2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.7超几何分布、二项分布与正态分布(五类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.7超几何分布、二项分布与正态分布(五类重难点题型精练)(学生版+解析)，共46页。

重难点题型1 二项分布
1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ．
5．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为 ．
6．为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）
重难点题型2 超几何分布
1．（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A．B．C．D．
4．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于
A．B．
C．D．
6．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ．
7．（2023·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ．
8．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为 ；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率 .
9．现高三年级学生人，人中有人睡眠不足，人睡眠充足，先从这人中随机抽取人作进一步的身体检查.用表示取的人中睡眠不足的学生人数，则随机变量的数学期望 ；设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件发生的概率为 .
10．小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”纪念邮票一套2枚，北京2008年奥运会纪念邮票一套5枚.现从这7枚邮票中随机抽取3枚，恰好有“冰墩墩”图案和“雪容融”图案这2枚的概率为 .
重难点题型3 二项分布与超几何分布的综合应用
1．（2025·广西·模拟预测）2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）.
(1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率；
(2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列；
(3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率.
2．（2025·浙江嘉兴·一模）2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
3．（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次.
(1)求其获得一等奖的概率；
(2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望.
4．（2025·吉林·三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
5．（2024·江西南昌·模拟预测）南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和期望.
6．（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.
重难点题型4 正态分布
1．（2025·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.6827B．0.8414C．0.9544D．0.9772
2．（2025·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2025·云南红河·模拟预测）下列说法中错误的是（ ）
A．一组数据3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位数为20
B．若随机变量，且，则
C．已知数据，数据，则数据的标准差是数据标准差的4倍
D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数
4．（2025·天津北辰·三模）下列命题中
①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值
②若随机变量满足，则
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
④设且，则
其中错误命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（2025·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·四川成都·模拟预测）“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）某水泥厂流水线上生产的一批袋装水泥，其重量指标X（单位kg）可以看作一个随机变量，且，对于或的产品即为不合格，且，现从这批袋装水泥中随机抽取500袋，用Y表示这500袋水泥的重量指标X位于区间的袋数，则随机变量Y的方差是 .
8．（2025·河北·三模）已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩近似服从正态分布，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为 .（附：若随机变量服从，则，3）
9．（2025·江苏苏州·模拟预测）2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流.某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布（单位：），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为 .（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若，则，
重难点题型5 正态分布的综合应用
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值．
参考数据：，.
2．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
3．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若，则．
4．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
序号
题型
重难点题型1
二项分布
重难点题型2
超几何分布
重难点题型3
二项分布与超几何分布的综合应用
重难点题型4
正态分布
重难点题型5
正态分布的综合应用
满意度评分
频数
10
15
20
30
15
10
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
专题10.7 超几何分布、二项分布与正态分布
目录●重难点题型分布
重难点题型1 二项分布
1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列
【分析】利用二项分布的概率公式即可.
【详解】由题意得
故选：D.
2．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、计算古典概型问题的概率
【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论.
【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以.
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列
【分析】由二项分布的概率公式可得，可求，进而可求.
【详解】由二项分布的知识得，
得，又，所以，
所以．
故选：D．
4．（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ．
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题
【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解.
【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时.
故答案为：5
5．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】建立二项分布模型解决实际问题
【分析】对命题等价转化，再使用排列组合知识即可．
【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）.
此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即．
故答案为：．
6．为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）
【答案】410
【难度】0.85
【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、利用概率的加法公式计算古典概型的概率
【分析】根据题意可计算出一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，再根据二项分布的期望值即可求得结果.
【详解】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为，
即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，且被评为“阳光小组”的盆数服从二项分布，
所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有.
故答案为：410
重难点题型2 超几何分布
1．（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求超几何分布的概率、计算古典概型问题的概率
【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.
【详解】依题意可得，即，整理得，
解得或9，因为，所以．
故选：B.
