2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题2.6函数与方程(八类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题2.6函数与方程(八类重难点题型精练)(学生版+解析)，共63页。试卷主要包含了函数的零点所在的大致区间的，已知函数，给出下列四个结论等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 求函数的零点或零点所在区间（二分法）
1．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．B．C．D．
2．（2016·陕西商洛·二模）函数的零点所在的大致区间的
A．B．C．D．
3．（2000·北京·高考真题）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2014·湖北·高考真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
6．（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
9．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
、重难点题型2 求方程根的个数与函数零点的存在性问题
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程的两根为，，则（ ）
A．，B．
C．D．
2．（2023·全国·一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
5．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 .
7．（2024·天津·一模）已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 .
8．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ．
重难点题型3 利用函数的零点求参数的取值范围
1．（2023·全国·一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东济南·三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
5．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
6．（2023·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 .
重难点题型4 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题
1．（2025·山东·一模）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ）
A．9B．10C．17D．12
2．（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）已知函数 ，若方程的实根个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．6D．8
4．（2021·浙江宁波·二模）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·天津·二模）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·陕西·校联考模拟预测）用表示中较小的数，，则的解的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2024·陕西西安·统考一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 .
8．（2023·陕西·校联考模拟预测）用表示中较小的数，，则的解的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，都有．现已知，那么（ ）
A．B．C．D．
10．（2016·山西太原·统考三模）已知定义在上的单调函数满足对,则方程的解所在区间是
A．B．C．D．
重难点题型5 嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题
1．（22-23高二上·湖南·期中）设函数，方程恰有5个实数解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知函数则方程的实数个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2022·湖北十堰·模拟预测）（多选题）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
5．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高三上·河北·阶段练习）（多选题）已知函数若关于的方程恰有5个不同的实数解，则下列说法正确的是（ ）
A．时方程有两个不相等的实数解
B．时方程至少有3个不相等的实数解
C．时方程至少有3个不相等的实数解
D．若方程恰有5个不相等的实数解，则实数的取值集合为
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
8．（21-22高三·河南·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
重难点题型6 唯一零点问题
1、（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在区间上随机取两个实数,，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是（ ）
A．B．C．D．
2、（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，要确保的零点唯一，则的值可以为（ ）
A．B．0C． D．5
3．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知函数有唯一零点，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（ ）
A．2B．C．4D．1
5．（2021·全国·模拟预测）已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（20-21高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数是偶函数的导函数，当时有唯一零点为2，并且满足，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数在区间有且仅有1个零点，则的取值范围为 ．
重难点题型7 分段函数的零点问题
1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值茫围为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·江西南昌·期中）（多选题）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
①函数有两个极值点；
②若关于的方程恰有1个解，则；
③函数的图象与直线有且仅有一个交点；
④若，且，则无最值．
A．①B．②C．③D．④
5．（2026高三·全国·专题练习）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围为 ．
6．（2025·江苏·三模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ．
重难点题型8 等高线问题
1．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若有四个不同的实数解，且，则的取值范围为 ．
6．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
序号
题型
重难点题型1
求函数的零点或零点所在区间（二分法）
重难点题型2
求方程根的个数与函数零点的存在性问题
重难点题型3
利用函数的零点求参数的取值范围
重难点题型4
嵌套函数（自我嵌套）的零点问题
重难点题型5
嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题
重难点题型6
唯一零点问题
重难点题型7
分段函数的零点问题
重难点题型8
等高线问题
专题2.6 函数与方程
目录●重难点题型分布
重难点题型1 求函数的零点或零点所在区间（二分法）
1．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.
【详解】解：原始区间长度为，
第一次，区间长度减半，为，
第二次，区间长度减半，为，
第三次，区间长度减半，为，
第四次，区间长度减半，为，
故至少需要重复四次.
故选：B.
2．（2016·陕西商洛·二模）函数的零点所在的大致区间的
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件
【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点.
【详解】函数 ,在x>0上单调递增，
，
函数f（x）零点所在的大致区间是；
故选B
【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间.
