2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第08讲函数与方程(知识点+真题+7大高频考点)(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第08讲函数与方程(知识点+真题+7大高频考点)(精讲)(原卷版+解析)，共3页。试卷主要包含了函数的零点，函数的零点与方程的根之间的联系，零点存在性定理，二分法，高频考点技巧等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22906" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc22906 \h 1
\l "_Tc12430" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc12430 \h 2
\l "_Tc19258" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc19258 \h 2
\l "_Tc29293" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc29293 \h 2
\l "_Tc21092" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc21092 \h 3
\l "_Tc16443" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc16443 \h 3
\l "_Tc25135" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc25135 \h 4
\l "_Tc15324" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc15324 \h 5
\l "_Tc10858" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc10858 \h 6
\l "_Tc32112" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc32112 \h 6
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知有且仅有1个零点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例题2．（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题3．（2025·福建南平·三模）设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
精练高频考点
1．（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
3．（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．0B．C．2D．
例题2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024高三·全国·专题练习）设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则实数a的取值范围为 .
精练高频考点
1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为 ．
2．（23-24高三上·四川遂宁·期末）已知函数若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 .
3．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（25-26高三上·全国·课后作业）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（多选）（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
例题2．（多选）（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．的取值范围为
例题3．（24-25高三上·湖北·期中）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 .
精练高频考点
1．（多选）（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足，若函数有6个零点，则6个零点的和为 ．
3．（24-25高三上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ．
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（25-26高三上·全国·课后作业）用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个精确度为的正实数零点的近似值可取（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（20234·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
第08讲 函数与方程
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22906" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc22906 \h 1
\l "_Tc12430" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc12430 \h 2
\l "_Tc19258" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc19258 \h 3
\l "_Tc29293" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc29293 \h 3
\l "_Tc21092" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc21092 \h 6
\l "_Tc16443" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc16443 \h 11
\l "_Tc25135" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc25135 \h 15
\l "_Tc15324" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc15324 \h 19
\l "_Tc10858" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc10858 \h 23
\l "_Tc32112" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc32112 \h 25
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数图象及性质
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数．
且，则．
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是．
故选：C.
例题2．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由对数（型）的单调性求参数、判断零点所在的区间
【分析】根据题意，得到在在上是增函数，结合，利用零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
因为和在都是增函数，可得在上是增函数，
又因为，可得，
根据函数零点存在定理，可得函数有唯一零点，且零点在区间内．
故选：B.
精练高频考点
1．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.
【详解】因为与均在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
，，
，
又，
函数的零点所在区间是．
故选：B．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知有且仅有1个零点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、判断零点所在的区间、函数与方程的综合应用、利用导数研究函数的零点
【分析】求导，分析出函数的单调性，然后得出零点的大概位置，构造函数，求出函数值域即可得出答案；或者参变分离，转换成函数图像交点问题.
【详解】解法一：由题可得，，定义域为，．
设，则，所以在上单调递增，
即在上单调递增．
设，则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减，
所以，所以，即，当且仅当时取等号．
所以，又，
所以存在唯一的，使得，即．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因为函数有唯一的零点，所以，所以，即，
所以．
设，则，
所以在上单调递减，又因为，，所以．
故选：B．
解法二：由题可得，，定义域为．
因为有且仅有1个零点，所以有且只有一个根，
即只有1个根，即直线与函数图象只有一个交点．
设，则．
令，所以，
显然恒成立，所以在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
当时，，此时，则单调递减；
当时，，此时，则单调递增，
则，当时，，当时，．
作出直线与函数的大致图象如图所示，
显然当取到极小值时，直线与函数的图象只有1个交点，此时，所以．
故选：B．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知识点】求抽象函数的解析式、求函数零点或方程根的个数
【分析】由题设条件可得，从而可先分析在上的零点个数为1，再结合前者可得内的零点个数.
【详解】因为，故，故，
即，
而当时，，
故当时，，故，
故，
当时，，
而在上为减函数，在为增函数，
故在有有且只有一个实数解为；
当时，，
而，故，此时在上无解；
故当时，，则，
结合上的性质可得在上有且只有一个实数解，
且该实数解为，在无实数解，
而且，
故在上的实数解为，，，
，共4个实数解，
故共有4个不同的零点.
