2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第07讲：第四章三角函数章节总结(精讲)(原卷版+解析)

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1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）下列各角中，与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·全国·阶段练习）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则与之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次数为（ ）
A．次B．次C．次D．次
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（25-26高三上·全国·阶段练习）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从出发，以逆时针方问等速沿单位圆周旋转，已知点P在内转过的角度为，经过到达第三象限，经过后又回到了出发点A处，则 ．
题型二：弧度制
1．（2025高三·全国·专题练习）如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，
B．时，
C．时，
D．时，
2．（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ．
5．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据）
题型三：任意角的三角函数
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ）
A．-2B．C．D．2
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知角按逆时针方向旋转，其终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北保定·三模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·云南玉溪·模拟预测）若角的终边经过点，则 ．
题型四：同角三角函数的基本关系
1．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，则 ．
3．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ．
4．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ．
5．（2025高三·全国·专题练习）若，是关于的方程的两个根，求的值．
题型五：诱导公式的计算
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的值．
2．（2025高三·全国·专题练习）化简：
(1)，；
(2)，．
3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，且为第二象限角.
(1)求，的值；
(2)求的值.
4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
5．（24-25高一上·吉林长春·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线，将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中．
(1)求出m的值和锐角的大小；
(2)求的值；
(3)记点B的横坐标为，若，求的值．
题型六：三角函数的奇偶性
1．（2025·全国·二模）函数是上的偶函数，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东·模拟预测）已知函数，要得到一个偶函数的图象，可以将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
4．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ．
5．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为 .
题型七：三角函数的周期性
1．（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·广东揭阳·三模）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期．
题型八：三角函数的对称性
1．（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象，若满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025高三·广东江苏·专题练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为 ．
题型九：三角函数的单调性
1．（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ．
3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 .
4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ．
5．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调递减区间.
题型十：三角函数中与有关的计算
1．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ．
5．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则 .
题型十二：根据图象求三角函数解析式
1．（24-25高一下·四川成都·期末）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
2．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（福建省泉州市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于原点对称
D．直线是的图象的对称轴
4．（多选）（24-25高一下·湖北恩施·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象
D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
5．（多选）（24-25高一下·江西上饶·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
6．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
题型十三：函数图象的变换
1．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移是个单位长度D．向左平移个单位长度
2．（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
3．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ）
A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
题型十四：和差倍角计算
1．（江苏省南京市协同体十校2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试卷）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（河南省平顶山市2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题）（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·四川成都·期末）计算：=（ ）
A．-1B．0C．D．
4．（江苏省南京市协同体十校2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试卷）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一下·河南南阳·期末）（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型十五：拼凑角问题
1．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．或D．或
2．（23-24高一下·吉林·阶段练习）已知，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求：
(1)的值；
(2)的值．
5．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
6．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，，，，
(1)求的值；
(2)求角的值.
题型十七：三角函数综合（值域，最值）
1．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知函数，
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.当时，求函数的值域.
2．（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值．
3．（24-25高二下·广东梅州·期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)解方程：；
(3)当时，求的值域．
4．（四川省攀枝花市2024-2025学年高一下学期普通高中教学质量监测数学试题）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求的最大值以及取到最大值时的值．
5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数．
(1)若，，求；
(2)求，的值域．
题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题）
1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量，，其中，函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.
3．（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．证明：，．
4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
5．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
题型十九：三角函数综合（零点问题）
1．（24-25高二下·天津河东·期末）已知函数
(1)将函数化简为的形式(其中
(2)若 求函数 在的取值范围；
(3)的最小正周期为π， 若在 上恰有3个零点，求a的取值范围．
2．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴方程；
(3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值．
3．（24-25高一下·重庆北碚·期中）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度，再关于轴对称，得到函数的图象.
(1)求函数和的解析式；
(2)设，若对任意恒成立，求实数的最大值；
(3)若关于的方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围.
4．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围.
5．（24-25高一下·北京·期中）已知下列三个条件：条件①：的图象关于直线对称；条件②：的图象过点；条件③：在区间上单调递增．从这三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题.
