2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第04讲一元二次函数(方程，不等式)(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

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A夯实基础
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025高一上·河北保定·专题练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
4．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（24-25高三上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
8．（24-25高三上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集为
三、填空题
9．（2025高三上·河北保定·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
10．（24-25高三下·上海·阶段练习）关于x的不等式的解集为 ．
四、解答题
11．（2025高三下·全国·专题练习）已知二次函数，．
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．
12．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或
(1)求的值；
(2)解关于的不等式
13．（24-25高三上·山东淄博·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)，解关于的不等式．
B相遇高考（模拟）
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b的所有值；
(2)若对恒成立，求实数m的取值范围.
C素养提升
1．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广西南宁·模拟预测）设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ．
3．（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ．
4．（2024·福建三明·三模）记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则 ，若，则m的最小值为 .
第04讲 一元二次函数（方程，不等式）
A夯实基础 B相遇高考（模拟） C素养提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以且，
解得，所以的取值范围是.
故选：.
2．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式，得到，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可得到答案.
【详解】由基本不等式，可得，当且仅当时，即时，等号成立，
因为不等式恒成立，即恒成立，
又由不等式，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
3．（2025高一上·河北保定·专题练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分和，当，利用条件得到，即可求解.
【详解】当时，得到，不合题意，
当时，由题知，解得，
故选：A.
4．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【详解】当时，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式可得，
所以，即，
方程的两根为，
当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；
当时，不等式可化为，
当时，则，即，不等式的解集为：，
要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；
当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，
要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，
故实数的取值范围是：.
故选：B.
5．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由不等式的解集为可得，即可求解.
【详解】因为不等式的解集为，所以，所以，
所以“的解集为”是“”的充分不必要条件.
故选：.
6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果.
【详解】根据题意对于恒成立；
当时，显然成立，可得符合题意；
当时，若满足题意可得，解得；
当时，若满足题意可得，此时无解；
综上可得，的取值范围是.
故选：C
二、多选题
7．（24-25高三上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【答案】AD
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含参数的一元一次不等式
【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误.
【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确；
故，即，，
所以，B错误；
，C错误；
，
解得，D正确.
故选：AD
8．（24-25高三上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误.
【详解】由题设及函数图象知：且，
所以，则，，，A错，B、C对；
，则，D对.
故选：BCD
三、填空题
9．（2025高三上·河北保定·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解.
【详解】当时，有恒成立，满足题意；
当时，令，对称轴为，
时，在单调递减，单调递增，
则有，解得，
时，在单调递增，单调递减，
则有，解得，
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
10．（24-25高三下·上海·阶段练习）关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式计算求解.
【详解】关于x的不等式转化为或，
所以解集为.
故答案为：.
四、解答题
11．（2025高三下·全国·专题练习）已知二次函数，．
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)．
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据二次函数的性质和条件，即可联立方程求解；
（2）利用分离参数法，结合二次函数性质，即可求解恒成立问题.
【详解】（1）由题意知，
解得，所以，
由知，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意知，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
由，知在区间上是减函数，
则，所以，
即的取值范围是．
12．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或
(1)求的值；
(2)解关于的不等式
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可；
（2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集.
【详解】（1）根据题意，得方程的两个根为1和，
由根与系数的关系得，
解之得
（2）由（1）得关于的不等式，
即，因式分解得．
①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为；
13．（24-25高三上·山东淄博·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【知识点】由奇偶性求函数解析式、解含有参数的一元二次不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】（1）利用奇函数的性质分别求出和的解析式即可.
（2）首先证明函数在为增函数，从而得到，在分类讨论求解不等式即可.
【详解】（1）当时，因为是定义在上的奇函数，所以.
当时，，，
所以.
综上.
（2）任取，且，
，
即，所以在为增函数，
又因为是定义在上的奇函数，所以在为增函数.
所以，
，
即.
当时，，解得.
当时，，
当时，，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得或，
当时，，解得，
综上：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
B相遇高考（模拟）
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求绝对值不等式中参数值或范围
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，
（2）将问题转化为在上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解.
【详解】（1）由得，
易知，则，解得，
由于的解集为，则，解得．
（2）由（1）知，由得，
得在上恒成立，
，故．
令，若在上恒成立，
则，即，解得或，
故实数的取值范围为．
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b的所有值；
(2)若对恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、求绝对值不等式中参数值或范围
【分析】（1）代入得和得，，联立即可得到答案；
（2）由（1）化简得，分离参数得在上恒成立，再利用基本不等式即可得到右边最值，即可得到答案.
【详解】（1）当时,不等式化为,,
所以,①
当时,同理可得,②
联立①和②，解得.
而时,原不等式为
显然恒成立,所以.
（2）由（1）知,
所以,
因为,所以,所以在上恒成立.
令,则.
因为,
当且仅当,即时等号成立,所以,
所以,即实数的取值范围为.
C素养提升
1．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案.
【详解】令，
由题意可得，则，
又因为，所以，
函数的对称轴为，
则，
即，
即，结合，解得.
故选：A.
2．（2025·广西南宁·模拟预测）设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ．
【答案】 或或
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】由，及，可得，由可得，进而可得，分类结合可得.
【详解】若，则，故
因为，故，
因为，故，故，故，
若，则，又，故符合；
若，则，故，又，不符合，均舍；
若，则，故，又，故符合；
若，则，故，又，故符合；
综上，或或．
故答案为：，或或
3．（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、高次不等式
【分析】令，求出方程、的根，假设，结合穿根法可得出，进而得出，分析可知对任意的恒成立，可求出的值，由此可得出的值.
【详解】因为，则，
令，可得或或，
由于，则，
，
令，
令可得或或，
由于，则，
由可得，
若，取，，，
当时，，，此时，，
当时，由穿根法可知，，矛盾，
所以，，即，则，
所以，
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，则，解得，
因此，.
故答案为：.
4．（2024·福建三明·三模）记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则 ，若，则m的最小值为 .
【答案】 21
【知识点】求等差数列前n项和、一元二次不等式的概念及辨析、集合新定义
【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案.
【详解】当时，表示3个元素的有限集，
由可知或或或，
故；
由题意知，
故由可得，即，
解得或（舍去），
结合，故m的最小值为21，
故答案为：；21
【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解.