2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.4随机事件、频率与概率(六类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)专题10.4随机事件、频率与概率(六类重难点题型精练)(学生版+解析)，共33页。试卷主要包含了下列事件中，是随机事件的是，下列事件是必然事件的是等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 随机事件与样本空间
1．下列事件中，是随机事件的是（ ）
①明天本市会下雨
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月
A．①③B．③④C．①④D．②③
2．（2024·云南·一模）下列事件是必然事件的是( )
A．某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军
B．一个三角形的大边对的角小，小边对的角大
C．如果a＞b，那么b＜a
D．某人购买福利彩票中奖
3．（25-26高二上·海南·阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）（多选题）现有分别标有2024，2021，2028，2023，2020，2022数字的6张卡片，下列说法正确的是（ ）
A．卡片数字的第80百分位数为2024
B．从中随机抽取两张，共有30种不同的组合
C．从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大
D．从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件
5．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件事件B，则
重难点题型2 随机事件的关系与运算
1．（2025·湖北武汉·三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·吉林·二模）已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若互斥，则D．若互斥，则
3．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）已知事件，且，则（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若事件与事件互斥，则
C．若事件与事件互斥，则
D．若，则事件与事件相互独立
7．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选题）已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ）
A．若互斥，则 B．若相互独立，
C．若，则 D．若相互独立，则
8．（2024·全国·模拟预测）设是随机事件，且，则 ．
9．（23-24高二下·江苏·课前预习）A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 .
重难点题型3 频率与概率
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15
3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
4．（2025·福建泉州·模拟预测）某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
重难点题型4 生活中的概率
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）
A．B．C．D．
2．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7%B．8%C．9%D．30%
3．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数）
6．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 ．
重难点题型5 互斥事件与对立事件
1．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A．M与N是互斥事件B．M与N是相互独立事件
C．D．
2．（2025·山东泰安·模拟预测）在一次随机试验中，三个事件、、发生的概率分别是、、，则下列选项正确的是（ ）
A．是必然事件B．与是互斥事件，也是对立事件
C．．D．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为 ．
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，甲同学解出的概率为，乙同学解出的概率为，且甲、乙两同学解出该难题与否相互独立，若该难题在限定时间内被解出，则这两名同学都解出了该难题的概率为 .
6．（2025·四川成都·模拟预测）甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是 ．
重难点题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率
1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（ ）
A．0.408B．0.384C．0.246D．0.532
2．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ．
5．（2025·全国·模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求甲获得冠军的概率；
(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．
6．（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率；
(2)此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为3:1，则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数的分布列和数学期望.
序号
题型
重难点题型1
随机事件与样本空间
重难点题型2
随机事件的关系与运算
重难点题型3
频率与概率
重难点题型4
生活中的概率
重难点题型5
互斥事件与对立事件
重难点题型6
利用互斥事件与对立事件计算概率
第一场
第二场
第三场
投篮次数
投中次数
专题10.4 随机事件、频率与概率
目录●重难点题型分布
重难点题型1 随机事件与样本空间
1．下列事件中，是随机事件的是（ ）
①明天本市会下雨
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月
A．①③B．③④C．①④D．②③
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象
【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断.
【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
②不可能发生，是不可能事件；
④一定发生，是必然事件.
故选：A
2．（2024·云南·一模）下列事件是必然事件的是( )
A．某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军
B．一个三角形的大边对的角小，小边对的角大
C．如果a＞b，那么b＜a
D．某人购买福利彩票中奖
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断事件是否是随机事件
【分析】根据事件的分类理解判断．
【详解】选项A为随机事件，选项B为不可能事件，选项C为必然事件，选项D为随机事件．
故选：C．
3．（25-26高二上·海南·阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】由于0，1代表“知”“行”，恰好第三次就停止的情况有：031，110，120，130
共有4种情况，故概率为，
故选：D
4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）（多选题）现有分别标有2024，2021，2028，2023，2020，2022数字的6张卡片，下列说法正确的是（ ）
A．卡片数字的第80百分位数为2024
B．从中随机抽取两张，共有30种不同的组合
C．从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大
D．从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、判断事件是否是随机事件、总体百分位数的估计
【分析】求出第80百分位数判断A；利用组合计数判断B；求出概率判断C；确定质数个数判断D.
【详解】对于A，由，得数据2020，2021，2022，2023，2024，2028的第80百分位数为2024，A正确；
对于B，从中随机抽取两张，共有种不同的组合，B错误；
对于C，从中随机抽取一张，抽到偶数的概率是，抽到奇数的概率是，C正确；
对于D，6张卡片上的数都是合数，抽到质数是不可能事件，D错误.
故选：AC
5．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件事件B，则
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】辨析概率与频率的关系、确定性事件与随机事件的概率、概率的基本性质
【分析】根据题意，由概率的定义依次分析选项，即可得答案．
【详解】解：对任意的事件A，都有，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A错误，C正确；
对于，随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，正确，
对于D，若事件事件B，则，故D正确；
故选：BCD
重难点题型2 随机事件的关系与运算
1．（2025·湖北武汉·三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系
【分析】A写出事件包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出；C事件是不可能事件；D利用概率的加法公式.