3．（2000·北京·高考真题）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、根据零点求函数解析式中的参数、求解析式中的参数值
【分析】根据函数的零点可得出，从而得出，再由时可得出的取值范围，进而得出实数的范围.
【详解】函数的三个零点分别为、、，
则，.
当时，，，，则.
因此，.
故选A.
【点睛】本题考查三次函数的问题，根据三次函数的零点得出函数的解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．（2014·湖北·高考真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、函数奇偶性的应用、求函数的零点
【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以，
所以，
由，解得或；
由解得或（舍去），
所以函数的零点的集合为.
故选：D.
考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断零点所在的区间、比较函数值的大小关系
【分析】利用求导判断单调性，再借助，然后通过数形结合，即可作出判断.
【详解】求导得，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
根据，，
当时，，可作出图象：
所以当时，，
根据图象可知，，
所以恒有，故B正确，
由于，，所以，故C错误，
故选：B.
6．（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断零点所在的区间
【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．
【详解】函数的定义域为，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
又因为，则或，
若，由零点存在性定理；
若，而，则，由零点存在性定理，
综上所述，则C一定正确.
故选：C.
7．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断指数函数的单调性、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.
【详解】因为与均在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
，，
，
又，
函数的零点所在区间是．
故选：B．
8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
9．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
重难点题型2 求方程根的个数与函数零点的存在性问题
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程的两根为，，则（ ）
A．，B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断零点所在的区间、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC.
【详解】由可得，
在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示：
因为，，
由图象可知，，
所以故A，D错误；
，
因为，所以，所以，
所以，即，故B错误，C正确.
故选：C
2．（2023·全国·一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用、正弦函数图象的应用
【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，
满足①，，令，解得：；
或要满足②，，令，解得：；
经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C.
【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.
3．（2023·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】正弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由条件结合零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.
【详解】令，
则，
当时，则，
因为函数在上有三个零点，
所以，
∴，
故选：A.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
5．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据极值点求参数
【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需与有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，利用数形结合即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，
由，可得，
要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，
由得，，所以，
由题意可知与有两个不同的交点，
令，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，当时，，
作出图形如图所示：
由图象可得实数a的取值范围为.
故答案为：.
7．（2024·天津·一模）已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.15
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】根据是否有零点，分类讨论，当时，恒成立，根据题意求解即可；当，时，恒成立，不符合题意，当，时，结合二次函数性质讨论得没有实数根，最后计算可得.
【详解】（1）当，即时，
恒成立，
所以，
因为有两个零点，
所以且，解得或（舍），
所以或；
（2）当，即或，
设的两个根为，且，
当时，恒成立，不满足题意，
当，有有两个解，
因为，，所以与在必有一个交点，
当时，与没有交点，
当时，，所以与在必有一个交点
所以要使方程有且只有两个零点，
则无解，
即没有实数根，
即，解得，
因为，所以，
综上实数的取值范围为：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题得关键在于讨论当时，恒成立，当时，结合二次函数性质，二次项系数越大，开口越小，得出没有实数根，最后计算可得.
8．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围.
【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点，
的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去，
如图数形结合可得
故答案为：
重难点题型3 利用函数的零点求参数的取值范围
1．（2023·全国·一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用、正弦函数图象的应用
【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，
满足①，，令，解得：；
或要满足②，，令，解得：；
经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C.
【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.
2．（2023·山东济南·三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用
【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.
【详解】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
3．（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性、对数函数单调性的应用
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
5．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求零点的和、判断或证明函数的对称性、对数函数图象的应用
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.
【详解】函数的定义域为，
由，得，令函数，
，则函数的图象关于直线对称，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为，
观察图象得，所以的零点之和为.
故答案为：
6．（2023·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 .
【答案】
【难度】0.15
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】设，即可求出b，继而求出的表达式，将看作主元，配方得，记，即可求解最大值.