已知函数的最小正周期为，_______.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围．
题型二十：三角函数模型
1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．

(1)求的值和两点间的距离；
(2)若，求折线段赛道的长度．
2．（2024高三·全国·专题练习）某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2014年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3月份的批发价格最高，为14元/盒，7月份的批发价格最低，为10元/盒．该药品在药店按月份以14元/盒为中心价随另一正弦型曲线上下波动，且5月份的销售价格最高，为16元/盒，9月份的销售价格最低，为12元/盒．
(1)求该药品每盒的批发价格和销售价格关于月份的函数解析式；
(2)假设某药店每月初都购进这种药品盒，且当月售完，求该药店在2014年哪些月份是盈利的？说明你的理由．
3．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）．
参考公式：．参考数据：，．
4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
(1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式.
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
5．（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．

(1)求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
(2)若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．
时刻
水深m
时刻
水深/m
时刻
水深m
0:00
5.0
9：18
2.6
18：:36
5.0
3:06
7.4
12：24
5.0
21：:42
2.6
6:12
5.0
15：:30
7.4
24：00
4.0
第07讲：第四章 三角函数 章节总结 章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：任意角
1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）下列各角中，与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，结合选项逐个判断即可.
【详解】因为，
，.
，
所以与角终边相同的角是.
故选：A.
2．（23-24高三·全国·阶段练习）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则与之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】表达出，，从而得到，，得到答案.
【详解】由题意可知，，，
所以，，
记，故，.
故选：D
3．（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次数为（ ）
A．次B．次C．次D．次
【答案】C
【分析】通过时针转圈，分针转圈，即可判断.
【详解】一天小时中，时针转圈，分针转圈，
所以分针比时针多转的圈数是，
又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合次，
故选：C
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可.
【详解】依题意，，
而，
所以，.
故选：A
5．（25-26高三上·全国·阶段练习）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从出发，以逆时针方问等速沿单位圆周旋转，已知点P在内转过的角度为，经过到达第三象限，经过后又回到了出发点A处，则 ．
【答案】或
【详解】因为，且，所以一定有，于是．又，所以，从而，所以，所以或5．当时，；当时，．综上，或．
题型二：弧度制
1．（2025高三·全国·专题练习）如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，
B．时，
C．时，
D．时，
【答案】A
【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，

因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，
所以，.
故选：A.
2．（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可.
【详解】因为，，，
所以扇面的近似面积为，
故选：C
3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据公式求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求出答案.
【详解】设扇形的圆心角和弧长分别为，
由得，
所以该扇形的面积为.
故选：B.
4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ．
【答案】/
【分析】由圆心角定义得解.
【详解】根据圆心角定义可知，，
故答案为：
5．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据）
【答案】8.92平方米
【分析】根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解.
【详解】因为圆心角为，弧长等于，所以圆的半径，
如图，在中，所以，，
所以矢，则弦，
所以弧田面积弦矢矢平方米．
故答案为：8.92平方米
题型三：任意角的三角函数
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ）
A．-2B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义求出，再结合诱导公式可得.
【详解】由题意可得，，
则，解得（舍去）.
故选：B
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由条件根据三角函数的定义求，再结合二倍角公式求，由此可确定正确选项.
【详解】因为到原点的距离，
根据三角函数定义可得，，
所以，，
故选：D.
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知角按逆时针方向旋转，其终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角α逆时针旋转后的终边经过点(4,3)，通过该点坐标求出旋转后角度的三角函数值，再结合倍角公式求解目标表达式的值.
【详解】角α逆时针旋转后，终边经过点(4,3)，设旋转后的角度为,
点(4,3)到原点的距离，
根据三角函数定义： ， ，
，
，
因为，
所以，
故选；D.
4．（2025·河北保定·三模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义可求角的正切，再结合二倍角公式及齐次化可得.
【详解】设为直线上异于原点的点且在直线上，则，
则.
故选：B.
5．（2025·云南玉溪·模拟预测）若角的终边经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据角的终边经过的点的坐标，结合公式计算出该角的正弦值和余弦值，再运用二倍角的正弦公式即可.
【详解】若角的终边经过点，则，，.
故答案为：.
题型四：同角三角函数的基本关系
1．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得.
【详解】，
故，
又且，故，
，故.
故选：A.
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解.
【详解】.
故答案为：
3．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ．
【答案】/0.6
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法求值.
