2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.3二项式定理(十一类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.3二项式定理(十一类重难点题型精练)(学生版+解析)，共46页。试卷主要包含了展开式的常数项为 .等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 求二项式中的常数项
1．（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（ ）
A．112B．56C．D．
2．（2024·浙江·三模）的展开式的常数项为（ ）
A．B．C．D．4
3．（2024·山西·模拟预测）的展开式中常数项为（ ）
A．112B．56C．28D．16
4．展开式的常数项为 .
5．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
重难点题型2 求二项式中的特定项系数
1．（2025·江西·模拟预测）展开式中的第项是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北衡水·模拟预测）的展开式中第5项的系数为（ ）
A．60B．64C．72D．84
3．（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ．
4．（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 .
5．（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 .
重难点题型3 求二项式中的有理项
1．（2024·湖南衡阳·三模）展开式中系数为无理数的项共有（ ）
A．2项B．3项C．4项D．5项
2．（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项B．5项C．4项D．3项
3．（2023·全国·模拟预测）的展开式中，有理项是第 项．
4．（23-24高三上·山东德州·期末）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．
重难点题型4 求二项式中的参数
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知二项式的展开式中的系数是280，则实数的值等于（ ）
A．1B．2C．D．
2．若展开式中的常数项为16，则实数a＝（ ）
A．1B．C．D．
3．已知的展开式中的常数项为14，则 ，展开式中的整数次幂项的个数为 ．
4．已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为 .
重难点题型5 求三项展开式的指定项
1．（24-25高二下·山东威海·期中）的展开式中含的项为（ ）
A．B．C．D．
2．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中常数项为 .
4．已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ．
重难点题型6 求几个二（多）项式的积的展开式中条件项系数
1．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）的展开式中常数项为（ ）
A．120B．-120C．180D．-180
2．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）的展开式中的常数项为（ ）．
A．B．4C．D．2
3．（24-25高二下·山西吕梁·期末）的展开式中，含项的系数为 ．
4．（2025·山西晋中·三模）的展开式中，常数项为 ．
重难点题型7 求二项式系数之和与最值问题
1．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．160B．C．20D．
2．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江苏南京·三模）在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为 .
4．（2025·江西鹰潭·二模）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为 ．
重难点题型8 求各项系数之和及项系数的最值问题
1．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（ ）
A．252B．210C．120D．10
2．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1B．第4项和第5项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128D．第4项的系数最大
3．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是 ．
4．已知展开式中第三项的二项式系数是10，则 ，展开式中系数的绝对值最大的项是 .
重难点题型9 整除与余数问题
1．（23-24高三下·山东济南·开学考试）被除的余数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2023·广东深圳·模拟预测）若是9的倍数，则自然数n为（ ）
A．4的倍数B．3的倍数C．奇数D．偶数
3．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 .
重难点题型10 二项式定理与数列求和
1．（2025·河北保定·模拟预测）若数列的前9项满足，记的前项和为，则 .
2．若对任意，都有，（ 为正整数），则的值等于 .
3．设复数（是虚数单位），则 ．
4．（2025·陕西渭南·二模）若，则的值为 .
重难点题型11 杨辉三角
1．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第行中，最大
C．
D．
2．将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
4．（23-24高二下·山西·期中）如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 .
一、单选题
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（ ）
A．B．C．28D．56
2．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（ ）
A．252B．-252C．210D．-210
3．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（ ）
A．B．C．240D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．24B．6C．D．
6．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．7
7．（2025高二·江苏·专题练习）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
8．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
9．（2023·浙江·模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题
11．（2025·安徽蚌埠·二模）在的展开式中，常数项为 .
12．（2023·江苏扬州·模拟预测）若，则被5除所得的余数为 ．
13．（2020·浙江·模拟预测）在二项式的展开式中，已知第4项的二项式系数为20，则 ，的系数为 ．
14．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）.
15．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为
16．（2023·山东青岛·三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
17．（2021·山西·一模）已知函数，则下列关于展开式的命题中，所有真命题的序号是 ．
①当时，展开式共有11项；
②当时，展开式第3项与第6项的二项式系数之比为；
③当时，展开式中，各项系数之和为；
④当时，展开式中，系数最小的项是．
18．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ．
19．（2025·四川巴中·一模）除以7的余数为 ．
序号
题型
重难点题型1
求二项展开式中的常数项
重难点题型2
求二项展开式中的特定项系数
重难点题型3
求二项展开式中的有理项
重难点题型4
求二项展开式中的参数
重难点题型5
求三项展开式的指定项
重难点题型6
求几个二（多）项式的积的展开式中条件项系数
重难点题型7
求二项式系数之和及最值问题
重难点题型8
求各项系数之和及项系数的最值问题
重难点题型9
整除和余数问题
重难点题型10
二项式定理与数列求和
重难点题型11
杨辉三角
专题10.3 二项式定理
目录●重难点题型分布
重难点题型1 求二项式中的常数项
1．（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（ ）
A．112B．56C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用
【分析】求出的展开式的通项可得答案.
