平行线判定
同位角/内错角相等，同旁内角互补
常用辅助线：过拐点作平行线
平行线性质
两直线平行→同位角/内错角相等，同旁内角互补
可进行角度转化、求值
命题
真命题、假命题、逆命题、反例
反例需满足条件但不满足结论
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠DGE（两直线平行，内错角相等）．
∵EF平分∠AEG，GH平分∠DGE．
∴∠AEF=12∠AEG，∠HGD=12∠DGE．
∴∠AEF＝∠HGD．
∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）．