2．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】求超几何分布的概率
【分析】法一：根据超几何分布的概率公式，可得答案，法二：根据正难则反的解题思想，可得答案.
【详解】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
故选：A.
3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的均值
【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【详解】设男生人数为，且，
，，,
则.
故选：C
4．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求超几何分布的概率
【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
若任取个数中有个阳数，则，
若任取个数中有个阳数，则，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.
5．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求超几何分布的概率
【解析】求出,即得解.
【详解】由题得,
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求超几何分布的概率
【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案．
【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即，
记，则，
所以．
当时，，解得，
当时，，故当时，最大，的估计值为．
故答案为：.
7．（2023·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求超几何分布的概率、实际问题中的组合计数问题、计算条件概率、计算古典概型问题的概率
【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）.
【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率，
至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率，
所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率.
故答案为：，
8．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为 ；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率 .
【答案】 ； .
【难度】0.85
【知识点】求超几何分布的概率、计算条件概率
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用条件概公式求解即可.
【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”
所以.
（2），.
故答案为：；.
9．现高三年级学生人，人中有人睡眠不足，人睡眠充足，先从这人中随机抽取人作进一步的身体检查.用表示取的人中睡眠不足的学生人数，则随机变量的数学期望 ；设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件发生的概率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求超几何分布的概率、求离散型随机变量的均值
【分析】确定随机变量的可能取值，求出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值；利用超几何分布的概率公式可得出的值.
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
所以，.
由已知条件可得.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
10．小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”纪念邮票一套2枚，北京2008年奥运会纪念邮票一套5枚.现从这7枚邮票中随机抽取3枚，恰好有“冰墩墩”图案和“雪容融”图案这2枚的概率为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求超几何分布的概率
【分析】结合超几何分布计算公式求解即可
【详解】，
故答案为：
重难点题型3 二项分布与超几何分布的综合应用
1．（2025·广西·模拟预测）2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）.
(1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率；
(2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列；
(3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率.
【答案】(1)，
(2)分布列答案见解析
(3)
【难度】0.15
【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、独立事件的实际应用、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）根据独立事件的概率公式，分别求、即可得答案.
（2）由题意可能的取值为3，5，7，分别求得各个概率，列出分布列即可.
（3）设事件表示“比赛局数不限，D组合获得比赛胜利”，设比赛过程中，D组合与S组合累计所赢局数的差为，根据全概率公式，则有，计算可得构成了以为首项，的等比数列，结合累加法，计算即可得答案.
【详解】（1）由题意，每局比赛组合获胜的概率为，S组合获胜的概率为，
恰好3局结束，则组合连赢三局，所以，
恰好5局结束，则组合前3局中赢2局，输1局，且后2局均获胜，
所以；
（2）由题意可能的取值为3，5，7，
；
；
；
分布列为
（3）设事件表示“比赛局数不限，D组合获得比赛胜利”.
设比赛过程中，D组合与S组合累计所赢局数的差为，
表示时最终D组合获得比赛胜利的概率，其中.
由题知，，，.
根据全概率公式，则有，
于是，
则构成了以为首项，的等比数列，
则，
，
，
，
，
；
累加得，
，
解得，
所以，
故若比赛局数不限，D组合获得比赛胜利的概率为.
2．（2025·浙江嘉兴·一模）2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)甲应选，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】独立重复试验的概率问题、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解；
（2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解；
（3）由时，由甲答对题目的数量，确定甲获奖励的概率，再从①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，讨论当时，甲获奖励的概率，比较大小即可求解.
【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，则，且两两互斥.
根据题意得，，
则，
所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为.
（2）的可能取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
所以.
（3）当时，为甲答对题目的数量，
由题意可知，其中，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前8题答对题目的数量大于等于5，
②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，
③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率，所以
，
因为，所以，即，
所以甲应选.
3．（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次.
(1)求其获得一等奖的概率；
(2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，1.
