2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.2排列、组合(十二类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.2排列、组合(十二类重难点题型精练)(学生版+解析)，共73页。

重难点题型1 直接法
1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ）
A．6B．12C．24D．36
2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（ ）
A．96种B．100种C．108种D．120种
3．（24-25高二下·浙江杭州·期末）从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ）
A．70B．80C．90D．100
4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）盒子甲中有 5 个红球和 3 个蓝球；盒子乙中有 6 个红球和 2 个蓝球． 若从甲、乙两个盒子中各随机取出 2 个球， 则取出的 4 个球中恰有 1 个蓝球的不同取法共有（ ）
A．150 种B．180 种C．300 种D．345 种
5．（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有 种．（用数字作答）
6．（25-26高三上·江西·阶段练习）从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为 ．（用数字作答）
7．（24-25高二下·福建福州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，记事件A为“这3个数中含1但不含5”，则 ．
重难点题型2 间接法
1．（2023·全国·高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（ ）
A．360B．630C．1170D．840
3．（2025高二下·山东青岛·竞赛）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（ ）
A．15B．18C．24D．32
4．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ）
A．480种B．444种C．408种D．360种
5．（24-25高二下·山东·阶段练习）某校组织校运会，由甲、乙、丙三名志愿者负责A，B，C，D四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责A任务，则不同的任务分配方法种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
6．（24-25高二下·江苏南京·期末）有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．8种C．6种D．4种
7．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种．
8．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ．
重难点题型3 捆绑法
1．（24-25高二下·云南昆明·期中）云大附中高二年级的教学楼名为诚心楼，二楼至五楼共四层，每层有四个教室.高二年级共有16个班，其中历史类班级2个，物理类班级14个，安排教室时需将两个历史类班级安排在同一楼层的相邻两个教室，为求出共有多少种安排教室的方法列式如下，其中能算出正确结果的式子是（ ）
A．16！B．C．D．
2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习），，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
3．（2025·福建厦门·三模）四个人排成一排，当相邻时，必须在的右边，那么不同的排法共有 种．
4．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
重难点题型4 插空法
1．（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（ ）
A．16种B．12种C．8种D．6种
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）一个8位数的密码由5个1和3个0组成，则3个0都不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760B．5660C．5642D．5472
4．（2024·四川宜宾·二模）为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站.由含甲､乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．用、、、、、、、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，而与不相邻，则这样的八位数共有 个．
重难点题型5 定序问题
1．五人并排站在一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．60种B．48种C．36种D．24种
2．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·江苏扬州·高三校考期末）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________
4．（2023·高二课时练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法.
重难点题型6 多面手问题
1、有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）
A．种B．种C．种D．72种
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40B．28C．20D．14
3．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A．B．C．D．
重难点题型7 涂色问题
1．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．288种B．296种C．362种D．384种
2．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种B．360种C．420种D．540种
3．（2023·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A．B．C．D．
4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种．
5．（2025·湖南郴州·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案．
6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，现用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同，则共有 种涂色方式．

7．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.

重难点题型8 分组分配问题
1．（2023·西藏日喀则·一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150B．90C．48D．36
2．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种B．360种C．90种D．70种
3．（24-25高二下·江苏常州·期中）学校环保节活动期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分配到A，B，C三个不同的环保岗位，每个岗位至少分配一名学生，若甲要求不分配到B岗位，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．30B．24C．20D．18
4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A，则不同的安排有（ ）
A．6B．12C．18D．24
5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ）
A．1080B．1560C．2640D．3960
6．（2024·江西·模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
7．（24-25高二下·湖南永州·期末）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ．
重难点题型9 数学排列
1．（25-26高三上·重庆·开学考试）由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（ ）个.
A．432B．257C．216D．504
2．（2025高三·全国·专题练习）将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（ ）．
A．576种B．720种C．864种D．900种
3．（2025·重庆九龙坡·三模）“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ）
A．66B．75C．78D．90
4．（24-25高二下·河南信阳·期中）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个.
A．480B．600C．720D．840
5．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）将数字“1，2，3，4，5，7”填到的方格中（每格填一个数字），则每行之和均是偶数的填法有 种．
6．（24-25高二下·广西贵港·期中）从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为 ，能被3整除的四位数的个数为 ．
7、（24-25高二下·北京·期中）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个．
8．（24-25高二下·湖北·期中）用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为 ．（用数字作答）
重难点题型10 几何问题
1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的六棱锥.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（ ）

A．B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且颜色可以不用完，则不同的涂法有 种．
4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有 种．

重难点题型11 分解法模型与最短路径问题
1．（2023·天津河东·高二统考期末）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）
A．30B．90C．170D．341
2．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的关灯方法有______种.
3．（2025·辽宁鞍山·二模）设、、、是、、、、、、、的一个排列，则满足，，，的排列共有 个；，则集合中所有元素的和为 .
重难点题型12 环排问题
1．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种B．48种C．30种D．24种
2．（2023·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.

一、单选题
1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．60种
3．（2025·河北邯郸·模拟预测）六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲不站排头，乙不站排尾，丙丁相邻站位概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025高三·全国·专题练习）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（ ）.
A．3120种B．3360种C．5160种D．5520种
6．（24-25高二下·山东·期中）包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（ ）
A．180B．246C．168D．192
7．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段不相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．12种B．28种C．20种D．16种
8．（2025高三·全国·专题练习）一个密码有9位，由4个自然数、3个“”、1个“”和1个“”组成，其中与不相邻，和不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有（ ）.
