2026年重庆市初中学业水平模拟测试数学试卷

这是一份2026年重庆市初中学业水平模拟测试数学试卷，共9页。
A．3.14B．32C．πD．9
2．（4分）如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知OA∥CD，∠AOB＝105°，∠OCD＝125°，则∠BOC的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
3．（4分）如图，“艺术美淘街”上一手链的图案，是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…，按此规律，则第⑧个图形中圆的个数为（ ）
A．22B．25C．28D．31
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．12B．16C．24D．54
5．（4分）若3？是327的81倍，则“？”的值是（ ）
A．31B．32C．33D．34
6．（4分）估计3×5−2的值应在（ ）
A．﹣2和﹣3之间B．1和2之间
C．2和3之间D．3和4之间
7．（4分）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，BC长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23−23πB．3−13πC．23−43πD．3−23π
8．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=−n2−1x的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
9．（4分）下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（ ）
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相垂直
D．正方形面积等于对角线长的平方
10．（4分）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2=1+a11−a1，a3=1+a21−a2，a4=1+a31−a3，…，an+1=1+an1−an，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．−12B．13C．﹣3D．2
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（5分）一只不透明的袋中装有1个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数是 ．
12．（5分）计算：2025+（﹣2025）0＝ ．
13．（5分）某商场第一年销售计算机5000台，第三年销售了7200台计算机，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率为x．则可列方程为 ．
14．（5分）若关于x的不等式组2x−13≥1x+4＞a的解集为x≥2，且关于y的分式方程ay−1−11−y=2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
15．（5分）如图，△ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且AB=62，点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，延长CE交⊙O于点P，连结OE，OP，BP．
①BP＝ ；
②若OE＝x，CE＝y，y与x之间的函数关系为 ．
16．（5分）对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”，并规定F（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．例如：四位数8274，满足：4﹣2＝2×（8﹣7），则8274是一个“附中数”，F（8274）＝82﹣74＝8．记“附中数”M=abcd，（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数），若F（M）为完全平方数，则a+b﹣c﹣d＝ ；同时，令G（M）＝c2﹣d2+a﹣b﹣6，若24G(M)为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 ．
三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）
17．（10分）计算：
（1）x（2x﹣5）﹣（x﹣4）（x+4）；
（2）x2−4x2−6x+9⋅(1−1x−2)÷x+2x−3．
18．（10分）某校组织了一场地理知识竞赛，现从该校七、八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A.95≤x≤100；B.90≤x＜95；C.85≤x＜90；D.80≤x＜85．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩在B组中的数据是：92，94，94，90．
八年级10名学生的成绩是：81，85，86，87，89，91，91，95，100，100．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据．你认为此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）；
（3）已知该校七年级有800名学生参赛，八年级有1000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩C等级的共有多少人？
19．（10分）如图，已知AD⊥BC于点D，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD．求证：
（1）△BDF≌△ADC；
（2）BE⊥AC．
20．（10分）某校为了准备“迎新活动”，用700元购买了甲、乙两种小礼品共130个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元．