【难度】0.65
【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）根据题设确定10个小球中黄球、绿球的个数，再由古典概型的概率求法求概率；
（2）由题设的取值是，应用超几何的概率求法求对应概率值，写出分布列，进而求期望.
【详解】（1）设10个小球中黄球为个，绿球为个，且，
由题意得，，解得，则红球有2个，
记事件：某消费者抽奖一次获得一等奖，则，
所以该消费者获得一等奖的概率为.
（2）由题意，的取值是，则，，，
的分布列为：
期望.
4．（2025·吉林·三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、超几何分布的均值、二项分布的均值、超几何分布的分布列
【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解；
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解；
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
5．（2024·江西南昌·模拟预测）南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，期望为
【难度】0.4
【知识点】求超几何分布的概率、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）借助组合数结合概率定义计算即可得；
（2）借助全概率公式计算即可得；
（3）借助全概率公式与概率之和为，可得出与有关等式，结合等比数列的性质计算即可得，再利用对称性求出、后，即可由分布列与期望定义得到相应分布列与期望.
【详解】（1）设第场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，则；
（2）；
（3）当时，
，
，
，
由，
故
，
即有，又，则，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
结合对称性可知，每次分享会学生嘉宾中有1名男生的概率与3名男生的概率相同，
故，又，
故有，
第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数的可能取值为、、，
，
，
，
则其分布列为：
则.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助，得到，从而可由等比数列的性质解题.
6．（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为2.4.
【难度】0.65
【知识点】求超几何分布的概率、离散型随机变量的方差与标准差、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）根据超几何分布模型计算概率即可；
（2）利用超几何分布得到，再根据独立事件的乘法公式写出对应概率，最后计算期望即可.
【详解】（1）设事件:姐姐恰好看了2部贺岁片.
则，
所以姐姐恰好看了2部贺岁片的概率为.
（2）设表示姐姐看了部贺岁片.
表示弟弟看了部贺岁片.
则知.
知.
，
.
随机变量表示姐弟二人观看贺岁片的总数的取值有0，1，2，3，4.
，
，
，
，
.
从而随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
即姐弟2人观看贺岁片的部数的数学期望为2.4.
重难点题型4 正态分布
1．（2025·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.6827B．0.8414C．0.9544D．0.9772
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】特殊区间的概率
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率.
【详解】由，得
.
故选：D
2．（2025·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正态曲线的性质
【分析】观察图表，根据对称轴得到平均数的大小，根据形状特征得到方差的大小，得到答案.
【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，
故甲的平均数小于乙的平均数，即，
且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即.
故选：C
3．（2025·云南红河·模拟预测）下列说法中错误的是（ ）
A．一组数据3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位数为20
B．若随机变量，且，则
C．已知数据，数据，则数据的标准差是数据标准差的4倍
D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】解释回归直线方程的意义、方差的性质、指定区间的概率、总体百分位数的估计
【分析】根据上四分位数概念计算可判断A；根据正态分布性质计算可判断B；根据方差性质可判断C；根据线性回归方程概念可判断D.
【详解】对于A，由上四分位数的概念可知：数据3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位数为20，故选项A正确；
对于B，因为随机变量，图象关于对称，又，
所以，故选项B正确；
对于C，设数据的标准差为，则数据的标准差为，C正确；
对于D，因为样本点不一定在线性回归直线上，所以不一定是，故选项D错误，
故选：D
4．（2025·天津北辰·三模）下列命题中
①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值
②若随机变量满足，则
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
④设且，则
其中错误命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】相关系数的意义及辨析、离散型随机变量的方差与标准差、求回归直线方程、指定区间的概率
【分析】依次分析每个命题的正确性，根据经验回归方程、随机变量的方差性质、相关系数的意义以及正态分布的性质来判断.
【详解】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误.
若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数），
可得，而不是，所以命题②错误.
根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，
所以命题③正确.
已知，则正态曲线关于对称.
因为，所以.