A．10200个B．13600个C．40800个D．81600个
9．（24-25高二下·重庆九龙坡·阶段练习）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10B．20C．60D．30
10．（2023·贵州黔东南·模拟预测）某足球比赛有，，，，，，，，共9支球队，其中，，为第一档球队，，，为第二档球队，，，为第三档球队，现将上述9支球队分成3个小组，每个小组3支球队，若同一档位的球队不能出现在同一个小组中，则不同的分组方法有（ ）
A．27种B．36种C．72种D．144种
11．（2024·重庆·模拟预测）2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计1了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品、，乙同学喜欢作品、、，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（ ）
A．50种B．48种C．45种D．40种
12．（2025高三·全国·专题练习）某公司研发的6个不同的程序中有2个程序无法正常运行，若最多测试4次能找到这2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序共有（ ）
A．90种B．108种C．114种D．128种
13．（2025高三·全国·专题练习）社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有（ ）
A．210种B．300种C．360种D．480种
14．（24-25高二下·河南·阶段练习）某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ）
A．105种B．168种C．210种D．273种
15．（2025高三·全国·专题练习）每年的3月5日是学雷锋纪念日，某班的5位学生报名参加2025年3月5日的学雷锋社会实践活动，有关爱老人活动、社区卫生活动，协助交警活动这三种可以选择，每位学生只能参加一种活动，并且每种活动至少有1位学生参加，则不同的分配方案种数为（ ）
A．120B．150C．210D．240
16．（2025·山东临沂·三模）苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人，则恰有人获得二等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
17．（24-25高二下·福建福州·期中）某大学开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什么是数学》四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．60种B．78种C．96种D．144种
18．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
A．540B．360C．300D．420
19．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
20．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．360种B．264种C．192种D．144种
二、填空题
21．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种.
22．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为 ；甲景点A班同学数X的数学期望为 ．
23．电影院一排有n个位置，甲、乙，丙3人去看电影，他们随机地坐在同一排，若这3人不相邻的概率是这3人中恰有2人相邻的概率的2倍，则 ．
24．（23-24高三上·江西九江·阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数，要求奇数1，3，5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有 个．
25．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有 种．
26．（2025·湖北黄冈·二模）甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为 种.
27．（2025·江西·二模）为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为 .(用数字作答)
28．（24-25高二下·湖北·期中）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答）
序号
题型
重难点题型1
直接法
重难点题型2
间接法
重难点题型3
捆绑法
重难点题型4
插空法
重难点题型5
定序问题
重难点题型6
多面手问题
重难点题型7
涂色问题
重难点题型8
分组分配问题
重难点题型9
数字排列
重难点题型10
几何问题
重难点题型11
分解法模型与最短路径问题
重难点题型12
环排问题
解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
①定序问题-----定序问题作商处理：对于给定元素顺序确定，再插入其它元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为个，则排列数为:。
②选排问题-----选排问题先选后排处理：从n个元素中选出限制的几个元素安排到指定位置上，用先选后排法。
涂色问题分类(加法)、分步(乘法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。
分为平均分组、部分平均分组与非平均分组：
①平均分组---n个元素平均分成m组，每组x个元素，秒杀公式：第一步：分组：；
如需对分的组进行排序，则：。
②部分平均分组---第一步：对平均分组的元素进行分组，第二步：：如需对分的组进行排序，则进行全排列。
③非平均分组。
专题10.2 排列、组合
目录●重难点题型分布
重难点题型1 直接法
1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ）
A．6B．12C．24D．36
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】根据位置优先，先安排第一个位置，再排其他位置，利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由题意可知：先安排第一个位置有2种排法，再排后面的3个位置有种排法，
根据分步乘法计数原理共有：种排法，
故选：B.
2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（ ）
A．96种B．100种C．108种D．120种
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】先安排甲，再将剩余的2人进行排列，得到答案,
【详解】先安排甲，再将剩余的2人进行排列，故这三人的不同选择方法共有种.
故选：B
3．（24-25高二下·浙江杭州·期末）从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ）
A．70B．80C．90D．100
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】其他排列模型
【分析】根据给定条件，利用排列计数问题列式得解.
【详解】依题意，不同选法种数是.
故选：C
4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）盒子甲中有 5 个红球和 3 个蓝球；盒子乙中有 6 个红球和 2 个蓝球． 若从甲、乙两个盒子中各随机取出 2 个球， 则取出的 4 个球中恰有 1 个蓝球的不同取法共有（ ）
A．150 种B．180 种C．300 种D．345 种
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理
【分析】就甲盒取出1红1蓝、乙盒取出两红和甲盒取出两红、乙盒取出1红1蓝两种情况分类计算后可得不同的取法总数.
【详解】4个球中恰有1个蓝球，可分为两种情况：
第一种：甲盒取出1红1蓝、乙盒取出两红，此时有；
第二种：甲盒取出两红、乙盒取出1红1蓝，此时有；
故共有种不同的取法，
故选：D.
5．（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有 种．（用数字作答）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】将两个空位视为一个整体与三个人排列，结合排列数的定义及计算公式可得结论.
【详解】将两个空位视为一个整体与三个人排列，又两个空位没有区别，故共有种排法.
故答案为：.
6．（25-26高三上·江西·阶段练习）从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为 ．（用数字作答）
【答案】13
【难度】0.94
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】分析符合题意的情况种类，然后分类计算，再根据组合和组合数的计算方法，求出结果.
【详解】一次性摸取3个球，至少有2个黄球分为两种情况：
情况一：两个黄球，一个红球，有种不同方法；
情况二：三个黄球，；
共有种方法；
故答案为：13
7．（24-25高二下·福建福州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，记事件A为“这3个数中含1但不含5”，则 ．
【答案】/0.3
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据古典概型概率计算方法，求出事件概率.
【详解】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有种不同取法；
符合“这3个数中含1但不含5”有三种取法，
则；
故答案为：.
