2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)重难专攻(十四)求数列的通项公式(十类重难点题型精练)学生版+解析

这是一份2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)重难专攻(十四)求数列的通项公式(十类重难点题型精练)学生版+解析，共58页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和，已知，已知等差数列满足公差等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 公式法
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
3．（2025·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（ ）
A．36B．C．D．6
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（ ）
A．-2B．1C．2D．3
5．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
6．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
7．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差．
(1)求；
(2)记数列的前项和为，若，求数列中的最小项．
8．（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且
(1)证明:;
(2)若集合，求集合中所有元素的和.
重难点题型2 累加法
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（ ）
A．810B．820C．830D．840
12．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
13．数列满足，且，则数列的前2024项和为 .
14．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和的最大值.
15．（2025高三上·山东·月考）已知数列为正项数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
16．（2024·广东·二模）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
重难点题型3 累乘法
17．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
19．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
20．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 .
21．（2025高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
22．（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．
23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
重难点题型4 已知前n项和，求通项公式
24．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（ ）
A．153B．161C．163D．238
25．（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
26．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
27．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 .
28．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
29．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
30．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
31．（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
重难点题型5 已知前n项的积，求通项公式
32．（2025·辽宁·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式.
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项积.
33．已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
34．（2025·河南·二模）记为正项数列的前项积，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
35．（2025·江西·一模）已知数列满足.
(1)若为递增数列，求的取值范围；
(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.
36．（2024高三上·湖北·期中）记是各项均为正数的数列的前项积，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
重难点题型6 构造法（1）
37．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
38．已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为．
①求；
②若，成立，求的取值范围．
39．（2025·河南·二模）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
40．（2024高三下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
41．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，.
(1)设，求的值，使得对于任意且，都有；
(2)求证；.
重难点题型7 构造法（2）
42．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，为数列的前项和．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
43．（2023·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知是公差为1的等差数列.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，是数列的最大项，求正整数k的值.
44．（2024高三上·浙江·开学考试）在数列中，，的前项为．
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
45．（2023·江苏·三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
46．（2023·广东潮州·二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
47．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
重难点题型8 奇偶求通项公式
48．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
49．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为的前n项和，求.
50．已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
51．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，
（ⅰ）试比较与的大小，并说明理由；
（ⅱ）若数列的前项和为，求证：.
52．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
53．（2025高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若，
(1)求；
(2)若，为数列的前项和，求.
54．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
重难点题型9 特征根求通项公式
55．已知数列满足，求数列的通项．
56．已知数列满足，求数列的通项．
57．已知数列满足，求数列的通项．
58．已知数列满足，求数列的通项．
重难点题型10 其它
59．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
60．（2025·河北·模拟预测）正项数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
61．（24-25高三下·重庆·月考）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A．
B．
C．数列的前n项和的值可能为
D．
62．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ．
63．（2025·贵州毕节·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了“垛积术”的算法．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个乒乓球；第堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆的乒乓球总数为．
(1)求；
(2)求的表达式；
(3)数列满足，求的通项公式．
参考公式：．
64．（2025高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列前n项和为，求．
(3)证明：，．
65．（24-25高三上·浙江·期中）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.
(1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；
(2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；
(3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.
66．（23-24高三下·天津·月考）已知数列是等差数列，，，数列的前n项和为，且，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若集合中恰有四个元素，求实数的取值范围；
(3)设数列满足，的前n项和为，证明：．
67．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得．
(1)求；
(2)求证：是等比数列；
(3)求证：．
68．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”．
(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）．
利用等差数列等比数列的概念定义、中项性质之间的关系求解通项公式
如：（1）、一次函数为等差数列
（2）、二次函数无常数项为等差数列求和公式
（3）、指数型函数为等比数列（或等比数列求和公式）
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
（1）、已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
（2）、Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
Sn=i=1naibi
i=1naibi=f(n)
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
方向3：若存在 ，则令 ，再利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解。
（1）、Tn与an关系问题求解思路（其中Tn为an的前n项积） T1=a1 , an=TnTn−1
方向1：若已知Tn与n的关系，可利用TnTn−1=an转换为an的即可求解.
