2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.6离散型随机变量的分布列与数字特征(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.6离散型随机变量的分布列与数字特征(学生版+解析)，共47页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下面给出四个随机变量，已知，随机变量X的分布列为，已知随机变量的分布列为等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 离散型随机变量
1．下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值是上的一个数
B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
C．若离散型随机变量的均值，则
D．离散型随机变量的均值
2．（24-25高三下·黑龙江哈尔滨·期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
3．（24-25高三下·宁夏银川·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．条件概率（设）中：如果B和C是两个互斥事件，则
B．全概率公式计算采用的方法是将一个复杂事件表示为多个独立事件的并，再由概率的加法和乘法求得这个复杂事件的概率
C．随机变量就是离散型随机变量
D．两点分布又叫分布
4．（24-25高二下·山西临汾·阶段练习）（多选题）下列变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数
C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数
D．方程的实根个数
5．（2024·云南曲靖·一模）已知随机变量，若，则p＝ ．
6．已知，随机变量X的分布列为
的最小值为 ，此时X的数学期望为 ．
重难点题型2 求离散型随机变量的分布列
1．（24-25高三上·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
A．B．C．D．
2．两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·广西·模拟预测）随机变量的分布列为
则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南南阳·一模）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 .
5．设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则 .
6．（2025·四川眉山·模拟预测）某校为了加强本校中学生的身体素质，规定学校每学期都必须组织学生的跳高测试，要求跳过1.2米高才算合格，否则体育成绩不达标，某班有甲、乙两位同学独立参加跳高测试，他们两人在每次试跳中能合格的概率分别为和，每人有两次试跳机会，且每次试跳是否成功互不影响.
(1)求甲能通过测试的概率；
(2)记X表示甲和乙试跳的次数之和，求随机变量X的分布列及数学期望．
7．（2025·江苏镇江·模拟预测）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
(1)该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；
(2)记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望.
重难点题型3 离散型随机变量的分布列的性质
1．（2025·山东青岛·模拟预测）（多选题）某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（ ）
活动的收益分布：
活动的收益分布：
A．B．
C．两个活动的收益期望一样多D．活动的收益风险低于活动
2．（2025·辽宁·一模）（多选题）随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观的表示，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选题）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
且，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选题）已知随机变量的分布列为
则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则（ ）
A．B．
C．，D．，
重难点题型4 离散型随机变量的均值（期望）
1．（2025·四川·模拟预测）若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃金昌·二模）已知随机变量的分布列如下：
则数学期望（ ）
A．0.8B．1.4C．D．2
3．随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知随机变量X的分布列为
则（ ）
A．B．1C．D．
5．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 .
重难点题型5 离散型随机变量的方差
1．设，随机变量X的分布列是
则当a在内增大时，（ ）
A．增大B．减小
C．先增大再减小D．先减小再增大
2．设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
3．（2024·浙江·模拟预测）已知随机变量满足，且随机变量的分布列如下：
则随机变量的方差（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·浙江·模拟预测）已知，，随机变量的分布列如下：
当取最大值时，（ ）
A．1B．C．3D．
5．（23-24高三下·江西·阶段练习）（多选题）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）（多选题）随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．有最大值D．随y的增大而减小
7．已知随机变量的分布列为
则 ；若，则 ．
8．已知随机变量的分布列为：
若，则 ， .
重难点题型6 决策问题
1．（2025·浙江嘉兴·一模）2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
2．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）甲、乙两人进行游戏，且都有1个红色弹珠和1个黄色弹珠，每人每次独立地随机取出1个弹珠相互交换.
(1)若只交换1次，求甲的弹珠的颜色相同的概率；
(2)若只交换1次，记甲有红色弹珠的个数为X，求X的分布列及期望；
(3)若一共交换3次，最后甲的2个弹珠颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜，试问这个游戏是否公平?
3．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有6名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图：

(1)求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
(2)从6名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；试求的分布列和数学期望；
(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.