故选：B.
例题2．（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】将变形为，从而转化为研究的性质判断零点个数.
【详解】易知0不是函数的零点，故，
令，则在，上单调递减，
又，，，，
故在，上各有一个零点，即零点个数为2，
故选：B．
例题3．（2025·福建南平·三模）设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】作出函数和的图象，数形结合即可得解.
【详解】方程解的个数等价于函数和的图象交点个数，
作函数和的图象如图所示：
由图可知函数和的图象的交点个数为5.
方程解的个数为5.
故选：B
精练高频考点
1．（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可．
【详解】是定义在上的函数，且有，
当时，，
则时，，则
时，
时，
时，
画出函数与函数的图象，
由图象可知方程的根的个数为3.
故选：C.
2．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
【答案】B
【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．
【详解】由得，
在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，，
又时，是增函数，即，
记，因此时，，
函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数，
即函数与函数的交点个数，
令，它在上是减函数，，，，，当时，，
作出和在上图象，如图，由图可知：
在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点，
所以的零点个数为3.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数的零点转化为函数的图象交点，并作出图象是求解的关键.
3．（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是
【答案】5
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用
【分析】求出或2，分别求出和时的解，得到答案.
【详解】或2，
当时，若，则，无解，
若，，故或，解得或，
当时，若，则，解得，
若，，故或，解得或，
所以方程的解的个数有5个.
故答案为：5
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】C
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、由奇偶性求参数
【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.
【详解】定义域为，
，所以函数为偶函数，
又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以，
当时，函数有唯一零点，符合题意；
当时，函数有零点，不符合题意舍；
故选：C.
例题2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数图象的应用、根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】转化问题为函数与有3个交点，进而结合图象求解即可.
【详解】由题意，函数有三个不同的零点，
即方程有3个解，
即函数与有3个交点，
画出函数的大致图象：
由图可知，要使函数与有3个交点，
则，
所以实数b的取值范围为.
故选：D.
例题3．（2024高三·全国·专题练习）设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数
【分析】令，将问题转化为方程组的解中的值来进行求解，结合与的图象列不等式来求得的取值范围.
【详解】令，则所求函数的零点即为方程组的解中的值.
根据题意，由方程②解出t（不妨设为、，），代入到方程①，则方程①只有2解.
分别作出方程①两边函数与（其中或）的图象（如图），
由题意，两图象只有2个交点.
的值域为，
故方程②的两个解、必须满足：
（i），或（ii）.
对于情形（i），只要，解得；
对于情形（ii），只要且，此时a不存在.故所求参数a的取值范围为.
故答案为：.

精练高频考点
1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】零点存在性定理的应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据零点求函数解析式中的参数
【分析】先根据函数的零点定义求得的值，即得，再结合二次函数的图象性质与函数的零点存在定理列出不等式组，解之即得.
【详解】依题意，为方程的两根，
则，解得，
故，则，
因函数的两个零点分别在区间内，
则，即，解得，
故实数m的取值范围是．
故答案为：
2．（23-24高三上·四川遂宁·期末）已知函数若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数
【分析】先求出和的根，再根据恰有2个零点，以及的解析式可得的范围.
【详解】又，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的.
综上所述：实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
3．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围
【分析】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，
当或时，关于的方程只有个实数根，
因为关于x的方程有三个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上，
或方程的两个根一个为，另一个在上，
若为方程的根时，则，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
若为方程的根时，则或，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程只有一个根为，不符题意，
若关于的方程的一个根在上，另一个在上时，
令，
则，即，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】指数函数图像应用、对数函数图象的应用、比较零点的大小关系
【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论.
【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标．
在同一坐标系内作出函数，，，的图象，
如图所示，由图可得．

故选：A.
例题2．（多选）（25-26高三上·全国·课后作业）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】比较零点的大小关系、由对数函数的单调性解不等式、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、对数的运算
【分析】由得到，由与的图象，可以直接判断，；再由得到，结合进一步得到.
【详解】令，则，分别作函数与的图象，如图所示.