（1）购买乙种礼品花了 元；
（2）如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高20%，求乙种礼品的单价．（列分式方程解应用题）
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为AC的中点．动点M从点A出发，沿A→B→C的方向以每秒1个单位的速度移动；动点N从点A出发，沿着射线AC方向以每秒2个单位的速度移动，当M点到达点C时，两点同时停止运动．在移动过程中，设运动时间为x，记S△COM的面积为y1，y2=S矩形ABCDS△ADN．
（1）请直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）根据函数图象，直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
22．（10分）如图，小文骑自行车从家B出发沿正北方向行驶2km到岔路口C后，沿北偏西15°方向再行驶32km到达综合实践活动基地D，参加完活动后，沿路线DA到达爷爷家A．已知小文爷爷家A在小文家B的北偏西45°方向上，在岔路口C的北偏西75°方向上，且点A，B，C，D在同一平面内．（计算结果保留根号）
（1）求小文爷爷家A到小文家B的距离；
（2）求综合实践活动基地D到小文爷爷家A的距离．
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点P为△ABC内一点．
（1）如图（1），CP＝CQ，∠QCP＝120°，连接BP，AQ，求证：BP＝AQ；
（2）如图（2），D为AB的中点，若PC＝2，PA＝5，∠CPD＝150°，求线段PD的长；
（3）如图（3），在（2）的条件下，若点M为平面内一点，PM＝PC，连BM，将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，连PN，请直接写出PN的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列实数中最大的是（ ）
A．3.14B．32C．πD．9
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出9=3，32≈5.196，π≈3.14156，然后再比大小即可．
【解答】解：∵9=3，32≈5.196，π≈3.14156，
∴5.196＞3.14156＞3.14＞3，即32＞π＞3.14＞9．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，掌握实数的大小比较方法，算术平方根的定义是解题的关键．
2．（4分）如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知OA∥CD，∠AOB＝105°，∠OCD＝125°，则∠BOC的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等，再利用角的和差计算即可．
【解答】解：∵OA∥CD，∠OCD＝125°，
∴∠AOC＝∠OCD＝125°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠AOB＝105°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝125°﹣105°＝20°．
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是关键．
3．（4分）如图，“艺术美淘街”上一手链的图案，是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…，按此规律，则第⑧个图形中圆的个数为（ ）
A．22B．25C．28D．31
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中圆的个数为：4＝1×3+1；
第②个图形中圆的个数为：7＝2×3+1；
第③个图形中圆的个数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n个图形中圆的个数为3n+1．
当n＝8时，
3n+1＝3×8+1＝25，
即第⑧个图形中圆的个数为25．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出圆的个数依次增加3是解题的关键．
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．12B．16C．24D．54
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC≌△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵AD＝3OA，
∴OA：OD＝1：2．
∴AB：DE＝1：2，
∴S△ABCS△DEF=（12）2=14，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为16，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（4分）若3？是327的81倍，则“？”的值是（ ）
A．31B．32C．33D．34
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意，可得3？＝327×81，据此求出“？”的值即可．
【解答】解：∵3？是327的81倍，
∴3？＝327×81＝327×34＝331，
∴“？”的值是31．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
6．（4分）估计3×5−2的值应在（ ）
A．﹣2和﹣3之间B．1和2之间
C．2和3之间D．3和4之间
【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】将原式运算后利用夹逼法进行估算即可．
【解答】解：原式=15−2，
∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∴1＜15−2＜2，