方向2： 若已知Tn与an的关系，可利用TnTn−1=an替换an，先求解Tn，再转换为an即可求解
当我们遇到这种类型的二阶线性递推公式时，可以用特征根法来求通项.
第一步，构造特征方程，并求出特征方程的根；
第二步，若上一步的特征方程有2个不同的实根和，则，再利用和来求出系数A和B；若上一步的特征方程有2个相同的实根，则，再利用和来求出系数A和B.
重难专攻（十四）求数列的通项公式
目录●重难点题型分布
重难点题型1 公式法
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
3．（2025·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（ ）
A．36B．C．D．6
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】等比数列中，，，
，由于故，所以，
故选：D．
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（ ）
A．-2B．1C．2D．3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式计算即可求解.
【详解】设数列的公差为，则，解得.
故选：.
5．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等差中项公式和等比数列通项公式直接计算即可求解.
【详解】设的公比为，
又因为，，成等差数列，
所以，可得，解得或（舍去）.
故答案为：3.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
7．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差．
(1)求；
(2)记数列的前项和为，若，求数列中的最小项．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和
【分析】（1）求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）先求出，进而可求出数列的通项，再根据函数性质即可得解.
【详解】（1）为等差数列，
，
又，
，
，
，
；
（2），
，
当时，，
当时，，
所以当时，最小，
即数列中的最小项为．
8．（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且
(1)证明:;
(2)若集合，求集合中所有元素的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)1023
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）设数列的公差为，根据等差数列、等比数列的通项公式得到方程，解得即可；
（2）由（1）可得，进而可得，利用等比数列前项和公式可求解.
【详解】（1）设数列的公差为，则，
即，
所以原命题得证.
（2）由（1）得，
所以，
因为，所以，
对应的，
所以集合中所有元素的和为.
重难点题型2 累加法
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】根据，且，利用累加法求得，从而得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，且，
所以当时，.
因为也满足，所以.
因为，
所以.所以.
故选：B.
10．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求等差数列前n项和、累加法求数列通项
【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式.
【详解】当时，，即，而，
所以
，满足上式，
所以所求通项公式为.
故选：C
11．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（ ）
A．810B．820C．830D．840
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和
【分析】根据给定条件，利用累加法、结合等差数列前项和公式计算即得.
【详解】数列中，，，
则
12．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项
【分析】由题意结合累加法求出即可求解.
【详解】由题得
，
当时，符合题意，
所以，
故答案为：.
13．数列满足，且，则数列的前2024项和为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】由运用迭代法求出，则，利用裂项相消法即可求得的前2024项和.
【详解】由可得，
则，
则，
故数列的前2024项和为.
故答案为：.
14．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和的最大值.
【答案】(1)；
(2)90.
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）利用累加法，结合分组求和法及等比数列前项和公式求解.
（2）求出并判断单调性，求出所有非负数项的和即可.
【详解】（1）依题意，当时，，则
，满足上式，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，数列是递减等差数列，
由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数，
而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大，
所以数列的前项和的最大值为.
15．（2025高三上·山东·月考）已知数列为正项数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、分组（并项）法求和、构造法求数列通项
【分析】（1）解法一：构造数列是恒为的常数列，结合可得出数列的通项公式；
解法二：利用累加法结合可求得数列的通项公式；
（2）利用并项求和法结合分组求和法可求得.
【详解】（1）解法一（构造常数列）：由，且，
可得，
故数列是恒为的常数列，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
解法二（累加法）：由题意得：且，
有，，，，
将以上各式相加，得，
将代入上式即得，且当时也成立，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
（2）由（1）可得，令，其前项和为，
对任意的，，则，
又因为，
所以.
16．（2024·广东·二模）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)．
【难度】0.85
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和
【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又
因此是以为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，
∴．
（2）．因此
．
重难点题型3 累乘法
17．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为.
