2026年重庆市中考模拟数学自编试卷含答案6

这是一份2026年重庆市中考模拟数学自编试卷含答案6，共14页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成，下列四个数中，最大的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成：
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2026
【答案】D
【详解】解：，
故选：D ．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意．
3．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ）
A．了解某班学生“50米跑”的成绩
B．调查人们保护海洋的意识
C．了解全国六年级学生身高的状况
D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
【答案】A
【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断合适的调查方式．范围小，无破坏性的调查适合采用全面调查．
【详解】解：A选项中，调查对象为一个班的学生，范围小，易开展，适合全面调查；
B选项中，调查对象范围大，适合抽样调查；
C选项中，调查覆盖全国，人数多范围大，适合抽样调查；
D选项中，检测食品是否含防腐剂具有破坏性，适合抽样调查．
∴本题选A．
4．如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．
【详解】解：第1种有4个氢原子，，
第2种有6个氢原子，，
第3种有8个氢原子，，
……
以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．
6．已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限B．图象与两坐标轴相交
C．y随x的增大而减小D．图象经过点
【答案】A
【分析】根据的符号判断反比例函数的图象位置和增减性，再结合反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断选项即可．
【详解】解： 反比例函数为，
，
反比例函数的图象位于第二、四象限，故A符合题意；
反比例函数中，，
图象不可能与坐标轴相交，故B不符合题意；
，
只有在每个象限内，随的增大而增大，故C不符合题意；
当时，， 图象不经过点，故D不符合题意．
7．下列四个数中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】比较科学记数法表示的数的大小，先比较的指数，指数越大，原数越大；指数相同时，比较乘号前的系数，系数越大，原数越大，按此规则比较即可得到结果．
【详解】解：∵四个选项中，A选项和B选项中，的指数都为；C选项和D选项中，的指数都为，，
∴A选项和B选项的数都小于C选项和D选项的数；
∵C选项为，D选项为，且，
∴．
综上，四个数中最大的是D选项的数．
8．年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设每次降价的百分率为，，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为，
根据题意，得，，
解得，
∴每次降价的百分率为．
9．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值．
【详解】解：连接、，
∵ 四边形 是正方形，
∴ ，， 垂直平分 ，，
∴ ，，
∴，
∵,
∴,
∴．
∵ 沿 翻折得到 ，
∴ ，，．
设 ,
则 ，
∴，
∴,
∴,
又 ，
∴，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵，
∴ ，
∴ ．
10．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法：
若，则方程的解为；
若，且方程有两个不等实根，则的最大值为；
若为整系数多项式，则这样的有个．
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，且，为自然数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
若，则，
∵方程，
∴，
∴，
∵方程有两个不等实根，
∴且，
∴且，
∵，为自然数，
∴，
若，则，不符合题意，舍去；
若，则，不符合题意，舍去；
若，则，
又∵，
∴，此时，
∴，
∵，
∴最大为，
∴最大为，故正确；
∵均为自然数，且，
∴均从最小的数取起，则（舍去），
∴，
∵，
∴，
当时，，
∵是整系数多项式，
∴，
∴时，或或，有个整系数多项式；
时，或，有个整系数多项式；
时，，有个整系数多项式；
故当时, 共个整系数多项式；
当时，，
∴时，
，或，有个整系数多项式；
，，有个整系数多项式；
，，有个整系数多项式；
时，
，，有个整系数多项式；
，，有个整系数多项式；
时，
，，有个整系数多项式；
故当时，共个整系数多项式；
当时，，
只有，，，，这种；
同理，当时，，
只有，，，，，这种；
综上，共有整系数多项式（个），故错误，
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．一个不透明的袋子中有10个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，7个白球，随机摸出一个球是红球的概率为______．
【答案】
【分析】根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可得到结果．
【详解】解：∵袋子中共有10个质地均匀大小相同的球，其中3个红球，
∴随机摸出一个球是红球的概率为．
12．如图，直线，直线交直线于点．若，则_____．
【答案】
58
【分析】先由对顶角相等得到的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可得到答案．
【详解】解：如图所示，∵，
∴
∵直线，
∴．
13．已知，其中为正整数，则的值为______．
【答案】
【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合已知条件即可求出正整数的值．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∵，为正整数，
∴．
14．若实数、同时满足，，则的值_____．
【答案】
【分析】根据、的正负，分情况求出，，然后代入求值即可．
【详解】解：∵实数、同时满足，，
∴当，时，，解得：，与矛盾，故无解；
当，时，，解得：，符合题意；
当，时，，解得：，与矛盾，故无解；
当，时，，解得：，与矛盾，故无解；
综上，，，则．
15．如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是________．
【答案】
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，从而得到，再结合切线的性质得到，从而得到，解直角三角形即可求出；连接，然后结合平行线的性质得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等，证明是解题的关键．
16．我们规定：若一个四位正整数能分解成，其中，均是正整数且，则称是“平方差6数”，将分解成的过程称为“平方差6分解”．例如：因为，所以1075是“平方差6数”，1075分解成的过程是“平方差6分解”．若在的所有“平方差6分解”中，当取得最小时，称是的“最佳分解”，此时规定：．则________；若一个“平方差6数”（，，均为整数），将的各个数位上的数字之和记为，且满足除以7的余数为3．则最大的________．