4．（25-26高三上·北京房山·开学考试）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下：
假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率．
(1)从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率；
(2)从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由．
5．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）．
(1)求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；
(2)在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；
(3)第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值．
6．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）甲、乙、丙三人一起玩掷骰子的游戏，骰子质地均匀.游戏规则如下：甲选择数字1，乙选择数字2、3，丙选择数字4、5、6.每人掷一次骰子，当掷出自己所选的数字时，获得对应得分，否则其他人获得对应得分的一半.甲、乙、丙掷出所选数字时的对应得分为6、4、2.比如：在乙投掷时，若掷出数字2、3，则乙获得4分，甲、丙不得分；乙掷出1、4、5、6时，乙不得分，甲、丙各得2分.三人各投掷一次记为一轮.
(1)一轮过后，记甲的得分为，求的分布列和期望.
(2)一轮过后，甲因个人原因退出游戏，此时乙、丙重新制定规则：
（i）两人各投掷一次记为一轮，无论是谁投掷，当出现数字1时，需重新投掷，得分规则同上.求进行两轮游戏后，乙的积分高于丙的积分的概率.
（ii）不进行得分统计，通过掷出骰子的点数判定胜负，投掷一次为一轮，若一轮掷出1，2，3，乙胜，否则丙获胜.两人约定谁先获胜的局数达到一定数目时，可以把奖品全部赢下来.但游戏在中途被打断了，此时乙还需胜5轮才能赢下游戏，丙还需赢6轮才能赢下游戏.在这样的情况下，如果要按照乙、丙最终获胜概率大小分配奖品数量，求丙应该得到奖品的数量占比.
序号
题型
重难点题型1
离散型随机变量
重难点题型2
求离散型随机变量的分布列
重难点题型3
离散型随机变量的分布列的性质
重难点题型4
离散型随机变量的均值（期望）
重难点题型5
离散型随机变量的方差
重难点题型6
决策问题
Ｘ
1
2
3
4
P
a
b
3
4
5
6
7
0
1
1
2
3
4
5
6
P
3
7
11
0.4
0.3
0
8
18
0.6
0.1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
1
2
3
X
1
2
3
0.4
X
0
2
4
P

m

X
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
X
0
1
P
b
0
1
2
P
b
0
1
2
0
X
1
2
3
4
5
P
m
n
0
1
2
P
0
1
2
-1
0
1
2
专家
A
B
C
D
E
F
评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7
8.8
生产方式
工作时间（单位：）
第一种
68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92
第二种
65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 76 78 81 84 84 85 93
专题10.6 离散型随机变量的分布列与数字特征
目录●重难点题型分布
重难点题型1 离散型随机变量
1．下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值是上的一个数
B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
C．若离散型随机变量的均值，则
D．离散型随机变量的均值
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分、求离散型随机变量的均值、均值的性质
【分析】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；
结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；
由离散型随机变量的均值为即可得D选项.
【详解】对于，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在上，
故错误，
对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，
故B正确，
对于C，离散型随机变量的均值，
则，
故C错误，
对于D，离散型随机变量的均值，
故D错误．
故选：B．
2．（24-25高三下·黑龙江哈尔滨·期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.
故选：C
3．（24-25高三下·宁夏银川·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．条件概率（设）中：如果B和C是两个互斥事件，则
B．全概率公式计算采用的方法是将一个复杂事件表示为多个独立事件的并，再由概率的加法和乘法求得这个复杂事件的概率
C．随机变量就是离散型随机变量
D．两点分布又叫分布
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】两点分布、离散型随机变量与连续型随机变量的区分、条件概率性质的应用、利用全概率公式求概率
【分析】根据条件概率的性质可判断A，根据全概率公式的定义可判断B，根据离散型随机变量的定义可判断C，根据两点分布的定义可判断D.
【详解】根据条件概率的性质，设,则如果B和C是两个互斥事件，则，故A正确；
根据定义，全概率公式计算采用的方法是将一个复杂事件表示为多个互斥事件的并，再由概率的加法和乘法求得这个复杂事件的概率.故B错误；
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.故C错误；
两点分布又叫分布，故D正确.
故选：AD.
4．（24-25高二下·山西临汾·阶段练习）（多选题）下列变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数
C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数
D．方程的实根个数
【答案】BC
【难度】0.94
【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分
【分析】根据离散型随机变量的定义判断.
