高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.2.2二项式定理(针对练习)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.2.2二项式定理(针对练习)(原卷版+解析)，共24页。

针对练习一 求指定项的二项式系数与系数
1．求的展开式的第4项的二项式系数（ ）
A．B．C．15D．20
2．的展开式中第3项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
3．已知的展开式中含的项的系数为（ ）
A．30B．-30C．25D．-25
4．在的展开式中，常数项为（ ）
A．80B．C．160D．
5．二项展开式中，有理项的项的个数是
A．3B．4C．5D．6
针对练习二 已知二项式系数与系数求参数
6．若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．若的展开式中的系数为10，则实数a＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．的展开式中，第5项为常数项，则n=（ ）
A．8B．6C．7D．10
9．若的展开式中的系数为150，则（ ）
A．20B．15C．10D．25
10．设常数.若的二项展开式中项的系数为－15，则（ ）
A．－2B．2C．3D．－3
针对练习三 二项式系数与系数的增减性与最值
11．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．在展开式中，二项式系数最大项的系数为（ ）
A．20B．15C．D．
13．在的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则的系数等于（ ）
A．672B．C．80D．
14．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
A．210B．180C．160D．175
15．在的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．第6项B．第5项C．第5，6项D．第4，5项
针对练习四 二项式系数之和、各项系数之和
16．的展开式中，各项二项式系数的和是（ ）
A．1B．-1C．D．
17．在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
18．，则（ ）
A．16 B．27 C．43 D．70
19．已知，则（ ）
A．B．0C．1D．2
20．若，则( )
A．27B．－27C．54D．－54
针对练习五 三项展开式的系数问题
21．在的展开式中，的系数是（ ）
A．15B．30C．36D．60
22．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．6C．D．24
23．的展开式中的系数为（ ）
A．90B．180C．270D．360
24．的展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．80D．161
25．若的展开式中的系数为35，则正数（ ）
A．B．2C．D．4
针对练习六 两个二项式乘积展开式的系数问题
26．在的展开式中，的系数为（ ）
A．10B．C．30D．
27．的展开式中的系数为（ ）
A．160B．C．148D．
28．的展开式中的项系数为（ ）
A．30B．10C．-30D．-10
29．的展开式中，常数项为（ ）
A．8B．16C．18D．24
30．若的展开式中的系数为0，则（ ）
A．B．C．D．
针对练习七 整除与余数问题、近似值问题
31．除以10的余数是（ ）
A．9B．3C．1D．0
32．被7除的余数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
33．若是正奇数，则被9除的余数为（ ）
A．2B．5C．7D．8
34．的计算结果精确到0.001的近似值是
A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943
35．的计算结果精确到个位的近似值为
A．106B．107C．108D．109
针对练习八 杨辉三角
36．以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是______.
37．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）
……
38．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则（ ）

A．5050B．4851C．4950D．5000
39．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为（ ）
A．B．C．D．
40．在杨辉三角中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3：4：5的行数为（ ）
A．58B．62C．63D．64
第0行第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
11 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列
10.2.2二项式定理（针对练习）
针对练习
针对练习一 求指定项的二项式系数与系数
1．求的展开式的第4项的二项式系数（ ）
A．B．C．15D．20
【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项，结合二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由二项展开式的二项式系数的性质，
可得二项式的展开式的第4项的二项式系数.
故选：D.
2．的展开式中第3项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二项展开式的通项，结合二项式系数的概念，即可求解.
【详解】由二项式展开式的通项为，
可得的展开式中第3项的二项式系数是.
故选：A.
3．已知的展开式中含的项的系数为（ ）
A．30B．-30C．25D．-25
【答案】A
【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出，代入即可求解.
【详解】展开式的第项为，令，得，故展开式中含的项的系数为．
故选：A．
4．在的展开式中，常数项为（ ）
A．80B．C．160D．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项.
【详解】由于互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为，
故选：D
5．二项展开式中，有理项的项的个数是
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】由题，先将二项式展开项求得，然后由题，有理项即x得次数为整数，可得结果.
【详解】由题，二项式展开项为：