∴原式的值在1和2之间，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握相关运算法则及估算无理数大小的方法是解题的关键．
7．（4分）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，BC长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23−23πB．3−13πC．23−43πD．3−23π
【考点】扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE的面积，由阴影部分的面积等于菱形ABCD的面积减去2倍的扇形ADE的面积可得答案．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，
∴BO=12AB＝1，AO=32AB=3，
∴AC＝2OA＝23，BD＝2BO＝2，
∴菱形ABCD的面积为12AC•BD＝23，扇形ADE的面积为30π×22360=13π，
∴阴影部分的面积为23−23π．
故选：A．
【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．
8．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=−n2−1x的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】依据反比例函数y=kx（k＜0），可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y=−n2−1x，﹣n2﹣1＜0
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜0＜y1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．（4分）下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（ ）
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相垂直
D．正方形面积等于对角线长的平方
【考点】正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形的两条对角线互相垂直平分且相等即可对选项A，B，C进行判断；再根据正方形的面积等于对角线长的平方的一半即可对选项D进行判断，由此即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵正方形的两条对角线互相平分，
∴选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
∵正方形的两条对角线相等，
∴选项B正确，不符合题意；
对于选项C，
∵正方形的两条对角线互相垂直，
∴选项C正确，不符合题意；
对于选项D，
∵正方形的面积等于对角线长的平方的一半，
∴选项D不正确，符合题意，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．
10．（4分）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2=1+a11−a1，a3=1+a21−a2，a4=1+a31−a3，…，an+1=1+an1−an，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．−12B．13C．﹣3D．2
【考点】分式的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】猜想归纳；分式；运算能力．
【答案】A
【分析】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解．
【解答】解：由题意得，
a1＝2，
a2=1+a11−a1=1+21−2=−3，
a3=1+a21−a2=1+(−3)1−(−3)=−12，
a4=1+a31−a3=1+(−12)1−(−12)=13，
a5=1+a41−a4=1+131−13=2，
……，
∴an的值按照2，﹣3，−12，13，……4次一个循环周期的规律出现，
∵2023÷4＝505……3，
∴a2023的值是−12，
故选：A．
【点评】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现an的规律．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（5分）一只不透明的袋中装有1个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数是 3 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】3．
【分析】用白球个数除以白球的概率求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：根据题意知，袋中球的总个数为1÷14=4（个），
∴黑球个数为4﹣1＝3（个），
故答案为：3．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．（5分）计算：2025+（﹣2025）0＝ 2026 ．
【考点】零指数幂；有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2026
【分析】先计算零指数幂，再计算加法即可得到答案．
【解答】解：原式＝2025+1＝2026．
故答案为：2026．
【点评】此题考查的是有理数的加法和零指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键．
13．（5分）某商场第一年销售计算机5000台，第三年销售了7200台计算机，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率为x．则可列方程为 5000（1+x）2＝7200 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】5000（1+x）2＝7200．