重难点题型2 间接法
1．（2023·全国·高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种
【答案】D
【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
故选：D
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（ ）
A．360B．630C．1170D．840
【答案】B
【解析】从360的约数中去掉1和2，其余的约数均可作为正多边形的边数，
设从360个顶点中选出个构成正多边形，这样的正多边形有个，
因此所求的正多边形的个数就是360的所有约数之和减去360和180，
考虑到，
因此所求正多边形的个数为.
故选：B.
3．（2025高二下·山东青岛·竞赛）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（ ）
A．15B．18C．24D．32
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题
【分析】先求总的排法，然后减去甲乙同舱的排法即可.
【详解】第一步，从5人中任选2人安排在天和核心舱，有种方法；
第二步，从剩下的3人中任选2人安排在问天实验舱，有种方法；
第三步，将最后1人安排在梦天实验舱，有1种方法.
所以，天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人的方法有种.
若甲、乙在同一个舱内，先安排甲乙有2种方法，然后从剩余3人中安排1人在梦天实验舱，
最后2人安排在最后一个舱，共有，
所以满足题意的方法种数为种.
故选：C
4．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ）
A．480种B．444种C．408种D．360种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可.
【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法：
即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法，
减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空，
有种方法，故不同的出场方式共有种.
故选：C.
5．（24-25高二下·山东·阶段练习）某校组织校运会，由甲、乙、丙三名志愿者负责A，B，C，D四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责A任务，则不同的任务分配方法种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理、组合数的计算
【分析】利用正难则反的解题思路，先求无限制的总情况数，再分类甲负责一项或两项任务，并分别求对应情况数，可得答案.
【详解】由题意三人负责四个任务的情况数为，
甲只负责任务的情况数为，
甲除了负责任务还负责另外一项任务的情况数为，
符合题意的情况数为.
故选：D.
6．（24-25高二下·江苏南京·期末）有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．8种C．6种D．4种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】利用捆绑法求出丙和乙相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况，得出甲站在两端且乙和丙相邻的情况，最后间接法即可求出结果．
【详解】把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，甲站在两端且乙和丙相邻的情况有，
甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有种.故选：B．
7．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种．
【答案】24
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】解法1利用捆绑法将糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，将肉馅和腊肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3个空中的2个，根据分步乘法计数原理即可求解；
解法2把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4个元素进行全排列，糖、什锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放，利用间接法即可求解.
【详解】解法1：分三步：第一步，将糖、什锦馅的烧饼捆绑，有种不同的方法；
第二步，将糖、什锦馅的烧饼相邻捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，有种不同的方法；
第三步，将肉馅和腊肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3个空中的2个，有种不同的方法．
故一共有（种）不同的方法．
故答案为：24.
解法2：把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4个元素进行全排列，有种不同的方法；
糖、什锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放有种，
所以所求摆放方法共有（种）．
故答案为：24.
8．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ．
【答案】50
【难度】0.65
【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】先利用插空法求得两名女生不能相邻的站法；然后分别求出两名女生不能相邻且男生甲站在最左边、两名女生不能相邻且女生乙站在最中间、两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间三种情况的站法，根据排除法求解即可.
【详解】先求出两名女生不能相邻的站法有种；
若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种，
若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种，
若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间，
则满足题意的站法有种，
所以满足条件的站法种数为种.
故答案为：50
重难点题型3 捆绑法
1．（24-25高二下·云南昆明·期中）云大附中高二年级的教学楼名为诚心楼，二楼至五楼共四层，每层有四个教室.高二年级共有16个班，其中历史类班级2个，物理类班级14个，安排教室时需将两个历史类班级安排在同一楼层的相邻两个教室，为求出共有多少种安排教室的方法列式如下，其中能算出正确结果的式子是（ ）
A．16！B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、排列组合综合
【分析】利用捆绑法结合分步计数原理可求答案.
【详解】先选出历史类班级所在楼层有种选法，再从这层的四个教室选出两个相邻教室有种选法，
最后安排其它班级共有种方法，结合分步计数原理可得，共有种方法.
故选：C
2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习），，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】根据捆绑法求解即可.
【详解】由题意，先将，捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种.
故选：B.
3．（2025·福建厦门·三模）四个人排成一排，当相邻时，必须在的右边，那么不同的排法共有 种．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】采用插空法和捆绑法直接求解即可.
【详解】当A，B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A，B插空，
共有种排法；
当A，B相邻时，将看作一个整体，并且在的右边，
相当于个人排队，则不同的排法有种；
所以共有种.
故答案为：.
4．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数.
【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，
茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，
所以，不同的下锅顺序种数为种.
故答案为：.
重难点题型4 插空法
1．（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（ ）
A．16种B．12种C．8种D．6种
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】利用不相邻问题插空，特殊元素法间接去求解即可.
【详解】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种，
马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种，
故不同的比赛方式共有种.
故选：C.
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）一个8位数的密码由5个1和3个0组成，则3个0都不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、不相邻排列问题、组合数的计算
【分析】先求出位数密码的所有排列情况，再求出个都不相邻的排列情况，最后根据古典概型概率公式计算概率.
【详解】位数密码由个和个组成.从个位置中选个位置放，其余位置放，则总数为种.
计算个都不相邻的排列情况：采用插空法，先排个，个产生个空（包括两端），从这个空中选个空插入，则个都不相邻的排列数为种.
设“个都不相邻”为事件，由古典概型概率公式可得：.
故选：B.
3．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760B．5660C．5642D．5472
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.
【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种，
若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种，
则共有种．
故选：D.
4．（2024·四川宜宾·二模）为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站.由含甲､乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、其他排列模型
【分析】根据古典概型结合排列数、组合数分析求解.
