2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第08讲第四章三角函数章节验收测评卷(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第08讲第四章三角函数章节验收测评卷(原卷版+解析)，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数的周期和振幅分别是（ ）
A．，2B．，4C．，2D．，4
2．已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．1C．D．
3．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
7．已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与的图象有相同的对称轴
B．与的图象有相同的对称中心
C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图象
D．当时，与的图象有2个交点
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．若，的增区间为()
C．若，则的图象关于点中心对称
D．的最小正周期为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 ．
13．如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 ．(从中选择，写出所有满足要求的点)
14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知角的终边经过点．
(1)求、、的值；
(2)求的值．
16．已知函数
(1)将函数化简为的形式（其中），并求函数的最小正周期；
(2)若，求的值
17．已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18．已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
(1)求的解析式；
(2)将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值；
(3)记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域．
19．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数．
(1)证明：；
(2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)求证：函数存在唯一零点且．
第四章 三角函数 章节验收测评卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数的周期和振幅分别是（ ）
A．，2B．，4C．，2D．，4
【答案】D
【分析】根据最小正周期公式结合振幅的定义分析判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期，
则周期为，振幅为4，结合选项可知D正确.
故选：D.
2．已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案.
【详解】由题意可得，，
则.
故选：D.
3．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的变换，可得答案.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象.
故选：B.
4．若，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】由可得，
由二倍角公式可得，得，
由于，则，故
，
故选：C
5．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得，解不等式即可得出答案.
【详解】，
令，因为，所以，
令可得，，
因为在上有且仅有2个零点，所以，
解得．
故选：C．
6．函数的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】分、讨论去掉绝对值，然后利用两角和的正弦、余弦公式化简，再根据的范围求出值域可得答案.
【详解】当即时，
，
因为，所以，
所以，；
当即时，
，
因为，所以，
所以，；
综上所述，.
故选：B.
7．已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，由此即可得解.
【详解】由题得，
当时，，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由在区间上的图象可知，若关于x的方程有两个不同的解，，
则，解得．
故选：C．
8．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】
，
若是上的“完整函数”，
则在上存在，使得成立，
即，
又因为，所以，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；所以只需保证即可，
解得.
综上可知.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式，结合同角公式逐项分析判断.
【详解】对于A，，A成立；
对于B、D，，B不成立，D成立；
对于C，由，得，C成立.
故选：ACD.
10．对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与的图象有相同的对称轴
B．与的图象有相同的对称中心
C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图象
D．当时，与的图象有2个交点
【答案】ABD
【分析】利用辅助角公式和诱导公式分别化简函数解析式，根据正弦型函数的图象和性质对选项分别计算，再进行判断即可.
【详解】由题意， ，
.
对于A，令，解得，
所以与的图象的对称轴都是，故A正确；
对于B，令，解得，
所以与的图象的对称中心都是，故B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，
故C错误；
对于D，设，时，，
则由，解得或，
所以函数在有两个零点，即与的图象有2个交点，故D正确.
故选：ABD.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．若，的增区间为()
C．若，则的图象关于点中心对称
D．的最小正周期为，则
【答案】AB
【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项即可.
【详解】对A，因为，所以，故A正确；
对B，当时，，
由，可得，
所以的单调递增区间为()，故B正确；
对C，因为且不恒为，所以的图象不可能关于点对称，故C错误；
对D，若的最小正周期为，则可得，解得，故D错误.
故选：AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系结合弦化切计算求解.
【详解】.
故答案为：.
13．如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 ．(从中选择，写出所有满足要求的点)
【答案】
【分析】由题可知相邻点的夹角为，根据，再利用正弦函数在单位圆中的定义，可直接找出满足要求的点.
【详解】由题可知相邻点的夹角为，
，与相差，即间隔一个点，
又正弦值要相等，即关于轴对称，
故符合的对称点有，
所以角的终边与单位圆交于点为.
故答案为.
14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先对不等式进行化简，然后根据的范围和正弦函数的性质计算的取值范围即可.
【详解】因为，，
所以.
所以.
因为，所以.
所以，所以，.
所以为了满足不等式恒成立，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知角的终边经过点．
(1)求、、的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可求得、、的值；
（2）利用诱导公式化简可得结果.
【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得，
，.
（2）
.
16．已知函数
(1)将函数化简为的形式（其中），并求函数的最小正周期；
(2)若，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到， 由正弦型函数的周期性，即可得到结果；
（2）由，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得：
，
所以函数的最小正周期为π.
（2）因为，所以.
因为，所以，
所以，
所以
.
17．已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；()
(2)
【分析】(1)利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得；
(2)换元，令，由的范围求出的范围，进一步可得到,从而得解.
【详解】（1）由
可得周期为：；
由，,
可得到，
因此，单调递减区间为 （).
（2）令 ，由,得，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又，，所以，
，，所以 ，
因此， 在 上的最小值为 ，
不等式 恒成立的条件是 ，
即 的取值范围为 .
18．已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
(1)求的解析式；
(2)将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值；
(3)记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用辅助角公式化简即得.
（2）利用图象变换求出，再求出的取值，进而求出最大值.
（3）分段求出的解析式及对应的值域，进而求出在指定区间上的值域.
【详解】（1）函数，
由图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，得，解得，
则，由，得，解得，
所以.
（2）由（1）得，
由，即时，，
由，即时，，
由，得，，
，由，得，
同理，因此当时，，
所以的最大值为.
（3）由，得，
当时，，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，又，则，
因此，，，；
当时，函数在上单调递减，，
，
因此，，，
所以在区间上的值域为.
19．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数．
(1)证明：；
(2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)求证：函数存在唯一零点且．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且
(3)证明见解析
【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证；
（2）假设存在正实数t满足题意，可得在上单调递增，令，进而得到即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，可得， 进而求解即可；
（3）通过逐段分析得函数的单调性，并结合零点存在定理确定有且只有一个零点，且，从而得，再由函数的单调性即可得证.
【详解】（1）证明：右边
，
左边，
所以.
（2）假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增，
所以，
所以，为关于的方程的两个不等实数根，
令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，
所以，解得且
所以存在正实数满足题意，t的取值范围且.
（3），定义域为，
①当时，函数在上单调递增，
因为，
所以，根据零点存在定理，使得，
故在上有且只有一个零点．
②当时，因为单调递增，单调递减，
，，所以，
所以在上不存在零点；
③当时， 因为单调递增，，因为
所以，所以在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且．
因为，所以，
所以，
在上单调递减， ，
所以．