【答案】 615 3226
【分析】①根据，得，得出当取得最小时，，则，即可求解．②根据“平方差6数”，得出千位为、百位、十位、个位，求出数位和：，从而得，根据除以7的余数为3，得出为整数，故整除 35 ，结合，得出或：结合，分两种情况分别求解即可．
【详解】解：根据定义：，
由平方差公式得：，
设，，
则，，
∴．
①∵，则，
∵，均是正整数且，
∴s和t必须同奇同偶，
∴当取得最小时，，则，s和t同奇，满足，
∴．
②∵“平方差6数”，
∴这个四位正整数M的千位为、百位、十位、个位，
∴数位和：，
∴，
∵除以7的余数为3，
∴为整数，故整除 35 ，
∵，
∴或：
∵，
故时：除以7余3，得，对应；
时：除以7余3，得，对应；
∵在的所有“平方差6分解”中，当取得最小时，称是的“最佳分解”，此时
又时最小，
∴此时，，
∴．
∴，
，
因此最大的．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0、1
【详解】解：解不等式①得；
解不等式②得；
∴不等式组的解集为；
∴它的所有整数解为0、1．
18．小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分．
证明：四边形是平行四边形
①
平分
②
③
④
平分
【答案】(1)图见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线和垂线的方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质，直角三角形的性质，角的和差关系进行作答即可．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
；
平分，
；
，
，
，
，，
，
，
平分．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．为传承非遗文化，学校举办“传统剪纸”技艺大赛，从七、八年级学生中各随机抽取40名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，分四组：．；．；．；．），部分信息如下：
七年级40名学生剪纸成绩在组数据为，，，，，，，，，，，；组有4人．
八年级40名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
七、八年级所抽取学生成绩统计表
七年级所抽取学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中______，______，______；
(2)结合以上数据，你认为哪个年级的比赛成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）；
(3)该校七年级有880人、八年级有800人，估计两个年级成绩不低于90分的学生总人数是多少？
【答案】(1)82，78，35
(2)八年级的比赛成绩更好，理由见解析
(3)440人
【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．
（1）利用扇形统计图即可求出A 组，B组，组，组的人数，再利用中位数定义即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和C组人数即可求出；
（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；
（3）利用样本估计总体进行求解即可．
【详解】（1）解：七年级40名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人），在B组中的数据有12人，在组中的数据有（人），在D组中的数据有4人，
∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第20和21个数据，且数据从小到大排列后的第20和21个数据是82，82，
∴，
∵八年级40名学生竞赛成绩中出现次数最多的是78，
∴，
∵七年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据共14个，
∴，
∴，
故答案为：82，78，35；
（2）该校七年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩的平均数相同都是，但七年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数82小于八年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数，所以该校八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好；
（3）解：（人），
即估计该校七、八年级参加此次大赛成绩不低于分的学生人数共是440人．
20．先化简，再求值，其中．
【答案】
；
【分析】先根据整式乘法运算法则和分式混合运算法则化简，再利用特殊三角函数值和负整数幂求出的值，代入计算即可．
【详解】解：
；
∵
，
∴原式
．
21．为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件．
(1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？
(2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具．
【答案】(1)今年准备A道具件，B道具件．
(2)第二组每小时摆件B道具．
【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可；
（2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设去年准备的A道具件，道具件，
，
解得，
则（件），（件），
答：今年准备A道具件，B道具件．
（2）解：设第二组每小时摆件B道具，
，
经检验是原方程的解，
答：第二组每小时摆件B道具．
22．如图，点为菱形对角线，的交点，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，其中，过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．点之间的距离为的和与之比为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)图见详解，在内，随着的增大而减小；在内，随着的增大而减小；
(3)
【分析】（1）先根据菱形的性质得，，，结合点P的运动速度，分析得，再结合过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．所以，即，进行分析，即可作答．
（2）根据，，进行描点作图，再分析函数图象，即可作答．
（3）运用数形结合思想得当时，则的取值范围为，即可作答．
【详解】（1）解：点为菱形对角线，的交点，，，
∴，，
∴，
则
∵点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，
∴当点P在上运动时，则，即，
∴，
∴当点P在上运动时，则，即，
∴，
则，
即；
连接，
∵过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．
∴，
则，
∵，
即，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
进行补充函数图象如下所示：