【详解】由题意可知甲队和乙队共有种不同安排方法，
甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻，分以下三种情况，
1、从2个端点饮水点任选一个安排甲，再从与该饮水点不相邻的5个服务站选一个安排乙；
2、从中间5个饮水点任选一个安排甲，再从不与该饮水点相邻的4个服务站选一个安排乙；
3、从6个服务站任选一个安排甲，再从不与该服务站相邻的5个饮水站选一个安排乙；
共有种不同安排方法，
所以甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为.
故选：D.
5．用、、、、、、、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，而与不相邻，则这样的八位数共有 个．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【解析】首先把1和2捆绑成一个元素，3与4捆绑成一个元素，注意各自的内部排列种可能，由于7与8不相邻，故可以用、、5、6当成隔板，并注意隔板的排列，有种可能，最后利用分步乘法计数原理计算出结果.
【详解】与相邻，则捆绑成一个元素，注意内部排列有种可能，
与相邻，则捆绑成一个元素，注意内部排列有种可能，
与不相邻，则用、、、当隔板，有五个空，
注意隔板的排列，共有种可能，
利用分步乘法原理，共有
．
故答案为：1920.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.
常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
重难点题型5 定序问题
1．五人并排站在一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．60种B．48种C．36种D．24种
【答案】D
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①，必须相邻且在的左边，将看成一个整体，有1种顺序，
②将整体与、、全排列，有种情况，
则有种排法；
故选：D．
2．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、全排列问题
【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案.
【详解】如下图所示，对集装箱进行编号，
则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走，
4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走，
根据定序问题用除法得到不同取法的种数为，
故选：C.

3．（2023·江苏扬州·高三校考期末）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________
【答案】
【解析】由题意，对6盏不同的花灯进行取下，
先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，
所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故共有取法总数为：.
故答案为：
4．（2023·高二课时练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法.
【答案】840
【解析】根据题意，假设有7个位置，对应7个人，
先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种情况，
由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，
则共有种不同的排法；
故答案为：840.
重难点题型6 多面手问题
1．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）
A．种B．种C．种D．72种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题
【分析】由条件确定既会跳舞又会唱歌的人数，根据选出的人中既会跳舞又会唱歌的人数，分类求满足条件的选派方法数，结合分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，
则既会跳舞又会唱歌的有人，
只会唱歌的有人，只会跳舞的有人;
若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法，
综上共有种选法.
故选：C.
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40B．28C．20D．14
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理、分组分配问题
【分析】
根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可.
【详解】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
3．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理
【分析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．
【详解】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种；
第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种；
第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种，
所以共有种不同的选法，
故选：A．
重难点题型7 涂色问题
1．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．288种B．296种C．362种D．384种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】涂色问题
【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】首先三个区域有种涂法，
当2号区域和6号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法，
综上，共有384种涂法.
故选：D.
2．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种B．360种C．420种D．540种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】涂色问题
【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.
【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，
若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色，
此时不同的涂色方案有种；
若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色，
余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种；
若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种；
综上，不同的涂色方案有：种.
故选：C.
3．（2023·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理
【分析】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分别确定每个区域的涂色方法种数，结合分类加法分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），
五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），
不妨设四种颜色分别为、、、，
先填涂区域“火”，有种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为，
接下来填涂区域“土”，有种选择，分别为、、，
若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、；
若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、；
若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、.
综上所述，区域“金”填涂、、、的方案种数分别为、、、种，
接下来考虑区域“水”的填涂方案：
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、；
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、；
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、；
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、.
则区域“水”填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种，
填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种.
从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关，
当区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、、；
若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、；
若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、；
若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、.
所以，当区域“火”填涂颜色时，填涂方案种数为种.
因此，不同的涂色方法种数有种.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解：
（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
（3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.
4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种．
【答案】630
【难度】0.65
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】由题知只需考虑区域1，2，3，4的颜色即可，不妨先涂区域1、区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同及相同两种情况考虑即可求解.
【详解】涂色问题 根据题意，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色情况．
先涂区域1，有6种选择，再涂区域2，有5种选择，
当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择；
当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择．
故不同的涂色方案有（种）．
故答案为：630.
5．（2025·湖南郴州·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案．
【答案】96
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、涂色问题
【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可．
【详解】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法；
若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况，
先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法；
故总的涂色方案有种，
故答案为：96．
6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，现用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同，则共有 种涂色方式．

【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、其他排列模型
【分析】根据题意分析必有两组不相邻的区域涂同一种颜色且共有种情况，先从种情况中选择一种有情况，再涂色有种情况，再相乘即可求解.
【详解】根据题意，用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同，
则其中必有两组不相邻的区域涂同一种颜色，
包含、、、、，
共有种情况，所以不同的涂色方式共有（种）．
故答案为：
7．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.

【答案】72
【难度】0.858
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理
【分析】分两种情况讨论，运用分类计数原理、分步计算原理进行求解即可.
【详解】由地图可知，与南昌市相邻的4个城市为：九江市、上饶市、抚州市、宜春市，
先给南昌市着色，有4种方法，再给与南昌市相邻的四个城市涂色，
可分以下两类：
①九江市与抚州市涂同种颜色，方法数为：（种）；
②九江市与抚州市涂不同颜色，方法数为：（种），
故不同涂色方法数为：.
故答案为：72
重难点题型8 分组分配问题
1．（2023·西藏日喀则·一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150B．90C．48D．36
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、不相邻排列问题、分类加法计数原理、分组分配问题
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式，
故选：A
2．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种B．360种C．90种D．70种
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题
【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.
【详解】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
3．（24-25高二下·江苏常州·期中）学校环保节活动期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分配到A，B，C三个不同的环保岗位，每个岗位至少分配一名学生，若甲要求不分配到B岗位，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．30B．24C．20D．18
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、分组分配问题
【分析】分两种情况：一是有一个人与甲在同一个岗位，另一个是没有人与甲在同一个岗位，再利用分类加法原理可求得结果.
