2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第06讲对数与对数函数(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

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A夯实基础
一、单选题
1．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（ ）
A．3B．1C．D．
2．（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（ ）
A．11B．12C．16D．17
3．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（ ）
A．2级B．3级C．4级D．5级
4．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．34B．35C．36D．37
5．（2025·天津红桥·二模）若 则 （ ）
A．1B．
C．D．2
6．（2025·天津·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三下·天津南开·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增，且曲线存在对称轴
B．在上单调递增，且曲线存在对称中心
C．在上单调递减，且曲线存在对称轴
D．在上单调递减，且曲线存在对称中心
二、多选题
8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足，则的可能取值是（ ）
A．9B．3C．2D．6
9．（24-25高一下·湖南·期中）已知，令，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域是
B．的解集为
C．是奇函数
D．在区间上单调递增，在区间上单调递减
三、填空题
10．（2025·安徽·三模）已知，则 .
11．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
四、解答题
12．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
13．（22-23高一上·陕西商洛·期末）（1）求的值；
（2）若，用表示.
14．（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
B相遇高考
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
C素养提升
1．（天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·云南昆明·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：，）
A．14B．15C．16D．17
3．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数
(1)求的定义域；
(2)当，
①求证:在区间上是减函数；
②求使关系式成立的实数的取值范围.
4．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数，
(1)若，，求和（结果用m，n表示）．
(2)求不等式的解集．
(3)若，都有成立，求实数t的取值范围．
5．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数
(1)当时，求的最小值；
(2)若为偶函数，求的值；
(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
第06讲 对数与对数函数
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】B
【知识点】指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.
【详解】由，可得，，
则，
故选：B
2．（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（ ）
A．11B．12C．16D．17
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【分析】由指对互化公式即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：D.
3．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（ ）
A．2级B．3级C．4级D．5级
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算
【分析】代入,根据指对互化即可求解.
【详解】将代入公式得，
所以，即该地区此次大风的风力等级约为5级，
故选:D．
4．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．34B．35C．36D．37
【答案】C
【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算
【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，
由，即，
所以，
所以所需的训练迭代轮数至少为次．
故选：C.
5．（2025·天津红桥·二模）若 则 （ ）
A．1B．
C．D．2
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解.
【详解】因为
所以
则 .
故选：A.
6．（2025·天津·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选：A
7．（24-25高三下·天津南开·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增，且曲线存在对称轴
B．在上单调递增，且曲线存在对称中心
C．在上单调递减，且曲线存在对称轴
D．在上单调递减，且曲线存在对称中心
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求对数函数的定义域
【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.
【详解】令，得，解得，可知的定义域是，
因为，
且在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数，
又因为，即，
所以是奇函数，曲线存在对称中心，即B选项正确.
故选：B.
二、多选题
8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足，则的可能取值是（ ）
A．9B．3C．2D．6
【答案】ABD
【知识点】对数的运算性质的应用
【详解】由得，
变形得．因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以．
9．（24-25高一下·湖南·期中）已知，令，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域是
B．的解集为
C．是奇函数
D．在区间上单调递增，在区间上单调递减
【答案】ABC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式
【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据函数单调性和定义域得到不等式，求出不等式解集；C选项，先求出函数定义域，再得到，C正确；D选项，在上单调递增，在上单调递减，从而得到D错误.
【详解】A选项，由已知，，故，
解得，所以的定义域为，A正确；
B选项，由，得解得正确；
C选项，的定义域为，
又，
∴为奇函数，C正确；
D选项，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，D错误．
故选：ABC
三、填空题
10．（2025·安徽·三模）已知，则 .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算
【分析】根据对数的运算公式,解对数方程,依据对数的性质求答案.
【详解】由题意得，，故.
故答案为: .
11．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
【答案】4
【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解．
【详解】由题意知，得，
令，解得或，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以，解得，即，
令，其定义域为，
，满足题意，
故答案为：4．
四、解答题
12．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)4
(2)
【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用
【分析】（1）根据对数的运算分析求解；
（2）根据指数幂运算分析求解.
【详解】（1）原式.
（2）根据分数指数幂的定义，得
，，，
原式.
13．（22-23高一上·陕西商洛·期末）（1）求的值；
（2）若，用表示.
【答案】（1）；（2）.
【知识点】运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用
【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值；
（2）根据对数的运算和换底公式，即可求解.
【详解】（1）
（2）.
14．（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性、对数函数最值与不等式的综合问题
【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得；
（2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解.
【详解】（1）因为函数为偶函数，所以，
即，
所以，整理得恒成立，
所以，解得，所以，故．
（2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解，
令，，取，
则．
因为，所以，，，，
所以，，即，
所以在上单调递增，
又在定义域上单调递增，因此在上单调递增．
令，，
因为函数与函数在上均单调递增，
所以在上单调递增，且，
所以，故实数的取值范围为．
B相遇高考
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
【答案】64
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【知识点】求函数值、指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
C素养提升
1．（天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论.
【详解】，，
，，故，所以，
，所以.
故选：D
2．（24-25高一下·云南昆明·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：，）
A．14B．15C．16D．17
【答案】C
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）
【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为16次．
故选：C.
3．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数
(1)求的定义域；
(2)当，
①求证:在区间上是减函数；
②求使关系式成立的实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、根据函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据对数的性质求函数的定义域；
（2）①由单调性的定义证明区间单调性即可；②利用函数单调性解不等式求参数范围.
【详解】（1）由，得或，所以函数的定义域为，
（2）①设，，
因为，则，
所以，
所以，，所以，
故在区间上是减函数.
②由①知在区间上是减函数，
由，可得，解得
4．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数，
(1)若，，求和（结果用m，n表示）．
(2)求不等式的解集．
(3)若，都有成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【知识点】运用换底公式化简计算、解分段函数不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）利用对数的运算性质可得.
（2）解分段函数不等式，先利用指数和对数的性质分段求解，最后求并集；
（3）参变分离，现设，求，.
【详解】（1）已知，所以，，
所以，
.
（2）当时，，所以，解得，所以；
当时，，所以，解得，所以；
综上可得，不等式的解集为.
（3），所以，设，
则，令，
则，
即，，所以，
所以，即，
因为，都有成立，所以，所以，
综上实数t的取值范围为.
5．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数
(1)当时，求的最小值；
(2)若为偶函数，求的值；
(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)的最小值为
(2)
(3)的取值范围是
【知识点】求对数型复合函数的值域、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值；
（2）根据函数的奇偶性求参数即可；
（3）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围．
【详解】（1），由于恒成立，
所以函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为；
（2）若为偶函数，则，
所以，
即恒成立，所以；
当时，函数定义域为，满足，
故若为偶函数，则；
（3）若对于任意，存在，使得不等式成立，
则恒成立，
令，当时，，
所以，所以当时，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．