【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误；
对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确；
对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确；
对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误.
故选：BC.
5．（2024·云南曲靖·一模）已知随机变量，若，则p＝ ．
【答案】/0.25
【难度】0.85
【知识点】由随机变量的分布列求概率
【分析】由可得，进而可求解答案.
【详解】已知X～B（2，p），
则，
∴，解得或（因为0＜p＜1，故舍去）．
故答案为：．
6．已知，随机变量X的分布列为
的最小值为 ，此时X的数学期望为 ．
【答案】 /
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据分布列性质求得，然后由基本不等式求得最小值，并求得值，再由期望公式计算出期望．
【详解】依题意可得．则，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
此时．
故答案为：；．
重难点题型2 求离散型随机变量的分布列
1．（24-25高三上·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用等差数列的性质计算、利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解.
【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列，
则，即，则.
故选：D
2．两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据离散型随机变量的分布列计算概率即可.
【详解】4人排成一排共有种不同的排法，
的所有可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以.
故选：B.
3．（2024·广西·模拟预测）随机变量的分布列为
则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由随机变量的分布列求概率
【分析】根据随机变量X的概率和为1求得答案.
【详解】.
故选：C
4．（2025·河南南阳·一模）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】设保险公司要求顾客交元保险金，求出收益额的分布列和数学期望，根据即可求出的值，即为答案.
【详解】设保险公司要求顾客交元保险金，若表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，
的取值范围为，，
则的分布列为
因此，公司每年收益的期望值，
为使公司收益的期望值等于的百分之十，所以，解得.
故答案为：.
5．设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用等差数列的性质计算、利用随机变量分布列的性质解题
【分析】由等差数列的性质和离散型随机变量的性质可求得结果.
【详解】因为，，…，构成等差数列，
所以，
因为，所以，
故答案为：
6．（2025·四川眉山·模拟预测）某校为了加强本校中学生的身体素质，规定学校每学期都必须组织学生的跳高测试，要求跳过1.2米高才算合格，否则体育成绩不达标，某班有甲、乙两位同学独立参加跳高测试，他们两人在每次试跳中能合格的概率分别为和，每人有两次试跳机会，且每次试跳是否成功互不影响.
(1)求甲能通过测试的概率；
(2)记X表示甲和乙试跳的次数之和，求随机变量X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）记表示甲第次试跳通过测试，用互斥事件和独立事件的概率计算公式计算；
（2）记表示乙第次试跳通过测试，用表示取值对应的事件，计算概率得到分布列，由期望计算公式计算期望.
【详解】（1）记表示甲第次试跳通过测试，（），则“甲通过测试”表示为
.
（2）记表示乙第次试跳通过测试，（），
；
；
；
所以的分布列为：
7．（2025·江苏镇江·模拟预测）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
(1)该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；
(2)记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案；
（2）求出的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案.
【详解】（1）设事件“该同学以获得比赛胜利”，“该同学连胜两局”，
若该同学以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况，
所以，
，
则，
则该同学在以获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为.
（2）由题意的所有取值为.
则，
，
所以变量的分布列为
则的期望为.
重难点题型3 离散型随机变量的分布列的性质
1．（2025·山东青岛·模拟预测）（多选题）某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（ ）
活动的收益分布：
活动的收益分布：
A．B．
C．两个活动的收益期望一样多D．活动的收益风险低于活动
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得.
【详解】依题意可得，所以，，
则，故A正确；
所以，
，则，故C正确；
而，故B错误；
因为，
，
即，所以活动的收益风险高于活动，故D错误.
故选：AC.
2．（2025·辽宁·一模）（多选题）随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观的表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、二项分布的方差
【分析】由频率分布直观图可得A错误；由二项分布的概率公式令可得B正确；由二项分布的概率公式可得C正确；由二项分布的方差公式可得D正确.
【详解】对于A，由频率分布直观图可得可以取0，1，2，3，4，所以，故A错误；
对于B，由，所以，故B正确；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：BCD
3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选题）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
且，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质
【分析】根据分布列的性质以及期望公式可得，即可根据期望的性质以及方差的性质求解.