【详解】由题意可得有两种情况：
①有一个人与甲在同一个岗位，则有种分配方案；
②没有人与甲在同一个岗位，则种分配方案；
所以由分类加法原理可知共有不同的分配方案，
故选：B
4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A，则不同的安排有（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】B
【难度】0.94
【分析】按照村小A安排一个人和安排两个人两种情况分类讨论，按先分组后排序的方法，计算出不同的安排总数.
【详解】村小A安排一人，则有；村小A若安排2人，则有.故共有.选B.
【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查简单的排列组合计算问题，属于基础题.
5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ）
A．1080B．1560C．2640D．3960
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、分组分配问题
【分析】根据分类加法计数原理和部分平均分组计数方法计算即得.
【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法；
第二类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法.
故由分类加法计数原理，共有种不同分法.
故选：B.
6．（2024·江西·模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】不相邻排列问题
【分析】根据题意，分两种情况讨论，第一种情况是来自江西的三位散文家中选出两人，第二种情况是来自江西的三位散文家中选出三人，然后再结合插空法即可得到结果.
【详解】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
7．（24-25高二下·湖南永州·期末）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ．
【答案】540
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的计数问题、排列组合综合、组合数的计算、分组分配问题
【分析】分三个景点安排的人数之比为、、进行讨论即可求解.
【详解】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法，
故不同的安排方法种数是．
故答案为：540.
重难点题型9 数学排列
1．（25-26高三上·重庆·开学考试）由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（ ）个.
A．432B．257C．216D．504
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题
【分析】将3和4捆绑，由分步计数原理计算可得.
【详解】第一步，排1，5，7三个数，有种不同的排法；
第二步，排2，6，8三个数，有种不同的排法；
第三步，将3和4作为一个整体插入，有种不同的排法，
根据分步乘法计数原理，组成的不同的八位数共有个.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（ ）．
A．576种B．720种C．864种D．900种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题
【分析】先排列1，3，5，7，再分类排6结合排列数公式列式计算求解.
【详解】 先排1，3，5，7，有种排法；
再排6，根据题意，6不能排在3的两侧，则6有种排法；
最后排2和4，这两个数不能排在6的两侧，则有种排法.
故相邻数字互质的排法共有（种）．
故选：C.
3．（2025·重庆九龙坡·三模）“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ）
A．66B．75C．78D．90
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题
【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可.
【详解】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）；
若千位数字是7，则共有（个）；
若千位数字是8，则共有（个）．
故符合条件的四位数共有（个）．
故选：B.
4．（24-25高二下·河南信阳·期中）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个.
A．480B．600C．720D．840
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题
【分析】根据给定条件，利用写序问题倍缩法，排除首位为0的情况即可.
【详解】数字：2，0，2，5，4，1，2中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种，
当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，1，2，其中数字2出现了3次，排列的情况有种，
所以不同的7位数有个.
故选：C
5．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）将数字“1，2，3，4，5，7”填到的方格中（每格填一个数字），则每行之和均是偶数的填法有 种．
【答案】432
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合
【分析】两行均为偶奇，先选偶奇，填在第一行，再将剩余的三个数填写在第二行即可.
【详解】第一步，从两个偶数中选择个，有种选法，再从四个奇数中选择两个，有种不同的选法，将它们填写在第一行方格中，有种不同的填法，则第一行共有种不同的填法；
第二步，将剩余3个数字填写在第二行，有种不同的填法；
根据分步乘法计数原理，不同的填法共有种不同的填法.
故答案为：432.
6．（24-25高二下·广西贵港·期中）从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为 ，能被3整除的四位数的个数为 ．
【答案】 72 120
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、数字排列问题、代数中的组合计数问题
【分析】空一：通过捆绑法即可求解，空二：先确定四个数各位数之和为3的倍数的个数，再通过全排列求解即可.
【详解】由捆绑法可得2与3相邻的四位数的个数为．
要使组成的四位数能被3整除，则该四位数各位数之和为3的倍数，
取出的四个数各位数之和为3的倍数的情况有，，，，，共5种，
所以组成的四位数能被3整除的个数为．
故答案为：72；120
7、（24-25高二下·北京·期中）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个．
【答案】240
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理、排列组合综合
【分析】根据题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有3种，分为是和不为，再安排最高位与其他位,进而求解.
【详解】根据是偶数，则个位为这3种情况，
由于小于，则最高位的数字不是，
当个位数为，则排列有,
当个位数为，则排列有,
当个位数为，则排列有,
这排成位不重复的且小于的偶数有.
故答案为：.
8．（24-25高二下·湖北·期中）用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为 ．（用数字作答）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】其他排列模型、数字排列问题
【分析】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上，
因此，满足条件的四位数的个数为个.
故答案为：.
重难点题型10 几何问题
1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的六棱锥.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】实际问题中的组合计数问题、相邻问题的排列问题、排列组合综合、计算条件概率
【分析】记事件G：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件H：A与C处挂同一种形状的风铃.分三类讨论求出事件G的挂法总数，分两类讨论求出对于事件H的挂法总数，结合条件概率的计算公式计算即可求解.
【详解】记事件G：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件H：A与C处挂同一种形状的风铃.
对于事件G，包含的情况可分以下三类：
（1）当A，C，E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法，
此时B，D，F各有3种挂法，故不同的挂法共有4×3×3×3=108种；
（2）当A，C，E挂两种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种；
（3）当A，C，E挂三种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F各有2种挂法，故不同的挂法共有种.
综上，总计有108+432+192=732种挂法，即.
当顶点A与C挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类：
（1）A，C，E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种；
（2）当A，C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种.
综上，总计有108+144=252种挂法，即，
故.