【详解】当时，
.
故答案为：
4．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ．
【答案】 / /0.3
【分析】分子分母同时除以，即可求解；先将原式转化为分式，分子分母同时除以，即可求解.
【详解】；
.
故答案为：；.
5．（2025高三·全国·专题练习）若，是关于的方程的两个根，求的值．
【答案】
【分析】根据韦达定理得出，，再根据同角三角函数的平方关系得出，根据辅助角公式得出，再根据诱导公式即可求解．
【详解】在方程中，，，
将展开得，
把，代入可得，即，解得，
又∵，∴，
根据诱导公式，，
∴，
，
则．
题型五：诱导公式的计算
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的值．
【答案】3
【分析】根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可求解．
【详解】∵，由可知，即，
∴，
根据诱导公式，，，，，
将其代入原式可得：．
2．（2025高三·全国·专题练习）化简：
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分为偶数以及为奇数讨论，结合诱导公式代入计算，即可得到结果；
（2）分，，以及讨论，结合诱导公式计算，即可得到结果.
【详解】（1）当为偶数时，原式；
当为奇数时，原式．
综上，当时，原式．
（2）当，时，原式；
当，时，原式；
当，时，原式；
当，时，原式．
综上，当时，原式．
3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，且为第二象限角.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求和的值；
（2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中的三角函数值计算.
【详解】（1）因为，且为第二象限角，
所以，.
（2）.
4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得；
（2）由齐次式可得；
（3）由同角三角函数得，根据诱导公式可得，进而可得.
【详解】（1）.
（2）由得，
故.
（3）由得，故，
又，故，
当为第一、四象限角时，，
当为第二、三象限角时，，
因，
故当为第一、四象限角时，，
当为第二、三象限角时，，
5．（24-25高一上·吉林长春·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线，将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中．
(1)求出m的值和锐角的大小；
(2)求的值；
(3)记点B的横坐标为，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先根据点在单位圆上求得，再根据三角函数的定义求得角；
（2）利用诱导公式整体化简求解即可；
（3）结合三角函数的定义及同角三角函数基本关系求得，再根据诱导公式化简代入求值即可.
【详解】（1）根据题意，可得，，解得，
所以，又是锐角，则.
（2）
.
（3）根据三角函数定义可得：，
，，
，则，
所以
.
题型六：三角函数的奇偶性
1．（2025·全国·二模）函数是上的偶函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可.
【详解】是上的偶函数，即关于对称，则，
则，则，解得.
，则.
故选：D.
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】计算，存在使得函数为奇函数，则或，根据为奇函数，即可得解.
【详解】由题意可得，函数，
且，
存在，函数为奇函数，
则或，
当时，所以为奇函数，
可得，
所以,
当时，D满足条件，ABC不满足；
当时，，
此时或，
当且仅当时为奇函数，不符合，不合题意.
故选：D.
3．（2025·山东·模拟预测）已知函数，要得到一个偶函数的图象，可以将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数，再结合函数图象变换求解判断.
【详解】依题意，，
对于A，，所得函数不是偶函数，A错误；
对于B，，所得函数不是偶函数，B错误；
对于C，，所得函数是偶函数，C正确；
对于D，，所得函数不是偶函数，D错误.
故选：C
4．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值.
【详解】因为，且，所以，
所以，所以，
所以
.
故答案为：.
5．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为 .
【答案】0
【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出.
【详解】令，
定义域为或且，关于原点对称，
则，
故为奇函数，
又，故，
解得.
故答案为：0
题型七：三角函数的周期性
1．（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性求解即可.
【详解】对于，最小正周期为，故A不符合题意；
对于，最小正周期为，故B不符合题意；
对于，最小正周期为，故C符合题意；
对于，最小正周期为，故D不符合题意．
故选：C．
2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.
【详解】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，
轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：

则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确；
对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误；
对C：的最小正周期为，故C错误；
对D：的最小正周期为，故D错误.
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】A选项，利用最小正周期的定义推出错误；B选项，作出的图象可得B正确；C选项，利用公式直接进行求解；D选项，画出的图象，不是周期函数，故选项D错误.