【详解】由题意可得，解得，故AB正确，
,，故,故C错误，D正确，
故选：ABD
4．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选题）已知随机变量的分布列为
则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】根据概率之和为1可得，即可根据期望以及方差的计算公式以及性质即可逐一求解.
【详解】由，得，A正确.
，B不正确，C正确.
，D正确.
故选：ACD
5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值
【分析】根据分布列的性质列方程来求得，根据概率、期望、方差的知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为，所以，故A正确；
由得，即，
所以，故B错误；
又，
，故C正确；
因为，所以，，故D错误.
故选：AC.
重难点题型4 离散型随机变量的均值（期望）
1．（2025·四川·模拟预测）若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据等比数列通项公式用表示、，再结合概率和为求出，最后根据期望公式计算．
【详解】已知数列是公比为的等比数列，可得，．
因为随机变量的所有概率之和为，即，将，代入可得：
，合并同类项得，解得．
根据离散型随机变量的期望公式，把，，代入可得：
．
故选：D．
2．（2025·甘肃金昌·二模）已知随机变量的分布列如下：
则数学期望（ ）
A．0.8B．1.4C．D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值
【分析】根据概率之和为1得到方程，求出，利用期望公式得到答案.
【详解】由题意，，所以，
所以.
故选：D.
3．随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值
【分析】由分布列的性质求出，再由均值的公式即可求出答案.
【详解】，∵，
∴，解得，
则，
∴．
故选：B
4．已知随机变量X的分布列为
则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值
【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.
【详解】由题可知，，解得，
则．
故选：D.
5．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 .
【答案】8
【难度】0.85
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质
【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到.
【详解】由题意，得，解得，
所以，
所以.
故答案为：8.
重难点题型5 离散型随机变量的方差
1．设，随机变量X的分布列是
则当a在内增大时，（ ）
A．增大B．减小
C．先增大再减小D．先减小再增大
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】根据分布列求解b的值，然后根据分布列计算随机变量的均值和方差，结合二次函数性质即可求解.
【详解】因为，所以．
因为，
所以，
所以当时，a增大增大，
当时，a增大减小．
故选：C.
2．设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】根据随机变量分布列的性质可知，所以，
所以，
所以
，
因为，所以单调递增，
故选：A
3．（2024·浙江·模拟预测）已知随机变量满足，且随机变量的分布列如下：
则随机变量的方差（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质
【分析】根据题意得，进而根据题意计算期望与方程即可.
【详解】解：由分布列的性质，得，
所以，
所以，
又，所以．
故选：B
4．（2025·浙江·模拟预测）已知，，随机变量的分布列如下：
当取最大值时，（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由随机变量的分布列求概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】解法一：由分布列的性质得，进而得，再根据基本不等式即可得，当且仅当时取等号，再根据方程公式计算即可得答案.
解法二：由分布列的性质得，进而得，令，，根据三角换元得：，当且仅当，即时取等号，再求随机变量的分布列，进而根据公式计算即可.
【详解】解法一:根据随机变量分布列的性质，得，所以，
所以，
当且仅当时取等号，此时随机变量的分布列为
所以.
故选:A．
解法二：根据随机变量分布列的性质，得，所以，
所以．
令，，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时随机变量的分布列为
故，所以．
故选：A．
【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列，期望，方程的求解，考查运算求解能力，是中档题.值得指出的是：在求解与离散型随机变量的数学期望和方差有关的问题时，考生若能熟练掌握公式，能大大降低运算量，起到事半功倍的效果．
5．（23-24高三下·江西·阶段练习）（多选题）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、均值的性质、方差的性质
【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D.
【详解】由可得：①，
又因为，解得：，故C正确.
所以，
则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）（多选题）随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．有最大值D．随y的增大而减小
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】二次函数的图象分析与判断、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
【详解】由题意可知，即，故A正确；
，故B正确；
，
因为，，易得，
而开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得最大值，
所以随着y的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
7．已知随机变量的分布列为
则 ；若，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】由概率和等于1，可求出的值，然后根据，可求出，进而由数学期望的计算公式可求出的值，然后计算即可.