【详解】的展开式的通项，
由，得，
所以的展开式中的常数项为．
故选：A.
2．（2024·浙江·三模）的展开式的常数项为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】先求出展开式的通项，令指数等于0，求得，即可求解.
【详解】通项为常数项，
令可得，
所以，
故选：B．
3．（2024·山西·模拟预测）的展开式中常数项为（ ）
A．112B．56C．28D．16
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】由二项展开式的通项公式即可得到常数项.
【详解】由题意知，通项公式为，
所以常数项为.
故选：A.
4．展开式的常数项为 .
【答案】60
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】的常数项为,
故答案为：
5．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】5
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】写出展开式的通项，令的指数为即可；
【详解】由题意可知：，令，所以常数项为.
故答案为：
重难点题型2 求二项式中的特定项系数
1．（2025·江西·模拟预测）展开式中的第项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】根据展开式通项公式写出第项即可.
【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：，
将代入上式，可得：，
所以展开式中的第项是：.
故选：A.
2．（2025·河北衡水·模拟预测）的展开式中第5项的系数为（ ）
A．60B．64C．72D．84
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数
【分析】利用二项式定理求出第5项即可得解.
【详解】的展开式中第5项为，
所以所求的系数为60.
故选：A
3．（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算求解即得.
【详解】由展开式的通项公式可得，，
所以展开式中第4项的系数为.
故答案为：．
4．（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解即可.
【详解】依题意，展开式中的项是.
故答案为：
5．（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 .
【答案】30
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.
【详解】展开式的通项表达式为，
当时，，
.
故答案为:30.
重难点题型3 求二项式中的有理项
1．（2024·湖南衡阳·三模）展开式中系数为无理数的项共有（ ）
A．2项B．3项C．4项D．5项
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】二项展开式的应用
【分析】根据题意，结合二项式的展开项，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为展开式的通项公式为，
当时，展开式中系数为无理数项，共5项.
故选：D
2．（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项B．5项C．4项D．3项
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用、求有理项或其系数
【分析】运用二项展开式的通项公式可得、的值，结合有理项的定义赋值求解即可.
【详解】展开式的第7项为，
由题意，得，，（），所以，，
则展开式的通项为，，
令，则，所以展开式中的有理项共有3项.
故选：D.
3．（2023·全国·模拟预测）的展开式中，有理项是第 项．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】二项展开式的应用、求有理项或其系数
【分析】求出二项式展开式的通项公式，根据有理项的含义，确定参数的值，即可得答案.
【详解】的展开式的通项，
其中，
当为有理项时，为整数，结合，
所以，即有理项是展开式中的第3项，
故答案为：3
4．（23-24高三上·山东德州·期末）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】多项式的展开式、计算古典概型问题的概率、求有理项或其系数
【分析】由题可得的二项展开式共有7项，通项为：，则该项系数为有理数时，为偶数，即可得答案.
【详解】的二项展开式共有7项，通项为：，
其中，要使项系数为有理数，则为偶数，即时，
项系数为有理数，则相应概率为：.
故答案为：.
重难点题型4 求二项式中的参数
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知二项式的展开式中的系数是280，则实数的值等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用
【分析】根据题意，求得展开式的通项，确定的值，列出方程，即可求解.
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，解得.
故选：C.
2．若展开式中的常数项为16，则实数a＝（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二项展开式的应用
【分析】利用二项式定理求通项求得实数的值.
【详解】因为常数项为，则，
故选D.
3．已知的展开式中的常数项为14，则 ，展开式中的整数次幂项的个数为 ．
【答案】 2 3
【难度】0.94
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由展开式中的常数项为14，可求出的值，由的指数为整数，即为整数，从而可得，进而可得答案
【详解】的展开式的通项公式为．
令，得，则展开式中的常数项为，故．
易知当时，的值分别为14，7，0，均为整数，
故展开式中的整数次幂项的个数为3．
故答案为：2，3
4．已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为 .
【答案】128
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数、二项展开式的应用
【分析】根据二项展开式的通项公式得出，从而得出第六项系数，求出，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.