【详解】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为，
则选出两只鞋包含了6种，
其中事件包含了4种，
事件包含了2种，事件包含了2种，
故，则A错误；
，，，，故BC错误；
，故D正确.
故选：D
2．（2025·吉林·二模）已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若互斥，则D．若互斥，则
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系
【分析】根据根据事件的包含关系即概率的性质，可判断AB的真假；根据事件的互斥关系即互斥事件的概率特征可判断CD的真假.
【详解】若，则，，故AB选项的内容都是正确的；
若互斥，则，，所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的.
故选：C
3．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、事件的运算及其含义、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用
【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可.
【详解】，，
又，，故C错误；
，，，故A正确；
，，故B正确；
，故D正确.
故选：C.
4．设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、概率的基本性质、确定所给事件的包含关系
【分析】由题设知，即，，结合条件概率公式判断各项正误.
【详解】由，是两个随机事件，且发生必定发生，知：，即，，
所以，，，A、B、D错，C对；
故选：C
5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共36个.
则事件包括，，，，，，共6个，，
事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，，
事件包括，，，，，共5个，，
事件包括，，，，，，共6个，.
对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件且包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件且包括，，，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）已知事件，且，则（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若事件与事件互斥，则
C．若事件与事件互斥，则
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式
【分析】根据对立事件的定义，互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答即可.
【详解】对于A,由于对立事件概率和为1，但，A错误，
对于B、C,由事件与事件互斥，，,
所以B正确 ,C错误
对于D,因为，，故事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立,D正确.
故选:BD
7．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选题）已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ）
A．若互斥，则 B．若相互独立，
C．若，则 D．若相互独立，则
【答案】CD
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】利用互斥事件的概率公式判断A；利用概率的加法公式判断B；利用对立事件和条件概率的概率公式判断C；利用独立事件的概率公式判断D.
【详解】若互斥，则，故A正确；
若相互独立，则，
则，故B正确；
若相互独立，则相互独立，
则，故D错误；
若，则，
则，则，
则，故C错误.
故选：CD
8．（2024·全国·模拟预测）设是随机事件，且，则 ．
【答案】/0.125
【难度】0.94
【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】求出，从而根据事件的运算关系求出概率.
【详解】因为，所以，
故．
故答案为：
9．（23-24高二下·江苏·课前预习）A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】计算条件概率、概率的基本性质
【分析】先根据条件概率公式求出，再根据求出即可.
【详解】由，有，
又由，有，
可得．
故答案为：.
重难点题型3 频率与概率
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率
【分析】计算全校的人数或计算各班抽取的人数后可求学生被选中的概率.
【详解】法一：全校总人数为人，一共抽取40人，
则被抽到的概率为；
法二：一个班抽取的人数为，
则被抽到的概率为.
故选：B.
2．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、用频率估计概率、由频率分布直方图估计平均数、频率分布直方图的实际应用
【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断正误．
【详解】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、，
对于A：内的天数最少，故A错误；
对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为，故B正确；
对于C：由、、频率和为，设中位数为x，
则，可得，故C错误；
对于D：平均天数为天，故D错误；
故选：B．
3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、用频率估计概率
【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D.
【详解】，解得，故A正确；
频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确；
质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误；
由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确.
故选:
4．（2025·福建泉州·模拟预测）某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据概率的乘法公式及对立事件即可求解．
【详解】若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确，
所以至少有一次识别错误的概率为，
故选：A．
5．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率
【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确.
【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D，
其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误；
B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD，
故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确；
C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，
其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为，
由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误；
D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况，
分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，
能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为，
能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为，
丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确.
故选：BD
重难点题型4 生活中的概率
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算频率
【分析】根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.
【详解】该同学3场投篮的命中率为，
故选：B．
2．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7%B．8%C．9%D．30%
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】其他问题中的概率解释
【分析】根据摸到白球和红球的概率都为，一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数
【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】游戏的公平性
【分析】根据对称性可知当乙得一分时的点数之和为时，与甲得一分的概率相等，由此确定.
【详解】对于甲，掷两次骰子的点数之和为时，甲能够得一分，
则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等，
为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】用频率估计概率
【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.
【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到个白球或黑球的概率均为，
所以，人中回答第一个问题的人数为，则另外人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为，
则摸到白球且回答“是”的人数为，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为.
故答案为：.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数）
【答案】0.7
【难度】0.94
【知识点】用频率估计概率
【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.
【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，
所以摸到红球概率的估计值为.
故答案为：0.7
6．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】其他问题中的概率解释
【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为，根据题意列出方程，求出，即可得到答案
【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人，
设非吸烟者患肺癌的人数是人，则，，
因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人．
故答案为：.
重难点题型5 互斥事件与对立事件
1．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A．M与N是互斥事件B．M与N是相互独立事件
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A错误，B正确，由条件概率公式计算，可判定C错误，再由对立事件公式计算，可判定D错误.