故选：C.
2．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】涂色问题
【分析】依次对区域正方形、、、、涂色，讨论区域与区域同色或异色讨论，确定每个区域所涂颜色的种数，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先对正方形涂色，共有种颜色可供选择，
然后涂区域，有种颜色可供选择，
接下来涂区域，有种颜色可供选择，
若区域与区域同色，则区域有种颜色可供选择；
若区域与区域不同色，则区域有种颜色可供选择，区域有种颜色可供选择.
由计数原理可知，不同的涂色方法种数为.
故选：C.
3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且颜色可以不用完，则不同的涂法有 种．
【答案】264
【难度】0.65
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合
【分析】根据涂色需要的颜色数量分别结合排列组合计算求解.
【详解】根据题意可得，用3种颜色涂色有（种），用4种颜色涂色有（种），
共有（种）．
故答案为：.
4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有 种．

【答案】216
【难度】0.65
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合
【分析】应用分步计数原理结合排列组合数计数求解.
【详解】先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法．
再将剩下的1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法.以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类：
①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种；
②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种．
可得，故不同的涂法有216种.
故答案为：.
重难点题型11 分解法模型与最短路径问题
1．（2023·天津河东·高二统考期末）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）
A．30B．90C．170D．341
【答案】C
【解析】由题，，所以.
故选.：C
2．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的关灯方法有______种.
【答案】10
【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，
则需要用插空法分析：
先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位，
在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况，
即有10种关灯方法.
故答案为：10．
3．（2025·辽宁鞍山·二模）设、、、是、、、、、、、的一个排列，则满足，，，的排列共有 个；，则集合中所有元素的和为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】其他排列模型
【分析】利用倍缩法可得出满足，，，的排列方法种数；设，，，，分析可得出的最大值为，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和.
【详解】因为、、、是、、、、、、、的一个排列，
若满足，，，，则与、与、与、与的大小关系是确定的，
所以，满足条件的排列方法种数为种；
对于集合中的元素，不妨设，，，，
则
为偶数，
根据题意可知，，，，，
则，
不妨取，此时，取最小值，
当取最小值时，最大，且的最小值为，
则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数，
对取特殊值进行验证，列表如下：
因此，集合的所有元素之和为.
故答案为：；.
重难点题型12 环排问题
1．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种B．48种C．30种D．24种
【答案】B
【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，
根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，
其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，
故选B.
2．（2023·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】8个人围成一圈,有种.
其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由.
所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为.
故答案为：D
3．（2023·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种
【答案】D
【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，
再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，
由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，
所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法.
故选：D.
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.

【答案】
【难度】0.65
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】解：根据题意，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故答案为：
一、单选题
1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题
【分析】根据排列组合求解个数，即可由古典概型的概率公式求解.
【详解】将含有甲、乙的6人平均分成两组，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有种情况，
甲、乙至少一人参加指挥交通的情况有，
故所求概率为，
故选：D.
2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．60种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数.
【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种，
其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法，
将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法，
又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有，
所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，
则不同的分派方法共有种.
故选：D.
3．（2025·河北邯郸·模拟预测）六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、计算条件概率
【分析】由“甲、乙两人相邻”可直接用捆绑法求出其包含的基本事件个数；对“丙、丁两人之间间隔两人”分两类讨论：丙、丁两人之间是甲和乙及丙、丁两人之间不是甲和乙，最后利用条件概率公式即可求解.
【详解】设事件“甲、乙两人相邻”，“丙、丁两人之间间隔两人”，则.
若丙、丁两人之间是甲和乙，则有种排法；若丙、丁两人之间不是甲和乙，则有种排法，
∴，.
故选：D.
4．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲不站排头，乙不站排尾，丙丁相邻站位概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合
【分析】利用排列数计算得到所有事件数，利用“捆绑法”解决相邻问题，再分类分步计算特殊元素的站位方法，最后根据古典概型概率公式求概率即可.
【详解】根据题意，6位同学站成一排总共有种站位，
丙丁相邻站，将两人看成一个整体，内部有种站位，
若乙站排头，则甲就和其他元素随意站，共有种站位；
若乙不站排头也不站排尾，则乙要在中间三个位置选一个，甲在剩下的不是排头的三个位置中选一个，其他元素随意站，共有种站位.
所以，所求概率.
故选：D.
5．（2025高三·全国·专题练习）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（ ）.
A．3120种B．3360种C．5160种D．5520种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合
【分析】本题是一个分类和分步原理的综合应用，横向相邻种，在这三种蔬菜的排列就是,排在上排与排在下排又是两种方案，可以选择的方案:分两种情况，当与在同一排时，又分两种情况，根据计数原理得到结果.
【详解】①当与同行，与也同行时，有种种植方案；
与不同行时，有种种植方案；
②当与不同行时，有种种植方案.
故不同的种植方案有（种）.
故选：C.
6．（24-25高二下·山东·期中）包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（ ）
A．180B．246C．168D．192
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】分甲乙相邻且与丙不相邻、甲与乙相邻且乙与丙相邻两种情况讨论，利用捆绑法和插空法计算可得.
【详解】当甲乙相邻且与丙不相邻时，先将其余三人全排列，有种排法，
再将甲乙组合与丙插空，有种排法，则有种排法；
当甲与乙相邻且乙与丙相邻，则有种排法，
综上可得一共有种排法.
故选：D
7．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段不相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．12种B．28种C．20种D．16种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理
【分析】分情况讨论，运用插空法进行求解.
【详解】当中心组学习安排在第1阶段时，
主题班会、主题团日安排的阶段不相邻的方法有（种）；
当中心组学习安排在第2阶段，且主题班会或主题团日安排在第1阶段时，
不同的安排方法有（种）；
当中心组学习安排在第2阶段，且专题报告会或党员活动日安排在第1阶段时，
不同的安排方法有（种），
故共有种不同的安排方案.