不妨设，则由图可得，所以成立，故D正确.
因为，所以，故C错误.
又因为，所以，即，所以，故A错误，B正确.
故选：BD.
精练高频考点
1．（多选）（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【知识点】比较零点的大小关系、根据指对幂函数零点的分布求参数范围
【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项.
【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图.
根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误；
若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故D正确；
当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确.
故选：ACD
2．（多选）（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【知识点】求函数的零点、函数与方程的综合应用、比较零点的大小关系、求零点的和
【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断.
【详解】对于A，由题，，
所以即，
所以，故，故A正确；
对于B，由得，
故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点，
如图，由图象性质可知，
又由A得，故，
所以，故B错；
对于C，由上即，以及得：
，故C对；
对于D，由AB得，，，
所以，故D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由和得即，二是数形结合明确零点的取值范围为且，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断.
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】A
【知识点】求零点的和、反函数的性质应用
【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得.
【详解】由题设，，，，
所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
因为与关于对称，而与互相垂直，
所以，，则.
故选：A
例题2．（多选）（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．的取值范围为
【答案】ABD
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求零点的和、求函数的零点
【分析】先作出函数和的图象，结合题设即可判断ABC，接着求出方程和的根即可计算判断D.
【详解】由题得，所以作出和的图象如下：
因为方程有4个不同的零点，，，，且，
所以，令，则由图可知，
故，，故C错误，AB正确，
令，则或；
令，则或，所以
所以，故D正确.
故选：ABD
例题3．（24-25高三上·湖北·期中）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求零点的和、分段函数的性质及应用、画出具体函数图象、函数与方程的综合应用
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案.
【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，显然关于对称，则，
另一个交点位于直线上，在中，当时，，即，
因此，所以.
故答案为：
精练高频考点
1．（多选）（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】函数与方程的综合应用、求零点的和
【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.
【详解】如图：
由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误；
当时，方程有4个不同的解，且.
所以，且，故B正确；
又，且关于直线对称，所以，故C错误；
由，又.所以，故D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质.
2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足，若函数有6个零点，则6个零点的和为 ．
【答案】6
【知识点】函数对称性的应用、求零点的和
【分析】根据题意，得到函数的图象关于点对称，结合对称性，进而求得所有零点的和.
【详解】由，可得，即的图象关于点对称，
又由函数的图象也关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，
因为函数有6个零点，可得该函数的零点之和为．
故答案为：6.
3．（24-25高三上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ．
【答案】 （区间开闭均可）
【知识点】求零点的和、根据解析式直接判断函数的单调性、函数图象的应用
【分析】画出图形，结合图象即可得单调区间；根据图形分析可得，进而求出范围.
【详解】解：作出函数图像如下
由图象可知的单调递减区间是（区间开闭均可）；
若互不相等的实数，，满足
不妨设，则关于对称，所以
根据图像可得
所以，所以的取值范围为.
故答案为：（区间开闭均可）；.
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.
【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数.
因为在内有零点，
所以，解得.
故选：A
例题2．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、对数的运算
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.
【详解】因为在上单调递增，
所以，即，
解得．
故选：D.
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围
【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】用二分法求近似解的条件
【分析】根据二分法的要求结合零点存在性定理分析判断.
【详解】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即成立，
对比选项可知：ACD均符合，
但选项B：恒成立，不满足零点存在性定理，故B错误.
故选：B.
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确.
例题3．（25-26高三上·全国·课后作业）用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个精确度为的正实数零点的近似值可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【详解】因为，所以零点在区间内．因为，又零点是精确度为的正实数，所以零点的近似值可取上的任意一个值．
精练高频考点
1．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.
【详解】解：原始区间长度为，
第一次，区间长度减半，为，
第二次，区间长度减半，为，
第三次，区间长度减半，为，
第四次，区间长度减半，为，
故至少需要重复四次.
故选：B.
2．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用二分法求近似解的条件
【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项.
【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，
观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，
所以选项A中函数不能用二分法求零点．
故选：A.
3．（20234·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可.
【详解】设函数，
因为函数和都是增函数，
所以函数在上单调递增；
又，，
因此，所取的第一个区间可以是，
故选：B.
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58