【详解】对于A中，当掷出2，此时事件同时发生，所以M与N不是互斥事件，所以A错误；
对于B中，由，，，满足，所以B正确；
对于C中，由B知：，所以C错误；
对于D中，由，，
所以，所以D错误．
故选：B.
2．（2025·山东泰安·模拟预测）在一次随机试验中，三个事件、、发生的概率分别是、、，则下列选项正确的是（ ）
A．是必然事件B．与是互斥事件，也是对立事件
C．．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】利用互斥事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式可判断ACD选项.
【详解】对于A选项，
，
所以不一定是必然事件，A错；
对于B选项，因为不一定是不可能事件，故与不一定互斥，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于的方程求解.
【详解】因为，
.
又，
所以.
故选：A
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据相互独立事件的概率公式求出夺冠，夺冠的概率，再由对立事件的概率关系和概率的对称性可得解.
【详解】进入决赛的概率为，进入决赛的概率为，
夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为，
夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为，
所以或夺冠的概率为，由概率的对称性可得，夺冠的概率为.
故答案为：.
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，甲同学解出的概率为，乙同学解出的概率为，且甲、乙两同学解出该难题与否相互独立，若该难题在限定时间内被解出，则这两名同学都解出了该难题的概率为 .
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】利用对立与独立事件的概率公式和利用条件概率公式计算.
【详解】记事件M为“该数学难题被解出”，事件N为“这两名同学都解出了该难题”，
则，，
若该难题在限定时间内被解出，则这两名同学都解出了该难题的概率.
故答案为：.
6．（2025·四川成都·模拟预测）甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】按甲拿冠军时的得分情况分类求解可得.
【详解】由题意知，甲乙丙丁四人共进行场比赛，且每人共参加场比赛，
故甲拿到冠军至少拿分，至多拿分，分类情况如下：
第一类：甲共得分拿到冠军，即甲与乙丙丁三人的比赛均获胜拿到冠军，
故事件“甲共得分拿到冠军”的概率为；
第二类：甲共得分拿到冠军，即甲恰与乙丙丁三人比赛中场获胜场败，且其余三人得分均小于等于分.
记事件“甲共得分”， “甲拿到冠军”，
则事件“甲共得分拿到冠军”即为，
则“甲共得分未拿到冠军”，即甲恰与乙丙丁三人比赛中场获胜场败，且乙丙丁中有人得分”，
由“甲共得分”，即甲恰输给乙丙丁中一人，
则；
若乙丙丁中有人得分，因为每人参加场比赛，至多得分，
则得分的人必然是乙丙丁中赢得甲的人，且另外两人人得分，另人得分.
故
故“甲共得分拿到冠军”的概率为；
故甲拿到冠军的概率为.
故答案为：.
重难点题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率
1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（ ）
A．0.408B．0.384C．0.246D．0.532
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】应用互斥事件概率及独立事件乘法公式计算即可.
【详解】由题意可得所求事件的概率为．
故选：A．
2．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解.
【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件，
小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则.
故选：C.
3．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
【答案】 /0.375
【难度】0.4
【知识点】决策中的概率思想、利用全概率公式求概率、计算条件概率
【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.
【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开号箱，则；
若奖品在号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为；
若奖品不在号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个，
若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为；
若抽奖人更改选择，其中奖的概率为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式
【分析】讨论{第3局乙负，第4，5局乙胜}、{第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜}、{第3，4局乙胜}三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可.
【详解】乙最后的胜利包含三种情况：
一是第3局乙负，第4，5局乙胜，此时乙胜的概率为；
二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为；
三是第3，4局乙胜，此时乙胜的概率为
乙获胜的概率为．
故答案为：
5．（2025·全国·模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求甲获得冠军的概率；
(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立重复试验的概率问题
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式列式计算.
（2）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率求出条件概率.
【详解】（1）设“甲胜丙”；“乙胜丁”；“甲胜乙”；“甲胜丁”；“甲获得冠军”，
则，
，
所以甲获得冠军的概率是.
（2）记“决赛中甲获胜”，“比赛打满5盘”，
甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜”三种情况，
因此，，
因此，所以在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率为．
6．（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率；
(2)此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为3:1，则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；
（2）先确定的所有可能取值，然后再求出对应事件的概率，代入期望公式求解即可.
【详解】（1）记事件：“四局结束比赛”，
则李猛赢张明赢.
（2）由题意知，的所有可能的取值为2，3，4，6，7，8，
所以，
，
所以的分布列为：
所以奖金数的期望为（万元）.
序号
题型
重难点题型1
随机事件与样本空间
重难点题型2
随机事件的关系与运算
重难点题型3
频率与概率
重难点题型4
生活中的概率
重难点题型5
互斥事件与对立事件
重难点题型6
利用互斥事件与对立事件计算概率
第一场
第二场
第三场
投篮次数
投中次数
2
3
4
6
7
8