【详解】设，则，
此时，则，
令，
当时，，
记，则，
所以在上递增，在上递减，
故,所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题是双参数函数的零点问题，
第一步消参：通过设零点，代入方程，得到其中一个参数的表达式，
第二步主元法求最值：将所求表达式通过主元法（关于另一个参数）构造函数求出最值，即可求解.
重难点题型4 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题
1．（2025·山东·一模）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ）
A．9B．10C．17D．12
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数是周期函数，再根据当时，，结合其单调性、对称性、周期性作出函数在区间上的图象，利用函数与函数的图象，由交点的个数可得出方程根的个数.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
由可知，函数的图象关于直线对称，
则有，则，则，
所以，故是周期函数，周期.
又因为，所以，且有，则.
当时，是增函数，
且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点.
函数与函数的图象如图，
由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根，
方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个，
所以，方程在区间上的根的个数为.
故选：C.
2．（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）已知函数 ，若方程的实根个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合可得与有个交点，不妨设为且，则，再分别判断的根的个数，即可得解.
【详解】因为，则，，，，
令，解得或，
又在同一平面直角坐标系中画出与的图象，
由图象观察可知与有个交点，不妨设为且，
则，
当时，由，，则存在个不同实根，
由，，则存在个不同实根，
由，，则存在个不同实根，
由，，则存在个不同实根，
综上的实根个数为．
故选：C
3．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用、对数型复合函数的单调性、函数与方程的综合应用
【分析】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可.
【详解】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数，
令，则，当时，，令，，
函数在上单调递增，于是函数在上单调递增，
又，，则存在，使得；
当时，，解得或，
作函数的大致图象，如图：

又，则，
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当，时，，由的图象知，方程有一个解，
综上所述，函数的零点个数为5.
故选：B
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
4．（2021·浙江宁波·二模）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】的对称轴为，分类讨论当时和当时，分别作出函数的图象，借助图象判断根的个数，或列出恰有三个根的条件即可求解.
【详解】由题意知，的对称轴为，
当即时，的图象如图1，此时令，可得，
观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；

当即时，的图象如图2，此时令，可得或，
因为和均为的根，
所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，．
当时，的对称轴为，
则，解得，
故．

综上，的取值范围为．
故选：A.
5．（2023·天津·二模）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.
【详解】由题意可知，当时，，所以；
当时，，所以，
综上，对，有，
由有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设,
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，,当时，
令，因为，所以，
所以，则，
令，
，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时.
所以函数的值域为，
即的取值范围是.
故选：A.
6．（2023·陕西·校联考模拟预测）用表示中较小的数，，则的解的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】画出的图象，先由求得，然后由判断出正确答案.
【详解】由解得，设，
画出的图象如下图所示，
由解得；
由解得或；
令，则或或或；
由图象可知，有个解，分别有个解，
没有解，且上述个解互不相同，
所以的解的个数为个.
故选：D
7．（2024·陕西西安·统考一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求函数的值域，单调性，并画出图象，再设，结合复合函数的零点个数求实数的取值范围即可.
【详解】易知函数在R上增函数，函数在上减函数，
所以，当时，，当时，，
于是函数的值域为，
又函数的在上单调递增，在上单调递减，
函数图象如图所示：
设，由可知，，则.
因为有两个零点，所以，即，
于是，则方程，即有两个零点，
所以，由的图象可知，使方程有两个零点，
则满足，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2023·陕西·校联考模拟预测）用表示中较小的数，，则的解的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】画出的图象，先由求得，然后由判断出正确答案.
【详解】由解得，设，
画出的图象如下图所示，
由解得；
由解得或；
令，则或或或；
由图象可知，有个解，分别有个解，
没有解，且上述个解互不相同，
所以的解的个数为个.
故选：D
9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，都有．现已知，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由求出，再由得到，结合单调性和零点存在定理进行判断即可.
【详解】不妨设，则，所以，得，，
因为，所以．令，易得在上单调递增，
因为，，
由零点存在定理知：.
故选：D．
10．（2016·山西太原·统考三模）已知定义在上的单调函数满足对,则方程的解所在区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性及可得，再利用可求函数的解析式，求出后可估计的解所处的区间.