故选：B.
8．（2025高三·全国·专题练习）一个密码有9位，由4个自然数、3个“”、1个“”和1个“”组成，其中与不相邻，和不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有（ ）.
A．10200个B．13600个C．40800个D．81600个
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理
【分析】根据“2311”和“6111”分类结合组合数及排列数结合分类计数原理计算求解.
【详解】根据题意，这4个自然数为“2，3，1，1”或“6，1，1，1”，简记为“2311”和“6111”．
（1）对“2311”分两类：
①把“”视为一个整体，则“2311”与“”一起排列，有（种）；
②按“数字”的顺序排列，先排“2311”，再插入，最后插入“”，有（种）.
（2）对“6111”分两类：
①把“”视为一个整体，则“6111”与“”一起排列，有（种）；
②按“数字”的顺序排列，先排“6111”，再插入，最后插入“”，有（种）.
综上，由加法原理得，（个）．
故这样的密码有13600个，
故选：B．
9．（24-25高二下·重庆九龙坡·阶段练习）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10B．20C．60D．30
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题
【分析】用倍缩法直接计算求解该定序问题即可.
【详解】6人全排有中排序方法，
所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法.
故选：D
10．（2023·贵州黔东南·模拟预测）某足球比赛有，，，，，，，，共9支球队，其中，，为第一档球队，，，为第二档球队，，，为第三档球队，现将上述9支球队分成3个小组，每个小组3支球队，若同一档位的球队不能出现在同一个小组中，则不同的分组方法有（ ）
A．27种B．36种C．72种D．144种
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题
【分析】根据题意，先排，再排，最后排，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，先排，共有1种排法；
再排，共有种不同的排法；
最后排，共有种不同的排法，
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
故选：B.
11．（2024·重庆·模拟预测）2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计1了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品、，乙同学喜欢作品、、，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（ ）
A．50种B．48种C．45种D．40种
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理
【分析】分甲选和甲选两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得.
【详解】若甲选，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法；
若甲选，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法；
综上可得一共有种不同的选法.
故选：D
12．（2025高三·全国·专题练习）某公司研发的6个不同的程序中有2个程序无法正常运行，若最多测试4次能找到这2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序共有（ ）
A．90种B．108种C．114种D．128种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理
【分析】分四种情况，结合排列组合即可求解.
【详解】①测试2次找到2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序有种；
②测试3次找到2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序有种；
③测试4次找到2个无法正常运行的程序，则不同的测试次序有种；
④测试4次找到4个正常运行的程序，则不同的测试次序有种,
综上，不同的测试次序共有种．
故选：C
13．（2025高三·全国·专题练习）社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有（ ）
A．210种B．300种C．360种D．480种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题、分类加法计数原理
【分析】应用分步分类计数原理，结合排列组合数求不同的选法数.
【详解】从5个人中任选一个人连续参加三天的活动，有5种选择，
若剩下的4个人中有2人参加了此项活动，则有一个人参加了其中两天的活动，有种方法，
若剩下的4个人中有3人参加了此项活动，则这三个人每人参加其中一天的活动，有种方法，
因此共有种.
故选：B
14．（24-25高二下·河南·阶段练习）某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ）
A．105种B．168种C．210种D．273种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题
【分析】利用平均分组与不平均分组法计算可求得总的分组方法.
【详解】将10人平均分成两个组有种，其中3名女生在同一组的分法有，
故将10人平均分成两个组，3名女生不在同一组的分法有种，
将10人按一组4人，一组6人分成两个组有，
其中3名女生在4人组中的分法有，其中3名女生在6人组中的分法有，
故故将10人按一组4人，一组6人分成两个组，3名女生不在同一组的分法有种，
综上所述：将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，
且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有.
故选：D.
15．（2025高三·全国·专题练习）每年的3月5日是学雷锋纪念日，某班的5位学生报名参加2025年3月5日的学雷锋社会实践活动，有关爱老人活动、社区卫生活动，协助交警活动这三种可以选择，每位学生只能参加一种活动，并且每种活动至少有1位学生参加，则不同的分配方案种数为（ ）
A．120B．150C．210D．240
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题
【分析】将5位学生分为三组，每组的人数可以是1，1，3或1，2，2.，分别求解即可.
【详解】将5位学生分为三组，每组至少有1人，每组的人数可以是1，1，3或1，2，2.，
当每组人数是1，1，3时，分组方法有（种）：
当每组人数是1，2，2时，分组方法有（种），
所以将5位学生分为三组的方法共有（种），
所以不同的分配方案种数为.
故选：B.
16．（2025·山东临沂·三模）苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人，则恰有人获得二等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题
【分析】先确定获得一等奖、二等奖、三等奖的人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为、、，则，
因为要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人，
则或或，
所以恰有人获得二等奖的概率为.
故选：D.
17．（24-25高二下·福建福州·期中）某大学开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什么是数学》四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．60种B．78种C．96种D．144种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】分组分配问题
【分析】结合题意可得每位同学每年所修课程数可以分为或或，先将课程分组，再分配到三个学年，最后按照分类加法计数原理、分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意可知三年修完四门课程，且每年至多选三门，
则每位同学每年所修课程数可以分为或或，
若按选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
所以每位同学的不同选修方式有种．
故选：B．
18．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
A．540B．360C．300D．420
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】涂色问题
【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.
【详解】分两种情况讨论即可：
(i)②和④涂同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；
(ii)②和④涂不同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；
∴总共有180＋240＝420种涂色方法．
故选：D﹒
19．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.
由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.
故选：B.