【详解】由题意得，，则.
因为，所以，则，即，
又，解得，
所以．
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算等，考查数学运算核心素养，属于中档题.
8．已知随机变量的分布列为：
若，则 ， .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】由概率的性质可知,再由期望可得,即可求得,进而根据公式求得.
【详解】由题,因为,所以,
因为,即,
所以可得,,
则,
故答案为:；.
【点睛】本题考查概率的性质的应用,考查期望与方差的公式的应用,考查数据处理能力.
重难点题型6 决策问题
1．（2025·浙江嘉兴·一模）2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)甲应选，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率
【分析】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解；
（2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解；
（3）由时，由甲答对题目的数量，确定甲获奖励的概率，再从①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，讨论当时，甲获奖励的概率，比较大小即可求解.
【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，则，且两两互斥.
根据题意得，，
则，
所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为.
（2）的可能取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
所以.
（3）当时，为甲答对题目的数量，
由题意可知，其中，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前8题答对题目的数量大于等于5，
②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，
③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率，所以
，
因为，所以，即，
所以甲应选.
2．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）甲、乙两人进行游戏，且都有1个红色弹珠和1个黄色弹珠，每人每次独立地随机取出1个弹珠相互交换.
(1)若只交换1次，求甲的弹珠的颜色相同的概率；
(2)若只交换1次，记甲有红色弹珠的个数为X，求X的分布列及期望；
(3)若一共交换3次，最后甲的2个弹珠颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜，试问这个游戏是否公平?
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)这个游戏不公平
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率
【分析】（1）根据题意，甲摸到红色乙摸到黄色或甲模得到黄色乙摸到红线，结合独立事件概率乘法公式和互斥概率加法公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（3）用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色相同，用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色不相同，结合全概率公式，分别求得甲、乙获胜的概率，即可得到答案.
【详解】（1）解：若交换1次，要使得甲的弹珠的颜色相同，则甲摸到红色乙摸到黄色或甲模得到黄色乙摸到红色，
所以甲的弹珠的颜色相同的概率为.
（2）解：由题意知，若只交换1次，则甲、乙两人取红色弹珠和黄色弹珠的概率均为，
则随机变量的所有可能取值为，
可得，
所以随机变量的分布列为
所以的期望.
（3）解：用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色相同，
用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色不相同，
由（1）知，，则，
由全概率公式，得,
同理可得：，所以，
所以游戏不公平.
3．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有6名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图：

(1)求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
(2)从6名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；试求的分布列和数学期望；
(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.
【答案】(1)，；
(2)分布列见解析，数学期望为2；
(3).
【难度】0.65
【知识点】补全频率分布直方图、用频率估计概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
（3）求出及的估计值，再借助权重分析即可判断得解.
【详解】（1）由频率分布直方图，得，某场外观众评分不小于9的概率是．
（2）的可能取值为1，2，3，
6名专家评分不小于9分的有4人，
，
所以的分布列为
数学期望．
（3）依题意，专家评分的平均数，
观众评分的平均数的估计值为，则，
由于观众人数远多于专家，在计算时，观众评分（其平均值略低于专家均分）权重大，
因此会比更接近于观众评分的均值，所以.
4．（25-26高三上·北京房山·开学考试）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下：
假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率．
(1)从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率；
(2)从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)应该采用第二种生产方式，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】用中位数的代表意义解决实际问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可得结果；
（2）由古典概型的概率计算公式可计算得到分布列，由数学期望的计算公式可计算出数学期望的值；
（3）由比较两组数据的分布情况和比较中位数的大小均可得到结果.
【详解】（1）第一组工人中工作时间小于80分钟的有5人，所以从第一组工人中随机抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率为.
（2）第一组和第二组工人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数分别为5人和15人，
的所有可能取值为0，1，2，
，，，
故的分布列如下：
的数学期望.
（3）应该采用第二种生产方式，理由如下：
①由所给数据可知，用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少82 min，
用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多78 min，因此应该采用第二种生产方式；
②由所给数据可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），
用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），因此应该采用第二种生产方式.