故选：C.
18．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累乘法求数列通项
【分析】根据递推关系化简后，由累乘法直接求.
【详解】，
，
即，
可得，
.
故选：C.
19．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】累乘法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和.
【详解】因为，所以.
所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，
显然满足上式，则，
所以数列的前项和为，
所以.
故答案为：.
20．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项
【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得.
【详解】当时，，即，，
则，即，
则有，，，，
则，
当时，，符合上式，故.
故答案为：.
21．（2025高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项
【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；
（2）整理数列通项，利用错位相减，可得答案.
【详解】（1）当时，，显然成立；
当时，，，相减可得，
化简可得，由累乘法可得，
显然满足上式，故数列的通项.
（2）由，
则，
，
两式相减可得
，
所以.
22．（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．
【答案】(1)
(2)-240
【难度】0.85
【知识点】分组（并项）法求和、累乘法求数列通项
【分析】（1）由累乘法求解数列的通项公式即可；
（2）由（1），，则，然后由并项求和的方法求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以当时，，则，即，
当时，也成立，所以．
（2）由（1），，
则，
则
．
23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
重难点题型4 已知前n项和，求通项公式
24．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（ ）
A．153B．161C．163D．238
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用an与sn关系求通项或项
【分析】应用计算求解.
【详解】因为，则．
故选:B.
25．（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可.
【详解】由题意，，则当时，有，
两式相减可得，即.
当时，，因为，所以，
所以.
故选：B.
26．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用an与sn关系求通项或项
【分析】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可.
【详解】由题意，
当时，，两式相减得，
，解得，
在中，令，可得，故也满足，
综上所述，所求即为.
故答案为：.
27．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式
【分析】先求出的通项，再利用退位相减法可求的通项，利用错位相减法可求.
【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故，
而，故，
故，而，故，符合该式，
故，
故，所以，
所以，
故，
故答案为：
28．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用的关系求得、，结合等比数列的定义写出通项公式；
（2）根据已知有，易知，即可求和.
【详解】（1）为数列的前项和，，
时，，则，
时，由，得，
两式相减可得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，则；
（2）由题设，可得，
记的前项和为，因为，为正整数，
则.
29．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.85
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和
【分析】（1）令，求出的值，对任意的，由可得，两式作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）因为①，所以，解得，
对任意的，②，
②-①得，即，
所以，即，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
（2）因为，
所以，
因为，数列为单调递增数列，所以，
即．
30．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
31．（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；
（2）先求出，然后结合错位相减求和即可求解．
【详解】（1）数列满足，
当时，，
两式相减可得，，所以，
当时，也满足上式，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减的，，
所以．
重难点题型5 已知前n项的积，求通项公式
32．（2025·辽宁·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式.
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项积.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】由递推关系式求通项公式、数列综合
【分析】（1）由题干得到递推公式，可证明数列是公差为1的等差数列，代入可求通项公式；
（2）由（1）可知，各项相乘即可求出前n项积.
【详解】（1）由已知，
令代入得，即，解得或（舍去），
令代入得，即，解得或（舍去），
已知是各项都为正数的递增数列，且，故从第二项开始每一项都大于1，故，
对式子两边开根号得，
即，整理得，故：，
又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故，所以
（2）因为
所以
故
33．已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和
【分析】（1）将条件中的变为，然后整理即可证明；
（2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和.
【详解】（1）当时，，
，即，
又当时，，得，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
则，
.
34．（2025·河南·二模）记为正项数列的前项积，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】分组（并项）法求和、数列新定义、求等比数列前n项和
【分析】（1）由得，即数列为等比数列，利用等比数列即可求解；
（2）由利用二项式定理展开，，分为奇数和偶数讨论，最后利用分组求和即可.
【详解】（1）由可得，，即，
又∵，∴是首项为2，公比为2的等比数列，
∴；
（2）由（1）可知，.
∵
，
可得，
当为奇数时，则，即；
当为偶数时，则，即.
