第15章 一元一次不等式 期中核心考点复习讲义（原卷版+解析版）-沪教版五四制初中数学七下

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【例1】如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-1】若，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如果，那么_____（填“”或“”）．
【变式1-3】当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质．
(1)∵，，
∴_____（__________）
∴_____（_________）．
(2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案）
题型二 一元一次不等式的识别与定义求参
【例2-1】下列为一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】已知是关于的一元一次不等式，则的值为________．
【变式2-1】下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】若是关于的一元一次不等式，则的值为__________．
题型三 解一元一次不等式并在数轴表示
【例3】解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【变式3-1】解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【变式3-2】解不等式，并在数轴上表示出它的解集．
【变式3-3】下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
(1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______；
(2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上．
解：
题型四 一元一次不等式的整数解
【例4-1】不等式的最大整数解是______．
【例4-2】不等式的最大整数解是______．
【变式4-1】不等式的非负整数解为______．
【变式4-2】解不等式：，并写出它的负整数解
【变式4-3】已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值．
题型五 解一元一次不等式组
【例5-1】不等式组的解集是______．
【例5-2】解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【变式5-1】解不等式组：
【变式5-2】求不等式组：的整数解．
【变式5-3】解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解．
题型六 含参数的不等式（组）
【例6-1】若不等式的解集为，则a的取值范围是__________．
【例6-2】不等式组有80个整数解，则m的取值范围为________．
【变式6-1】关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______．
【变式6-2】如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围．
【变式6-3】若关于的不等式组无解，求的取值范围．
【变式6-4】解不等式组：．
(1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上；
(2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____．
题型七 实际应用
【例7-1】某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？
【例7-2】为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元．
(1)求每本文学名著和人物传记各多少元？
(2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
【例7-3】母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元．
(1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？
(2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由．
【变式7-1】一件商品的成本是50元．
(1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？
(2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？
【变式7-2】2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人．
(1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围．
【变式7-3】学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
(1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
(2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案．
【变式7-4】学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话：
小海：购买两种魔方共30件；
小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量；
根据小海和小华的对话，完成下面的问题：
(1)小海和小华最多购买几个种魔方？
(2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案．
【变式7-5】2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？
【变式7-6】根据素材．完成任务．
解：
去分母，得

（第一步）
去括号，得
（第二步）
移项，合并同类项，得
（第三步）
系数化为1，得
（第四步）
A型机器人台数
B型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料．
同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案：
素材一
月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根．
．长管子的单价是短管子的倍．
．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根．
素材二
另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是
素材三
进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一
确定采购单价：
求长管子、短管子每根单价分别多少元?
任务二
分析雪花模型结构：
求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根?
任务三
拟定采购方案：
采购长短管子分别多少根?