5．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）．
(1)求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；
(2)在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；
(3)第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值．
【答案】(1)0.5
(2)分布列见解析，1.2
(3)4
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、均值的性质、二项分布的均值
【分析】（1）根据该攻关小组在第一阶段解决2或3个问题求概率.
（2）明确的分布类型为二项分布，可求其分布列和期望.
（3）根据变量之间的关系求随机变量Y的期望.
【详解】（1）该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率为：
（2）因为，
所以，（），
所以随机变量X的分布列为
其数学期望．
（3）记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量（单位：亿元），则，
所以（单位：亿元）．
所以．
6．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）甲、乙、丙三人一起玩掷骰子的游戏，骰子质地均匀.游戏规则如下：甲选择数字1，乙选择数字2、3，丙选择数字4、5、6.每人掷一次骰子，当掷出自己所选的数字时，获得对应得分，否则其他人获得对应得分的一半.甲、乙、丙掷出所选数字时的对应得分为6、4、2.比如：在乙投掷时，若掷出数字2、3，则乙获得4分，甲、丙不得分；乙掷出1、4、5、6时，乙不得分，甲、丙各得2分.三人各投掷一次记为一轮.
(1)一轮过后，记甲的得分为，求的分布列和期望.
(2)一轮过后，甲因个人原因退出游戏，此时乙、丙重新制定规则：
（i）两人各投掷一次记为一轮，无论是谁投掷，当出现数字1时，需重新投掷，得分规则同上.求进行两轮游戏后，乙的积分高于丙的积分的概率.
（ii）不进行得分统计，通过掷出骰子的点数判定胜负，投掷一次为一轮，若一轮掷出1，2，3，乙胜，否则丙获胜.两人约定谁先获胜的局数达到一定数目时，可以把奖品全部赢下来.但游戏在中途被打断了，此时乙还需胜5轮才能赢下游戏，丙还需赢6轮才能赢下游戏.在这样的情况下，如果要按照乙、丙最终获胜概率大小分配奖品数量，求丙应该得到奖品的数量占比.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（2）.
【难度】0.4
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）先确定的取值，再根据独立事件的概率公式可求取相应值时对应的概率，故可得分布列，根据期望公式可求期望；
（2）（i）设一轮游戏后乙的积分为，丙的积分为，令，则可求的概率分布，从而可求乙的积分高于丙的积分的概率；（ii）利用二项分布分别求出乙丙获胜的概率后可求丙应该得到奖品的数量占比.
【详解】（1）由题意，的可能取值为，
而，，
，，
，，
，，
故的分布列如下：
故
（2）（i）设一轮游戏后乙的积分为，丙的积分为，
则可取值，可取值，
故，，
，，
，，
，
而当时，，当，，当时，，
当，，，
设随机变量，则可取，
且，，
故两轮后乙的积分高于丙的积分的概率为：
.
（ii）设乙、丙还需比赛轮才能决定输赢，则，
设乙第胜发生在第轮（），
则其乙赢的概率为，
设丙第胜发生在第轮（），
则其丙赢的概率为，
故丙应该得到奖品的数量占比为.
序号
题型
重难点题型1
离散型随机变量
重难点题型2
求离散型随机变量的分布列
重难点题型3
离散型随机变量的分布列的性质
重难点题型4
离散型随机变量的均值（期望）
重难点题型5
离散型随机变量的方差
重难点题型6
决策问题
Ｘ
1
2
3
4
P
a
b
3
4
5
6
7
0
1
1
2
3
4
5
6
P
2
3
4
0
1
2
3
7
11
0.4
0.3
0
8
18
0.6
0.1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
1
2
3
X
1
2
3
0.4
X
0
2
4
P

m

X
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
X
0
1
P
b
0
1
2
P
b
0
1
2
0
0
0
2
8
X
1
2
3
4
5
P
m
n
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1
2
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2
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专家
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B
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评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7
8.8
1
2
3
生产方式
工作时间（单位：）
第一种
68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92
第二种
65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 76 78 81 84 84 85 93
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0.216
0.432
0.288
0.064