【分析】利用第三年销售量＝第一年销售量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：依题意得：5000（1+x）2＝7200．
故答案为：5000（1+x）2＝7200．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（5分）若关于x的不等式组2x−13≥1x+4＞a的解集为x≥2，且关于y的分式方程ay−1−11−y=2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 6 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】先解一元一次不等式组，根据已知条件，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，再解分式方程，求出y，根据分式方程的解是非负整数，求出满足条件的a的值，最后求出它们的和即可．
【解答】解：2x−13≥1①x+4＞a②，
由①得：2x﹣1≥3，
2x≥4，
x≥2，
由②得：x＞a﹣4，
∵关于x的不等式组2x−13≥1x+4＞a的解集为x≥2，
∴a﹣4＜2，
a＜6，
ay−1−11−y=2，
a+1＝2（y﹣1），
a+1＝2y﹣2，
2y＝a+1+2，
2y＝a+3，
y=a+32，
∵关于y的分式方程ay−1−11−y=2的解为非负整数，
∴a+32≥0，
∴a+3＝0或2或4或6或8或10…，
解得：a＝﹣3或﹣1或1或3或5或7…，
∵y﹣1≠0，
∴a+32≠1，
a+3≠2
∴a≠﹣1，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣3或1或3或5，
∴所有满足条件的整数a的值的和为：﹣3+3+1+5＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．
15．（5分）如图，△ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且AB=62，点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，延长CE交⊙O于点P，连结OE，OP，BP．
①BP＝ 6 ；
②若OE＝x，CE＝y，y与x之间的函数关系为 y=−16x2+3 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；函数关系式；角平分线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】①6； ②y=−16x2+3．
【分析】①如图，连接AP，根据圆周角相等得到弦AP＝BP，即△ABP为等腰直角三角形，求出BP＝AP＝6；
②连接BE，过E分别作△ABC三边的垂线，垂足分别为M、N、F，由点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点得到E是△ABC的内心，则CN=EN=EF=EM=22y，证明Rt△ANE≌Rt△AME（HL），得到AN=AM=AC−22y，同理可得BF=BM=BC−22y，再根据AB=AM+BM=62，得到AC+BC=62+2y，接着根据S△ABC＝S△ACE+S△BCE+S△ABE，得到AC⋅BC=22y(AC+BC+AB)=12y+y2，求出（AC﹣BC）2＝（2OM）2＝﹣2y2﹣24y+72，最后在Rt△OEM中由勾股定理得到−12y2−6y+18+(22y)2=x2，整理化简即可．
【解答】解：①如图，连接AP，
由条件可知∠ACP＝∠BCP，
∴AP＝BP，
∵AB为⊙O的直径，且AB=62，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝AP＝6；
故答案为：6．
②连接BE，过E分别作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为M、N、F，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，OA=12AB=32，
由条件可知EN＝EF＝EM，∠NCE=∠FCE=12∠ACB=45°，∠NAE=∠MAE=12∠BAC，
∴∠NCE＝∠CEN＝45°，
∴CN＝EN，
∵CE＝y，
∴CN=EN=22y，
∴CN=EN=EF=EM=22y，
∵EN＝EM，AE＝AE，∠ANE＝∠AME＝90°，
∴Rt△ANE≌Rt△AME（HL），
∴AN=AM=AC−CN=AC−22y，
同理可得BF=BM=BC−CF=BC−22y，
∵AB=AM+BM=62，
∴AC−22y+BC−22y=62，
整理得AC+BC=62+2y，
∵S△ABC＝S△ACE+S△BCE+S△ABE，
∴12AC⋅BC=12AC⋅EN+12EF⋅BC+12EM⋅AB，
即AC⋅BC=22y⋅AC+22y⋅BC+22y⋅AB，
∴AC⋅BC=22y(AC+BC+AB)=22y(62+2y+62)=12y+y2，
∴(AC−BC)2=(AC+BC)2−4AC⋅BC=(62+2y)2−4(12y+y2)=−2y2−24y+72，
∵AM=AC−22y，BM=BC−22y，
∴|AC﹣BC|＝|AM﹣BM|＝|（OA+OM）﹣（OB﹣OM）|＝2OM，
∴（AC﹣BC）2＝（2OM）2＝﹣2y2﹣24y+72，
解得OM2=−12y2−6y+18，
∴−12y2−6y+18+(22y)2=x2，
整理得y=−16x2+3．
故答案为：y=−16x2+3．
【点评】本题考查了三角形外接圆及外心、函数关系式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键．