设为数列的前项和，
可得
.
∴数列的前项和为.
35．（2025·江西·一模）已知数列满足.
(1)若为递增数列，求的取值范围；
(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【难度】0.65
【知识点】由定义判定等比数列、数列不等式恒成立问题、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）由题设，恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围；
（2）根据已知可得，结合等比数列定义证明结论，进而可得，应用等比数列的前n项和公式求.
【详解】（1）由题设，即，恒成立，
而在上单调递减，则，
所以；
（2）由题设，则，又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，故，
所以，则，
所以
.
36．（2024高三上·湖北·期中）记是各项均为正数的数列的前项积，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、放缩法
【分析】（1）由与关系，转化为递推关系，再构造数列求解即可；
（2）由，放缩后累乘可证.
【详解】（1）因为数列的各项均为正数，故，
由可得，，
即.
所以有，
故是公比为2，首项为的等比数列，
所以，.
（2）方法1：由（1）可知，.
所以.
方法2：由（1）可知，
.
当时，，
所以.
重难点题型6 构造法（1）
37．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项
【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可.
（2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可.
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
即，
则，而，则，
于是时，，整理得，
又，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，
则，因此，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以数列的通项公式．
（3）由（2）知，，
，
两式相减得，，
则．
38．已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为．
①求；
②若，成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【难度】0.65
【知识点】构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题、错位相减法求和
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
（2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可.
【详解】（1）由，得，
因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，，
所以数列的通项公式.
（2）①由（1）得，，
，
于是，
则，
，
所以.
②由，，得，
令，不妨设的第项取得最大值，
由，解得，即数列的最大值为，
所以，即的取值范围是.
39．（2025·河南·二模）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立.
【详解】（1）由题设条件，可得若，则，
用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以.
因为，所以，，，所以，，
由得，所以，
又，所以是首项、公比均为的等比数列.
所以，则.
（2）显然时，成立，
当时，，所以，所以，
所以，即，所以，
所以.
综上，，得证.
40．（2024高三下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）由与的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由，可得,
两式相减得，所以，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，
所以，
数列 的前项和为，
可得，
两式相减得，
所以．
41．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，.
(1)设，求的值，使得对于任意且，都有；
(2)求证；.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、构造法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和
【分析】（1）由递推式求得，进而由题意得到关于的方程，再检验得到的的值，利用构造法证得为等差数列，从而得解；
（2）利用（1）中结论求得，再利用分组求和法与裂项求和法即可得证.
【详解】（1）因为，，
所以，得，，得，
因为对于任意且，都有，又，
所以，则，解得，
当时，，
由，得，整理得，
即，所以是以为公差的等差数列，
所以当时，对于任意且，都有.
（2）因为，即，
由（1）得，
所以，
所以，，
所以
.
重难点题型7 构造法（2）
42．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，为数列的前项和．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、构造法求数列通项
【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列；
（2）由（1）结合等比数列的通项公式可求；
（3）利用分组求和法可求.
【详解】（1）对整理有：，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得的通项公式为，
得，所以．
（3）由（2）知，
所以
．
43．（2023·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知是公差为1的等差数列.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，是数列的最大项，求正整数k的值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)2或3
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）首先根据为等差数列求其通项公式，然后利用与之间的关系得到递推公式，最后构造为等比数列，进而求解数列的通项公式；
（2）首先根据（1）求得，代入求得及，然后通过作差，判断与0的关系，进而得到项之间的大小关系，进而求得最大项.
【详解】（1）由题意得，所以，①
所以，②
②－①，得，即，
所以，
又，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
所以，所以.
（2）由（1）知，，所以
解法一：，
当时，，即；当时，，即；
当时，，即.所以，且，
所以数列的最大项为和，故k的值为2或3.
解法二：，
令，解得；令，解得；令，解得.
因为，所以，且，所以数列的最大项为和，故k的值为2或3.
44．（2024高三上·浙江·开学考试）在数列中，，的前项为．
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等差数列定义判断并求出通项公式作答.