【详解】对于选项A，利用定义法，
，故A不符合题意．
对于选项B，作出函数的图象，由图可知，
函数的最小正周期为，故选项B符合题意．
对于选项C，根据公式法，的最小正周期为，故选项C不符合题意．
对于选项D，依题可得函数，其图象如图所示．
由图可知，函数不是周期函数，故选项D不符合题意．
故选：B
4．（2025·广东揭阳·三模）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合正切函数的图象求解即可.
【详解】因为函数的周期与的最小正周期一致，均为，
所以函数的最小正周期为.
故选：B.
5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期．
【答案】
【分析】计算出，求出最小正周期.
【详解】，
，
故的最小正周期．
题型八：三角函数的对称性
1．（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据题意先求，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得即可求解.
【详解】因为函数的图象过点，所以，
所以，
将其图象向右平移个单位长度得到的图象，
令，，解得，.
故选：B
2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象，若满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换得到，由伸缩变换和平移变换得到，根据对称性得到，求出最小值.
【详解】
，
向左平移个单位长度，得到，
则 ，
因为 ，所以是 图象的一条对称轴，
则 ，故，
解得 ，
又，所以当时，取得最小值，的最小值为 .
故选：C
3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由辅助角公式（正弦）化简函数，由函数对称轴求出的值.由辅助角公式（余弦）化简函数，由的值求出函数的对称轴.
【详解】，
由题意可知是的解，即，
∴，当时，，
，
∴令，即，，
∴函数的对称轴为，
当时，.
故选：C.
4．（2025高三·广东江苏·专题练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得函数的对称中心的表达式，然后求得的最小值.
【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，即，
又，则时最小，最小值是，即．
故选：C
5．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为 ．
【答案】
【详解】若在区间上单调，则，所以．因为，所以直线为图象的一条对称轴，且即为图象的一个对称中心，当时，周期最小，即．
题型九：三角函数的单调性
1．（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.
【详解】由，得，
故的单调减区间为，
对比各选项，只有C符合.
故选：C.
2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】应用辅助角公式化简，再应用正弦函数的增区间计算求解.
【详解】函数，
所以，所以，
所以函数的单调递增区间是，
故答案为：.
3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间.
【详解】函数，即，
则，解得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ．
【答案】
【分析】利用求解即可.
【详解】由，解得，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
故答案为：.
5．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调递减区间.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解，将代入中，结合，即可求出；
（2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解单调递减区间，又，在上的单调递减区间..
【详解】（1）依题意，，解得；
将代入中，得，故，
解得；因为，故；
（2）由（1）可知，
令，
则，即，
故的单调递减区间为.
又，令，解得，
综上所述，在上的单调递减区间为.
题型十：三角函数中与有关的计算
1．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】由单调区间的长度小于等于半个周期可求出的取值范围，根据正弦函数图象向左平移个单位之后与原图象关于轴对称可求出的表达式，根据的范围进行判断即可.
【详解】设函数的最小正周期为，
因为函数在上单调，
则，可得，又，所以，，
因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称．
则，即，
因为，所以或6，满足条件，A正确．
故选：A
2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦型函数的奇偶性可得出，化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性与最值可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，则，
由于，则，所以，，
当时，，
因为函数在区间上为减函数，
则函数在区间上为增函数，
所以，，可得，解得，
由可得，
当时，，由题意可得，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
3．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】，
又函数在单调递增，
所以，解得.
故答案为：.
4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，
因为有5个零点，所以必有一个零点为，
则，可得，
所以函数的零点，
等价于函数与的图象在上的交点个数，
由，可得，
要使得函数与的图象在上有5个交点，
则满足，解得，即实数的范围为.
故答案为：.
5．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则 .
【答案】4
【分析】由平移变换得到，再根据是偶函数，得到，然后由，得到，根据在上恰有4个零点，由求解.
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到，
函数，
因为是偶函数，所以，即，
因为，所以，则，
因为，所以，
因为在上恰有4个零点，
所以，即，
所以当时，，
故答案为：4
题型十二：根据图象求三角函数解析式
1．（24-25高一下·四川成都·期末）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】B
【分析】首先求得，再结合函数平移变换法则即可求解.
【详解】由题意可得，解得，所以，
由图可知，所以，
解得，所以，
，
注意到，
所以为了得到的图象，可以将的图象向右平移个单位长度.