16．（5分）对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”，并规定F（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．例如：四位数8274，满足：4﹣2＝2×（8﹣7），则8274是一个“附中数”，F（8274）＝82﹣74＝8．记“附中数”M=abcd，（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数），若F（M）为完全平方数，则a+b﹣c﹣d＝ ﹣2 ；同时，令G（M）＝c2﹣d2+a﹣b﹣6，若24G(M)为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 4040 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】﹣2，4040．
【分析】先找出M的各个数上的数字，再分别求出G（M），再根据24G(M)为整数，验证求解．
【解答】解：∵M=abcd是“附中数”，
∴d﹣b＝2（a﹣c），
∴b﹣d＝﹣2（a﹣c），
∵F（M）为完全平方数，
∴10a+b﹣（10c+d）＝10（a﹣c）+（b﹣d）＝10（a﹣c）﹣2（a﹣c）＝8（a﹣c），
∵8（a﹣c）是完全平方数，且1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数，
∴a﹣c＝2或8，
∵a﹣c＝8，则d﹣b＝16，不合题意，
∴a﹣c＝2，
∴a+b﹣c﹣d＝（a﹣c）+（b+d）＝（a﹣c）﹣2（a﹣c）＝﹣（a﹣c）＝﹣2；
当a﹣c＝2时，d﹣b＝4，
∵a，b，c，d互不相同，
①当a＝3，c＝1时，d＝6，b＝2，所以G（M）＝﹣40，此时24G(M)不是整数，
d＝8，b＝4，则G（M）＝﹣70，此时24G(M)不是整数，
d＝9，b＝5，则G（M）＝﹣88，此时24G(M)不是整数，
②当a＝4，c＝2时，d＝5，b＝1，则G（M）＝﹣24，此时24G(M)是整数，M＝4125，
d＝7，b＝3，则G（M）＝﹣50，此时24G(M)不是整数，故舍去，
d＝9，b＝5，则G（M）＝﹣84，此时24G(M)不是整数，故舍去，
③当a＝5，c＝3时，d＝6，b＝2，则G（M）＝﹣30，此时24G(M)不是整数，
d＝8，b＝4，则G（M）＝﹣60，此时24G(M)不是整数，故舍去，
④当a＝6，c＝4时，d＝5，b＝1，则G（M）＝﹣10，此时24G(M)不是整数，
d＝7，b＝3，则G（M）＝﹣36，此时24G(M)不是整数，
d＝9，b＝5，则G（M）＝﹣70，此时24G(M)不是整数，
⑤当a＝7，c＝5时，d＝6，b＝2，所以G（M）＝﹣12，此时24G(M)是整数，M＝7256，
d＝8，b＝4，所以G（M）＝﹣42，此时24G(M)不是整数，舍去，
⑥当a＝8，c＝6时，d＝5，b＝1，所以G（M）＝12，此时24G(M)是整数，M＝8165，
d＝7，b＝3，所以G（M）＝﹣14，此时24G(M)不是整数，舍去，
d＝9，b＝5，所以G（M）＝﹣48，此时24G(M)不是整数，舍去，
⑦当a＝9，c＝7时，d＝5，b＝1，所以G（M）＝26，此时24G(M)不是整数，舍去，
d＝6，b＝2，所以G（M）＝14，此时24G(M)不是整数，
d＝8，b＝4，所以G（M）＝﹣16，此时24G(M)不是整数，
M最大值为8165，M最小值为4125，
8165﹣4125＝4040，
故答案为：﹣2，4040．
【点评】本题考查了整式的加减，理解新定义和整除的意义是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）
17．（10分）计算：
（1）x（2x﹣5）﹣（x﹣4）（x+4）；
（2）x2−4x2−6x+9⋅(1−1x−2)÷x+2x−3．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；平方差公式．
【专题】计算题；整式；分式；运算能力．
【答案】（1）x2﹣5x+16；
（2）1．
【分析】（1）利用单项式乘多项式法则及平方差公式计算即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝2x2﹣5x﹣x2+16
＝x2﹣5x+16；
（2）原式=(x+2)(x−2)(x−3)2•（x−2x−2−1x−2）•x−3x+2
=(x+2)(x−2)(x−3)2•x−3x−2•x−3x+2
＝1．
【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识，解题的关键是熟练应用乘法公式，掌握分式混合运算法则，属于中考常考题型．
18．（10分）某校组织了一场地理知识竞赛，现从该校七、八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A.95≤x≤100；B.90≤x＜95；C.85≤x＜90；D.80≤x＜85．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩在B组中的数据是：92，94，94，90．
八年级10名学生的成绩是：81，85，86，87，89，91，91，95，100，100．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 30 ，b＝ 91 ，c＝ 91或100 ；
（2）根据以上数据．你认为此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）；
（3）已知该校七年级有800名学生参赛，八年级有1000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩C等级的共有多少人？
【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）30、91、91或100；
（2）七年级的成绩更好；
（3）640人．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出七年级的中位数和八年级的众数；
（2）比较两个年级的中位数、众数即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）七年级A组的人数为：10×20%＝2（人），
∵七年级10名学生的成绩在B组中的数据是：92，94，94，90，
∴七年级学生成绩排序后第5个和第6个数据分别为92，90，
∴中位数b＝（92+90）÷2＝91，
B组所占的百分比为：410×100%＝40%，