【详解】解：由题意，通项为：，
由于的展开式中第6项的系数为-189，
则第六项系数为：，解得：，
故该二项式为，
令得展开式各项系数的和为：．
故答案为：128．
【点睛】本题考查二项展开式的通项公式得应用和指定项的系数，以及利用赋值法求展开式中各项的系数和.
重难点题型5 求三项展开式的指定项
1．（24-25高二下·山东威海·期中）的展开式中含的项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题、求二项展开式的第k项、二项展开式的应用
【分析】将三项展开式变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果.
【详解】
展开式通项为；展开式通项为，
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
展开式中含的项为.
故选：B.
2．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】多项式的展开式
【分析】把看成6个相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果.
【详解】是6个相乘，需要依次从每个的三项（1，，）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项.
得到项的方法有两类：
第一类是，6个的1个里选出，1个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到；
第二类是，6个的3个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到.
再将上述两项合并，得，因此项的系数为.
故选：B.
3．的展开式中常数项为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】多项式的展开式
【分析】的展开式中的常数项由两部分构成,一部分为,一部分为,求和即可.
【详解】中的常数项为,
故答案为:88
【点睛】本题考查二项式定理,考查多项式的展开式,考查运算能力.
4．已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题、多项式的展开式
【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32求出，再将化为进行求解.
【详解】由题意可得，解得，则，
故该展开式中的常数项为．
故答案为：
重难点题型6 求几个二（多）项式的积的展开式中条件项系数
1．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）的展开式中常数项为（ ）
A．120B．-120C．180D．-180
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】因为 ，所以分别求和展开式中的常数项，即可得出结果.
【详解】
展开式的通项为:，.
不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项；
当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为.
综上所述：的展开式中常数项为-180.
故选：D.
2．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）的展开式中的常数项为（ ）．
A．B．4C．D．2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】应用二项式定理，写出展开式通项，结合乘积关系写出常数项.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，，
令，得，令，得，
由于，
故其展开式中的常数项为.
故选：A
3．（24-25高二下·山西吕梁·期末）的展开式中，含项的系数为 ．
【答案】48
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式结合多项式乘法来求解即可．
【详解】因为，
所以的展开式中的系数为：
展开式中的系数减去展开式中的系数．
因为展开式的通项公式为：，
令得的系数为，
令得的系数为，
所以的展开式中的系数为．
故答案为：48
4．（2025·山西晋中·三模）的展开式中，常数项为 ．
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题、二项展开式的应用
【分析】根据，求出的展开式的通项即可求解.
【详解】因为，
又的展开式的通项为，
所以当时，
所以的展开式中常数项为10．
故答案为：.
重难点题型7 求二项式系数之和与最值问题
1．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．160B．C．20D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和
【分析】先根据二项式系数和求出，求出展开式通项，令得，代入通项即可求出常数项.
【详解】因为的展开式的二项式系数和为64，即，解得，
则的展开式通项为，
令得，所以的常数项为.
故选：B．
2．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值
【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项.
【详解】因为，所以，二项展开式的通项为
，
故二项展开式中，二项式系数最大的项为.
故选：A.
3．（2025·江苏南京·三模）在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二项式系数的增减性和最值
【分析】根据二项式系数定义以及二项式系数性质可得结果.
【详解】易知第6项的二项式系数为，
若仅有最大，可得.
故答案为：
4．（2025·江西鹰潭·二模）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数
【分析】根据求出值，再利用二项式展开式的通项公式即可得到答案.
【详解】因为二项式系数之和为64，则，则.
则二项展开式通项为，
令，解得，则含的项的系数为.
故答案为：.
重难点题型8 求各项系数之和及项系数的最值问题
1．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（ ）
A．252B．210C．120D．10
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可.
【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32，
所以，
所以的通项公式为
，
当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为，
故选：B
2．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1B．第4项和第5项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128D．第4项的系数最大
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】展开式所有项的二项式系数和为，A错误，展开式共有8项，第4项和第5项二项式系数最大，B正确，令得C错误，第4项系数小于0，第3项系数大于0，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：展开式所有项的二项式系数和为，错误；
对选项B：展开式共有8项，故第4项和第5项二项式系数最大，正确；
对选项C：令得所有项的系数和为，错误；
对选项D：，，系数小于0， ，系数大于0， D错误.
故选：B
3．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是 ．
【答案】32
【难度】0.85
【知识点】求系数最大（小）的项
【分析】设第项系数最大，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组解之可得项数即可得解．
【详解】展开式第项系数为，设第项系数最大，则
，解得，∴，
∴系数的最大值是：．
故答案为：32.