那么，所以，
所以命题④错误.
综上，错误的命题有①②④，共个.
故选：B.
5．（2025·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率
【分析】根据正态分布的对称性，可得答案.
【详解】易得，
由正态分布的对称性可得，
故..
故选：D.
6．（2025·四川成都·模拟预测）“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则
【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）
【难度】0.65
【知识点】正态曲线的性质、3δ原则
【分析】根据题意和正态曲线的特征可得到，再根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可．
【详解】依题意可得，
要使次品率不高于，则正品率不低于，
又根据正态曲线的特征知，，
所以，
所以，解得．
故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）．
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）某水泥厂流水线上生产的一批袋装水泥，其重量指标X（单位kg）可以看作一个随机变量，且，对于或的产品即为不合格，且，现从这批袋装水泥中随机抽取500袋，用Y表示这500袋水泥的重量指标X位于区间的袋数，则随机变量Y的方差是 .
【答案】45
【难度】0.65
【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率
【分析】根据给定条件，利用二项分布方差公式计算得解.
【详解】由正态分布的性质得，重量指标在区间的概率为，
即1件产品的重量指标位于区间的概率为0.9，则，
所以随机变量Y的方差.
故答案为：45
8．（2025·河北·三模）已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩近似服从正态分布，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为 .（附：若随机变量服从，则，3）
【答案】2275
【难度】0.65
【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用、指定区间的概率
【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】超过140分的概率约为，
所以超过140分的人数约为人.
故答案为：2275.
9．（2025·江苏苏州·模拟预测）2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流.某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布（单位：），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为 .（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若，则，
【答案】239
【难度】0.85
【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率
【分析】先计算，再将其乘以即可求出.
【详解】由题意可知，，
则
，
则抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为.
故答案为：
重难点题型5 正态分布的综合应用
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值．
参考数据：，.
【答案】(1)①；②
(2)28
【难度】0.4
【知识点】独立事件的乘法公式、条件概率性质的应用、正态分布的实际应用、服从二项分布的随机变量概率最大问题
【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可.
（2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果.
【详解】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为：
．
②证明：由题意，所以，所以，
因为，
所以，
即，
所以，即，所以．
（2）由已知得：
，
因为，
所以服从二项分布，，
设，
由得，即，
解得，由得，
所以的估计值为28．
2．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
【答案】(1)，样本中位数为
(2)8186
(3)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】正态分布的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可；
（3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意，平均数，
前3组的频率为，前4组的频数为，
所以样本中位数位于，设为，
则，解得，则样本中位数为.
（2）由题意，近似地服从正态分布，且，，
由于
，
因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为
.
（3）由题意，的所有取值为，
顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为，
顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为，
顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为，
则，，
，
，
，
则的分布列为：
所以.
3．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若，则．
【答案】(1)分布列见解析
(2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大
【难度】0.65
【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率；
（2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润.
【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，.
：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得.
：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得.
：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得.
所以的分布列为：
（2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，.
；
；
.
每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，.
；
；
.
则乙机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大.
4．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
【答案】(1)
(2)的分布列见解析；
(3)
【难度】0.65
【知识点】3δ原则、利用全概率公式求概率、建立二项分布模型解决实际问题、计算条件概率
【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得；
（2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得；
（3）根据条件概率和全概率公式可得.
【详解】（1）由题意，
得.
（2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，
故由题意满足二项分布，
故，，
，，
，
故的分布列为
的数学期望为
（3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”
则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”，
由题意，，，，
则，
，
故，
故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为.
序号
题型
重难点题型1
二项分布
重难点题型2
超几何分布
重难点题型3
二项分布与超几何分布的综合应用
重难点题型4
正态分布
重难点题型5
正态分布的综合应用
3
5
7
-3
1
5
9
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
4
满意度评分
频数
10
15
20
30
15
10
0
1000
2000
3000
4000
0.72
0.26
0.02
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
0
1
2
3
4