∴a%＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%，
∴a＝30，
∵八年级10名学生的成绩是：81，85，86，87，89，91，91，95，100，100，
∴c＝91或100．
故答案为：30、91、91或100；
（2）七年级成绩更好，
因为七年级学生竞赛成绩的中位数高于八年级，
所以七年级的成绩更好；
（3）800×30%+1000×410=240+400＝640（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩C等级的共有640人．
【点评】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的根据．
19．（10分）如图，已知AD⊥BC于点D，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD．求证：
（1）△BDF≌△ADC；
（2）BE⊥AC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由AD⊥BC于点D可得∠BDF＝∠ADC＝90°，再由“HL”即可证明△BDF≌△ADC；
（2）由AD⊥BC于点D可得∠BDF＝∠ADC＝90°，从而得到∠DAC+∠C＝90°，由全等三角形的性质可得∠FBD＝∠CAD，即可得出∠FBD+∠C＝90°，计算出∠BEC＝180°﹣∠FBD﹣∠C＝90°，即可得证．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC于点D，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
DF=DCBF=AC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）；
（2）∵AD⊥BC于点D，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，
由（1）可得：Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠FBD＝∠CAD，
∴∠FBD+∠C＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠FBD﹣∠C＝90°，
∴BE⊥AC．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质以及直角三角形两锐角互余是解此题的关键．
20．（10分）某校为了准备“迎新活动”，用700元购买了甲、乙两种小礼品共130个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元．
（1）购买乙种礼品花了 400 元；
（2）如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高20%，求乙种礼品的单价．（列分式方程解应用题）
【考点】分式方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）400；
（2）乙种礼品的单价为5元．
【分析】（1）设购买甲种礼品花了x元，购买乙种礼品花了y元，根据用700元购买了甲、乙两种小礼品，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元．列出二元一次方程组，解方程即可；
（2）设乙种礼品的单价为m元，则甲种礼品的单价为（1+20%）m元，根据用700元购买了甲、乙两种小礼品共130个，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购买甲种礼品花了x元，购买乙种礼品花了y元，
由题意得：x+y=700y−x=100，
解得：x=300y=400，
即购买乙种礼品花了400元，
故答案为：400；
（2）设乙种礼品的单价为m元，则甲种礼品的单价为（1+20%）m元，
由题意得：300(1+20%)m+400m=130，
解得：m＝5，
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意，
答：乙种礼品的单价为5元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为AC的中点．动点M从点A出发，沿A→B→C的方向以每秒1个单位的速度移动；动点N从点A出发，沿着射线AC方向以每秒2个单位的速度移动，当M点到达点C时，两点同时停止运动．在移动过程中，设运动时间为x，记S△COM的面积为y1，y2=S矩形ABCDS△ADN．
（1）请直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）根据函数图象，直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）y1=x(0＜x≤3)−34x+214(3＜x＜7)，y2=5x(0＜x＜7)；
（2）如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当0＜x≤3时，y1随x增大而增大，3＜x＜7，y1随x增大而减小；
（3）2.2≤x≤5.9．
【分析】（1）分两种情况，由三角形面积公式及矩形的性质可得出答案；
（2）根据（1）所求画出对应的函数关系式，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可；
（3）找到y1的图象在y2的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【解答】解：（1）当0＜x≤3时，点M在AB上运动，则y1＝S△ABC﹣S△AOM﹣S△CBM
=12×3×4−12⋅x⋅2−12(3−x)×4
＝x，
当3＜x＜7时，点M在BC上运动，则y1=12（3+4﹣x）×32=−34x+214；
综上所述，y1=x(0＜x≤3)−34x+214(3＜x＜7)；
如图所示，过点D作DH⊥AC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，∠BCD＝90°，