（2）由（1）结合裂项相消法求和，分离参数并借助对勾函数求出最小值作答.
【详解】（1）由，，得，，
则，因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，
于是，所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
因此当时，恒成立，即对恒成立，
而对勾函数在上单调递增，于是当时，，则，
所以的取值范围是.
45．（2023·江苏·三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由定义判定等比数列、构造法求数列通项
【分析】（1）由构造出，用等比数列定义证明即可；
（2）通过两次构造等比数列，求出的通项公式，根据通项公式得出结论即可.
【详解】（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，
∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．
46．（2023·广东潮州·二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项
【分析】（1）根据递推公式证明为定值，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；
（2）由，得，则，则，再利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）由，得，
则，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以.
47．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、构造法求数列通项
【分析】(1)根据题意及，整理可得，即可得证；
(2)根据(1)中可求出分类讨论求出的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得.
【详解】（1）因为，又，
所以，整理得．
由题意得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，
即．
（2）由（1）可，
当时，，
当时，，
所以，
.
当，代入满足公式，
综上，
重难点题型8 奇偶求通项公式
48．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)20
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、构造法求数列通项、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）通过构造得，则可得到的通项；
（2）利用等比数列求和公式得，通过作差得，，则得到是一个增数列，计算即可得到答案.
【详解】（1）因为
所以，，，所以．
又因为，所以，所以．
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因为，所以，
即，所以，
所以，
因为，
，
所以是一个增数列，
因为，，
所以满足题意的n的最小值是20．
49．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为的前n项和，求.
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和
【分析】（1）由题意可得，即可求出，再根据两边同除以，可得，即可求出
（2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案.
【详解】（1），，
，，
又，，
，，
由两边同除以，
得，
从而数列为首项，公差的等差数列，
，
从而数列的通项公式为
（2）由（1）知，
，
，
设，
则，
两式相减得，
整理得，
.
50．已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、根据规律填写数列中的某项、由Sn求通项公式
【分析】（1）根据递推公式代入计算求解；
（2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式；
（3）应用裂项相消法计算求解.
【详解】（1）由条件知，
，．
（2）当为奇数且时，，也符合，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以数列
（3）由题可知，所以，
所以数列的前项和为
51．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，
（ⅰ）试比较与的大小，并说明理由；
（ⅱ）若数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用导数证明不等式、裂项相消法求和
【分析】（1）利用的关系可求的通项公式；
（1）（ⅰ）求出，结合不等式可判断大小；
（iⅰ）利用分组求和的方法求出，结合不等式放缩可证结论.
【详解】（1）当时，由题意，；
当时，，两式相减可得，
所以，即，
因为，所以.
（2）因为，所以；
当为奇数时，；当为偶数时，；
令，则，即为增函数，则当时，；
（ⅰ）因为，所以；
（iⅰ）当为奇数时，
，
因为，所以
，
因为，所以；
当为偶数时，
，
因为，所以
，
因为，所以；
综上，.
52．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题、分组（并项）法求和、数列求和的其他方法
【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式；
（2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围.
【详解】（1）时，，解得或，因为，所以，
时，，得，
因为，所以，又，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为；
（2）解法一：由，所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以，
因为对任意的，成立，
所以，当为奇数时，即，所以，
不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，
因为为奇数，所以时，，则
当为偶数时，，所以，
同理可得，因为为偶数，所以时，，则，
综上，.
解法二：由，
当为偶数时，
.
当为奇数时，
，
所以（下同解法一）
解法三：因为对任意的，成立，
则，即求的最小值，令，
当为奇数时，
则，所以最小值一定在为奇数时取到，
当为奇数时，
，
当时，，当时，，
所以当为奇数时，，
则的最小值为，
所以.
53．（2025高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若，
(1)求；
(2)若，为数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和
【分析】（1）利用数列的递推关系可得是等比数列，求解即可；
（2）先求出的通项公式，然后采用分组转化求和法求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，所以，
所以，所以，
又因为，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
又时也满足上式，所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以
.
