2026年中考模拟数学试卷含答案（重庆专用）

这是一份2026年中考模拟数学试卷含答案（重庆专用），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(每题4分,共40分)
1．有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数加法、绝对值的性质，根据和，可推得b、c同号，a与b、c异号，结合绝对值性质分析各选项即可．
【详解】解：A、∵，且，
∴a、b、c三个数都不为0，且，
若b、c异号，
则，
与矛盾，
∴b、c同号，a与b、c异号，
可得，
当a为正，b、c为负时，
∵，
∴，
∴A选项不成立，
∴A错误；
B、∵，且，
∴a、b、c三个数都不为0，且，
∴B选项错误；
C、当时，；
当时，．
∴不恒成立，
∴C错误；
D、∵和，
分情况讨论：
当时，成立；
当时，，
又∵，
∴当a、c异号时，．
∴D正确．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】解：分析青蛙跳动规律: ，，，，，，每次跳动个单位，
方向依次为：向上—向右—向下—向右，每次跳动为一个循环，纵坐标为，，，依次出现，
，
的坐标为．即为
3．已知为整数，且，则的值可能是（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，根据题意可得，设，，其中 是整数，则可证明，，再令的值为四个选项中的数，看此时是否有满足题意的即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
设，，其中 是整数，
∴，
∴，
∵，，
∴，
当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意；
当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意；
当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意；
当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意；
故选：D．
4．如图，、关于原点对称的点分别为、，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明四边形是菱形，则，再分别求出点和点第次相遇时，点的坐标，归纳类推出一般规律即可．
【详解】解：∵、关于原点对称的点分别为、，
∴，，，
∵，
∴四边形是菱形，且，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵点的速度是点的速度的2倍，
∴设点的速度为，则点的速度为，
①点和点第1次相遇时，运动的时间为，
∴此时点运动的路程为，
∴此时点在点上，坐标为；
②当点和点第2次相遇时，运动的时间为，
∴此时点运动的路程为，
∵，
∴此时点在边的三等分点上，且靠近点，
如图，设第2次相遇点为，过点作轴于点，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，即此时点的坐标为；
③当点和点第3次相遇时，运动的时间为，
∴此时点运动的路程为，
∵，
∴此时点在边的三等分点上，且靠近点，
如图，设第3次相遇点为，
同理可得：，即此时点的坐标为；
④当点和点第4次相遇时，运动的时间为，
∴此时点运动的路程为，
∵，
∴此时点在点上，坐标为；
归纳类推得：点和点相遇时，点的坐标是按，，为周期循环往复的，
∵，
∴点和点第2025次相遇时，点的坐标为．
5．编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设原来盒子中有个小球，小球号码的平均数为，则盒子中有个小球，小球号码的平均数为，根据小球上号码的数值，盒子、中平均数的变化列方程组求解．
【详解】解：设原来盒子中有个小球，小球数码的平均数为，则盒子中有个小球，小球数码的平均数为，
根据题意可得：，
由②得：，
由③得：，
，
整理得：，
解得：．
6．节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先设y关于x的函数表达式为，再将点代入，并求出解可解答①；然后将点代入，求出解说明②；将代入②中的关系式解答③； 最后求出每天的耗电量，比较说明④即可．
【详解】解：设当时，y关于x的函数表达式为，将点代入，得
，
解得，
所以当时，y是x的一次函数，则①不正确；
当时，y关于x的函数关系式为，
将点代入，得，
所以当时，y是x的反比例函数，则②正确；
当时，，
解得，
所以，则③不正确；
每天的耗电量，
所以该冰箱每天耗电量低于1度，则④正确，
所以正确的有2个．
7．如图，在中，，，，E，F分别是和上的点，且平分的面积，若，则的长为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】B
【分析】根据平行四边形中心对称的性质或面积公式，由平分平行四边形面积可得，进而求出的长；过点作的垂线求出平行四边形的高及垂足位置，再构造直角三角形利用勾股定理求解的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
平分的面积，
线段经过平行四边形的对称中心，
过点作于点，过点作于点
在Rt中，
∴，
∵
∴
∵
四边形是平行四边形，
在Rt 中，．