∴S△ADN=12AN⋅DH=12⋅2x⋅125=12x5，
∴y2=1212x5=5x，
∴y2=5x(0＜x＜7)；
（2）如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当0＜x≤3时，y1随x增大而增大，3＜x＜7，y1随x增大而减小；
（3）由函数图象可知，y1≥y2时，x的取值范围为2.2≤x≤5.9．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
22．（10分）如图，小文骑自行车从家B出发沿正北方向行驶2km到岔路口C后，沿北偏西15°方向再行驶32km到达综合实践活动基地D，参加完活动后，沿路线DA到达爷爷家A．已知小文爷爷家A在小文家B的北偏西45°方向上，在岔路口C的北偏西75°方向上，且点A，B，C，D在同一平面内．（计算结果保留根号）
（1）求小文爷爷家A到小文家B的距离；
（2）求综合实践活动基地D到小文爷爷家A的距离．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）(6+2)km；
（2）14km..
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据余弦的定义求出BE，根据正弦的定义求出CE，根据正切的定义求出AE，进而求出AB；
（2）过点A作AF⊥CD于点F，根据余弦的定义求出CF，根据正弦的定义求出AF，再根据勾股定理求出AD即可．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠BEC＝∠AEC＝90°．
由题意，得∠ABC＝45°，∠ACK＝75°，BC＝2．
∴∠BAC＝∠ACK﹣∠ABC＝30°．
在Rt△BCE中，BE=BC⋅cs∠ABC=2×cs45°=2，CE=BC⋅sin∠ABC=2×sin45°=2．
在Rt△ACE中，AE=CEtan∠BAC=2tan30°=6．
∴AB=AE+BE=(6+2)km．
答：小文爷爷家A到小文家B的距离为(6+2)km．
（2）如图，过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC＝∠AFD＝90°．
∵∠AEC＝90°，∠BAC＝30°，CE＝2．
∴AC=2CE=22．
由题意，得∠DCK＝15°，∠ACK＝75°，CD=32．
∴∠ACF＝∠ACK﹣∠DCK＝60°．
在Rt△ACF中，CF=AC⋅cs∠ACF=22×cs60°=2，AF=AC⋅sin∠ACF=22×sin60°=6．
∴DF=CD−CF=32−2=22．
∴AD=AF2+DF2=(6)2+(22)2=14(km)．
答：综合实践活动基地D到小文爷爷家A的距离为14km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；图形的相似；解直角三角形及其应用．
【答案】（1）y=−15x2+65x−1；
（2）P（﹣3，−325）；
（3）F（513，−4813）或（10，4）．
【分析】（1）可得出B的坐标，于是设抛物线的交点式解析式，代入点C坐标求得二次项系数，进而得出结果；
（2）可证明△OCD∽△BDE，从而BEOD=BDOA，进而得出BE＝6，从而得出E（5，﹣6），进而得出CE的解析式，作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，−15m2+65m−1），表示出T（m，﹣m﹣1），从而表示出PT的长，根据△PQT∽△BQE得出615m2−115m=57，从而求得m的值，进一步得出结果；
（3）先推出∠DEF＝45°，分为当点F在BP上时，方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，根据直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1可推出∠ECF＝∠BEC＝45°，进而得出∠DEF＝∠BEC，进而得出GHEH=13，设GH＝t，EH＝3t，可得出t+3t＝52，求得x的值，进而得出G（0，−72），从而得出直线EG的解析式为：y=−12x−72，和直线PB的解析式为：y=45x−4联立成方程组，进而求得F点坐标；
方法二：作ER⊥y轴于点R，可推出∠REF+∠BED＝45°，根据tan∠BED=13得出tan∠REF=12，从而得出直线EF的解析式为：y=−12x−72；当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，同理得出tan∠BEF=12=BWBE，从而得出BW=12BE＝3，求得OW＝8，进而得出直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：B（5，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点C（0，﹣1），
∴﹣1＝a•（﹣1）×（﹣5），
∴a=−15，
∴y=−15（x﹣1）（x﹣5）=−15x2+65x−1；
（2）如图1，
∵直线l⊥x轴，DE⊥CD，
∴∠COD＝∠CDE＝∠EBD＝90°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠ODC+∠BDE＝90°，
∴∠OCD＝∠BDE，
∴△OCD∽△BDE，
∴BEOD=BDOC，
∵OC＝1，OD＝3，BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2，
∴BE3=21，
∴BE＝6，
∴E（5，﹣6），
设CE的解析式为：y＝kx+n，
∴n=−15k+n=−6，
∴n=−1k=−1，
∴y＝﹣x﹣1，
作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，−15m2+65m−1），
∴T（m，﹣m﹣1），PT∥BE，
∴PT＝（﹣m﹣1）﹣（−15m2+65m−1）=15m2−115m，△PQT∽△BQE，
∴BEPT=BQPQ=57，
∴615m2−115m=57，
∴m1＝﹣3，m2＝14（舍去），
当m＝﹣3时，y=−15×（﹣3﹣1）×（﹣3﹣5）=−325，
∴P（﹣3，−325）；