54．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知
则
所以数列的前项和为.
重难点题型9 特征根求通项公式
55．已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，解得，令，
由，得， ．
56．已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，解得，令，
由，得， ．
57．已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．
58．已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
．
重难点题型10 其它
59．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据关系求出，再用裂项相消计算即可.
【详解】，则，则，，
而时，满足，故对，，
故.
故选：B.
60．（2025·河北·模拟预测）正项数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】由数列的通项与求和公式的关系求得，然后求得，最后利用裂项相消法求和化简即可求解.
【详解】正项数列满足，
可得，
两式相减得，可得，当时，，适合上式.
所以，所以，
所以
.
故选：B
61．（24-25高三下·重庆·月考）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A．
B．
C．数列的前n项和的值可能为
D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式
【分析】利用累加法求通项，可判断A；结合题意得判断B；利用裂项求和可求得的前n项和公式，判断CD.
【详解】由题意得，
以上格式累加，可得，也适合，
故，则，A正确；
，B错误；
，设数列的前n项和为，
所以
当时，，C正确；
，D正确，
故选：ACD.
62．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ．
【答案】 32
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、对数的运算、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，从而可求出，得出；利用累乘法可求出，从而可求，然后利用裂项相消法求和即可．
【详解】由题意，设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，
设，所以为等比数列，其中，公比为，
所以，则．
则，
所以，
所以
．
故答案为：32；．
63．（2025·贵州毕节·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了“垛积术”的算法．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个乒乓球；第堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆的乒乓球总数为．
(1)求；
(2)求的表达式；
(3)数列满足，求的通项公式．
参考公式：．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、根据规律填写数列中的某项、求等差数列前n项和
【分析】（1）根据给定信息，依次计算即可.
（2）结合等差数列前项和公式求出，再利用累加法求解.
（3）由（2）的结论，结合裂项相消法求和即得.
【详解】（1）依题意，.
（2）依题意，，，，…，
，
累加得，
，
而满足上式，所以.
（3）由及（2）得
则，
当时，，
由累加法得，解得，
而满足上式，所以.
64．（2025高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列前n项和为，求．
(3)证明：，．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列综合
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法，即可求解；
（3）通过作差比较得到时，，从而有时，，再分和三种情况讨论，即可证明结果.
【详解】（1）因为①，
当时，②，
由①②，得到，所以，
又时，，得到，满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意，
所以③，得到④，
由③④，得到，
所以.
（3）因为，，所以时，，
当时，，
当时，，
当时，
，
综上，，.
65．（24-25高三上·浙江·期中）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.
(1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；
(2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；
(3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)8
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、作差法证明不等式、数列新定义
【分析】（1）根据阶乘表示的概念解题即可；
（2）表示出和，再用作差法计算证明；
（3）用数列累加法求和，结合解不等式组即可.
【详解】（1）因为，故“阶乘表示”为；
，故“阶乘表示”为；
，故“阶乘表示”为；
因为，故“阶乘表示”为；
（2）因为，因为，故，
所以，由于，所以，
即，
依次化简可得，所以.
（3）由于，由于，
故，
所以，
即，
累加可得，
即.当，时取到最小值，
此时，解得，即，所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解定义，方可使用定义验证或探究结论.
66．（23-24高三下·天津·月考）已知数列是等差数列，，，数列的前n项和为，且，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若集合中恰有四个元素，求实数的取值范围；
(3)设数列满足，的前n项和为，证明：．
【答案】(1)；
(2)
(3)证明见详解
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】（1）根据题意列式求得，即可得数列的通项公式；根据与之间的关系分析可知为等比数列，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知：，设，原题意等价于关于n的不等式恰有4个不同的解，结合数列的单调性分析求解；
（3）根据等比数列求和可得，分析可知，结合等比数列求和公式分析证明.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以；
又因为，
若，可得，解得；
若，可得，
两式相减得，即；
可知数列是以首项，公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可知：，
若，即，可得，
设，原题意等价于关于n的不等式恰有4个不同的解，
令，
当时，;当时，,
可得，且，则，
所以实数的取值范围为.
