2027届高考数学人教A版一轮复习考点突破讲义：第38讲复数（含答案）

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[例1] (多选)下列选项正确的是( )
A.若i(1-z)=1,则z+z=-2
B.已知复数z满足z(3-i)=2i(i为虚数单位),则z的虚部为32
C.若复数z满足z(1+i)=-2+i(i是虚数单位),则|z|=102
D.如果复数m2+i1+mi是纯虚数,那么实数m的值为0
[答案] BC
[解析] 对于A,由题意知1-z=1i=-i,所以z=1+i,则z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2,A错误;
对于B,因为z(3-i)=2i,所以z=2i3−i=2i(3+i)(3−i)(3+i)=−2+23i4=-12+32i,
所以z的虚部为32,B正确;
对于C,依题意,z(1+i)=-2+i,
所以z=−2+i1+i=(−2+i)(1−i)(1+i)(1−i)
=−1+3i2=-12+32i,
所以|z|=(−12)2+(32)2=102,C正确;
对于D,m2+i1+mi=(m2+i)(1−mi)(1+mi)(1−mi)=
m2+m+(1−m3)i1+m2,因为此复数为纯虚数,
所以m2+m=0,1−m3≠0,
解得m=-1 或m=0,D错误.
1.(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为( )
A.-1 B.0
C.1D.6
答案:C
解析:因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1.
2.(2026·辽宁辽阳模拟)已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-1
B.a=-1,b=1
C.a=-1,b=-1
D.a=1,b=1
答案:B
解析:因为(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i,所以(a+3b)+(-2a+4b)i=2+6i,
所以a+3b=2,−2a+4b=6,
解得a=−1,b=1.
考点二 复数的四则运算
[例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若zz−1=1+i,则z=( )
A.-1-iB.-1+i
C.1-iD.1+i
[答案] C
[解析] 因为zz−1=z−1+1z−1=1+1z−1=1+i,所以z=1+1i=1-i.
(2)(2026·山东德州模拟)已知z=1−i1+i,则z+z2 025=( )
A.-iB.2i
C.0D.2
[答案] C
[解析] 因为z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=1−2i+i22=-i,所以z=i,
所以z+z2 025=i+(-i)2 025=i-i2 025=i-i=0.
❙方法总结❙
复数的四则运算问题的解题策略
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算.
2.进行复数的除法运算,关键是分子、分母同乘分母的共轭复数.
3.求解复数的运算与复数概念的综合题时,先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义作答.
3.(2026·山东济南模拟)设复数z满足1+z2−i=i(i为虚数单位),则z=( )
A.2iB.-2i
C.-2+2iD.-2-2i
答案:A
解析:z=i(2-i)-1=2i.
4.(2026·山东淄博模拟)若复数 z 满足z(1+i)=3+i,则z·i2 025=( )
A.2-iB.2+i
C.-1+2iD.1-2i
答案:C
解析:z(1+i)=3+i⇒z=3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2-i,
则z·i2 025=(2+i)i2 025=(2+i)i=-1+2i.
考点三 复数与方程
[例3] (多选)在复数范围内,方程z2+z+2=0的两个根分别为z1,z2,则( )
A.z1z2=-i
B.z1+z2=-1
C.z1=z2
D.|z1|=|z2|=2
[答案] BCD
[解析] 对于A,根据根与系数的关系知z1z2=2,故A错误;
对于B,根据根与系数的关系知z1+z2=-1,故B正确;
对于C,解出两根分别为-12+72i,-12-72i,显然两根互为共轭复数,则z1=z2,故C正确;
对于D,因为z1=z2,则|z1|=|z2|=(−12)2+(72)2=2,故D正确.
❙方法总结❙
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法:
1.判别式法.当Δ