4．已知展开式中第三项的二项式系数是10，则 ，展开式中系数的绝对值最大的项是 .
【答案】 5
【难度】0.65
【知识点】求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项
【分析】根据二项式系数的概念和二项式定理的通项公式即可求出答案.
【详解】由题意，知，所以，
又，将依次代入，
时，；时，；
时，；时，；
时，；时，.
所以系数的绝对值最大的项为.
故答案为：5；.
重难点题型9 整除与余数问题
1．（23-24高三下·山东济南·开学考试）被除的余数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】由，写出的展开式，即可求出被除的余数.
【详解】因为
，
其中
能被整除，
又，
所以被除的余数为.
故选：B
2．（2023·广东深圳·模拟预测）若是9的倍数，则自然数n为（ ）
A．4的倍数B．3的倍数C．奇数D．偶数
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用
【分析】将化简为，由此可得选项.
【详解】因为
，
又是9的倍数，
∴为偶数，即为奇数．
故选：C.
3．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题
【分析】令得，令得，两式相减即可得，即利用二项式定理即可求解.
【详解】令得，令得，
两式相减得，
所以，因为
，，因为能被8整除，
所以被8整除的余数为4.
故选：C.
4．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 .
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式、整除和余数问题
【分析】先由题得再结合二项式定理展开，根据其展开式结构特征即可求解.
【详解】由题
，
因为可以被10整除，
所以被10除的余数为1.
故答案为：1.
重难点题型10 二项式定理与数列求和
1．（2025·河北保定·模拟预测）若数列的前9项满足，记的前项和为，则 .
【答案】16
【难度】0.85
【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的二项式系数、求二项展开式的第k项、二项式定理与数列求和
【分析】根据二项展开式公式和数列概念即可得到答案.
【详解】令，则有，即.
又因为根据二项展开式通项公式得，
故.
故答案为：16.
2．若对任意，都有，（ 为正整数），则的值等于 .
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】二项式定理与数列求和
【解析】将式子变形后，重新组合，变为关于按的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间的关系，推出，即可求得结果.
【详解】
,解得： ，
即.
故答案为：4.
【点睛】本题考查二项式定理，考查利用展开式对应项系数相等求参数问题，属于中档题.
3．设复数（是虚数单位），则 ．
【答案】0
【难度】0.65
【知识点】二项式定理与数列求和、复数的乘方
【分析】利用二项式定理变形后再计算．
【详解】
．
故答案为：0．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查复数的综合运算，解题关键是利用二项式定理把求值式变成乘方，然后再由复数运算法则计算．
4．（2025·陕西渭南·二模）若，则的值为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】二项式定理与数列求和
【分析】令得，1=；再令，化简即得解.
【详解】令得，1=；
令中得，
，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求系数和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
重难点题型11 杨辉三角
1．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第行中，最大
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算
【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误；
对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和，
因，故，故C正确；
对于选项D，因为
，
则，故D错误；
故选：C.
2．将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角
【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．
【详解】根据广义杨辉三角的定义：；
故；
关于的多项式的展开式中项的系数为．
故选：D．
3．（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角
【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错.
【详解】第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，
它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确；
第行是二项式的展开式的系数，
故第行中第个数为，第个数为，又，B正确；
“杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以，
，C正确；
第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确.
故选：D.
4．（23-24高二下·山西·期中）如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角
【分析】结合杨辉三角的性质及组合数的性质计算即可得.
【详解】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，
第五行的第三位数字是，，第十五行的第三位数字是，
由
，
则
.
故答案为：.
5．（23-24高二下·湖北·阶段练习）如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则 .
【答案】111
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、求等差数列前n项和
【分析】由“杨辉三角”的性质，得，前半部分用等差数列求和，后半部分用组合数的性质可得结果，再由即可得解.
【详解】由“杨辉三角”的性质，得
，
所以.
故答案为：
一、单选题
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（ ）
A．B．C．28D．56
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项.
【详解】由题意，
在中，展开式的通项为，
令，解得，
∴展开式中常数项是.
故选：C.
2．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（ ）
A．252B．-252C．210D．-210
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数．
【详解】二项式展开式的通项公式，
当时，第5项系数为210．
故选：C.
