2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第08讲函数与方程(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第08讲函数与方程(精练+相遇真题)(原卷版+解析)，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值茫围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数－，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点的个数为（ ）
A．B．
C．D．无法确定，与的取值有关
6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
9．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）
A．在区间上可能存在零点B．在区间上可能存在极值点
C．在区间上一定存在零点D．在区间上一定存在极值点
三、填空题
10．（24-25高二下·浙江金华·期中）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数有 个
四、解答题
11．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知
(1)当时， 判断函数的奇偶性;
(2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围.
12．（2025高三下·全国·专题练习）关于的方程，求为何值时？
(1)方程有唯一实根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
B相遇高考
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
C素养提升
1．（24-25高二下·湖南长沙·期中）函数有且只有一个零点的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
2．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
3．（2025高三·全国·专题练习）当实数取何值时，方程有一个实数解、两个实数解，没有实数解？
4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，．
(1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数．
第08讲 函数与方程
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据一元二次函数的图象和零点存在定理求解的取值范围.
【详解】由题意可得，为函数的两个零点．
因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即，所以．
所以，解得：．
故选：C．
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值茫围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由已知作出函数的大致图象，将函数的零点问题转化为图象的交点问题，即可求解.
【详解】当时，，，
作出的大致图象，如图所示，
由，得，
若函数恰有3个零点，
则函数的图象与函数的图象有个不同的交点，
则.
故选：.
3．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据零点存在定理可判断.
【详解】函数是连续增函数，，，
所以函数的零点在内，所以，
故选：C．
4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数－，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间
【详解】由函数，得，所以，又因为函数的图象在区间上连续，所以函数的一个零点的初始区间可以为.
5．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点的个数为（ ）
A．B．
C．D．无法确定，与的取值有关
【答案】A
【知识点】指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解.
【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
又当时，，所以函数只有一个零点，

故选：A.
6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义
【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.
【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，
即，所以，
化为有解，令，
由基本不等式可知，当且仅当时取等，故，
则有在上有解，设，对称轴为．
①若，则，满足方程在上有解；
②若，要使在时有解，则需，
解得．
综上可得，实数的取值范围为．
故选：B.
7．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】应用分段函数当时计算零点，当时，应用对数运算结合零点存在定理判断零点个数即可.
【详解】当时，由得；
当时，在上单调递增，并且，
即，所以函数在区间内必有一个零点，
综上，函数的零点个数为2．
故选：D.
8．（2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求csx（型）函数的对称轴及对称中心、csx（型）函数对称性的其他应用
【分析】先推得的对称性与单调性，又也关于对称，由对称性可知方程唯一的根在对称轴上，代入即可解得.
【详解】因为，则，
所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减；
又，故可看作由函数向右平移1个单位得到，
所以的图象也关于对称；
又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根，
因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得.
故选：C．
二、多选题
9．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）
A．在区间上可能存在零点B．在区间上可能存在极值点
C．在区间上一定存在零点D．在区间上一定存在极值点
【答案】ABC
【知识点】零点存在性定理的应用、函数极值点的辨析
【分析】假设在区间上先减后增时，，，由零点存在性定理与极值点的概念逐项判断即可.
【详解】当在区间上先减后增，且存在极值点时，若，
则设，，且的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理，在与上有两个零点，故A正确；
此时存在极值点，故B正确；
由，且的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理可知在区间上一定存在零点，故C正确；
若在区间上单调递减，此时D无法满足，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
10．（24-25高二下·浙江金华·期中）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数有 个
【答案】12
【知识点】分段函数的性质及应用、函数周期性的应用、函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据题意，作出函数的图像，即可得到交点个数，从而得到结果.
【详解】因为，
所以函数是周期为2函数，
因为时，，
所以作出它的图象，则的图象如图所示．
再作出函数的图象，
容易得出交点为12个．
故答案为：
四、解答题
11．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知
(1)当时， 判断函数的奇偶性;
(2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)，且
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】（1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可；
（2）根据图像过的点坐标，即可求出的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不同的零点转化为方程在固定范围有两个不同的根，即可求出的范围.
【详解】（1）当时，，
因为，
当时，，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数；
当时，，函数是偶函数；
（2）因为函数的图像经过点，
所以，则，且，
所以，
令，
则，
因为函数在上有两个不相等的零点，
所以且，解得，
综上，，且.
12．（2025高三下·全国·专题练习）关于的方程，求为何值时？
(1)方程有唯一实根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题
【分析】（1）令，当和时分情况讨论即可求解；
（2）方程一根大于1，一根小于1，必须满足或解出即可.
【详解】（1）令．
当时，方程变为，即，符合题意；
当时，，．
所以当或时，方程有唯一实根．
（2）因为方程有一根大于1，一根小于1．大致图象如图⑤，⑥．
所以必须满足或解得．
所以当时，方程有一根大于1，一根小于1．
B相遇高考
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求余弦（型）函数的奇偶性
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
C素养提升
1．（24-25高二下·湖南长沙·期中）函数有且只有一个零点的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【知识点】根据充要条件求参数、根据函数零点的个数求参数范围、对数型函数图象过定点问题、指数函数图像应用
【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解．
【详解】因为时，，可知函数的图象过点，
所以函数有且只有一个零点
函数没有零点
函数的图象与直线无交点．
当时，，
由图可知，函数 的图象与直线无交点或．
即函数有且只有一个零点的充要条件是或．
故选：D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值
【分析】根据函数的图象易知，且.设，则，，，代入中利用换元法及基本不等式即可求解.
【详解】在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象如下图所示：
依题意得：，且，则.
设，则，，，
所以，令，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
3．（2025高三·全国·专题练习）当实数取何值时，方程有一个实数解、两个实数解，没有实数解？
【答案】答案见解析
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求对数型复合函数的定义域、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】解法1：转化为，令，根据二次函数对称轴和根的判别式得到不等式或方程，求出答案；
解法2：转化为，令，分别作出上述两个函数的图像，数形结合得到答案.
【详解】解法1：原方程可化为.
即，令.
由题意可知，
①原方程有一个解等价于:或，
解上述不等式或不等式组可得：或，
当时，，解得或4，不合要求，
当时，，解得或3，其中，满足只有一个解，
所以当或时，原方程只有一个解.
②原方程有两个解等价于: 解此不等式组可得: ，
所以当时，原方程有两个解.
③由①②可知，当或时，原方程没有实数解，
综上：当或时，只有一个解；当时，有两个解；当或时，没有实数解.
解法2：
原方程可化为：，即.
令，
其中在上单调递减，在上单调递增，理由如下：
，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
分别作出上述两个函数的图像，如下：
当或时，只有一个解；当时，有两个解；当或时， 没有实数解.
4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，．
(1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、求函数零点或方程根的个数、对数函数图象的应用、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】（1）分和两种情况，结合函数对称轴，得到不等式，求出实数a的取值范围；
（2）分和，再细分，，，得到两函数交点情况，从而得到的零点个数.
【详解】（1）①当时，则是单调函数，不成立；
②当时，为二次函数，对称轴为，
则；解得；
综上，．
（2）当时，则，，
显然，的图象在的图象上方，
故，无零点；
当时，，即，所以或；
（ⅰ）当时，，当时，在上单调递增，
且，故，无零点；
（ⅱ）当时，当时，即，
此时与只有1个交点，且交点在轴下方，
故有2个零点，分别为和1；
当时，即，此时与只有1个交点，交点横坐标为1，
故有1个零点1；
当时，即，此时与只有1个交点，交点在轴上方，
故无零点．
综上，当时，无零点，当时，有1个零点，
当时，有2个零点．