高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第08讲函数与方程(分层精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第08讲函数与方程(分层精练)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·河南·高一校联考期末）方程的解所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ）
A．B． C． D．不能确定
5．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
A．在区间上不一定单调
B．在区间内可能存在零点
C．在区间内一定不存在零点
D．至少有个零点
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间__________内有零点.
12．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是_____________．
四、解答题
13．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）已知对数函数的图象过点.
(1)求的解析式；(2)关于的方程在上有解，求的取值范围.
14．（2023秋·上海静安·高一校考期末）已知函数．
(1)请说明该函数图象是由函数的图象经过怎样的平移得到的；
(2)已知函数的一个零点为3，求函数的另一个零点．
15．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象；
(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
B能力提升
1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知满足，当，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为__________.
4．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）已知函数.
(1)证明：当时，在上有零点.
(2)当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围.
C综合素养
1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有4个不同的零点，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2023春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的根，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）设函数的定义域为D，若，使得，则称是函数的不动点．若函数在区间上存在不动点，则实数a的取值范围是______．
6．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”．
(1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）
(2)证明：函数存在“2倍值区间”；
(3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值．
1
2
3
4
5
6
第08讲 函数与方程(精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数 有2个不同的零点等价于方程 有2个不同的根，
，解得 或 ；
故选：D.
3．（2023秋·河南·高一校联考期末）方程的解所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则单调递增，
由，，
∴方程的解所在一个区间是．
故选：C．
4．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ）
A．B． C． D．不能确定
【答案】B
【详解】由于 均为定义域内的单调递增函数，故在单调递增，
故存在，使得 ，
故选：B
5．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象的交点个数为，
故函数的零点个数为.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
7．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得.
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】画出的图象如下图：
由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，
当时，，此时，
当时，，此时，
当存在，，，使得时，此时，
故选：C

二、多选题(共0分)
9．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
A．在区间上不一定单调
B．在区间内可能存在零点
C．在区间内一定不存在零点
D．至少有个零点
【答案】ABD
【详解】由所给表格可知，，，，
所以，，，
又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、、存在零点，
即至少有个零点，故D正确；
对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确；
对于B、C，虽然，，由于不知道函数在内的取值情况，
所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误；
故选：ABD
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
三、填空题
11．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间__________内有零点.
【答案】
【详解】由题意可知，取区间的中点，
，
，
所以，
所以第二次操作后确认在区间内有零点.
故答案为：.
12．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】依题意，
函数的图象如图所示：
方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），
可得a＋b＝－2，f（0）＝1＝f（1），，
则，
故答案为：．
四、解答题
13．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）已知对数函数的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)关于的方程在上有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设对数函数且，
其图象过点，即，
故.
（2）因为关于的方程在上有解，
故在上有解，
而当时，是增函数，故，
故的取值范围为.
14．（2023秋·上海静安·高一校考期末）已知函数．
(1)请说明该函数图象是由函数的图象经过怎样的平移得到的；
(2)已知函数的一个零点为3，求函数的另一个零点．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）向左平移2个单位得到，
再向上平移1个单位得到.
（2），
因为函数的一个零点为3，所以，解得.
所以，
令，解得.
所以函数的另一个零点为.
15．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象；
(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)图象见详解
(2)
【详解】（1）,
函数的图像：
（2）当或时，函数取最小值，最小值为，且.
由图像可知，方程有四个不相等的实数根，即与有四个交点时，所以.
故的取值范围为.
B能力提升
1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，则方程的解有3个，
由图象可得，，且三个解分别为，
则，，，
均有两个不相等的实根，
则，且，且，
即且，解得，
当时，，
因为，所以，所以，且，
所以，即恒成立，
故的取值范围为.
故选:B.
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】令、，则、，
在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，
因为函数的零点为，函数的零点为，
所以，，解方程组，
因为函数与互为反函数，
所以由反函数性质知、关于对称，
则，，所以，
当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.
故选：BC
3．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知满足，当，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【详解】因为，所以为周期是8的周期函数，则，
由，得或，
作出函数在上的大致图象，如图，
由图可知，在上，函数的图象与直线有六个交点，即时，有六个实根，从而时，应该有两个实根，即函数的图象与直线有两个交点，故，得.
故答案为：.
4．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）已知函数.
(1)证明：当时，在上有零点.
(2)当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，，
因为，所以，
因此在上有零点.
（2）当时，，由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增.又，故在上的值域为，
且关于x的方程在上没有实数解，故 或，即或
所以m的取值范围为.
C综合素养
1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】函数，当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
当时，在上递减，在上递增，，
作出函数的部分图象，如图，
方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的图象有4个公共点，
观察图象知，，，
显然有，且，由得，
即，则有，因此，
所以的取值范围为.
故选：B
2．（多选）（2023秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A：由题意，所以，此方程无解，所以A中函数不是“不动点”函数；
对于B：由题意，即，记，因为，，，，由零点存在性定理知，函数在区间和区间上有零点，即方程有解，故B中函数是“不动点”函数；
对于C：由题意，解得：，所以C中函数是“不动点”函数；
对于D：，在同一直角坐标系下画出函数以及的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以D中函数是“不动点”函数；

故选：BCD.
3．（多选）（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有4个不同的零点，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意都有则关于对称，
且，，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.
故选：AD．
4．（多选）（2023春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的根，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】，则，
在同一坐标系内作出与的图像，如下图所述：
对于选项A：根据图像可得，若方程有四个不同的根，只需，故A错误；
对于选项B：根据图像可得，
由题意可得：，即，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于选项C;根据图像可得点与关于直线对称，则，
根据选项B中证明，则，故C正确；
对于选项D：，
令，
任取，且，
则，
，则，，则，即，
即函数在上单调递增，
则，即，故D正确；
故选：BCD.
5．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）设函数的定义域为D，若，使得，则称是函数的不动点．若函数在区间上存在不动点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】设，由题可知有解，
即有解，
即有解，
即有解，
令，则有解，
即在时有解.
易知在时单调递减，在时单调递增，
且，，
故，则.
故答案为：.
6．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”．
(1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）
(2)证明：函数存在“2倍值区间”；
(3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值．
【答案】(1)是，理由见详解
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）取，
∵在上单调递增，
∴在上的最小值为，最大值为，且，
故函数是“倍缩函数”.
（2）取，
∵函数在上单调递增，
若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立，
等价于至少有两个不相等的实根，
等价于至少有两个零点，
∵，且在定义内连续不断，
∴在区间内均存在零点，
故函数存在“2倍值区间”.
（3）对，且，则，
∵，则，
∴，即，
故函数在上单调递增，
若函数存在“k倍值区间”，即存在，使得成立，
即在内至少有两个不相等的实根，
∵是方程的根，则在内有实根，
若，则，即，且，
∴，即.
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