8．在中，为直径，点在的延长线上，与相切于点，点为上的点，且，连接．如图，延长、交于点，点在上，连接、，，，，线段的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作于，连接，，，，延长，相交于点，与交于点，连接，，通过垂直平分线的性质等量代换证明， ， 进而证得， 根据， 得到， 推出， 可得是的直径， 再由直径所对的圆周角为直角可得，证明，推出，过点作于，则，根据等面积法可得，从而得到， 在中，利用勾股定理可得的长， 进而得到HG的长，再利用勾股定理可得的长，即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，连接，，，，延长，相交于点，与交于点，连接，，
，
垂直平分，
，，，
， 即，
， ，
，
， ，，，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
垂直平分，
，，
，，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
， 即平分，
过点作于，则，
， 即，
，，
，
，
在中，，
即， 解得，
，
，
．
9．已知正方形边长为12，，与交于点P，点Q为中点，则最小值是（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据已知证明，根据角度关系，得到是直角三角形，是斜边中线，得到；也是的斜边，设直角边，利用勾股定理，将转换为关于x的二次函数，从而得到关于x的二次函数，求此二次函数的最小值的算术平方根，即可得到结果．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，是斜边，
点Q为中点，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得
化简得，
∴，
时，．
10．已知整式M：，其中n，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（ ）
①若，则多项式M可以为二次三项式：
②若，满足条件的所有整式M的和为；
③若，满足条件的整式M共有10个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查整式的概念，正整数的分类分解，熟练掌握相关概念并不遗漏不重复地列举所有情况是解题的关键．
需根据系数为正整数且由小到大排列，乘积为A的条件，分类列举所有符合条件的系数组合，逐一验证每个说法．
【详解】解：
①若，二次三项式对应3个系数，满足，
由于，则对应整式是二次三项式，
故①符合题意；
②若，列举所有符合条件的整式，
有2个系数（一次二项式）时，满足条件的整式为，，；
有3个系数（二次三项式）时，满足条件的整式为，；
所有整式的和为
故②不符合题意；
③若，列举所有符合条件的整式，
有2个系数时，满足条件的整式为，，，，共4个；
有3个系数时，满足条件的整式为，，，，共4个；
有4个系数时，满足条件的整式为，仅1个；
总计个，与“10个”不符，
故③不符合题意；
综上，正确的说法只有1个．
二、填空题(每题4分,共24分)
11．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________．
【答案】1
【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
的算术平方根是1．
12．如图，在长方形中，连接，为线段上一动点，将沿所在直线翻折，得到．当的一条边与平行时，的度数为______．
【答案】或
【分析】的一条边与平行，需要依次看三边中的哪条边与平行，其中与相交，不可能平行；时，利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可；时，计算出后，需要讨论这种情况是否存在．
【详解】解：如图，当时，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由翻折知 ，
∵，
∴；
如图，当时，
∵四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由翻折知 ，
由长方形的对称性可知，
∴，
∵，
∴点在点C左侧，满足题意；
综上，的度数为或．
13．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________．
【答案】19
【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
∴，
解方程组，
由第一个方程得，
代入第二个方程得，
解得，
将代入 得，
方程组的解为正整数，且为整数，
∴是的正因数，的正因数有，
当时，，不满足，舍去；
当时，，不满足，舍去；
当时，，满足条件，此时 均为正整数；
当 时，，满足条件，此时均为正整数；
所有满足条件的整数的和为，故答案为．
14．若，则___________ ．
【答案】6或4或
【分析】需要分三种情况讨论：底数为时，底数为且指数为偶数时，底数不为且指数为时．
【详解】解：分三种情况讨论：
当时，，
此时，
当且为偶数时，，
此时，为偶数，
当且时，，
此时，
综上，的值是或或．
15．如图，是的直径，点C在⊙O上，连接AC，OC，交⊙O于点D，交⊙O于点E，CF是⊙O的切线，交ED的延长线于点F．若，，则CD的长度为______，EF的长度为_____．
【答案】 6
【分析】利用直径所对圆周角为直角，结合三角函数与勾股定理求边长，借助三角形相似算出垂线段长，再由垂径定理求得．作辅助线构造直角，利用切线、平行线及角度等量关系，证得线段相等，设未知数结合勾股定理列方程求值，再利用圆周角等量转换，最后依托勾股定理求解．
【详解】解：，
．
是的直径，
．