【详解】因为为单调函数且，则必是常数，
故设，其中为常数，
故，因为，
令，故，故为上的增函数，
因为时，，故方程有且仅有一个解，
故，
而方程可化为，整理得到，
令，故为上的单调增函数，
而，，故方程的根在区间中，故选C.
【点睛】不可解方程的根的估计，要利用函数的单调性和零点存在定理，后者需要找两个异号的函数值，可依据函数解析式的特点选择合适的点.
重难点题型5 嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题
1．（22-23高二上·湖南·期中）设函数，方程恰有5个实数解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三角函数图象的综合应用、函数与方程的综合应用
【分析】当时，得到.若方程恰有5个实数解，只需函数在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立求解即可.
【详解】当时，，
因为函数在区间上恰好有5个，使得，
故在上恰有5条对称轴．令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故选：B．
2．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求得，得到函数的单调性和极值，作出函数的图象，根据题意，转化为和共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解.
【详解】当时，，此时，
则时，单调递减；时，单调递增，
所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象，
函数有5个不同的零点，则方程，
即有5个不相等实数根，
也即是和共有5个不相等实数根，
其中有唯一实数根，
只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知，
即实数的取值范围为.
故选：C.
3．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知函数则方程的实数个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用
【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可.
【详解】函数的部分图象如图所示.
由方程，解得或.
当时，有5个实根，当时，有6个实根，
故方程的实根个数为11.
故选：C.
4．（2022·湖北十堰·模拟预测）（多选题）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、根据零点求函数解析式中的参数、函数与方程的综合应用
【分析】由可得或，作函数的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察图象确定的关系，由此判断C，
【详解】的大致图像如图所示，令，即，即或．若有4个零点，则实数t的取值范围为或或，故A项错误；由图可知，当时，有5个零点，故B项正确；当有6个零点时，则，所以，即有，故C项正确；当时，有4个零点，故D项错误，
故选：BC．
5．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、指数函数图像应用、函数与方程的综合应用
【分析】令，探讨一元二次方程根的情况，再结合函数的性质，即可判断作答.
【详解】令，则方程化为，
由给定的选项知，方程有实根，设其根为，
函数定义域为R，
，在上递减，在上递增，
且的图象关于直线对称，，
当时，方程无解，
当时，方程有一解，
当时，方程有两解且和为2，
对于A，当时，方程有两解且和为4，
与题意矛盾，故A不符合要求；
对于B，当时，方程有两解且和为2，又关于对称，故B符合要求；
对于C，当时，方程有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C不符合要求；
对于D，当时，方程有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又关于对称，关于对称，故D符合要求，
故选：BD.
6．（22-23高三上·河北·阶段练习）（多选题）已知函数若关于的方程恰有5个不同的实数解，则下列说法正确的是（ ）
A．时方程有两个不相等的实数解
B．时方程至少有3个不相等的实数解
C．时方程至少有3个不相等的实数解
D．若方程恰有5个不相等的实数解，则实数的取值集合为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用
【分析】根据函数解析式，作出函数图象，利用函数与方程的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，结合数形结合的思想，可得答案.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示，
令，则可化为，
则或，则关于的方程的实数解等价于的图象与直线，的交点个数，
对于A，当时，则，此时有两个不相等的实数解，故A正确；
对于B，时，取，则或，因为的值域为，故方程只有2个不相等的实数解，故B错误；
对于C，时，，与函数图象至少有1个交点，故C正确；
对于D，若关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，所以的图象与直线的交点个数为3个，即此时，解得，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】对于根据方程解的个数求参数的题目，常常利用函数与方程的关系，结合数形结合的思想，解决问题.
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、画出具体函数图象、指数函数图像应用、函数与方程的综合应用
【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示．
由，得，
解得或．
由图象易知，直线与的图象有3个交点，
所以方程有3个不同的实数根，
因为方程有7个不同的实数根，
所以直线与的图象有4个交点，
故，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：
8．（21-22高三·河南·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示，
令，则可化为，
则或，
则关于的方程恰有5个不同的实数解
等价于的图象与直线的交点个数之和为5个，
由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，
所以的图象与直线的交点个数为3个，
即此时，解得.