（3）由题意可知：，则，
则，
因为，则，即，可得，
则；
又因为，则，可得，
则；
综上所述：.
67．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得．
(1)求；
(2)求证：是等比数列；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】累加法求数列通项、由定义判定等比数列、数列新定义
【分析】（1）利用“n元全错位数列”的定义即可求解；
（2）当时，为了得到“n元全错位数列”，我们分两步来完成正整数1，2，3，…，n的排列：①将正整数n放到第m（）个位置，有种排法；②考虑正整数m，有两种放法，得，代入即可得证；
（3）由（2）知，等式两边同除得，由累加法即可求解.
【详解】（1）时，显然；时，“2元全错位数列”只能是2，1，所以．
（2）当时，为了得到“n元全错位数列”，我们分两步来完成正整数1，2，3，…，n的排列：
①将正整数n放到第m（）个位置，有种排法；
②考虑正整数m，有两种放法．
若放到第n个位置，则余下个正整数放到余下个位置，有种排法；
若不放到第n个位置，这时对于这个正整数，共有种排法．
所以，
所以，
又，
所以是以1为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）知，
等式两边同除得，
由累加法得，
则，
即，
则．
68．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”．
(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）．
【答案】(1)与为“2级相邻数列”；理由见解析
(2)；
(3)3470
【难度】0.4
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、数列新定义、实际问题中的组合计数问题、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据数列通项公式的关系，先求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，从而确定的通项公式.利用累加法，得到的通项公式，同样检验时是否满足.最后根据“2级相邻数列”的定义，计算的表达式，通过分析该表达式与的大小关系，判断与是否为“2级相邻数列”.
（2）由，通过移项得到关于的不等式.设，通过分析与的大小关系判断的单调性，进而求出的最值，
由此得到的取值范围和的取值范围，从而确定的取值范围.
（3）根据条件集合有，，，，，共6种不同的情况，每种情况下考虑数列的不同情况，并对应研究数列的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的数列的组数.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，也成立，所以，
所以，
所以，
所以，
所以与是“2级相邻数列”
（2）已知，化简可得.
设，则.
因为，所以，（当时取等号），
所以单调递减，所以的最大值为，
所以，
所以，，
所以，即的取值范围为.
（3）已知，
由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，
因为与为“1级相邻数列”，所以，
当时，有2种不同选择；时，，有3种不同选择；
时，有3种不同选择，时，有2中不同选择．
由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，
所以有，，，，，共6种不同的情况．
当时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）；
也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）；
还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）．
1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列，
3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有，，种不同的清况，
总共个不同的数列；
同样，，时也各贡献528个不同的数列；
时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）；
也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）；
还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列），
总共个不同的数列；
时，总共个不同的数列；
共计有个不同的数列组；
即满足条件的数列组的个数为3470．
利用等差数列等比数列的概念定义、中项性质之间的关系求解通项公式
如：（1）、一次函数为等差数列
（2）、二次函数无常数项为等差数列求和公式
（3）、指数型函数为等比数列（或等比数列求和公式）
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
（1）、已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
（2）、Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
Sn=i=1naibi
i=1naibi=f(n)
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
方向3：若存在 ，则令 ，再利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解。
（1）、Tn与an关系问题求解思路（其中Tn为an的前n项积） T1=a1 , an=TnTn−1
方向1：若已知Tn与n的关系，可利用TnTn−1=an转换为an的即可求解.
方向2： 若已知Tn与an的关系，可利用TnTn−1=an替换an，先求解Tn，再转换为an即可求解
当我们遇到这种类型的二阶线性递推公式时，可以用特征根法来求通项.
第一步，构造特征方程，并求出特征方程的根；
第二步，若上一步的特征方程有2个不同的实根和，则，再利用和来求出系数A和B；若上一步的特征方程有2个相同的实根，则，再利用和来求出系数A和B.