当时，即时，为有理项，共3项
故选A
【点睛】本题考查了二项式定理，熟悉二项式定理的公式是解题的关键，属于基础题.
针对练习二 已知二项式系数与系数求参数
6．若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】利用二项式定理计算即可.
【详解】由二项式定理知：含项为 ，
由题意 ， ，
解得 ；
故选：C.
7．若的展开式中的系数为10，则实数a＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用二项式定理，求出展开式的通项公式，列出方程，求出.
【详解】的展开式通项公式为，令，解得：，则，解得：.
故选：A
8．的展开式中，第5项为常数项，则n=（ ）
A．8B．6C．7D．10
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得.
【详解】的展开式的第5项为.
只需，解得：.
故选：B．
9．若的展开式中的系数为150，则（ ）
A．20B．15C．10D．25
【答案】C
【解析】写出此二项展开式的通项，令的系数为6求出r，即可代入通项求出的系数，列出等式即可求解.
【详解】此二项展开式的通项为，
令，解得，
此时，则.
故选：C
【点睛】本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题.
10．设常数.若的二项展开式中项的系数为－15，则（ ）
A．－2B．2C．3D．－3
【答案】D
【分析】利用通项公式求出项的系数且等于-15，建立关于的方程，求解即可 .
【详解】的二项展开式的通项公式为，.
令，得，
所以展开式中项的系数为，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.
针对练习三 二项式系数与系数的增减性与最值
11．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.
【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.
故选：B
12．在展开式中，二项式系数最大项的系数为（ ）
A．20B．15C．D．
【答案】C
【分析】由二项式系数性质得二项式系数最大的项的项数，再利用二项展开式通项公式得该项系数．
【详解】由题意展开式中共有7项，中间项第4项的二项式系数最大，
，
系数为．
故选：C．
13．在的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则的系数等于（ ）
A．672B．C．80D．
【答案】D
【分析】根据二项式系数的性质得出，再由二项式展开式通项公式得出的项数，即得系数．
【详解】由二项展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，得，
所以，令，，
∴所求系数为．
故选：D.
【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质与二项展开式通项公式，掌握二项式系数的性质是解题关键．
14．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
A．210B．180C．160D．175
【答案】B
【分析】根据题意，得出二项式的指数的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是多少．
【详解】解：展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴展开式中共有11项，n＝10；
∴展开式的通项公式为
令，得，常数项是，故选B．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题目．
15．在的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．第6项B．第5项C．第5，6项D．第4，5项
【答案】B
【分析】先求出n=9,再利用项的系数和二项式系数的关系求解
【详解】由题知 ，则n=9, 的展开式中，二项式系数最大为第5项和第6项，即 ，但第6项系数为，故展开式中系数最大的项是第5项
故选：B
针对练习四 二项式系数之和、各项系数之和
16．的展开式中，各项二项式系数的和是（ ）
A．1B．-1C．D．
【答案】C
【分析】先写出各项二项式系数和，再化简即得解.
【详解】由题得各项二项式系数和为.
故选：C
17．在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】由二项式系数和的特征即可求解.
【详解】由题意可知：，
故选：A
18．，则（ ）
A．16 B．27 C．43 D．70
【答案】C
【分析】利用赋值法求得正确答案.
【详解】依题意，
令，得.
故选：C
19．已知，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】赋值法进行求解
【详解】令，得，①
令，得，②
两式相加，得.
令得：，
.
故选：B.
20．若，则( )
A．27B．－27C．54D．－54
【答案】B
【分析】采用赋值法，令和得到不同的系数和，两个系数和相加即可求．
【详解】，
令可得，
令可得，
两式相加可得，∴．
故选：B．
针对练习五 三项展开式的系数问题
21．在的展开式中，的系数是（ ）
A．15B．30C．36D．60
【答案】B
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以的通项公式为：，
令，所以，
因此的系数是，
故选：B
22．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．6C．D．24
【答案】B
【解析】利用二项展开式的通项公式即可得出.
【详解】解：通项公式为：，
的通项公式.
令，则.
∴含项的系数为.
故选：B.
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
23．的展开式中的系数为（ ）
A．90B．180C．270D．360
【答案】C
【分析】根据二项式定理通项得：，再分析求解即可.
【详解】展开通项为：，
当，，所以的系数为：.
故选：C.
24．的展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．80D．161
【答案】A
【分析】利用二项式展开式的原理可算出答案.
【详解】，
所以展开式中的常数项为
故选：A
25．若的展开式中的系数为35，则正数（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据题意得，分析展开式含项仅有和，再展开求系数即可.
【详解】因为展开式为：，
即
，
所以，
，
，
所以含的系数为，又为正数，所以.
故选：B.
针对练习六 两个二项式乘积展开式的系数问题
26．在的展开式中，的系数为（ ）
A．10B．C．30D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，从而求出的系数.
【详解】解：，
其中展开式的通项为，
所以展开式中含的项为，
所以的系数为；
故选：D
27．的展开式中的系数为（ ）
A．160B．C．148D．
【答案】C
【分析】根据多项式乘法原理以及组合知识即可解出．
【详解】的展开式中的系数为．
故选：C.
28．的展开式中的项系数为（ ）
A．30B．10C．-30D．-10
【答案】B
【分析】求得的通项，分别分析和的系数，即可求出答案.
【详解】因为，的通项为：
令，则，令，则，
所以的系数为．
故选：B.
29．的展开式中，常数项为（ ）
A．8B．16C．18D．24
【答案】D
【分析】将展开为，求出的通项，使，代入即可求出答案.
【详解】将展开为，
则的通项为：，
所以的展开式中，常数项为：
故选：D.
30．若的展开式中的系数为0，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得的展开式中和的系数，得到的展开式中的系数，进而可以解得.
【详解】因为的展开式中的系数为，的系数为，
所以的展开式中的系数为，
由，得.
故选：C.
针对练习七 整除与余数问题、近似值问题
31．除以10的余数是（ ）
A．9B．3C．1D．0
【答案】A
【分析】对变形为，故，故除以10的余数是9.
【详解】，
所以
故除以10的余数是9.
故选：A
32．被7除的余数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】，然后由二项式定理展开后结合整除知识可得.
【详解】，
展开式中除最后一项外，其它各项都是7的整数倍，
所以被7除的余数等于=10被7除的余数，结果为3.
故选：D.
33．若是正奇数，则被9除的余数为（ ）
A．2B．5C．7D．8
【答案】C
【分析】将原式转化为，再将其用二项式定理展开，再结合是正奇数，即可求出其被除的余数．
【详解】由题可知：原式=
，
因为为正奇数，所以上式可化简为：
所以该式除以9，余数为7.
故选：C.
34．的计算结果精确到0.001的近似值是
A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943
【答案】B
【解析】将0.99分解成再利用二项式定理进行计算，取近似值．
【详解】