20．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．360种B．264种C．192种D．144种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】涂色问题
【分析】依题意，完成涂色问题，至少用3种颜色，可分为4种颜色都用到和只用3种颜色两类.分别计算两类不同的涂色方法，可先给A、B、C三点涂色，再给D、E、F涂色，由乘法原理得结论.最后用加法原理得到不同的涂色方法.
【详解】如图，
若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有种涂法，
另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有种涂法，
由乘法原理得种．
若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有种涂法，
若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有种涂法，此时E有种涂法；
若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有种涂法，此时F有种涂法.
由乘法原理得种．
所以，不同的涂色方法共有种．
故选：B
二、填空题
21．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种.
【答案】114
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分组分配问题
【分析】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解.
【详解】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，
则分组方式为1，1，3；1，2，2；
此时不同的分配方案共有种；
若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊，
若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有；
若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种，
故所求为种.
故答案为：114.
22．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为 ；甲景点A班同学数X的数学期望为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据题意，甲景点恰有2个A班同学有两种情况，互换的是A班同学或互换的是B班同学，利用组合及古典概型求出概率即可；（2）由题知X的取值可能为，利用组合及古典概型求出概率，根据公式得到期望.
【详解】（1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况：
互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为，
，
互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为，
，
所以甲景点恰有2个A班同学的概率.
（2）由题知X的取值可能为，
，，，
.
故答案为：；.
23．电影院一排有n个位置，甲、乙，丙3人去看电影，他们随机地坐在同一排，若这3人不相邻的概率是这3人中恰有2人相邻的概率的2倍，则 ．
【答案】16
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】
分别求出这3人不相邻的坐法种数和这3人中恰有2人相邻的坐法种数，可得，解方程即可得出答案.
【详解】这3人不相邻的坐法种数为，这3人中恰有2人相邻的坐法种数为，
因为这3人不相邻的概率是这3人中恰有2人相邻的概率的2倍，
所以，解得．
故答案为：16.
24．（23-24高三上·江西九江·阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数，要求奇数1，3，5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有 个．
【答案】72
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、数字排列问题
【分析】
根据题意，1和2两个数按“12”的顺序和“21”的顺序捆绑，再利用插空法可得答案.
【详解】根据题意1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列，
排好后，要求奇数1，3，5两两不相邻，则有3个空位可选，再将“3”和“5”插入到3个空位中，
所以有种，即满足条件的六位数共有72种，
故答案为：72
25．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有 种．
【答案】6
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、排列组合综合
【分析】按照每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻有两种情况，再根据排列组合来求解即可.
【详解】第一种情况，4个0全部相邻，把4个0看成1个元素，共有种；
第二种情况，将4个0分成2组，每组2个0，每组不相邻，利用插空法共有种．
综上，这样的信号共有6种．
故答案为：.
26．（2025·湖北黄冈·二模）甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为 种.
【答案】114
【难度】0.65
【知识点】分组分配问题
【分析】由题意，根据分组分配的解题方法，结合正难则反的思想，可得答案.
【详解】由题意人去三个地方，不同分组有或，则不同的游览方法的种数为，
若甲乙去到同一景区，则不同的游览方法的种数为，
符合题意的不同的游览方法的种数为.
故答案为：.
27．（2025·江西·二模）为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为 .(用数字作答)
【答案】114
【难度】0.65
【知识点】代数中的组合计数问题、分组分配问题
【分析】可以采取间接方法，在所有分配方法中减去不符合要求的分配方法，即为满足条件的分配方法数.
【详解】所有可能的分配方法数为：若一个楼层分配三个机器人，其余两个楼层分配一个，
则总数为种，
若一个楼层分配一个机器人，其它两个楼层每层分配两个机器人，
则分配方法的总数为种，两者相加可得所有分配方法总数为种.
甲、乙在同一个楼层的分配方法可计算如下：
先从三个楼层中选一个楼层安排机器人甲、乙，有种分法，
若剩下三个机器人分配到其余两个楼层，
可以先在三个机器人中选择两个一组，再在两个楼层中选择一层楼分配这两个机器人，
有种分法，
若剩下的三个机器人分配到三个楼层，有种分法，
故甲、乙在同一个楼层的不同的分配方法种数为种，
所以甲、乙不在同一个楼层的不同分配方法数为种.
故答案为：.
28．（24-25高二下·湖北·期中）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答）
【答案】360
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、分组分配问题
【分析】依题意，将问题分成0人参加“舞动青春”社团和人参加“舞动青春”社团两种情况讨论，然后分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数.
【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数：
将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加.
可先将人分成，，三组，有种，
再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种；
(2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数：
先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种.
然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加，
可将人按照，或，，分组.
① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个，
则有种，故方法数为种；
② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列，
则有，故方法数为种.
故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种.
综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种.
故答案为：360.
序号
题型
重难点题型1
直接法
重难点题型2
间接法
重难点题型3
捆绑法
重难点题型4
插空法
重难点题型5
定序问题
重难点题型6
多面手问题
重难点题型7
涂色问题
重难点题型8
分组分配问题
重难点题型9
数字排列
重难点题型10
几何问题
重难点题型11
分解法模型与最短路径问题
重难点题型12
环排问题
解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
①定序问题-----定序问题作商处理：对于给定元素顺序确定，再插入其它元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为个，则排列数为:。
②选排问题-----选排问题先选后排处理：从n个元素中选出限制的几个元素安排到指定位置上，用先选后排法。
涂色问题分类(加法)、分步(乘法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。
分为平均分组、部分平均分组与非平均分组：
①平均分组---n个元素平均分成m组，每组x个元素，秒杀公式：第一步：分组：；
如需对分的组进行排序，则：。
②部分平均分组---第一步：对平均分组的元素进行分组，第二步：：如需对分的组进行排序，则进行全排列。
③非平均分组。