故答案为：.
重难点题型6 唯一零点问题
1、（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在区间上随机取两个实数,，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数在区间上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．
【详解】由题意知本题是一个几何概型，
由，则，所以是增函数，
又在有且仅有一个零点，则，
所以，即，
又，则，
由线性规划内容知全部事件的面积为，满足条件的面积为，
所以满足条件的概率，
故选：D．

2、（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，要确保的零点唯一，则的值可以为（ ）
A．B．0C． D．5
【答案】C
【分析】利用函数的单调性和奇偶性的性质，结合函数零点的定义即可得到的取值范围，进而得到的可能取值.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，
又由是定义在R上的奇函数，可得
又当时，单调递增，要确保的零点唯一，
则的唯一零点为，可得．
则的值可以为.
故选：C
3．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知函数有唯一零点，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由函数对称性求函数值或参数
【分析】先求得，从而得函数具有对称性，再由函数的对称性得到唯一零点的值，从而建立方程解出参数的值.
【详解】因为，
所以
所以，故函数关于直线对称，
故由函数存在唯一零点得零点只在处取得即，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于分析出函数的对称性，通过对称函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（ ）
A．2B．C．4D．1
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、根据零点求函数解析式中的参数
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
【详解】由
，
得，即函数的图象关于对称，
要使函数有唯一的零点，
则，即，得．
故选：A．
5．（2021·全国·模拟预测）已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用导数研究函数的零点
【分析】令f(x)=0，分离参数，结合导数研究函数的单调性即可得出结果.
【详解】令f(x)=0，则，，
令，，
令，，
则函数在区间单调递增，，
所以，函数在区间单调递增，
所以有，
即，
所以，
故选：B．
6．（20-21高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数是偶函数的导函数，当时有唯一零点为2，并且满足，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【分析】构造函数，利用导数确定其单调性，再确定其奇偶性，然后解不等式即可．
【详解】可化为，
设，则，由已知时，，递减，
又是偶函数，∴，是奇函数，∴在上也是减函数，，
∴由得或．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，构造新函数，确定单调性是解题关键．
7．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为，设，，
由得，，令可得，
时，，时，，
易知函数在单调递减，在单调递增，且，
作出的图象如下图所示，
而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），
又，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
8．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数在区间有且仅有1个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由周期与所给区间长度关系得出，据此可得的范围，根据原题可转化为讨论在区间内，在区间内两种情况得出的取值范围.
【详解】在有且仅有1个零点，
即方程在上有且只有1个根，
由，可得，
因为，所以，
由知，
当时，即时，方程在上有且只有1个根，
则需，解得，所以；
当时，即时，方程在上有且只有1个根，
则需，解得，所以，满足，
综上，的取值范围为.
故答案为：
重难点题型7 分段函数的零点问题
1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点
【分析】应用分段函数当时计算零点，当时，应用对数运算结合零点存在定理判断零点个数即可.
【详解】当时，由得；
当时，在上单调递增，并且，
即，所以函数在区间内必有一个零点，
综上，函数的零点个数为2．
故选：D.
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值茫围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由已知作出函数的大致图象，将函数的零点问题转化为图象的交点问题，即可求解.
【详解】当时，，，
作出的大致图象，如图所示，
由，得，
若函数恰有3个零点，
则函数的图象与函数的图象有个不同的交点，
则.
故选：.
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围
【详解】作出图象，
其中当时，，其顶点为．由与直线有3个交点，知m的取值范围是．
4．（24-25高二下·江西南昌·期中）（多选题）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
①函数有两个极值点；
②若关于的方程恰有1个解，则；
③函数的图象与直线有且仅有一个交点；
④若，且，则无最值．
A．①B．②C．③D．④
【答案】AC
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得，有恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出的图象与有3个交点时，的范围，然后用表示出，即可得出，构造函数，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④.