在中，
，
．
由勾股定理可得，
．
设，垂足为，
，为直径，
．
，，
，
，
，
．
在中，
，
．
延长交于点．
是的切线
，
，
连接．
是直径，
，
∴，
．
∵，
，
∵
∴
．
．
∴平分，
．
设．
在中
．
∴．
，
．
在中，
，
即．
解得．
．，
，
．
，
∴，
连接，
∵为直径，
在中，，
∴，
∴，
∴，
．
，
，
．
在中，
，
．
由勾股定理得：
解得．
16．车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距．
【答案】4或
【分析】由图象时，得甲乙两地总路程为；因为A车走完全程，所以用速度公式可求A车速度．由图象时，可知B车走完全程需要，所以用速度公式可求B车速度．两车同时出发相向而行，相遇时两车路程和为总路程，所以用相遇问题公式可求相遇时间，即C车的出发时间．设C车行驶时间为小时，分两种情况：如果C车还没追上B车，那么B车比C车多走的路程为，列方程求解；如果C车追上B车后超出，那么C车比B车多走的路程为，列方程求解．
【详解】解：由图象和题意可知，甲乙两地距离为，A车10小时走完全程，
∴A车速度： ，
B车20小时走完全程，因此B车速度： ，
两车同时出发相向而行，相遇时间为： ，
B车从乙地出发开往甲地，相遇时B车距离乙地的路程为： ，
设C车行驶小时后，与B车相距．C车速度等于A车速度，从乙地出发和B车同方向，
∴ 小时后，C距离乙地：，B距离乙地：
两车距离满足： 即，
分两种情况：
未追上B车时
解得，
追上B车后：，解得．
两个解均符合实际行程，
∴答案为或．
三、解答题(共86)
17.(8分)先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【详解】解：
，
将代入得，
原式．
18．(8分)定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”．
(1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由；
(2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围；
(3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)方程的解不是不等式的“内含解”，理由见详解
(2)
(3)
【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可；
（2）先得出方程组的解为，然后根据题意可得，进而求解即可；
（3）先得出方程和不等式组的解分别为，，然后根据题意可得，，进而求解即可．
【详解】（1）解：解方程得：，
解不等式得：，
∴不在范围内，`
∴方程的解不是不等式的“内含解”；
（2）解：
得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴方程组的解为，
∵方程组的解是不等式的“内含解”，
∴，
解得：；
（3）解：
由①可得：，
由②可得：，
∴不等式组的解集为，
∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为，
∴，
解得：，
由方程可得，且方程的解是不等式组的“内含解”，
∴，
解得：，
综上所述：的取值范围为．
19．(10分)甲袋中有1个红球、1个白球，乙袋中有1个红球、2个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球．
(1)求摸出的两个球颜色相同的概率；
(2)若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的概率是__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）由题意可得出所有等可能的结果数以及此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，
∴摸出的两个球颜色相同的概率为．
（2）解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的结果有：（白，红），共1种，
∴此时甲袋中的球颜色相同且乙袋中的球颜色也相同的概率为．
20．(10分)如图，在中，，分别为，的中点．是上一定点，按以下步骤尺规作图：
①以点为圆心、为半径作弧，交于另一点；
②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线，交于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由中位线的性质可得，结合可判定四边形是平行四边形，由尺规作图可知，，因此命题得证；
（2）容易判断是等腰直角三角形，则，从而计算出，，，由矩形的性质可得，最后计算的面积即可．
【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
由尺规作图可知，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
21．(10分)某校九年级四个数学活动小组参加测量旗杆高度的综合实践活动．如图是四个小组测量的示意图，用测角仪测得杆顶端A的仰角记为，为测角仪的高，测角仪的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为，四个小组的测量位置略有不同，测量和计算的数据如下表所示：
(1)利用第四组学生测量的数据，求旗杆的高度；
(2)四组学生测量旗杆高度的平均值约为多少米?