∴在内，随着的增大而减小；
在内，随着的增大而减小；
（3）解：结合（2）的函数图象，当时，则的取值范围为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，）
(1)求B，C间的距离（结果保留根号）；
(2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)
(2)3.5千米
【分析】（1）过点C作于点F，过点D作于点E，解直角三角形求得和的长，推出四边形是矩形，求得，据此求解即可；
（2）设甲，乙两架无人机在点G处相遇，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点F，过点D作于点E，，
，，
，
，，，
∴四边形是矩形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
答：B与C之间的距离为；
（2）解：如图所示，设甲，乙两架无人机在点G处相遇，
∵甲的速度与乙的速度之比是，
，
设，则，
由（1）得，，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得（负值舍去）．
∴当两无人机相遇时，乙一共跑了3.5千米．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式：
(2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）代入抛物线，结合抛物线的对称轴是直线，建立方程组求解即可；
（2）过P作轴交于F，过点B作，使，连接,则四边形是平行四边形， ，求出，求出直线解析式，直线的解析式为，联立，解得，设，则，得，得，得当时，最大，由是定值，，得最大，得，当点M在直线上时，，最小，由点A与点B关于对称轴对称，得，得，最小，由，得，即得的最小值是；
（3）设与交于点L，可知抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为，，得，由三角形外角性质得，得，求出解析式，得解析式为，当时，解得，得；设关于x轴对称点为，求出直线解析式，联立解得，得．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：，
∴抛物线为：．
（2）解：如图，过P作轴，交于F，过点B作，使，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
对，
令，则，
解得；
令，则．
∴．
设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∵是定值，，
∴最大，
∴，
当点M在直线上时，，最小，
∵点A与点B关于对称轴对称，
∴，
，最小，
∵，
∴，
∴的最小值是．
（3）解：设与交于点L，
∵，
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，
为，
即，
∵点为点P的对应点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
设解析式为，
把代入，得，
∴，
∴解析式为，
设解析式为，
把代入，得，
∴，
∴解析式为，
当时，联立，
解得或（舍去），
∴；
设关于x轴对称点为，直线解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线解析式为，
∴，
解得（舍去）或，
∴．
故点Q的坐标为或．
【点睛】第（2）小问添加辅助线构造将军饮马模型，第（3）小问，点Q在点B的左面，不合要求的点Q（在点B右面）舍去．
25．在中，在延长线上取一点，在上取一点，连接．
(1)如图1，若，过作于，在上取点，使得，连接，若，求的度数；
(2)如图2，过点作于点，在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，若，，，求证：；
(3)如图3，若，，点恰为的中点，将绕点逆时针旋转至，连接、，与交于点，点，分别是边，上的动点，且，当取得最大值时，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求出，结合外角的性质可得，．容易证明，则；
（2）过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接、，结合平行和题干条件可证明，则点为中点．根据直角三角形的性质可得，，结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证明．根据含角的直角三角形的性质可得，，容易证明，则，命题得证；
（3）先分析取得最大值的情况，取线段的中点，连接、，容易证明，则，因此，当、、三点共线时， 最大．当线段过点时，点与点重合，作，垂足为，作，垂足为，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，设，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，依次计算出，，则．在直角坐标系中构造点，，以及轴上的动点，根据勾股定理可得， ，因此最小时，最小．根据线段公理，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
∵是的外角，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接、，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点为中点，
∵，，
∴，都是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
同理，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
又∵是的外角，
∴，
∴，
在直角中，，，
∴，
由旋转的性质可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
即；
（3）解：先分析最大的情况，如图，取线段的中点，连接、，
由旋转的性质可知，，
∵点是线段的中点，
∴，即，
∵点是线段的中点，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当线段过点，即、、三点共线时，最大，此时最大．
当线段过点时，如图，点与点重合，作，垂足为，作，垂足为，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在直角中，，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
同理，，，
∴，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
在直角中，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
在直角中， ，
∴
，
下面构造几何图形计算的最小值，
如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一个动点，连接、、，
由勾股定理可得，，，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为，
由勾股定理可得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，旋转的性质，线段和最值问题，以及勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键．
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
众数
73