【详解】对于①，当时，，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，，恒成立，
所以，在上单调递减；
当时，，恒成立，
所以，在上单调递减．
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
所以，在处取得极小值，在处取得极大值，故①正确；
对于②，作出的图象如下图1，
由图1可知，若关于的方程恰有1个解，则或，故②错误；
对于③，由①知，当时，，
因为，所以，所以，当且仅当；
当时，；
当时，，
因为，所以，所以，当且仅当．
综上所述，，有恒成立．
又直线可化为，斜率为，
所以函数的图象与直线有且仅有一个交点，故③正确；
对于④，
由图2可知，当时，函数的图象与有3个不同的交点．
则有，所以，
所以，．
令，，
则．
令，则在上恒成立，
所以，在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，，使得，
且当时，，
所以，所以在上单调递减；
当时，，
所以，所以在上单调递增．
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误．
综上所述，①③正确．
故选：AC．
5．（2026高三·全国·专题练习）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用函数的单调性可得分段在每段上个存在一个零点，再分别求其零点，使其满足定义域即可.
【详解】因函数在和在均为增函数，
则这两个函数在对应区间上的零点均至多有个，
因有两个不同的零点，
则函数在和在上分别有1个零点，
令，得，则，即；
令，得，则，
又，则．
故答案为：
6．（2025·江苏·三模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】余弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用
【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断.
【详解】由函数满足，则，所以的周期为，
由，则，
可得的图象如图，
方程的解，即为与的交点横坐标，
且当时，
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.
故答案为：
重难点题型8 等高线问题
1．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、函数与方程的综合应用、函数不等式恒成立问题
【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案.
【详解】时，，
令，则当时，，
故要想在时满足恒成立，
需满足，不妨取，
，，
画出在上的图象，如下：
由图象可知，，，
则，
故，
两式相加得，
所以.
故选：C
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、函数图象的应用
【分析】根据平移求得的解析式，画出和的大致图象，由对称性求得，，，，，之间的关系，进而得解.
【详解】由题意知，
画出的图象以及的图象（如图所示），
与的图象在上有5个交点，
这5个交点的横坐标即为方程在上的5个实数根，，，，，
易知，，关于对称，，关于对称，
，关于对称，，关于对称，
所以，，，，
所以，故D正确.
故选：D.
3．（2024·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合可得且、，从而将转化为，令，，判断函数的单调性，从而求出的值域，即可得解.
【详解】因为，所以，，，，
又函数对称轴为，
在同一平面直角坐标系中画出与的图象，
因为方程有四个不同的解，，，，且，
即与有四个交点，所以，
由图可知，
又，关于对称，即，
又，且，
即，则，
所以，则；
所以，
令，，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，
又，，
所以，
即．
故选：D．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.
【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，
方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，，，AD正确；
显然，而，则，即，，
，B正确；
显然，，C错误.
故选：C
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若有四个不同的实数解，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】函数对称性的应用、函数与方程的综合应用、对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】先由时，得到关于对称，即可得到之间的关系，有，再由时可得，之后将要求的表达式转化为关于的表达式，利用导数求解即可.
【详解】由于时，，即函数图像关于对称，
因此，故．
又，则，
即为，则，
故．
由于，所以，则．
令，
则在上单调递减，
，，则的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：若恒成立，则的图象关于直线对称；
若恒成立，则的图象关于点对称.
6．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据函数的图象易知，且.设，则，，，代入中利用换元法及基本不等式即可求解.
【详解】在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象如下图所示：
依题意得：，且，则.
设，则，，，
所以，令，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
序号
题型
重难点题型1
求函数的零点或零点所在区间（二分法）
重难点题型2
求方程根的个数与函数零点的存在性问题
重难点题型3
利用函数的零点求参数的取值范围
重难点题型4
嵌套函数（自我嵌套）的零点问题
重难点题型5
嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题
重难点题型6
唯一零点问题
重难点题型7
分段函数的零点问题
重难点题型8
等高线问题