故选：B.
2．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案.
【详解】根据图象可得，周期，
又，则，所以，
，则，，因为，则，
所以函数的解析式为，
由函数的图象向右平移个单位长度得到
的图象，即，
故选：D.
3．（多选）（福建省泉州市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于原点对称
D．直线是的图象的对称轴
【答案】AC
【分析】A项，由图象即可得出的值；B项，由图象得出周期的长度，求出周期，即可得出的值；C项，写出的表达式，得出的表达式，令得出，即得出关于原点对称；D项，将代入表达式，求出，写出的对称轴满足的方程，得出不存在整数使得时，，进而得出结论.
【详解】由题意及图得，
在中，
，，故A正确，
∴，，故B错误，
∴，
∵图像过，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴的图象关于原点对称，C正确；
当时，，
当直线满足时，为的对称轴，
∴不存在整数使得时，，即，
故D错误；
故选：AC.
4．（多选）（24-25高一下·湖北恩施·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象
D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
【答案】ACD
【分析】对于A：由图观察出周期，即可得到，用五点法代入点，可求出，再用诱导公式转换即可判断；对于B：代入检验此点是不是零点，即可判断；对于C：利用伸缩变换即可判断；对于D：判断平移后的函数是否为偶函数，即可判断.
【详解】解：对于A：由图可知：，，
用五点法代入点，可得，
不妨取，，
故A正确；
对于B：故B错；
对于C：由于伸缩变换后的函数就是，故C正确；
对于D：向右平移后的函数，
，为偶函数，故D正确．
故选：ACD
5．（多选）（24-25高一下·江西上饶·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
【答案】BC
【分析】对于A，由图象可得周期，再得到即可；对于B，代入，可得的解析式，代入验证即可判断B，对于C，由函数平移前后的解析式可判断；对于D，根据单调性，可确定的取值范围.
【详解】由图可知，，，，故A错误；
所以，又过点，，
所以，，即，，，，
故，，故B正确；
对于C，将函数的图象向右平移个单位得到：
，故C正确；
对于D，当时，，令，则，.
当时，在上单调递增，在上单调递减；
又，，.
因为的图象与有且只有一个实数根，
所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC.
6．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据三角函数的平移变换规律，得出结论.
【详解】，由，
则将的图象向左平移个单位长度后，即可与的图象重合；
由，
则图象无法经过平移与的图象重合；
由，
则将的图象向左平移个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，
即可与的图象重合；
由，则的图象无法经过平移与的图象重合.
故A，C中的函数与“互为生成函数”.
故选：AC
题型十三：函数图象的变换
1．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移是个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简，再根据平移变换的规律即得.
【详解】因，
故可以将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.
故选：A.
2．（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】根据图象平移的规则判断．
【详解】由，
因此向左平行个单位得到图象，
故选：C．
3．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ）
A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】B
【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断.
【详解】为了得到函数的图象，只需要把函数图象
先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），CD错；
也可以先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，A错误，B正确.
故选：B.
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为
，
所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，
故选：D.
题型十四：和差倍角计算
1．（江苏省南京市协同体十校2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试卷）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式即可求解．
【详解】
故选：B．
2．（河南省平顶山市2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解.
【详解】
.
故选：A
3．（24-25高一下·四川成都·期末）计算：=（ ）
A．-1B．0C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦两角和差的逆应用即可求解.
【详解】由，故C正确.
故选：C.
4．（江苏省南京市协同体十校2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试卷）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【详解】依题意，，解得，
所以．
故选：C
5．（24-25高一下·河南南阳·期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形后逆用二倍角的正切公式求解即可.
【详解】
故选：A.
6．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果.
【详解】.
故选：A.
题型十五：拼凑角问题
1．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为所以则
所以
则，
因为，所以，
又则，
所以
故
因为所以
则.
故选：A.
2．（23-24高一下·吉林·阶段练习）已知，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切的倍角公式求得，再结合正切的和角公式求得，结合的范围，即可求得结果.
【详解】；
，
又，，故，，
又，，故，则.
故选：B.
3．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，又，所以，则，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，则.
故选：B.
4．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解；
（2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解.