（3）存在F点满足∠DEF＝∠ACD+∠BED，理由如下：
由（2）知：△OCD∽△BDE，
∴∠BED＝∠CDO，
∴∠ACD+∠BED＝∠ACD+∠CDO＝∠OAC，
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝45°，
∵∠DEF＝∠ACD+∠BED，
∴∠DEF＝45°，
如图2，
当点F在BP上时，
方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，
∵直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1，
∴∠ECF＝∠BEC＝45°，
∴∠DEF＝∠BEC，
∴∠FEQ＝∠BED，
∴tan∠FEQ＝tan∠BED=BDBE=26=13，
∴GHEH=13，
∴设GH＝t，EH＝3t，
∴CH＝GH＝t，
∵C（0，﹣1），E（5，﹣6），
∴CE＝52，
∴t+3t＝52，
∴t=524，
∴CG=2GH=2t=52，
∴OG＝1+52=72，
∴G（0，−72），
∴直线EG的解析式为：y=−12x−72，
∵P（﹣3，−325），B（5，0），
∴直线PB的解析式为：y=45x−4，
由y=−12x−72y=45x−4得，
x=513y=−4813，
∴F1（513，−4813），
方法二：如图3，
作ER⊥y轴于点R，
∵∠DEF＝45°，∠BER＝90°，
∴∠REF+∠BED＝45°，
∵tan∠BED=13，
∴tan∠REF=12，
又E（5，﹣6），
∴直线EF的解析式为：y=−12x−72，
后面步骤同上，
如图4，
当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，
∵∠DEF＝45°，tan∠BED=13，
∴tan∠BEF=12=BWBE，
∴BW=12BE＝3，
∴W（8，0），
∴直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，
由2x﹣16=45x−4得：x＝10，
当x＝10时，y＝2×10﹣16＝4，
∴F2（10，4），
综上所述：F（513，−4813）或（10，4）．
【点评】本题是函数的综合题，考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是转化为解直角三角形问题．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点P为△ABC内一点．
（1）如图（1），CP＝CQ，∠QCP＝120°，连接BP，AQ，求证：BP＝AQ；
（2）如图（2），D为AB的中点，若PC＝2，PA＝5，∠CPD＝150°，求线段PD的长；
（3）如图（3），在（2）的条件下，若点M为平面内一点，PM＝PC，连BM，将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，连PN，请直接写出PN的最大值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）4−32；
（3）43+5．
【分析】（1）可证得△ACQ≌△BCP，从而得出BP＝AQ；
（2）连接CD，作∠PCQ＝60°，作∠CPQ＝90°，作PE⊥AQ，交AQ的延长线于点Q，可证得△ACQ∽△DCP，从而∠AQC＝∠CPD＝150°，AQPD=ACCD=12，从而得出∠AQP＝∠AQC﹣∠PQC＝150°﹣30°＝120°，解三角形APQ，求得AQ，进而得出PD的值；
（3）连接BP，作∠PBO＝120°，截取BO＝PB，可证得△PBM≌△OBN，从而ON＝PM＝PC＝2，从而点N在以O为圆心，2为半径的圆上运动，作射线PO，交⊙O于N′，当点N在N′处时，PN最大，PN′＝OP+ON′=3PB+2，作∠PBC＝60°，交PB于E，同理（2）可得，△CPD∽△CEB，依次求得BE和PB，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠QCP＝∠ACB＝120°，
∴∠QCP﹣∠ACP＝∠ACB﹣∠ACP，
∴∠ACQ＝∠BCP，
∵AC＝BC，CQ＝CP，
∴△ACQ≌△BCP（SAS），
∴BP＝AQ；
（2）解：如图，
连接CD，作∠PCQ＝60°，作∠CPQ＝90°，作PE⊥AQ，交AQ的延长线于点E，
∴CQ＝2PC＝4，PQ＝23，
∵AC＝BC，D是AB的中点，
∴∠ACD=12∠ACB=60°，
∴∠ACD＝∠PCQ，AC＝2CD，
∴∠ACQ＝∠PCD，CDAC=PCCQ=12，
∴△ACQ∽△DCP，
∴∠AQC＝∠CPD＝150°，AQPD=ACCD=12，
∴∠AQP＝∠AQC﹣∠PQC＝150°﹣30°＝120°，
∴∠PQE＝60°，
∴EQ=12PQ=3，EP=32PQ＝3，
∵AP＝5，∠E＝90°，
∴AE＝4，
∴AQ＝AE﹣EQ＝4−3，
∴PD=12AQ=4−32；
（3）解：如图2，
连接BP，作∠PBO＝120°，截取BO＝PB，
∵线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，
∴∠MBN＝120°，BM＝BN，
∴∠MBN＝∠PBO，
∴∠MBP＝∠OBN，
∴△PBM≌△OBN（SAS），
∴ON＝PM＝PC＝2，
∴点N在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
作射线PO，交⊙O于N′，
当点N在N′处时，PN最大，PN′＝OP+ON′=3PB+2，
作∠PBC＝60°，交PB于E，
∵∠ABC+∠CPD＝30°+150＝180°，
∴点C、P、D、共圆，
∴∠CPB＝∠CDB＝90°，
同理（2）可得，
△CPD∽△CEB，
∴BEPD=BCCD=2，
∴BE＝2PD＝4−3，
∵PE=3PC＝23，
∴PB＝PE+BE＝4+3，
∴OP＝43+3，
∴PN′＝43+5，
∴PN的最大值为：43+5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．平均数
中位数
众数
七年级
90.5
b
88
八年级
90.5
90
c
平均数
中位数
众数
七年级
90.5
b
88
八年级
90.5
90
c