（结果精确到0.1m；参考数据：）
(3)请对本次实践活动进行评价（写出一条即可）．
【答案】(1)9.6米
(2)9.7米
(3)本次实践活动让学生感受到了三角函数的应用（言之有理即可）
【分析】（1）利用三角函数中的正切求出的值，则有，以此求出旗杆的高度；
（2）将四组学生测量旗杆的高度值相加再除以4，即可求出答案，注意精确到；
（3）开放性题目，言之有理即可．
【详解】（1）解：由已知得：在中，，米，米，
米，
答：旗杆的高约为9.6米；
（2）解：四组学生测量旗杆高度的平均值为米．
（3）解：本次实践活动让学生感受到了三角函数的应用（开放性题目，言之有理即可）．
【点睛】本题考查解直角三角形相关，结合锐角三角函数以及求平均数的方法进行分析．
22．(10分)如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并求出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值；
(3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标；
（2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离；
（3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解．
【详解】（1）解：点在直线上，
，
解得，即,
点在双曲线上，
,
直线与双曲线的交点关于原点对称，
点B是点A关于原点的对称点，
；
（2）解：设，过点作轴，过点作轴，
则，
作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接
，即，
，
的纵坐标为，
，
解得，即，
，
，
两点之间线段最短，
最小，即最小．
此时的周长最小，
周长的最小值；
（3）解：设，
，，
，
，
，
分三种情况：
当时，，即，
，
此时，
当时，，即，
，，
此时或
当时，，即
，
此时，
综上所述，或或或．
23．(10分)某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱．
(1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？
(2)因市场波动，平台调整优惠政策如下：
A类礼盒：每箱直接降价a元出售；
B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售．
该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱．
①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定；
②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数）
【答案】(1)A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱
(2)①m的值为2，且满足平台的购买数量规定；②或或
【分析】（1）设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱，根据购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元列方程组求解即可；
（2）①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元．根据合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的列方程求解即可；
②先根据A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱求出，然后同①列方程求出，再令，求解即可．
【详解】（1）解：设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱， 由题意得：
，
解得，
答：A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱
（2）解：①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元．
∴，
解得，
此时购买A类礼盒2箱，B类礼盒箱，总数为箱，满足总数不少于5箱且不超过10箱，
即m的值为2，且满足平台的购买数量规定．
②∵，
∴，
∵m为正整数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或或．
经检验或或是原方程的解且符合题意，
∴a的所有值为或或．
24．(10分)如图，四边形内接于，且是的直径，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理：
（1）证明后，即可得到；
（2）利用切线性质和等边对等角得，再利用特殊角的三角函数值得到的半径，最后用弧长公式即可．
【详解】（1）证：是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：是的切线，
，即，
，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
在中，，
的半径，
由（1）知，，
，
的长．
25．如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接．
(1)求的度数；
(2)如图2，当点与点重合时，连接，求的长；
(3)求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)，点与点之间的距离为
【分析】--（1）由菱形性质可知平分，故点M到AD的距离等于点M到CD的距离．结合即可得出，由此求出即可求解；
（2）根据（1）可求，进而可得，再解三角形求出，
（3）在中，，由此得出当最大时，最大，即扇形MPQ的面积最大，当点P与点B重合时，最大，即扇形的面积最大由此解题．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴平分．
∵点在上，
∴点到的距离等于点M到的距离．
∵，
∴点到的距离等于的长．
∵，
∴为点到的距离，
∴．
∵，∴．
在菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：设，
由（1）得，
∴扇形的面积为．
∵，∴当r最大时，扇形的面积最大．
∵在中，，
∴当最大时，最大，即扇形的面积最大，
∴如解图②，当点与点重合时，最大，即扇形的面积最大．
∵，
∴．
∵，∴，解得，
∴，．
在中，，
∴此时点与点重合，，
∴扇形面积的最大值为，
此时点与点之间的距离为．
【点睛】性质转化：第（1）问的关键在于将“菱形对角线平分角”转化为“点到两边距离相等”，从而证明垂直关系，这是解决此类几何证明题的常用突破口．
2．三角函数法：第（2）问直接利用菱形的特殊角度（， ）及三角函数值（ ）进行计算，比纯几何法更为简洁高效．
3．函数与方程思想：第（3）问是典型的最值问题，核心策略是“以静制动”．将动态的扇形面积转化为半径 的函数，再将 与线段 建立关系，最后利用几何位置的极限状态（ 与 重合）建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的完美结合．
红
白
白
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
白
（白，红）
（白，白）
（白，白）
组别
的长/m
的长/m
仰角
的长/m

第一组
1.59
13.2
9.8
第二组
1.58
13.4
9.6
第三组
1.57
14.1
9.7
第四组
1.56
15.2