【详解】（1）由，
解得，
所以；
（2），
由，，得，
所以
，
因为，，
所以，所以，
又，，
所以，所以，
所以，
所以．
5．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由值求值，即可求出；
（2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值.
【详解】（1）由，可得，
.
（2）由 ，可得，
又，
，
，
由，可得.
6．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，，，，
(1)求的值；
(2)求角的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据、得到，利用同角的三角函数基本关系式即得；
（2）注意到，故只需分别求出的值，利用差角的正弦公式即可求得的值，利用即可求得角的值.
【详解】（1）由得，因，则；
（2）又由知，因，
则，
由
，
又因，故
题型十七：三角函数综合（值域，最值）
1．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知函数，
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用辅助角公式化简得函数，然后利用正弦函数的单调性求解即可.
（2）先利用函数图象变换法则求得，然后利用换元法求解值域即可.
【详解】（1）
.
令，则 .
所以函数的单调递增区间为.
（2）函数的图象横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得.
再将图象向左平移个单位长度得，
，则，，
所以，当时，函数的值域为.
2．（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值．
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）根据正弦型函数单调性的性质进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质、运用换元法进行求解即可.
【详解】（1）由，
所以函数的单调递增区间为；
（2）令，因为，所以，
因为函数在时，单调递增，在时，单调递减，
在，，
所以，
因此当时，即当时，函数有最小值，
当时，即当时，函数有最大值.
3．（24-25高二下·广东梅州·期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)解方程：；
(3)当时，求的值域．
【答案】(1)；
(2)
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式以化简函数，然后判断即可；
（2）根据（1）的结果，计算即可；
（3）利用整体法以及正弦函数的性质计算.
【详解】（1）因为
，
所以函数的最小正周期．
（2）由方程，
即有，，
于是，或，，
所以
（3）因为，所以，
所以，
则，
所以的值域为．
4．（四川省攀枝花市2024-2025学年高一下学期普通高中教学质量监测数学试题）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求的最大值以及取到最大值时的值．
【答案】(1)
(2)(开区间亦可)
(3)当时，取得最大值
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（2）由余弦型函数的单调性可得出函数的单调递减区间；
（3）由可求得的取值范围，结合余弦型函数的最值可得出函数的最大值及其对应的值.
【详解】（1）由题意知：
．
所以，函数的最小正周期是．
（2）令，函数的单调递减区间为．
由，解得，
所以函数的单调递减区间为（开区间亦可）．
（3）当时，．
当时，即时，取得最大值.
5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数．
(1)若，，求；
(2)求，的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，再结合诱导公式可求出；
（2）由题意得，由求出的范围，再结合余弦函数的性质可求出函数的值域.
【详解】（1）由，得，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由，得，则，
所以，所以，
所以所求函数的值域为.
题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题）
1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量，，其中，函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到，由，求得，结合，求得，即可得函数解析式.
（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（3）根据题意，将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立，设，将函数化成，结合函数的单调性，求得函数的最小值，进而得到参数范围.
【详解】（1）解：由向量和，
可得
，
因为，可得，
可得，解得，
又因为，所以，所以.
（2）解：由（1）知，函数，
因为，可得，
当时，即时，；
当时，即时，，
所以函数的值域为.
（3）解：因为在上恒成立，
则，
又由
，
所以，
即在恒成立，
令，
因为，可得，所以，
又因为，
设，则在上单调递增，所以，
所以，即，所以故的取值范围为.
2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用整体法求正弦型函数的单调递减区间；
（2）根据正弦函数性质判断区间单调性，进而求值域范围，结合方程有解确定参数范围.
【详解】（1）令，则，
的单调递减区间为；
（2），
，
在上单调递增，
，
方程在区间上有解，的取值范围为.
3．（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用正弦的差角公式、倍角公式及辅助角式，得，即可求解；
（2）根据条件得，利用的性质，求出的值域，即可证得.
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知，所以，
当时，，所以，
则，又，
故，.
4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据图像求，由图像求周期，进而得，由图象经过点代入即可求，利用解析式即可求对称中心；
（2）由题意得，先求，由，令，则，，求最大值即可求解.
【详解】（1）依题意知，，，
所以，又，可得，故函数，
由图象经过点，所以，
可得，所以，，
所以，，又因为，所以，
所以，
令，解得，故对称中心为，.