3．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（ ）
A．B．C．240D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】展开式的通项公式为，
所以,
故选：B
4．（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式的应用
【分析】可令展开式中第项系数最大，结合二项式展开式的通项公式列出不等式组，即可求得正确答案．
【详解】二项式展开式的通项公式为，其中，
由（其中），即，
，，
依题意可知使上式成立，即，故，
所以，
故选：A
5．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．24B．6C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】根据给定条件，求出展开式的通项，进而确定常数项并求解.
【详解】依题意，展开式中的通项公式为，
显然无解，由，得，
所以所求常数项为.
故选：D
6．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．7
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值
【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数．
【详解】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
它的展开式共计有项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故选：A．
7．（2025高二·江苏·专题练习）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用、二项式系数的增减性和最值
【分析】根据二项式定理展开式化简得出通项，结合已知列出方程组求出的值，结合二项式定理的性质即可得出答案.
【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为
.
由已知可得，，解得.
根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项.
故选：C.
8．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.
【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
9．（2023·浙江·模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k项、求系数最大（小）的项、求有理项或其系数
【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值.
【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当是偶数时，该项为有理项，
时，；时，；
时，；时，；
时，；时，；
时，.
经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
故选：A.
10．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题
【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案.
【详解】令，由已知可得，，
令，可得，
所以.
因为
，
所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0，
故选：D.
二、填空题
11．（2025·安徽蚌埠·二模）在的展开式中，常数项为 .
【答案】672
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果.
【详解】由题意得，
令，解得，故常数项为.
故答案为：
12．（2023·江苏扬州·模拟预测）若，则被5除所得的余数为 ．
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】二项式的系数和、二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】取，可以求得，进而根据二项式定理展开，判断被5除得的余数.
【详解】由题知时，， ，
故
所以被5除得的余数是1.
故答案为：1.
13．（2020·浙江·模拟预测）在二项式的展开式中，已知第4项的二项式系数为20，则 ，的系数为 ．
【答案】 6 60
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用
【分析】先根据第4项的二项式系数求得的值，再根据二项展开式的通项求的系数.
【详解】二项式的展开式中，第4项的二项式系数为，
故，解得，
所以的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数为.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式以及指定项的二项式系数的求法，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
14．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】先求出展开式的通项，再按照展开式的次数为-2与0两种情况分类即可求出.
【详解】因为展开式的通项为，
令，得，则对应的项为，
令，得，则对应的项为.
故二项式的展开式中的常数项为.
故答案为：
15．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值
【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】依题意可知，
的展开式通项为，
令，则，故的系数为.
故答案为：.
16．（2023·山东青岛·三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
【答案】28
【难度】0.65
【知识点】求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】
根据二项式系数之和可得，结合二项展开式的通项公式求系数最大项，进而可求其二项式系数.
【详解】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得，
则展开式为，
可得第项的系数为，
令，即，解得，
所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为.
故答案为：28.
17．（2021·山西·一模）已知函数，则下列关于展开式的命题中，所有真命题的序号是 ．
①当时，展开式共有11项；
②当时，展开式第3项与第6项的二项式系数之比为；
③当时，展开式中，各项系数之和为；
④当时，展开式中，系数最小的项是．
【答案】②④
【难度】0.85
【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项、二项展开式的应用
【分析】利用二项式定理对个命题逐一分析，由此确定真命题的序号.
【详解】对于①，易知当时，展开式共有12项，故①错误；
对于②，时，展开式第3项与第6项的二项式系数之比为，故②正确；
对于③，时，设，令，得，故③错误；
对于④，时，展开式的通项，其中，显然当时，系数为正数，时，的系数为负数；
当时，时，时，，
故系数最小的项是，④正确．
故答案为：②④
18．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】杨辉三角、组合数方程和不等式
【分析】根据杨辉三角数字规律得到，再由组合数公式计算可得.
【详解】依题意可知第行的数从左到右分别为，
所以，即，得，解得或（舍去），
所以的值为.
故答案为：
19．（2025·四川巴中·一模）除以7的余数为 ．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】由，利用二项式定理展开计算即可．
【详解】解：因为
，
所以除以7的余数是
故答案为：
序号
题型
重难点题型1
求二项展开式中的常数项
重难点题型2
求二项展开式中的特定项系数
重难点题型3
求二项展开式中的有理项
重难点题型4
求二项展开式中的参数
重难点题型5
求三项展开式的指定项
重难点题型6
求几个二（多）项式的积的展开式中条件项系数
重难点题型7
求二项式系数之和及最值问题
重难点题型8
求各项系数之和及项系数的最值问题
重难点题型9
整除和余数问题
重难点题型10
二项式定理与数列求和
重难点题型11
杨辉三角