故选B
【点睛】本题考查二项式定理的应用．求近似值时要估算各项的精确度要求．
35．的计算结果精确到个位的近似值为
A．106B．107C．108D．109
【答案】B
【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.
【详解】∵，
∴.
故选B
【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
针对练习八 杨辉三角
36．以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是______.
【答案】
【分析】根据题意，结合杨辉三角，找出规律，即可得出结果.
【详解】由题意，第0行的数为，
第1行的数为，
第2行的数为，
第3行的数为，
第4行的数为，
因此，第行第个数为：，
所以第9行第8个数是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查杨辉三角的应用，属于基础题型.
37．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）
……
【答案】455
【分析】由图观察计算可知第n行第个数为，进而可以求出结果.
【详解】由题图可知，第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，…，观察可得第n行第个数为，所以第15行第13个数为．
故答案为：455.
38．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则（ ）

A．5050B．4851C．4950D．5000
【答案】B
【分析】由二项式展开式系数可知，第行第个数应为，从而可求得结果
【详解】解：由二项式展开式系数可知，第行第个数应为，
所以第100行第3个数为，即4851，
故选：B
39．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直接利用二项式定理，组合数，等差数列的前项和公式的应用求出结果
【详解】由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第n行n个数，
所以前n行共有：，当时，，
所以第2020项是第64行的第4个数字，即为，
故选：A.
【点睛】此题考查二项式定理，组合数，等差数列的前项和公式，考查运算能力和转化能力，属于基础题.
40．在杨辉三角中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3：4：5的行数为（ ）
A．58B．62C．63D．64
【答案】B
【分析】设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，由此建立关于和的方程组，解方程组即可得答案．
【详解】解：根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，
有且，化简得且，解得，，
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数，
故选：B.
第0行第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
11 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1