（2）因为对任意的，，都有，所以.
因为，所以，
所以，所以，
，
令，则，.
对称轴为，所以①，可得，
②，可得，
③，可得，
综上.
5．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）先根据图象确定的值，进而确定函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求得单调递减区间.
（2）先根据图象的变换求出函数的解析式，然后根据的范围确定的最大值和最小值，要使得不等式恒成立，则最大值小于等于，从而求出的取值范围.
【详解】（1）设的最小正周期为，所以，解得，
所以，解得.
由题意知，所以，
又，所以，，
即，，又，
所以，所以.
令，，解得，，
即的单调递减区间为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为.
当，，
所以，，
若对任意的，，都有，则，
解得，即的取值范围是.
题型十九：三角函数综合（零点问题）
1．（24-25高二下·天津河东·期末）已知函数
(1)将函数化简为的形式(其中
(2)若 求函数 在的取值范围；
(3)的最小正周期为π， 若在 上恰有3个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简；
（2）根据求得角，再由正弦函数的值域计算求解；
（3）求出函数零点，建立不等式求a的取值范围．
【详解】（1）
；
（2）因为函数 ，
∵，∴，∴.
，
所以函数 在的取值范围.
（3）因为的最小正周期为π，所以，所以，
令，则，，所以，．
由于函数在区间上有且仅有3个零点，
所以，所以a的取值范围是．
2．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴方程；
(3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值．
【答案】(1)
(2)对称中心为，对称轴方程为
(3)
【分析】（1）根据最大值可求解振幅，根据周期可求解，代入最高点坐标可求，
（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解，
（3）根据正弦函数的对称性可得，，即可根据诱导公式，结合同角关系即可求解.
【详解】（1）根据图可知，周期满足，故，故，
此时，
代入可得，故，
即，由于，故，
故
（2）令，解得，
故对称中心为，
令,解得，
故对称轴方程为
（3）由于，所以，
令，
则令，则在上有两个不相等的实数根，
满足，且，，
因此，
，
故，
3．（24-25高一下·重庆北碚·期中）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度，再关于轴对称，得到函数的图象.
(1)求函数和的解析式；
(2)设，若对任意恒成立，求实数的最大值；
(3)若关于的方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围.
【答案】(1)，.
(2)3
(3)
【分析】（1）由图象经过点，得到，再结合周期求得，再结合平移及对称即可求解；
（2）化简，再令，，转换成对任意的恒成立，进而可求解；
（3）由题意得到，
令，得到在上恰有三个实数根，，，通过对称性得到，，，进而可求解.
【详解】（1），
由题有，即，，则.
又因为相邻两条对称轴间的距离为，
所以，即，
所以，
向右平移个单位得：，
所以.
（2）
，
即，对任意的恒成立.
令，，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，有，则，
所以的最大值为3.
（3），即在上恰有三个实数根，，，且，
令，即在上恰有三个实数根，，，且.
由函数图象，有，
再由对称性有，，，
又因为，所以
，
即，所以.
4．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦函数的性质求出结果.
【详解】（1）,
令，
解得：，
所以的单调递减区间为
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到，
则，
因为，所以，
所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点，
结合正弦函数的图象：

可得当或，即或，
即或，或时，与只有一个交点，
所以实数的取值范围为
5．（24-25高一下·北京·期中）已知下列三个条件：条件①：的图象关于直线对称；条件②：的图象过点；条件③：在区间上单调递增．从这三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题.
已知函数的最小正周期为，_______.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合周期公式即可求解；
（2）若选择条件①，根据的对称性及求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
若选择条件②，根据已知得，则，即，
结合求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
若选择条件③，根据正弦函数周期性及单调性得当时，取得最大值，进而求得，结合求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
（3）根据已知及两角和差的正弦公式化简方程得，求出的解集，结合在上恰好有20个根及正弦函数的性质分析参数范围．
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，
所以；
（2）若选择条件①，因为的图象关于直线对称，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
若选择条件②，
因为的图象过点，所以，
所以，即，
又因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
若选择条件③，
因为函数的最小正周期为，所以，
因为在区间上单调递增且，
所以当时，取得最大值，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
（3）由（2）可知，
所以方程等价于等价于，
即，
则或，，
得或，．
由，时，；时，；
；时，．
所以，即的取值范围是.
题型二十：三角函数模型
1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．

(1)求的值和两点间的距离；
(2)若，求折线段赛道的长度．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据图形可得及周期，根据周期即可求出，再求出点的坐标，进而可得出答案；
（2）在中，利用余弦定理求出，即可得解.
【详解】（1）由题可得，
，
当时，，即，
又，（千米）；
（2）在中，设，则，
，
，
，
，
（千米），
折线段赛道的长度为千米.
2．（2024高三·全国·专题练习）某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2014年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3月份的批发价格最高，为14元/盒，7月份的批发价格最低，为10元/盒．该药品在药店按月份以14元/盒为中心价随另一正弦型曲线上下波动，且5月份的销售价格最高，为16元/盒，9月份的销售价格最低，为12元/盒．
(1)求该药品每盒的批发价格和销售价格关于月份的函数解析式；
(2)假设某药店每月初都购进这种药品盒，且当月售完，求该药店在2014年哪些月份是盈利的？说明你的理由．
【答案】(1)，；
(2)在2014年4月、5月、6月、7月、8月、12月是盈利的，理由见解析．
【分析】（1）设，根据价格最高和最低可求得振幅，根据月份求得周期，进而可求得，把代入函数式求得，则函数的解析式可得，同理可求得该药品每件的销售价格函数解析式；
（2）设该药店第月购进这种药品盒所获利润为元，则根据把（1）中求得和代入整理，根据，求得的范围，进而得解.
【详解】（1）由题意，
设，由已知，，．
又周期，则．
从而．
因为，则，即，可取．
故该药品每盒的批发价格函数解析式为．
同理，该药品每盒的销售价格函数解析式为．
（2）设该药店第月购进这种药品盒所获利润为元，则
，
由，得，即，
所以，，
即，，
因为且，则，
故该药店在2014年4月、5月、6月、7月、8月、12月是盈利的．
3．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）．
参考公式：．参考数据：，．
【答案】(1)，．
(2)，，7.2m
【分析】（1）首先旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系；
（2）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，并利用参考公式化简高度差函数，根据t的取值范围，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．

设时，游客甲位于点，以为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，
由题意可得，．
（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则．
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差，
利用，可得，．
当（或），即（或22.8）时，的最大值为．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．
4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
(1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式.
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
【答案】(1)，
(2)图象见解析，答案见解析
【分析】（1）根据条件中的数据，由最值求和，以及根据周期和初相求和，即可求函数的解析式；
（2）由条件转化为进港条件为，根据（1）的结果求的的值，再结合函数的图象，即可求解.
【详解】（1）从数据和图形可以得出：
由题意可知，，得，，
，；由，得，
所以这段曲线的函数解析式为，．
（2）货船需要的安全水深为米，所以，进港条件为.
如上图所示，在点后或点后可以进港.
，与在区间有四个交点.
令，即，
因此，由，及得（时）时2分，（时）时10分.
由函数的周期性得：时2分+12时24分=13时26分，时10分+12时24分=17时34分.
因此，货船可以在1时10分左右进港，早晨5时20分左右出港；或在下午13时30分左右进港，下午17时40分左右出港．每次可以在港口停留约5小时．
5．（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．

(1)求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
(2)若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)（单位：10米）；
(2).
【分析】（1）利用三角函数的定义与性质计算即可；（2）利用两点的距离公式计算，由可得，化简等式根据三角函数的有界性换元转化为二次函数根的分布计算即可.
【详解】（1）由题意及三角函数的定义可知，
所以（单位：10米）；
（2）根据题意可知，
即，
则，
因为，所以，
即，
令，因为，所以，则，
上式可化为，
设，
因为时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，
则在上有两个相异实数根，
即，
解之得.
【点睛】思路点睛：第二问根据三角函数的定义及两点距离公式计算得，展开后得，利用换元法令得，由于一个周期内有四个点满足题意得出函数在上有两个相异实数根，根据一元二次方程根的分布计算即可.
时刻
水深m
时刻
水深/m
时刻
水深m
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